Exercice n°1 On considère un parallélogramme ABCD tel que AB=5

Exercice n°1
On considère un parallélogramme ABCD tel que AB=5 cm et AD=3 cm. La bissectrice de l’angle BAD coupe (DC) en M
et (BC) en N. Démontrer que les triangles ADM et ABN sont isocèles et semblables. Calculer le ratio
.
Exercice n°2
Démontrer que dans la figure suivante les triangles AMQ et APN sont semblables. En déduire l’égalité
. Démontrer l’égalité suivante où R désigne le rayon du cercle :
.
Application : dans la figure ci-dessous, calculer AM sachant que ABCD a pour côté 6 cm.
Exercice n°3
On considère le triangle ABC ci-dessous tel que AB = 28 mm, BC = 39 mm et AC = 42 mm. On note I le milieu du
segment
et D le point tel que ̂
longueur ID.
̂ . Démontrer que les triangles AID et ABC sont semblables. Calculer la
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L’exercice est d’autant plus difficile que son numéro est petit.
Exercice n°1
Démontrons tout d’abord que le triangle ADM est isocèle.
Comme la droite (AN) est la bissectrice l’angle ̂ , on a: ̂
̂.
Comme ABCD est un parallélogramme, les droites (AB) et (DC) sont parallèles. ̂ et ̂ sont donc des
̂
̂.
angles alternes-internes et on a : ̂
̂
̂
̂
}⇒ ̂
̂
̂
Démontrons que les triangles ADM et ABN sont semblables.
Comme ABCD est un parallélogramme, on a ̂
̂
̂
̂
̂
̂.
̂
}⇒
̂
Démontrons enfin que ABN est isocèle.
Comme les triangles ADM et ABN sont semblables et que ADM est isocèle en D, alors :
.
On a AB=5 cm et AD=3 cm.
On passe des longueurs des côtés du triangle ABN aux longueurs des côtés du triangle ADM avec un coefficient de
réduction de . D’après le cours, on passe donc de l’aire du triangle ABN à l’aire du triangle ADM avec un
coefficient de réduction de ( ) :
( )
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L’exercice est d’autant plus difficile que son numéro est petit.
Exercice n°2
Démontrons que AMQ et APN sont semblables.
Comme P appartient à la droite (AQ) et N appartient à la droite (AN), on a évidemment : ̂
̂.
Comme les quatre points M, N, P et Q appartiennent au cercle, l’angle ̂ et l’angle ̂ sont deux
̂
̂
̂
angles inscrits qui interceptent le même arc ̂ . On a donc ̂
̂
̂
̂
}⇒
̂
.
Déduisons-en l’égalité
.
Démontrons l’égalité suivante où R désigne le rayon du cercle :
On voit sur la figure que :
.
.
⇒
Calculons la longueur AM de la deuxième figure, sachant que ABCD a pour côté 6 cm.
. Calculons donc :
On a d’après la question précédente :
R est égal à la moitié du diamètre du cercle qui est clairement égal au côté du carré ABCD :
On utilise le théorème de Pythagore sur le triangle ADC pour calculer AC et en déduire AO :
√
√
√
√
√
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L’exercice est d’autant plus difficile que son numéro est petit.
On utilise le théorème de Pythagore sur le triangle
pour calculer
√
On peut aisément démontrer que
est le milieu de
:
√
√
est perpendiculaire à (DC)
est donc parallèle à (AD) puisque ̂ est un angle droit, et
en se rappelant que
par définition d’une tangente à un cercle.
la distance entre
et (AD) est égale à 3 et également à
.
( √ )
(√ )
√
√
√
√
√
√
√
√
Exercice n°3
On considère le triangle ABC ci-dessous tel que AB = 28 mm, BC = 39 mm et AC = 42 mm.
Démontrons que les triangles AID et ABC sont semblables.
̂ d’après l’énoncé.Comme P appartient à la droite (AB) et D appartient à la droite (AC), on
a évidemment : ̂ ̂ .
On a ̂
̂
̂
̂
}⇒
̂
Déduisons-en la longueur ID :
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L’exercice est d’autant plus difficile que son numéro est petit.