Espace localement

Propri´et´es locales dans un espace topologique
Dans ce qui suit, tous les espaces topologiques consid´er´es sont des espaces s´epar´es, c’est `a dire que pour tout
point xet ydistincts, il existe deux ouverts disjoints Uet Vqui contiennent respectivement xet y.
D´ efinition (Base de voisinage) : Une famille Vde parties d’un espace topologique Eest appel´ee base
de voisinage d’un point asi elle est form´ee de voisinages de aet si tout voisinage Ude acontient un ´el´ement
Vde V(i.e. V⇢U).
D´ efinition (Espace localement ⇤): Un espace topologique Es´epar´e est localement ⇤si tout point de
Eadmet une base de voisinages dont les ´el´ements ont la propri´et´es ⇤.
Exemples :
·Un espace topologique s´epar´e Eest localement compact si tout point de Eadmet une base de voisinage
compact.
·Un espace topologique s´epar´e Eest dit localement connexe si tout point de Eadmet une base de voisinage
connexe.
·Un espace topologique s´epar´e Eest dit localement connexe par arcs si tout point de Eadmet une base
de voisinage connexe par arcs.
Dans la suite, nous allons voir plus en d´etail les di↵´erentes propri´et´es locales.
1. Espace localement compact
On montre une caract´erisation pratique des espaces localement compacts.
Caract´ erisation : Eest un espace localement compact si et seulement si tout point de Eadmet un
voisinage compact.
Preuve :
Si Elocalement compact, et si xest un point de E,xadmet une base de voisinage
compact, donc en particulier, il existe un voisinage compact de x.
R´eciproquement, supposons que tout point de Eadmette un voisinage compact.
Soit xun point de E,Kun voisinage compact de xet Uun voisinage quelconque de x.
On veut montrer qu’il existe un voisinage compact de xinclus dans U.
La fronti`ere @(K\U) est ferm´ee dans Kcompact, donc est compacte. De plus, puisque
Eest s´epar´e, pour tout yappartenant `a @(K\U) il existe deux ouverts disjoints Vyet
Wycontenant respectivement yet x. La famille (Vy) forme un recouvrement de @(K\U),
qui est compact, il existe donc un sous recouvrement fini (Vy1,...,V
yn). L’intersection de
Wy1,...,W
ynforme un ensemble Wne rencontre aucun Vyi.
U
K
x·
@(K\U)
Vy
Wy
L’adh´erence de West donc contenue dans K\U.AinsiWest un voisinage compact de x, contenu dans U.⇤
·Espace localement compact non compact : un tel exemple n’est pas difficile `a trouver : Rest
localement compact mais pas compact. En e↵et, si Uest un voisinage de x,Ucontient une boule ferm´ee
centr´ee en x, qui est compacte.
·En revanche, un espace compact est localement compact. En e↵et, avec la caract´erisation pr´ec´edente, si E
est compact, alors Eest un voisinage compact de chacun de ses points et donc Eest localement compact.
2. Espace localement connexe
Le cas des espaces localement connexes di↵`ere de celui des espaces localement compacts. Un espace peut en
e↵et ˆetre connexe sans que ses points n’aient de base de voisinages connexes. R´eciproquement, un espace peut
ˆetre localement connexe sans que celui ci soit connexe.
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·Espace localement connexe non connexe : dans R, consid´erons deux intervalles ouverts disjoints.
Leur r´eunion est localement connexe non connexe.
·Espace connexe non localement connexe : Un tel exemple est plus difficile `a trouver. Consid´erons
le “peigne” dans R2, c’est `a dire l’ensemble
E=([0,1] ⇥{0})[[
r2Q\[0,1]
({r}⇥[0,1])
On le munit de la topologie induite par celle de R2. Alors Eest connexe mais n’est pas localement connexe.
En e↵et, si l’on consid`ere un point xde Esitu´e strictement sur les “dents” du peigne, et Uun voisinage
suffisamment petit de x(qui ne rencontre pas le “manche” du peigne), alors Une contient aucun voisinage
connexe de x.
3. Espace localement connexe par arcs
·Espace localement connexe par arcs non connexe par arcs : De nouveau ici, si l’on prend deux
intervalles ouverts disjoints de R, la r´eunion est localement connexe par arcs et non connexe par arcs.
·Espace connexe par arcs non localement connexe par arcs : l’exemple du peigne du paragraphe
pr´ec´edent fonctionne ici aussi, pour les mˆemes raisons.
La propri´et´e suivante est g´en´eralement utile :
Propri´ et´ e:Un espace connexe et localement connexe par arcs est (globalement) connexe par arcs
Preuve : Soit Eun espace connexe et localement connexe par arcs. Pour montrer que Eest connexe par arcs, on va montrer que
les composantes connexes par arcs sont ouvertes et ferm´ees. Consid´erons Cune composante connexe par arcs non vide de E.
·Cest ouvert : si x2C, puisque Eest localement connexe par arcs, il existe un ouvert Uconnexe par arcs contenant x, donc
U⇢C, et donc Cest ouvert.
·Cest ferm´e : l’ensemble des composantes connexes par arcs de Eforme une partition. Donc le compl´ementaire de Cest une
r´eunion de composantes connexes par arcs, qui sont ouvertes par ce qui pr´ec`ede. Donc Cest ferm´e.
Ainsi, Cest ouvert et ferm´e non vide dans Econnexe, donc C=E,etEest connexe par arcs. ⇤
4. Espace localement simplement connexe
Dans ce paragraphe, tous les espaces topologiques sont connexes par arcs.
D´ efinition : Un espace est localement simplement connexe si tout point admet une base de voisinage
simplement connexe.
D´etaillons cette d´efinition : Eest un espace localement simplement connexe, si pour tout point xde Eet
tout voisinage Vde x, il existe un voisinage Ude xsimplement connexe, c’est-`a-dire que tout lacet trac´e dans
Uest homotope dans U`a une constante.
·Espace localement simplement connexe non simplement connexe : Consid´erons R2{0}.Cet
espace n’est pas simplement connexe, par exemple le lacet de centre 0 et de rayon 1 n’est pas homotope
`a une constante. En revanche, R2{0}est localement simplement connexe. Un voisinage d’un point de
R2{0}contient une boule de R2dont 0 ne fait pas partie, et cette boule est simplement connexe.
·Espace simplement connexe non localement simplement connexe : dans le paragraphe suivant,
on donne un exemple d’espace simplement connexe (et semi-localement simplement connexe) mais non
localement simplement connexe.
5. Espace semi-localement simplement connexe :
Dans ce paragraphe, tous les espaces topologiques sont connexes par arcs.
D´ efinition : Un espace Eest dit semi-localement simplement connexe si tout point xadmet un voisinage
Utel que tout lacet dans Uest homotope dans E`a une constante.
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·Espace semi-localement simplement connexe non localement simplement connexe : pour
tout entier n, notons 1/n le disque de R2de centre 0 et de rayon 1
n. On consid`ere l’ensemble
E=Sn2N⇤1/n
Eest commun´ement appel´e “boucles hawa¨ıennes”. Cet espace, muni de la topologie induite par celle de R2
n’est ni simplement connexe, ni localement simplement connexe, ni semi-localement simplement connexe.
Nous allons consid´erer le cˆone topologique de E,
CE=(E⇥[0,1]) .(E⇥{0})
O`u le quotient est d´efinit de la mani`ere suivante : E⇥[0,1] est le “cylindre” de base E, et la relation
d’´equivalence identifie tous les points de E⇥{0}en un seul, les autres classes d’´equivalences ´etant les
singletons. Autrement dit, si l’on note ⇠la relation d’´equivalence, alors
8x, x02E, (x, 0) ⇠(x0,0) et 8t6=0,8x2E, (x, t)⇠(x, t)
–CEest simplement connexe. En e↵et, CEest contractile : il se r´etracte par d´eformation sur son
sommet, par l’homotopie
Ht:CE! CE
(x, s)7! (x, ts)
Htest bien une homotopie entre H1=IdCEet H0:(x, s)!(x, 0) = (0,0) qui est bien constante.
–CEn’est pas localement simplement connexe. Notons Ole point d’intersection de tous les cercles.
Soit Uun voisinage de ce point. Il contient alors un cercle centr´e en O, qui n’est pas homotope dans
U`a une constante. Donc CEn’est pas localement simplement connexe.
–CEest semi-localement simplement connexe. Les points qui posent probl`eme sont les points (0,t)
avec 0 616t. Faisons le raisonnement pour le point O(il est identique pour tous les autres points).
Si l’on consid`ere un voisinage de O, il contient des cercles ind´efiniments petits. Mais chacun de ces
cercles est homotope dans E`a une constante. En e↵et, si l’on se donne un tel cercle, et si test un
r´eel compris entre 0 et 1, on peut consid´erer l’homotopie qui part de O, monte jusqu’`a l’ordonn´ee t,
fait le tour du cylindre correspondant au cercle consid´er´e, et revient au point O. Par cette homotopie,
le cercle est homotope au lacet qui fait l’aller retour du point Oau sommet du cˆone, et ce mˆeme
lacet est homotope `a une constante.
R´ef´erences :
[1] ´ El´ements de Math´ematique : Topologie g´en´erale 14: Chapitres 14, N. Bourbaki, Springer, 2009
[2] Topologie, calcul di↵´erentiel et variable complexe, J. Saint-Raymond, Calvage et Mounet, 2008
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