QUOTIENT DE RAYLEIGH DE FONCTION BOOLÉENNE 1. quotient

QUOTIENT DE RAYLEIGH DE FONCTION BOOLÉENNE
PAVLE MICHKO
Résumé. On s’interesse aux quotients de Rayleigh des fonctions booléennes.
1. quotient de Rayleigh
On utilise les notations habituelles : F2 le corps à deux éléments, le carm
dinal de Fm
2 est noté q, identifié au corps L. Pour une fonction de F2 dans
F2 , le coefficient de Walsh en a vaut :
X
µ(f (x) + ax).
(1)
f w (a) =
x
On dit que f est courbe si
√
√
f w (a) = ± q = µ(f˜(a)) × q
L’existence d’une fonction courbe implique que m est pair. On dit que
f est autoduale quand f = f˜ et andiduale si f + 1 = f˜. Le coefficient de
Rayleigh de f est :
X
R(f ) =
µ(f (x) + xy + f (y))
x,y∈Fm
2
=
X
f w (x) × µ(f (x))
a
Il s’agit du quotient de Rayleigh R(F, µ ◦ f ) du vecteur µ ◦ f par rapport
√
à l’opérateur de Fourier F qui possède deux valeurs propres ± q. On note
alors que
1
√
√
− q ≤ R(f ) = R(F, f ) ≤ q
q
Les fonctions antiduales et autoduales sont aux frontières de ces inégalités
et réciproquement.
On introduit les notations
1
r(f ) = R(f ),
q
ρ(q) = sup r(f )
f
Problème 1. Comment de distribuent les nombres r(f ) ?
√
En dimension paire r(q) = q. En dimension impaire, il n’existe pas de
fonction courbe mais il me semble raisonnable de conjecturer
Date: Automne 2014, dernière compilation 20 septembre 2014.
1
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Conjecture 1.
r(q)
lim √ = 1
q
q→∞
Avec deux fonctions booléennes f et g, on construit une fonction de dimension m + 1 en posant :
(f, g)(x, t) = tf (x) + (t + 1)g(x).
On a
(f, g)w (a, t) = f w (a) + µ(t)g w (a)
Et
R(f, g) =
X
(f w (a) + µ(t)g w (a))µ((f, g)(a, t))
a,t
X
X
=
(f w (a) + g w (a))µ(g(a)) +
(f w (a) − g w (a))µ(f (a))
a
=
X
a
w
f (a)(µ(f (a)) + µ(g(a))) +
a
X
g w (a))(µ(f (a)) − µ(g(a)))
a
en particulier si f = g est autoduale :
r(f, f ) = 2R(f )/2q =
en dimension impaire r(q) ≥
√
q=
p √
2q/ 2
√1 .
2
2. Maiorana-MacFarland
On suppos m pair. L’espace Fm
2 est identifié au produit de K × K, ou K
√
est le corps d’ordre q. Soit π une permutation de K, la fonction définie
par :
f (x, y) = trace (xπ(y))
est courbe. Il s’agit d’une fonction de Maiorana-MacFarland, la duale d’obtient par un calcul direct :
f w (a, b) =
X
µ(xπ(y) + ax + by)
x,y
=
=
√
√
Le coefficient de Rayleigh vaut
q
X
µ(by)
π(y)=a
qµ(b.π −1 (a))
3
R(f ) =
√ X
q
µ(aπ(b) + bπ −1 (a)
a,b
√ X
= q
µ(π(a)π(b) + ab)
a,b
√
Notons que dans le cas ou π est l’identité, on obtient la valeur q q qui
correspond aux fonctions autoduales.
3. Distribution
Dans le cas d’une inversion π(x) =
π(0) = 0, on obtient
c1/2
x ,
c
√ X
µ(
q
+ xy)
xy
x,y
X c
√ √
µ( + t) + q]
= q[( q − 1)
t
t
avec c non nul, et la convention
R(f ) =
= q + q kloos c −
√
q kloos (c)
où kloos (c) est une somme de Kloosterman qui prend toutes les valeurs
√
√
entières multiples de 4 dans l’intervalle [−2 4 q, +2 4 q].
√
√
Proposition 1. Pour tout entier x multiple de 4 dans l’intervalle [−2 4 q, +2 4 q],
il existe une quantité réelle de valeur absolue au plus 2 telle que 1 + x + soit le r(f ) d’une fonction courbe.
√
Démonstration. Les sommes de Kloosterman vérifient |kloos (c)| ≤ 2 4 q. 4. Quotient faible
On ne suppose rien sur la parité de m.
On considère la fonction fc (x) = trace (c/x), son quotient de Rayleigh est
connecté à une somme de Kloosterman généralisée.
R(fc ) =
X
µ(c/x + c/y + xy)
x,y
=2
X
µ(c/y) − 1 +
y
= −1 +
X
µ(c/x + c/y + z)
xyz=1
X
µ(c/x + c/y + 1/z)
xyz=1
= −1 +
X
µ(x + y + z)
xyz=c2
On sait que cette somme de Kloosterman généralisée est majorée par 3q
ce qui conduit à
|r(fc )| ≤ 3
un comportement moyen.
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5. moyenne
Tout quadruplet x, y, z, t, conduit à un caractère addifif :
χx,y,z,t (f ) = µ(f (x) + f (y) + f (z) + f (t)).
On suppose V un espace d’application tel que pour tout x, y, z, t :
χx,y,z,t ⊥ V =⇒ ]{x, y, z, t} = 1, 2.
On en déduit la moyenne :
X
X
XX
µ(x2 ) = 0
µ(f (x) + f (y) + xy) = |V |
R(f ) =
x
f ∈V x,y
f ∈V
et la moyenne quadratique :
X
R(f )2 =
X X
µ(f (x) + f (y) + f (z) + f (t) + xy + zt)
f ∈V x,y,z,t
f ∈V
=
X X
µ(f (x) + f (y) + f (z) + f (t) + xy + zt)
f ∈V x,y,z,t
= |V | [
X
µ(x2 + z 2 ) +
x=y,z=t
X
x=z,y=t
2
= |V | [q − 2q]
En moyenne
|R(f )| ∼ q
µ(2xy) +
X
x=t,y=z
µ(2xy) − 2
X
x=y=z=t
µ(2x2 )]