Variétés de contact feuilletées et groupoïdes de contact

VARIÉTÉS DE CONTACT FEUILLETÉES ET
GROUPOÏDES DE CONTACT.
Paulette LIBERMANN
Université Paris 6-Pierre et Marie Curie, France
Dominique Flament (dir)
Série Documents de travail (Équipe F2DS)
Feuilletages -quantification géométrique : textes des journées d’étude des 16 et 17 octobre 2003,
Paris, Fondation Maison des Sciences de l’Homme, 2004

Variétés de contact feuilletées et groupoïdes de contact
Paulette LIBERMANN
Introduction
Cet exposé reprend certains résultats publiés dans les articles antérieurs, [L5]
[L6], concernant les groupoïdes symplectiques et de contact. Dans [L5] nous avons
défini la notion de groupoïde symplectique
ΓΩ,
()
en imposant notamment la
condition suivante : les distributions A et B tangentes au α -fibres et β -fibres sont
symplectiquement orthogonales ; par suite ces distributions sont complètes vis-à-vis
du crochet de Poisson, d’où des structures de Poisson opposées sur la variété des
unités Γ0
pour lesquelles α et β sont des morphismes de Poisson. En utilisant les
méthodes de C.Albert et P.Dazord [A.D.] nous avons montré que, dans le cas où les
α
-
fibres et
β
-fibres sont connexes, notre définition est équivalente à celle due à
A.Weinstein [C.D.W] ainsi M.V Karasev [K.M.].
Les mêmes méthodes sont applicables aux groupoïdes de contact (
Γ
, ω ) tels que
φω ω *=−
(où φ est la symétrie
xx→−1
). On utilise la notion de «pseudo-
orthogonalité » , chacune des distributions A et B étant localement engendrée par les
champs de vecteurs ω -hamiltoniens correspondant aux intégrales premières de l’autre ;
les distributions sont alors complètes vis-à-vis du crochet de Jacobi, d’où des
structures de Poisson sur Γ0 pour lesquelles α et β sont des morphismes de Jacobi.
Y. Kerbrat et Z. Souici-Benhammadi ont défini la notion de groupoïde de
contact par la condition
mxycy xy
∗
()
=
()
()
+
()
ωωω ,1
12
où,
Γ2
étant la sous-variété des couples composables,
m
est l’application
ΓΓ
2→
telle
que
mxy xy,.
()
=
et
ωω
11
=p
*
,
ωω
22
=∗ p
.
À la suite de cette Note, nous avons été amenés dans [L6] à considérer des
groupoïdes
Γ, ω
()
pour lesquelles
φω ω
*=−c
, où c est une fonction à valeurs dans +.
La situation est plus compliquée car il n’y a plus de réciprocité entre les distributions
Α et Β . Pour démontrer qu’on a des feuilletages ω -complets et
ω
c−
complets (d’où des
structures conformes sur
Γo
induites par α et β ), on est conduit à utiliser le symplectifié
˜
Γ
et
Γ
et à définir sur
˜
Γ
une structure de groupoïde prolongement ; on démontre alors
que
Γ
est de contact si et seulement si
˜
Γ
est symplectique. La considération de
˜
Γ
pourrait permettre d’étudier les groupoïdes conformément de contact (quand ω n’est
pas définie globalement). Cette question n’est pas traitée dans la suite de cet article.
Elle est liée à l’étude des structures conformes de Jacobi [Lic], [Μ1], [D.L.M.].
Nous avons ajouté aux résultats de [L5] [L6], une étude des algébroïdes de Lie des
groupoïdes de contact ; nous avons retrouvé le résultat de [K.S.] suivant lequel la

2
variété des jets
J1
Γo
(
, ) =Τ∗
Γo
x est munie d’une structure d’algébroïde de Lie
isomorphe à celle du groupoïde
Γ
. L’article se termine par des exemples.
Notations :
1°) On désigne par
∗
,
+
,
n∗
respectivement l’ensemble des réels non nuls,
l’ensemble des réels positifs, le dual de n
2°) On suppose les variétés et les applications de classe
C
∞
, les variétés étant
séparées. La dérivée de Lie d’une forme ϕ relativement à un champ de vecteurs sera
notée
X
()
ϕ
; si ϕ est une fonction f, on écrira
Xf Xf
()
=.
.
3°) Pour un produit de variétés
NMM=×
12
de projections p1 et p2 et M2, on écrira ϕ
1
(resp. ϕ
2) au lieu de
p11
∗
ϕ
(
p22
*
ϕ
), quand il n’y aura pas de risque de confusion. Si
NMM=×
, on écrira
NM M=×
12
avec M1=M2=M et
ϕϕ
11
=∗ p
,
ϕϕ
22
=p*
pour
toute forme ϕ sur M.
4°) On rappelle qu’un algébroïde de Lie (notion due à J. Pradines [P] est un fibré
vectoriel
AM→
tel que 1°) l’espace des sections de Α est muni d’une structure
d’algèbre de Lie 2°) il existe un morphisme de fibrés vectoriels aA M:→T(appelé
l’ancrage) induisant sur les sections un morphisme d’algèbres de Lie 3°) pour tout
couple (
ξη ,
) de sections de Α, et toute fonction
f
, sur
M
, on a :
ff af ξη ξη η ξ ,,
[]
=
[]
−
()
⋅
()
.
I - Sur quelques propriétés des variétés symplectiques et de contact feuilletées
1. On rappelle [L2][L3] que sur une variété symplectique
W,Ω
()
un feuilletage
(de fibré tangent F ) est dit symplectiquement complet si le crochet de Poisson
fg,
{}
de tout couple d’intégrales premières du feuilletage est aussi une intégrable
première. On démontre alors la propriété fondamentale : le feuilletage est
symplectiquement complet si et seulement si le fibré vectoriel orthF (orthogonal
symplectique de F) est complètement intégrable, le feuilletage ainsi obtenu est aussi
symplectiquement complet.
Si, de plus, le feuilletage est simple, alors la projection π de
W
sur l’espace
des feuilles W/ induit sur W / une structure de Poisson pour laquelle π est un
morphisme de Poisson ; tout champ hamiltonien
Xf
(où f est une intégrale première
de ) est projetable par π sur W / . On utilise pour démontrer ces propriétés la
dualité symplectique. Si le feuilletage est défini localement par les intégrales
premières indépendantes
ff
p1,,…
, alors les relations

3
(1)
d
{fi,
f
j
}=
1
p
ij
k
k
f
∑
λ
sont équivalentes à
(2) [
Χ
fi
Χfj
]=
1
p
ij
k
f
Xk
∑
λ
.
2. Dans le cas d’une variété
M, ω
()
munie d’une forme de contact ω , la situation
est plus compliquée car la dualité entre 1-formes et champs de vecteurs est une notion
plus complexe. Nous allons résumer les résultats de [L1] [L.M.] Soit E le champ de
vecteurs de Reeb, c’est-à-dire le champ défini par
(3)
iEd iE
()
=
()
= ωω 01,
.
On a les décompositions
TM H=⊕ ξ
avec
ξ =ker
d
ω
(c’est-à-dire le fibré vectoriel engendré par E)
et
H=ker ω
(fibré horizontal)
TM
×
=
ω ⊕K
où
Κ
admet pour sections les formes semi-basiques
ϕ
c’est-à-
dire telles que
iΕ
()
= ϕ 0
ω est le sous-fibré vectoriel de
ΤΜ
∗
engendré par ω c’est-à-dire l’annulateur de H dans
ΤΜ
∗
Tout champ de vecteurs X sur
M
peut être décomposé en
(4) XiXEX=
()
()
+ ω
ˆ.
où
ˆ
X
est horizontal ;
XX−ˆ
sera appelé partie verticale de X.
De même, toute forme de Pfaff η se décompose en
(5)
ηηωη =+(( ) ) ˆ iE
oùˆ
η
, qui satisfait la condition
iE()
ˆ
η =0
, est dite la partie semi-basique de η .
L’application
ωω
bXiXd:()→−
, restreinte aux vecteurs tangents à H, est un
isomorphisme de H sur K. Soit
ω
# son inverse.
On obtient ainsi sur M une structure de Jacobi (M, Λ, Ε ) où Λ est le champ de
bivecteurs défini par
Λ(ϕ,ξ) =
d ω (
ω
#
ˆ,
ϕω
#
˜)
ξ
.
Le noyau de Λ#
:TM TM
∗
→
(oùΛ# est défini par <Λ#
ϕψ ,
>=Λ
ϕψ ,
()
pour tout couple
de 1-formes) est ω .
On sait [L1] [L.M.] qu’il existe un isomorphisme φ de l’espace vectoriel
ℵ
des
automorphismes conformes de ω (c’est-à-dire des champs de vecteurs vérifiant la