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Propagation dans le canal de radiocommunication
Ex I - Bilan de liaison
1) Rappeler la formule de Friis pour le bilan de liaison en espace libre (dégagé de tout
obstacle) en exprimant la puissance reçue en fonction des paramètres suivants : PIRE, Lv
(affaiblissement d’espace libre, grandeur positive), Gr (gain d’antenne de réception). On
précisera la valeur de Lv en fonction de la distance entre antennes et de la longueur
d’onde.
Pr= PIRE . 1 .Gr
LV
( )
LV = 4πd
λ
2
2) Dans le cas général et pour les valeurs moyennes, il faut substituer à Lv (v : vide) la
valeur L50 (50 : en moyenne) qui tient compte des particularités de l’environnement. On
peut alors utiliser un modèle de propagation adapté pour connaître l’affaiblissement, par
exemple celui d’Okumura-Hata tel que référencé à l’annexe 7 de la recommandation de l’
UIT-R P.1546-1 (cf. annexe). A l’aide du modèle, calculer la valeur de E en dBµV/m
dans les conditions suivantes pour une P.A.R. de 1 KW :
a. Hauteur de l’antenne d’émission (m) : 45
b. Hauteur de l’antenne de réception (m) : 1.75
c. Fréquence (MHz) : 2100
d. Distance (Km) : 5
A l’aide de la formule donnée : E=49.18 dBµV/m
3) Rappeler l’expression de la puissance reçue en fonction de l’amplitude du champ
électrique E, de la longueur d’onde et du gain Gr de l’antenne de réception (on rappelle
que l’impédance du vide vaut 120π)
2
2
Pr =S.Ar = E  λ .Gr 
120π  4π

4) A partir des réponses aux questions 1 et 3, montrer qu’on peut calculer l’affaiblissement
moyen L50 en fonction du champ électrique. Exprimez cette relation avec PAR en dBW,
L50 en dB et E en dBµV/m. Quelle est ici la valeur numérique de L50 (en dB) ? Quel
serait le champ moyen reçu pour une PAR de 100 W ?
2
2
Pr = PIRE . 1 .Gr = E  λ .Gr 
L50
Z 0  4π

2
Z 0 4π f 2
 4 π10 6   fMHz 
L50 = PIRE
.
=
PIRE
.
30
.


E2
C2
 C  E 
2
  4π106 2 
L50(dB)=10log10(PIRE )+10log1030.
 +20log10( f MHz)−20log10(E )
  C 
L50(dB)=−12.79+ PIREdBW +20log 10( f MHz)−20log 10 E−6 .10− 6 
 10

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ISP 503 – 2004/2005 –Propagation Correction
L50(dB)=−12.79+PIRE dBW +20log10( f MHz)−EdBµ V /m +120
L50(dB)=107.21+PIRE dBW −EdBµ V /m +20log10( f MHz)
L50(dB)=107.21+(PARdBW +2.15)− EdBµV /m+20log10( fMHz )
L50(dB)=109.36+ PARdBW −EdBµV /m+20log10( fMHz )
Ici, L50(dB)= 156.63 dB
Si la PAR vaut 100 W, cela correspond à 20 dBW au lieu de 30 dBW, il suffit de retrancher
10 à la valeur du champ précédent en dBµV/m :
E=49.18-10=39.18 dB µV/m
5) Déterminer l’affaiblissement d’espace libre (en dB) dans notre situation et en déduire
l’affaiblissement en excès Lex (en dB).
LvdB=10.log10(Lv)=112.87 dB
=> LexdB=L50(dB)-LvdB= 43.76 dB
6) On désire prendre en compte les variations du signal autour de la moyenne estimée par le
modèle. On adopte une loi lognormale pour les variations lentes du champs, d’écart type
supposé à 8 dB, et une loi de Rayleigh d’écart type 5 dB pour ses variations rapides .
Pour chaque loi, quelle est la valeur minimale du signal pour laquelle ses variations
resteront inférieures pendant 90% et 98% du temps ?
On peut utiliser la fonction de répartition qui donne la probabilité pour que la variable
aléatoire, ici le signal, reste inférieure à l’abscisse indiquée.
Pour la loi gaussienne centrée d’écart type unité :
1−F(x)=0.5e[−0.461(x+0.582) ]
2
Pour la loi de Rayleigh d’écart type unité :
 y2 
 − 
 2
F(y)=1−e
On exprime x en fonction de F(x) :
x=−0.582+ ln [2*(1−F( x))] , pour la loi gaussienne
−0.461
y= −2*ln[1−F (y)] , pour la loi de Rayleigh
On en déduit pour les valeurs normalisées :
Gaussienne :
x=1.3 @ 90%
x=2.1 @ 98%
Rayleigh :
y=2.2 @ 90%
y=2.8 @ 98%
En dénormalisant et compte tenu des écarts-type :
Gaussienne X=x*8dB :
X= 10.4 dB @ 90%
X= 16.8 dB @ 98%
Pour Rayleigh Y=y*5 dB :
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Y=11 dB @ 90%
Y=14 dB @ 98 %
7) Sachant que l’émetteur dispose d’une antenne d’émission sectorielle avec un gain de 15
dBi quasiment constant dans le secteur couvert, sachant que le récepteur a une sensibilité
–117 dBm et dispose d’une antenne omnidirectionnelle de gain 2.1 dBi, quelle doit être la
puissance d’émission minimale pour que la puissance du signal reçu reste, pendant 90%
ou 98% du temps, au dessus du seuil de sensibilité du récepteur ? Comment peut-on
compléter ce bilan de liaison ?
PrdBm=PedBm + GedB –[L50(dB) + X + Y] + GrdB =>
=> PedBm = PrdBm-GedB-GrdB+L50(dB) + X + Y =
-117-15-2.1+156.63 +11 +10.4= 43.85 dBm @ 90% -> 13.85 dBW (25 W)
-117-15-2.1+156.63 + 16.8 + 14 = 53.33 dBm @ 98% -> 23.33 dBW (215 W)
Il faudrait également prendre en compte les pertes câbles, les pertes corps humain, les pertes
liées aux hydrométéores…
Ex II - Propagation au-dessus d’un plan d’eau de mer
f=900 MHz
D= 20 km
Ondulation δ = 50 cm
h= 10 m
D est la distance qui sépare les deux antennes, h leur hauteur par rapport au sol, δ l’amplitude
des vagues.
1) La polarisation du champ électrique étant parallèle à la surface de l’eau, supposée très
bonne conductrice, que vaut le coefficient de réflexion ρ?
On a pour le critère de Rayleigh :
CR =
4πδ sin( ψ)
λ
Dans cette expression, ψ est l’angle entre le rayon incident et le sol par rapport à
l’horizontale. Ici on a tan(ψ)=10/10.103 =0.001 ≈ sin(ψ).On trouve alors CR=1.89 %. Puisque
CR < 10%, la réflexion peut-être considérée comme spéculaire => aucun terme de diffusion
n’affaiblira la valeur du coefficient de réflexion de façon significative.
On a par ailleurs un plan d’eau salée qu’on assimile à un conducteur métallique parfait, le
champ tangentiel s'annule, donc le champ est réfléchi avec une intensité égale mais une
orientation opposée à celle du champ incident. Il en résulte ρ=-1.
2) Calculez le déphasage entre le trajet direct et le trajet réfléchi en fonction de h, λ et D
R1 = D
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2
2
 1  2h 2 
 D
 2h 
R2 = 2   + h 2 = D 1 +   ≈ D 1 +   
2
D
 2  D  
2h 2
D
2π
4πh 2
∆Φ =
∆R =
λ
λD
∆R = R2 − R1 =
3) les antennes étant supposées omnidirectionnelles, montrez que l'intensité du champ total
reçu est proportionnelle à ce déphasage.
On néglige les différences d'intensités pour les champs provenant des différents trajets
− j ∆Φ
, avec ρ=-1 (réflexion spéculaire et
T
d
r
d
d
polarisation //), Ed=champ du trajet direct
E T = E d 1 − e − j∆Φ = E d (1 − cos (∆Φ ) + j sin (∆Φ ))
E = E + E = E + E ρe
(
)
ET = Ed
[1 + cos (∆Φ ) − 2 cos (∆Φ ) + sin
ET = Ed
1 − cos (∆Φ )
 ∆Φ 
4
= 2 Ed sin 
 ≈ Ed ∆Φ

2


 2 
2
2
(∆Φ )]
4) Calculer l’atténuation totale L50(dB) et comparez-là aux résultats du cours. Comment
peut-on justifier ce résultat ?
La puissance est proportionnelle au carré du champ et le champ total étant ici proportionnel au
champ de l'onde ayant suivie le trajet direct, la puissance totale reçue est celle obtenue dans
des conditions d'espace libre, modulée par ∆Φ 2 :
2
2
2
2
2
2
ET λ2
Ed ∆Φ 2 λ2
PeGe
2 λ


λ
λ
4
π
h
Pr = S.Ar = . Gr =
. Gr =
Gr =Pe
.∆Φ =Pe
×

2 ∆Φ
Z 0 4π
120π 4π
4π
4π D
4π D
 4π D λ D 
(
P h
⇒ r = 
Pe  D 
)
4
D'où l'atténuation totale en dB :
h
LdB = 40 log  
D
Cela correspond à une évolution de –40 dB par décade avec la distance entre les antennes. En
cours, nous avions noté qu’une telle évolution était prévisible lorsque l’ellipsoïde de Fresnel
était encombrée :
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Quelle est ici cette distance D pour laquelle le plan réflecteur sera tangent au premier
ellipsoïde de Fresnel ? On a :
(2h)
h= 1 λD f ⇔ Df =
2
λ
2
Dans notre cas, λ=1/3 et h=10 => Df=1200m, or D=20000 m ! Notre résultat est donc
parfaitement conforme aux prévisions compte tenu du fait que nous sommes dans une
situation de réflexion sur terre plate avec ellipsoïde de Fresnel encombrée.
(Avec une hauteur des antennes par rapport au sol h=41m, l’ellipsoïde resterait dégagée et la
réception devrait être nettement améliorée)
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Annexes :
Fonctions de répartition log-normale et Rayleigh :
1− F(x)=0.5e[−0.461(x+0.582) ]
2
F(y)=1−e
 y2 
 − 
 2
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