QUOTIENT DE RAYLEIGH DE FONCTION BOOLÉENNE 1. quotient

QUOTIENT DE RAYLEIGH DE FONCTION BOOL´ EENNE
PAVLE MICHKO
R´ esum´ e. On s’interesse aux quotients de Rayleigh des fonctions bool´eennes.
1. quotient de Rayleigh
On utilise les notations habituelles : F2le corps `a deux ´el´ements, le car-
dinal de Fm
2est not´e q, identifi´e au corps L. Pour une fonction de Fm 2dans
F2, le coefficient de Walsh en avaut :
(1) fw(a) = X
x
µ(f(x) + ax).
On dit que fest courbe si
fw(a) = ±√q=µ(˜ f(a)) ×√q
L’existence d’une fonction courbe implique que mest pair. On dit que
fest autoduale quand f=˜ fet andiduale si f+ 1 = ˜ f. Le coefficient de
Rayleigh de fest :
R(f) = X
x,y∈Fm
2
µ(f(x) + xy +f(y))
=X
a
fw(x)×µ(f(x))
Il s’agit du quotient de Rayleigh R(F, µ ◦f) du vecteur µ◦fpar rapport
`a l’op´erateur de Fourier Fqui poss`ede deux valeurs propres ±√q. On note
alors que
−√q≤1
qR(f) = R(F, f)≤√q
Les fonctions antiduales et autoduales sont aux fronti`eres de ces in´egalit´es
et r´eciproquement.
On introduit les notations
r(f) = 1
qR(f), ρ(q) = sup
f
r(f)
Probl`eme 1. Comment de distribuent les nombres r(f)?
En dimension paire r(q) = √q. En dimension impaire, il n’existe pas de
fonction courbe mais il me semble raisonnable de conjecturer
Date: Automne 2014, derni`ere compilation 20 septembre 2014.
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Conjecture 1.
lim
q→∞
r(q)
√q= 1
Avec deux fonctions bool´eennes fet g, on construit une fonction de di-
mension m+ 1 en posant :
(f, g)(x, t) = tf(x)+(t+ 1)g(x).
On a
(f, g)w(a, t) = fw(a) + µ(t)gw(a)
Et
R(f, g) = X
a,t
(fw(a) + µ(t)gw(a))µ((f, g)(a, t))
=X
a
(fw(a) + gw(a))µ(g(a)) + X
a
(fw(a)−gw(a))µ(f(a))
=X
a
fw(a)(µ(f(a)) + µ(g(a))) + X
a
gw(a))(µ(f(a)) −µ(g(a)))
en particulier si f=gest autoduale :
r(f, f) = 2R(f)/2q=√q=p2q/√2
en dimension impaire r(q)≥1
√2.
2. Maiorana-MacFarland
On suppos mpair. L’espace Fm
2est identifi´e au produit de K×K, ou K
est le corps d’ordre √q. Soit πune permutation de K, la fonction d´efinie
par :
f(x, y) = trace (xπ(y))
est courbe. Il s’agit d’une fonction de Maiorana-MacFarland, la duale d’ob-
tient par un calcul direct :
fw(a, b) = X
x,y
µ(xπ(y) + ax +by)
=√qX
π(y)=a
µ(by)
=√qµ(b.π−1(a))
Le coefficient de Rayleigh vaut

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R(f) = √qX
a,b
µ(aπ(b) + bπ−1(a)
=√qX
a,b
µ(π(a)π(b) + ab)
Notons que dans le cas ou πest l’identit´e, on obtient la valeur q√qqui
correspond aux fonctions autoduales.
3. Distribution
Dans le cas d’une inversion π(x) = c1/2
x, avec cnon nul, et la convention
π(0) = 0, on obtient
R(f) = √qX
x,y
µ(c
xy +xy)
=√q[(√q−1) X
t
µ(c
t+t) + q] = q+qkloos c−√qkloos (c)
o`u kloos (c) est une somme de Kloosterman qui prend toutes les valeurs
enti`eres multiples de 4 dans l’intervalle [−24
√q, +2 4 √q].
Proposition 1. Pour tout entier xmultiple de 4dans l’intervalle [−24
√q, +2 4 √q],
il existe une quantit´e r´eelle de valeur absolue au plus 2 telle que 1 + x+
soit le r(f)d’une fonction courbe.
D´emonstration. Les sommes de Kloosterman v´erifient |kloos (c)| ≤ 24
√q.
4. Quotient faible
On ne suppose rien sur la parit´e de m.
On consid`ere la fonction fc(x) = trace (c/x), son quotient de Rayleigh est
connect´e `a une somme de Kloosterman g´en´eralis´ee.
R(fc) = X
x,y
µ(c/x +c/y +xy)
= 2 X
y
µ(c/y)−1 + X
xyz=1
µ(c/x +c/y +z)
=−1 + X
xyz=1
µ(c/x +c/y + 1/z)
=−1 + X
xyz=c2
µ(x+y+z)
On sait que cette somme de Kloosterman g´en´eralis´ee est major´ee par 3q
ce qui conduit `a
|r(fc)| ≤ 3
un comportement moyen.

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5. moyenne
Tout quadruplet x,y,z,t, conduit `a un caract`ere addifif :
χx,y,z,t(f) = µ(f(x) + f(y) + f(z) + f(t)).
On suppose Vun espace d’application tel que pour tout x,y,z,t:
χx,y,z,t ⊥V=⇒]{x, y, z, t}= 1,2.
On en d´eduit la moyenne :
X
f∈V
R(f) = X
f∈V
X
x,y
µ(f(x) + f(y) + xy) = |V|X
x
µ(x2)=0
et la moyenne quadratique :
X
f∈V
R(f)2=X
f∈V
X
x,y,z,t
µ(f(x) + f(y) + f(z) + f(t) + xy +zt)
=X
f∈V
X
x,y,z,t
µ(f(x) + f(y) + f(z) + f(t) + xy +zt)
=|V|[X
x=y,z=t
µ(x2+z2) + X
x=z,y=t
µ(2xy) + X
x=t,y=z
µ(2xy)−2X
x=y=z=t
µ(2x2)]
=|V|[q2−2q]
En moyenne
|R(f)| ∼ q