Variétés de contact feuilletées et groupoïdes de contact

VARIÉTÉS DE CONTACT FEUILLETÉES ET
GROUPOÏDES DE CONTACT.
Paulette LIBERMANN
Université Paris 6-Pierre et Marie Curie, France
Dominique Flament (dir)
Série Documents de travail (Équipe F2DS)
Feuilletages -quantification géométrique : textes des journées d’étude des 16 et 17 octobre 2003,
Paris, Fondation Maison des Sciences de l’Homme, 2004
Variétés de contact feuilletées et groupoïdes de contact
Paulette LIBERMANN
Introduction
Cet exposé reprend certains résultats publiés dans les articles antérieurs, [L5]
[L6], concernant les groupoïdes symplectiques et de contact. Dans [L5] nous avons
défini la notion de groupoïde symplectique (Γ, Ω) en imposant notamment la
condition suivante : les distributions A et B tangentes au α-fibres et β-fibres sont
symplectiquement orthogonales ; par suite ces distributions sont complètes vis-à-vis
du crochet de Poisson, d’où des structures de Poisson opposées sur la variété des
unités Γ0 pour lesquelles α et β sont des morphismes de Poisson. En utilisant les
méthodes de C.Albert et P.Dazord [A.D.] nous avons montré que, dans le cas où les α fibres et β -fibres sont connexes, notre définition est équivalente à celle due à
A.Weinstein [C.D.W] ainsi M.V Karasev [K.M.].
Les mêmes méthodes sont applicables aux groupoïdes de contact ( Γ ,ω) tels que
φ * ω = −ω (où φ est la symétrie x → x −1 ). On utilise la notion de «pseudoorthogonalité » , chacune des distributions A et B étant localement engendrée par les
champs de vecteurs ω-hamiltoniens correspondant aux intégrales premières de l’autre ;
les distributions sont alors complètes vis-à-vis du crochet de Jacobi, d’où des
structures de Poisson sur Γ0 pour lesquelles α et β sont des morphismes de Jacobi.
Y. Kerbrat et Z. Souici-Benhammadi ont défini la notion de groupoïde de
contact par la condition
m∗ω ( x, y) =
1
ω1 ( x ) + ω 2 ( y)
c( y )
où, Γ2 étant la sous-variété des couples composables, m est l’application Γ2 → Γ telle
que m( x, y) = x. y et ω1 = p1*ω , ω 2 = p2∗ω .
À la suite de cette Note, nous avons été amenés dans [L6] à considérer des
ω
groupoïdes (Γ, ω ) pour lesquelles φ *ω = − , où c est une fonction à valeurs dans R+.
c
La situation est plus compliquée car il n’y a plus de réciprocité entre les distributions
ω
Α et Β. Pour démontrer qu’on a des feuilletages ω-complets et − complets (d’où des
c
structures conformes sur Γo induites par α et β), on est conduit à utiliser le symplectifié
Γ̃ et Γ et à définir sur Γ̃ une structure de groupoïde prolongement ; on démontre alors
que Γ est de contact si et seulement si Γ̃ est symplectique. La considération de Γ̃
pourrait permettre d’étudier les groupoïdes conformément de contact (quand ω n’est
pas définie globalement). Cette question n’est pas traitée dans la suite de cet article.
Elle est liée à l’étude des structures conformes de Jacobi [Lic], [Μ1], [D.L.M.].
Nous avons ajouté aux résultats de [L5] [L6], une étude des algébroïdes de Lie des
groupoïdes de contact ; nous avons retrouvé le résultat de [K.S.] suivant lequel la
variété des jets J 1 (Γo , R ) =Τ ∗ Γo xR est munie d’une structure d’algébroïde de Lie
isomorphe à celle du groupoïde Γ . L’article se termine par des exemples.
Notations :
1°) On désigne par R ∗ , R + , R n∗ respectivement l’ensemble des réels non nuls,
l’ensemble des réels positifs, le dual de Rn
2°) On suppose les variétés et les applications de classe C ∞ , les variétés étant
séparées. La dérivée de Lie d’une forme ϕ relativement à un champ de vecteurs sera
notée l ( X )ϕ ; si ϕ est une fonction f, on écrira l ( X ) f = X . f .
3°) Pour un produit de variétés N = M1 × M2 de projections p1 et p2 et M 2, on écrira ϕ1
(resp. ϕ2) au lieu de p1∗ϕ1 ( p2*ϕ 2 ), quand il n’y aura pas de risque de confusion. Si
N = M × M , on écrira N = M1 × M2 avec M1=M2=M et ϕ1 = p1∗ϕ , ϕ 2 = p2*ϕ pour
toute forme ϕ sur M.
4°) On rappelle qu’un algébroïde de Lie (notion due à J. Pradines [P] est un fibré
vectoriel A → M tel que 1°) l’espace des sections de Α est muni d’une structure
d’algèbre de Lie 2°) il existe un morphisme de fibrés vectoriels a : A → TM (appelé
l’ancrage) induisant sur les sections un morphisme d’algèbres de Lie 3°) pour tout
couple ( ξ , η ) de sections de Α, et toute fonction f , sur M , on a :
[ fξ,η] = f [ξ,η] − (a(η) ⋅ f )ξ .
I - Sur quelques propriétés des variétés symplectiques et de contact feuilletées
1. On rappelle [L2][L3] que sur une variété symplectique (W,Ω) un feuilletage
f (de fibré tangent F ) est dit symplectiquement complet si le crochet de Poisson
{ f , g} de tout couple d’intégrales premières du feuilletage est aussi une intégrable
première. On démontre alors la propriété fondamentale : le feuilletage est
symplectiquement complet si et seulement si le fibré vectoriel orthF (orthogonal
symplectique de F) est complètement intégrable, le feuilletage ainsi obtenu est aussi
symplectiquement complet.
Si, de plus, le feuilletage f est simple, alors la projection π de W sur l’espace
des feuilles W/
f induit sur W / f une structure de Poisson pour laquelle π est un
morphisme de Poisson ; tout champ hamiltonien X f (où f est une intégrale première
de f) est projetable par π sur W / f. On utilise pour démontrer ces propriétés la
dualité symplectique. Si le feuilletage est défini localement par les intégrales
premières indépendantes f1 ,…, f p , alors les relations
2
p
d { fi , f j }=
(1)
∑
λkij fk
1
sont équivalentes à
p
[ Χ fi Χ f j ]= ∑ λkij X f k .
(2)
1
2. Dans le cas d’une variété ( M, ω ) munie d’une forme de contact ω, la situation
est plus compliquée car la dualité entre 1-formes et champs de vecteurs est une notion
plus complexe. Nous allons résumer les résultats de [L1] [L.M.] Soit E le champ de
vecteurs de Reeb, c’est-à-dire le champ défini par
i( E )dω = 0, i( E )ω = 1.
(3)
On a les décompositions
avec ξ = ker dω (c’est-à-dire le fibré vectoriel engendré par E)
et H = ker ω (fibré horizontal)
×
T M = Rω ⊕ K
où Κ admet pour sections les formes semi-basiques ϕ c’est-àdire telles que i(Ε )ϕ = 0 Rω est le sous-fibré vectoriel de Τ ∗Μ
engendré par ω c’est-à-dire l’annulateur de H dans Τ ∗Μ
Tout champ de vecteurs X sur M peut être décomposé en
TM = ξ ⊕ H
X = (i( X )ω ) E + Xˆ .
(4)
où X̂ est horizontal ; X − Xˆ sera appelé partie verticale de X.
De même, toute forme de Pfaff η se décompose en
(5)
η = (i( E )η)ω + ηˆ
où η̂ , qui satisfait la condition i( E )η̂ = 0 , est dite la partie semi-basique de η.
L’application ω b : X → −i( X )dω , restreinte aux vecteurs tangents à H, est un
isomorphisme de H sur K. Soit ω # son inverse.
On obtient ainsi sur M une structure de Jacobi (M, Λ,Ε) où Λ est le champ de
bivecteurs défini par
Λ(ϕ,ξ) = dω ( ω# ϕˆ , ω # ξ˜ ) .
Le noyau de Λ# :T ∗ M → TM (oùΛ# est défini par <Λ# ϕ ,ψ >=Λ (ϕ ,ψ ) pour tout couple
de 1-formes) est Rω.
On sait [L1] [L.M.] qu’il existe un isomorphisme φ de l’espace vectoriel ℵ des
automorphismes conformes de ω (c’est-à-dire des champs de vecteurs vérifiant la
3
conditionl ( X )ω = ρω ) sur l’espace vectoriel C ∞ ( M , R) des fonctions sur M. Cet
isomorphisme φ et son inverse sont définis par
φ ( X ) = i( X )ω
(6)
( )
φ −1 ( f ) = fE + ω # df˜ = fE + Λ# ( df )
φ (1) = E .
On a
Le champ de vecteurs φ −1 ( f ) sera noté X f et appelé le ω −hamiltonien de la
fonction f . On déduit de l’isomorphisme φ le crochet de Jacobi
[ f , g] = φ (φ −1 ( f ), φ −1 (g))
Soit encore
[
]
[
]
X[ f , g ] = X f , Xg , X[1, f ] = E, X f ;
(7)
on peut écrire
[ f , g] = dω ( X f , Xg ) + f ( E.g) − g( E. f )
(8)
ou encore
[ f , g] = X f .g − g( E. f ) .
(9)
En particulier on a
[1, g] = E.g .
ω
où c est une fonction sur M à
c
valeurs dans R*, on obtient un isomorphisme Ψ de N sur C ∞ ( M, R) tel que
Si l’on considère la forme de contact ω c =
(Ψ )
c −1
(10)
( )
Ce qui peut s’écrire X f
c
f = Ψ −1 (cf ),
= Xcf ; en particulier le ω c -champ de Reeb E c est le
champ Xc , le crochet [ f , g] satisfait la relation
(11)
c
1
c
[ f , g]c = [cf , cg]
Λ c = cΛ.
d’où
3. Soitf un feuilletage sur M, de fibré tangent F. La distribution F ⊥ = ξ ⊕ Λ# ( F o )
où Fo est l’annulateur de F dans T ∗ M dite pseudo-orthogonale à F. Cette distribution
4
est localement engendrée par les champs ω-hamiltoniens correspondant aux intégrales
premières (y compris les constantes) de la distribution F.
Le feuilletage
f
sera dit ω-complet si le crochet de Jacobi [f,g] de deux
intégrales premières def est également une intégrale première de f(éventuellement
une constante).
On démontre [L3] que si f est ω-complet, la distribution F ⊥ est complètement
intégrable (éventuellement au sens de Sussmann si F ⊥ n’est pas de rang constant).
Mais la réciproque n’est pas nécessairement vérifiée même si F ⊥ est de rang constant.
En effet soient E, X f1 ,L, X f p engendrant localement F ⊥ ; si celui-ci, de rang constant
p+1, est complètement intégrable alors :
[
]
p
X f , f = X fi , X f j = ∑ λkij X f k + ηij E
[ i j]
1
(12)
[
]
λ
X[1, f ] = E, X f = ∑ λk X f k + ηE
1
Pour les composantes horizontales, on a
p
Xˆ f , f = ∑ λkij Xˆ jk
[ i j] 1
d’où par dualité pour les composantes semi-basiques
[
]
p
d fi , f j = ∑ λkij dfk
1
p
d[1, f ]∑ λk dfk
1
soit encore
[
p
] ∑
d fi , f j =
λkij dfk mod.ω
d[1, f ] =
1
p
∑
λk dfk mod ω
1
Dans les deux cas suivants, on peut affirmer que f estω−complet :
a) Si le champ de Reeb E est tangent au feuilletage, alors les dfi sont égales à
leurs composantes semi-basiques car i( E )dfi = 0 ;
b) Si les feuilles sont isotropes (c’est-à-dire si la forme induite par ω sur chaque
feuille est nulle), alors ω appartient à l’idéal engendré par les dfi . Dans ce cas F ⊥ est
de rang p.
5
II – Sur la symplectification des variétés de contact
1. Soit( M, ω ) une variété munie d’une forme de contact. Le sous-fibré
Rω de
∗
T M , engendré par ω est muni d’une 2-forme Ω̃ = dθ où θ est la forme induite sur
Rω par la forme de Liouville de T M .
∗
On sait [L.M.] que la restriction de Ω̃ , au complémentaire M̃ de la section nulle
de Rω est une forme symplectique. C’est pourquoi Arnold [Ar.] a désigné cette
variété M̃ comme la symplectifiée de ( M, ω ) . La projection π : M̃ → M définit une
structure de R+-fibré principal. Toute section de Π est une forme de contact ; elle peut
ω
s’écrire ω c = où c est à valeurs dans.R+.
c
Les structures de contact ( M, ω ) et ( M , ω c ) ont la même symplectifiée.
On peut identifier M̃ à M × R ∗ au moyen de la trivialisation
τ : ( x, λ ) → λω ( x )
(1)
On supposera désormais que la variété M est connexe; dans ces conditions, la
symplectifié M̃ a deux composantes connexes correspondant à λ > 0 et λ < 0 . La
ω
fonction c telle que ω c =
a un signe constant. La trivialisation définit sur M̃ un
c
feuilletage f ω dont les feuilles sont les variétés M × {λ } et sont donc difféomophes à
Μ.
Il a été démontré dans [ L,Μ ] que tout symplectomorphisme infinitésimal X̃ de
Ω̃ , invariant sous l’action de R ∗ , est projetable sur M suivant un
automorphisme infinitésimal conforme X de ω ; X̃ est le Ω̃ -hamiltonien d’une
fonction F, homogène c’est-à-dire vérifiant Z .F = F, où Z est la restriction à M̃ , du
champ des homothéties de T * M .
Inversement tout automorphisme infinitésimal conforme X de ω , se relève de
manière unique en un symlecto-morphisme infinitésimal de Ω̃ .
Au moyen de la trivialisation τ : ( x, λ ) → λω ( x ) , on peut exprimer la relation
entre X̃ et X de la manière suivante ; X̃ est un champ X̃F et X un champ X f où F et f
sont liées par les relations
F( x, λ ) = λf ( x )
(2)
f ( x ) = F( x,1) = Fω ( x ).
Le champ Z s’écrit λ
(3)
∂
. Le relèvement X̃F de X f est le champ de vecteurs
∂λ
X˜ F ( x, λ ) = X f − p( x )Ζ
6
où p est égal à E. f et vérifie l ( x )ω = pω .
On en déduit que le relèvement X̃F de X f est tangent au feuilletage fω défini
par la trivialisation τ , si et seulement si ρ( x ) = 0 , c’est-à-dire si X f est un
automorphisme infinitésimal de ω .
On vérifie que le crochet {F1 , F2 } de deux fonctions homogènes sur M̃ et le
crochet de Jacobi [ f1 , f2 ] des fonctions correspondantes sur M̃ sont liées par la
relation
{F1F2 }( x, λ ) = λ[ f1, f2 ]( x ) .
(4)
2. Plus généralement soit (υ , Λ,Ε) une variété de Jacobi, de champ de bivecteurs
Λ, de champ de vecteurs E.
Il a été démontré par A.Lichnerowicz que le champ de bivecteurs
Λ̃ =
1
∂
(Λ+
ΛΕ)
λ
∂λ
définit sur la variété Ṽ = V × R ∗ une structure de poisson homogène c’est-à-dire
l (Ζ ) Λ˜ = − Λ˜ avec Ζ = λ ∂ ; la variété Ṽ , Λ̃ ) sera dite « l’homogénéisée » de la
∂λ
variété Jacobi (V, Λ).
(
III– Rappels sur les groupoïdes symplectiques
Un groupoïde de Lie muni d’une forme symplectique Ω , est appelé groupoïde
symplectique si le graphe de la multiplication est une sous-variété lagrangienne de la
variété symplectique ΓxΓxΓ , (où Γ , désigne la variété Γ munie de la forme- Ω ). Voir
[C.D.W] et [K.M.].
Dans [C.D.W] il est démontré qu’un groupoïde symplectique possède les
propriétés suivantes :
a) la variété Γo des unités est une sous variété lagrangienne
b) la symétrie φ ∗ :Γ → Γ
d é f i n i e p a r φ ∗ ( x ) = x −1
est
un
∗
antisymplectomorphisme (c’est-à-dire φ Ω = −Ω )
c) le α -feuilletage et le β -feuilletage, définis par les α -fibres et les β -fibres,
sont symplectiquement orthogonaux.
En utilisant les résultats de [C.D.] qui introduisent la notion de «faisceau de
définition », nous avons démontré dans [L6] la réciproque :
Soit Γ un groupoïde muni d’une forme symplectique Ω , dont les α-fibres et
les β-fibres sont connexes. Si
7
Γ
α


→
Γ

β → 0
possède les propriétés suivantes :
1) Γo est une sous-variété lagrangienne de Γo
2) les α -fibres et les β -fibres définissent des feuilletages symplectiquement
orthogonaux,
alors
α


→
Γ
Γ

β → 0
est un groupoïde symplectique.
Il en résulte qu’il existe sur Γo une structure de Poisson unique telle que la
projection α (resp. β) est morphisme (resp. antimorphisme) de Poisson. Un groupoïde
symplectique ( Γ, Ω ) sera dit homogène s’il existe sur Γ un champ de vecteurs Z
satisfaisant les conditions suivantes :
a) la forme Ω est homogène c’est-à-dire l ( Z )Ω = Ω, d’où pour le tenseur de
Poisson dual l ( Z )Λ=−Λ.
b) le α -feuilletage et le β-feuilletage sont homogènes, c’est-à-dire, pour toute
intégrale première f de l’un des feuilletages, la fonction Z est aussi une intégrale
première du même feuilletage.
IV – Groupoïdes strictement de contact
1. Les considérations précédentes nous ont conduit [L5] à définir les groupoïdes
de contact (Γ, ω ) pour lesquels la symétrie φ: x → x −1 vérifie la condition ϕ ∗ω = −ω .
Dans [L6], nous avons étendu la notion de groupoïde de contact en imposant seulement
ω
la condition φ ∗ω = − , où c est une fonction à valeurs dans R ∗ . Les groupoïdes pour
c
lesquels c = 1 sont dits strictement de contact.
Un groupoïde strictement de contact est un groupoïde de Lie
α


→
Γ
Γ

β → 0
dont les α -fibres et les β − fibres sont connexes, la variété Γ étant munie d’une forme
de contact ω telle que
a)
φ *ω = −ω .
8
b) Chacun des α-feuilletages et β-feuilletages est engendré localement par les
champs de vecteurs ω-hamiltoniens correspondant aux intégrales premières de l’autre
(éventuellement les constantes).
Cette définition est cohérente car φ échangeant les champs de Reeb E et -E, on
a, d’après la formule 6 du paragraphe I :
Β= ξ⊕ Λ#Α°
(1)
Α= ξ⊕ Λ#Β°,
où A (resp. B) est le fibré tangent à la α-fibration (resp. β−fibration), Ao (resp. Bo ) est
l’annulateur de A (resp. B) dans T∗Γ .
Les distributions A et B sont pseudo-orthogonales. Comme le champ E
appartient aux deux distributions, d’après le paragraphe I3 ces distributions sont ω complètes et les champs ω-hamilitoniens sont projetables par α et β, induisant sur Γo
une structure de Jacobi.. On démontre le thèorème :
Théorème . Soit (Γ, ω ) , un groupoïde strictement de contact. Alors
a) la variété des unités Γo est une sous variété lagrangienne de Γ .
b) cette sous variété est munie d’une structure de Poisson telle que la projection
α (resp. β) soit un morphisme de Jacobi (resp. un antimorphisme de Jacobi).
En effet, la structure sur Γo définie par α ∗ { f1 , f2 } = {α ∗ f1 , α ∗ f2 } est de Poisson car E
est projeté sur le champ de vecteur nuls.
2. Soit (Γ, ω ) un groupoïde de Lie connexe muni d’une forme de contact ω telle
que φ ∗ω = −ω
La symplectifiée π : Γ̃ → Γ (au sens de II) est munie d’une structure de
groupoïde appelée ω -prolongement. En effet, la trivialisation τ :Γ × R+ → Γ̃ définie
par τ ( x, λ ) = λω ( x ) induit sur Γ̃ , la structure de groupoïde, produit de la structure de
groupoïde Γ par l’application identique de R ∗ . On a
(2)
α˜ ( x, λ ) = (α ( x ), λ )
β˜ ( x, λ ) = ( β ( x ), λ )
φ ∗ ( x, λ ) = ( x −1 , λ ) .
Le produit ( y, δ ) . ( x, λ ) est défini si et seulement si ( y, x ) est défini et δ = λ .
On a
( y, λ )( x, λ ) = ( y, x, λ ) .
Chaque feuille Γ × {λ } du feuilletage
f
w
sur Γ̃ , induit par la trivialisation est
munie d’une structure de groupoïde isomorphe à celle de Γ . Le feuilletage f w ainsi
9
que le α̃ − feuilletage et le β̃ - feuilletage sont invariants sous l’action de R ∗ . Ainsi la
structure de groupoïde sur Γ̃ est homogène.
On obtient le théorème suivant :
Théorème. Soit (Γ, ω ) un groupoïde de Lie connexe dont les α-fibres et β-fibres sont
connexes, muni d’une forme de contact ω telle que φ ∗ω = −ω .
La symplectifiée Γ˜ , Ω = d (λω ) munie de la structure de groupoïde ω-
(
)
prolongée est un groupoïde symplectique homogène si et seulement si (Γ, ω ) est un
groupoïde strictement de contact.
Preuve : supposons que Γ , de dimension 2n+1, soit strictement de contact. Le
β-feuilletage est localement engendré par les champs ω-hamiltoniens correspondant
aux intégrales premières fi du α -feuilletage (ou les constants). Comme E est tangent
au α-feuilletage, on a E. fi = 0 et les relèvements Χ̃ Fi , Ẽ des champs X fi , E (avec
Fi = λfi ) sont tangents au feuilletage f ω , d’après la formule(3) de II. Ces champs XF1 ,
Ẽ engendrent localement le β̃ -feuilletage. Comme Γ0 est une sous-variété de
Legendre, Γ̃o = π −1 (Γo ) est une sous variante lagrangienne de Γ̃ ; donc Γ̃ est
symplectique.
Inversement si Γ̃ admet une structure de groupoïde symplectique homogène, le
β̃ -feuilletage peut être engendré localement par des champs de vecteurs Χ̃ Fi (avec
fi = λfi ) qui se projettent sur des champs de vecteurs Χ̃ Fi ,E . Ceux-ci engendrent
localement le β -feuilletage. Comme les fi sont des intégrales premières du α feuilletage, le β-feuilletage est pseudo-orthogonal au α-feuilletage.
De la relation φ ∗ω = −ω , on peut déduire que dim Γo = n et Γo est une sous
variété de Legendre.
On vérifie que φ̃ ∗ (λω ) = − λω , d’où φ˜ * d (λω ) = − d (λω ) .
V – Groupoïdes de contact
1- Soit (Γ, ω ) un groupoïde de Lie connexe, dont les α -fibres et β-fibres sont
ω
connexes, muni d’une forme de contact telle que φ ∗ω = − , où c est une fonction à
c
1
+
2
valeurs dans R . Comme φ = idΓ , la fonction c vérifie la relation c( x −1 ) =
. En
c( x )
ω
particulier c(u) = 1 pour toute unité u On posera ω c = . Nous verrons que la
c
situation est plus compliquée que lorsque la fonction c est constante.
Supposons que la distribution B (tangente au β -feuilletage) soit pseudoorthogonale à la distribution A (tangente au α-feuilletage). On a
10
B = ξ ⊕ Λ#(Α°)
(1)
Le β -feuilletage est localement engendré par les champs ω -hamiltoniens
correspondant aux intégrales premières du α-feuilletage.
Comme le symétrie φ: x → x −1 échange le α-feuilletage et le β-feuilletage ainsi
que le ω-champ de Reeb E et le ω c -champ de Reeb E c = - Χ c (avec les notations de I),
on a :
A = ξ c ⊕ (Λc)#(Β°)
(2)
où ξ c est engendré par E c et Λ c est le bivecteur de Jacobi associé à la forme de
contact ω c .
2- Considérons la symplectifiée Γ̃ de Γ , munie des trivialisations τ et τ c de
Γ × R∗ sur Γ̃ , définies par
(3)
τ ( x, λ ) = λω ( x )
τ c (c, δ ) = δω c ( x ) =
δ
ω ( x ).
c( x )
On remarque que τ ( x, λ ) = τ c ( x, c( x )λ ) . À ces trivialisations, correspondent des
feuilletages f ω et f ω c de Γ̃ qui coïncident sur Γ0 × R+.
On va définir sur Γ̃ une structure de groupoïde telle que la projection
π : Γ̃ → Γ , soit un foncteur c’est-à-dire π Γ̃0 = Γ0 et π ( x˜ ⋅ y˜ ) = π ( y˜ )π ( x˜ ) toutes les fois
( )
que y˜. x˜ est défini. La variété des unités Γ̃o est l’image de Γ0 × R∗ par τ et τ c ,. On va,
de plus, imposer les conditions suivantes : chaque α̃ -fibre (resp. β̃ -fibre) sera contenue
dans une feuille de f (resp f c ) et le α̃ -feuilletage (resp. β̃ -feuilletage) sera
ω
localement engendré par les champs de vecteurs homogènes, relèvements des champs
de vecteurs ω c − hamiltoniens (resp.ω -hamiltoniens) engendrant localement le αfeuilletage (resp. le β-feuilletage).
Pour simplifier, on posera
( x, λ ) = τ ( x, λ ) ⋅ ( y, δ ) = τ ' ( y, δ ) .
On définit alors sur Γ̃ , les projections, α̃ , β̃ et le difféomorphisme φ: x → x −1
par
11
α˜ ( x, λ ) = (α ( x ), λ ) = λω (α ( x ))
φ˜ ( x, λ ) = x˜ −1 = λ
(4)
ω ( x −1 )
c( x −1 )
= c( x )λω ( x −1 ) = ( x −1 , c( x )λ )
˜ ˜ ( x, λ ) = ( β ( x ), c( x )λ )
β˜ ( x, λ ) = αφ
Le produit ( y, δ ) ⋅ ( x, λ ) est défini si et seulement si α˜ ( y˜ ) = β˜ ( x˜ ) C’est-à-dire
(5)
α ( y) = β ( x ) , δ = c( x )λ .
Alors
( y, c( x )λ ).( y.x, λ ) .
On vérifie les relations
(x
(6)
−1
, c( x )λ ) ⋅ ( x, λ ) = α˜ ( x, λ ) , ( x, λ ) ⋅ ( x −1 , c( x )λ ) = β˜ ( x, λ ) .
On doit imposer la condition
β˜ ( y˜ ) = β˜ ( y˜, x˜ )
(7)
qui entraîne l’associativité, cette condition est équivalente à :
c( y ⋅ x ) = c( y)c( x )
(8)
toutes les fois que y ⋅ x est défini.
Soit g1 ,..., gn des intégrales premières indépendantes du β -feuilletage dans un
ouvert V = β −1 (U ) où U est un ouvert de Γ0 . Les champs de vecteurs
( ) ( )
c
c
ω c − hamiltoniens Xg1 … Xgn , E c engendrent localement le α-feuilletage. D’après
(10)
et (11) du paragraphe I, ce sont les champs ω -hamiltoniens Xcg1 ,..., Xcgn , Xc .
D’après (3) du paragraphe II, ils se relèvent dans Γ̃ suivant des champs tangents au
feuilletage fω si et seulement s’ils sont des automorphismes infinitésimaux de ω,
c’est-à-dire si E.cg1 = 0,.., E.cgn = 0 . E.c = 0 . Cette dernière relation est suffisante car
E est tangent au β -feuilletage d’où E.gi = 0
On vérifie alors que, f1 , … fn étant des intégrales premières indépendantes du
α-feuilletage, les champs X f1 ,… X fn , E qui engendrent localement le β-feuilletage se
relèvent dans Γ̃ suivant des champs de vecteurs hamiltoniens X̃F1 ,…, X̃Fn , Ẽλ qui sont
tangents au
f ω -feuilletage.
c
La formule (9) du paragraphe I peut s’écrire
(9)
[cg, f ] = Xcg . f − f ( E.cg)
12
Par suite si f (resp. g) est une intégrale première du α-feuilletage (resp. du β feuilletage), alors
et Xcg , X f = 0
[cg, f ] = 0
[
]
Les fonctions f et cg se relèvent sur Γ̃ au moyen de la trivialisation τ en G =λcg,
F = λf ; d’où
{F, G} = λ[cg, f ] = 0
(10)
d’après la formule (4) du paragraphe II.
Le α̃ -feuilletage (resp β̃ -feuilletage) étant homogène, il peut être localement
engendré par des champs hamiltoniens correspondant à des fonctions homogènes ; par
suite la relation ( 1 0 ) entraîne que le α̃ -feuilletage et le β̃ -feuilletage sont
symplectiquement orthogonaux. Ils sont donc symplectiquement complets c’est-à-dire
le crochet de poisson Fi , Fj de tout couple d’intégrales premières du α̃ -feuilletage
{
}
est encore une intégrale première ; les fonctions F i et F j peuvent être supposées
homogènes d’après ce qui précède, donc si Fi = λfi , Fj = λf j , on a
{F , F } = λ [ f , f ];
i
j
i
j
Comme λ est aussi une intégrale première du α̃ -feuilletage, on en déduit que le
crochet de Jacobi [ fi , f j ] est une intégrale première du α -feuilletage, celui-ci est donc
ω-complet. Par suite il existe sur Γo une structure de Jacobi telle que la projection α
soit un morphisme de Jacobi. On démontre de même que la projection β est un
morphisme de Jacobi conforme pour cette structure de Jacobi sur Γo .
Le groupoïde Γ̃ est bien un groupoïde symplectique car Γ̃o = Π −1 (Γo ) est sous
variété lagrangienne de Γ̃ . D’autre part soit θ la forme induite sur Γ̃ par la forme de
ω
Liouville sur T *Γ ; on peut écrire θ = λω = cλ . Le difféomorphisme φ˜ *
c
échangeant λ et cλ, on obtient φ̃θ = −θ , d’où φ̃dθ = − dθ .
L’étude qui vient d’être faite conduit à la définition et aux théorèmes suivants :
Définition :
Un groupoïde de Lie connexe
α


→
Γ
Γ

β → 0
de base Γo dont les α -fibres et β -fibres sont connexes, muni d’une forme de contact
ω est appelé un groupoïde de contact s’il satisfait les conditions suivantes :
a) φ ∗ω = −
R
+
ω
où φ est la symétrie x → x −1 , et c une fonction à valeurs dans
c
telle que
13
E.c = 0 et c( y. x ) = c( y)c( x ) quand y. x est défini.
b) Le β -feuilletage est ω -pseudoorthogonal au α-feuilletage ou, ce qui est
ω
équivalent, le α-feuilletage est ω c -pseudoorthogonal au β-feuilletage (où ω c = ).
c
Théorème1. Soit (Γ, ω ) un groupoïde de Lie connexe, dont les α-fibres et les β-fibres
sont connexes, muni d’une forme de contact ω satisfaisant les conditions a) de la
définition.
˜ = d (λω ) de Γ , muni de la structure de ω -prolongement
Le symplectifié Γ˜ , Ω
(
)
défini par les formules (4) est un groupoïde symplectique homogène si et seulement si
(Γ, ω ) est un groupoïde de contact.
˜ est un groupoïde
On a démontré que si (Γ, ω ) est de contact, alors Γ˜ , Ω
( )
symplectique ; la réciproque se démontre comme dans le cas des groupoïde strictement
de contact
Théorème 2. Soit (Γ, ω ) un groupoïde de contact. Alors la variété des unités Γo est
une sous variété de Legendre de Γ . Cette sous variété est munie d’une structure de
Jacobi telle que la projection α :Γ → Γo est un morphisme de Jacobi et le projection
β :Γ → Γo un morphisme de Jacobi conforme.
Remarque 1. Soit (Γ, ω ) un groupoïde de contact, π la projection Γ̃ → Γ , π ° la
restriction de π à Γ̃o . On obtient la relation α ⋅ π = π 0 ⋅ α˜ et l’on en déduit que la
structure de Poisson sur Γ̃o induite par la projection α̃ est identique à la structure de
Poisson sur Γ̃o , considéré comme l’homogénéisé de Γo au sens de II.
Pour cela, on compare les crochets de Poisson sur Γ̃ et Γ̃o , et les crochets de
Jacobi sur Γ et Γo .
Remarque 2. Nous verrons dans l’exemple 4 qu’un groupoïde (Γ, ω ) tel que,
φ ∗ω = −ω , dont la base est une sous-variété de Legendre de Γ et qui admet un
˜ , muni d’une structure de groupoïde symplectique n’est pas
symplectifié Γ˜ , Ω
( )
nécessairement un groupoïde de contact. Ceci n’est pas contradictoire avec le
théorème 1, car dans le cas considéré ici, la structure de groupoïde de Γ̃ n’est pas le
ω-prolongement de celle de Γ .
3. La remarque 2 conduit au problème suivant : étant donné un groupoïde de
ω
contact (Γ, ω ) , peut-on trouver une fonction b à valeurs dans R+ telle que  Γ,  soit
 b
aussi un groupoïde de contact, avec la même structure de groupoïde ?
ω
Soit ω b = ; le β-feuilletage doit être ω b -pseudoorthogonal au α-feuilletage. Donc
b
b
tout champ ω b -hamiltonien X f = X fb (avec f intégrale première du α -feuilletage)
doit être tangent au β -feuilletage. Il en résulte que b doit être une intégrale première
du α -feuilletage. Cette condition réalisée, on vérifie que le α-feuilletage est ω cφ × b -
( )
14
pseudoorthogonal au β−feuilletage où φ , est la symétrie sur Γ définie par x → x −1 et
c est défini par
ω
φ ∗ω = − .
c
ω
Le groupoïde  Γ,  est donc bien un groupoïde de contact ; sur le symplectifié
 b
ω
Γ̃ (commun à (Γ, ω ) et  Γ,  ), la structure de ω b -prolongement coïncide avec la
 b
1
b
structure de ω-prolongement. De la relation [ f , g] = [bf , bg] , on déduit que le α b
b
feuilletage est aussi ω -complet ; donc la projection α sur Γo induit une structure de
Jacobi ( Λbo , Eob ) conforme à la structure de Jacobi ( Λ o , Eo ) définie par ω . Ces deux
structures de Jacobi ont la même distribution caractéristique c’est-à-dire la
˜ est
distribution engendrée par Eo et Λ#o (T ∗ ,Γo ) . La structure de Poisson Γ˜ o , Λ
o
(
)
l’homogénéisée de ces deux structures de Poisson conformes, ce qu’on peut déduire de
la remarque 1.
Dans le cas d’un groupoïde (Γ, ω ) strictement de contact, la structure de Jacobi
(Λ , Eob ) est conforme à la structure de Poisson (Λ o , Eo = 0) ; le rang de la distribution
caractéristique est pair dans ce cas.
b
o
On désigne par rang de la structure de Jacobi le rang de sa distribution
caractéristique.
4. De l’étude précédente, il résulte que le problème de l’intégration d’une
structure de Jacobi (Γo , Λ o , Eo ) c’est-à-dire la recherche de groupoïde de contact
Γ
α


→
←
β
Γ0 ,
tel que la projection α induise la structure de Jacobi donnée sur Γo , conduit à
l’intégration symplectique de l’homogénéisé Γ̃o de Γo .
C. Albert [A] a utilisé cette méthode pour montrer qu’étant donnée une structure
de Jacobi ( Λ, E ) sur une variété M, il existe une variété V munie d’une forme de
contact ω et une projection p: V → M telles que p soit un morphisme de Jacobi et M
une sous-variété de Legendre de V.
On sait que l’intégration symplectique d’une variété de Poisson n’est pas
toujours possible. Il a été démontré dans [C.D.W.] que l’intégration symplectique est
possible en se limitant à des “groupoïdes locaux”. L’intégration par des groupoïdes
conduit à des obstacles [D.H.].
15
En se restreignant à des problèmes locaux, nous avons montré dans [L4] qu’étant
donné un feuilletage sur une variété de contact ( M, ω ) qui est ω -complet et régulier
(ce qui est le cas pour les groupoïdes de contact), on obtient deux modèles au
voisinage de chaque point suivant la parité de la classe de la forme induite sur chaque
feuille par la formeω.
Soit
Γ
α


→
←
β
Γ0
un groupoïde de contact ; si Γo est muni d’une structure de Poisson ou d’une structure
de Jacobi dont la distribution caractéristique est de rang pair, la forme induite par ωsur les feuilles est de classe impaire (exemple 1,2,3). Dans le cas d’une distribution de
rang impair, la classe de la forme induite est paire (exemples 4 et 5).
Soit une variété Γo une structure de Jacobi (éventuellement de Poisson) régulière
(c’est-à-dire sa distribution caractéristique est de rang constant). Les résultats de
[D.L.M.] appliqués au cas régulier montrent que tout point x ∈Γo admet un voisinage
ouvert U tel qu’il existe un difféomorphisme conforme de Jacobi de U vers V × W , où
V est une variété symplectique et W est une variété de rang nul.
Si Γo est de rang impair, tout x ∈Γo admet un voisinage ouvert U tel qu’il existe
un difféomorphisme de Jacobi de U vers M × W , où M est une variété de contact et W
de rang nul.
Dans le premier cas, le groupoïde de contact intégrant V × W est le groupoïde
V × V × T ∗ M × R (exemple1). Dans le deuxième cas, le groupoïde de contact intégrant
M × W est M × M × T ∗W × R (exemple5). Si W est réduite à un point, on a
l’exemple 4.
VI - Sur les algébroïdes de Lie associés aux groupoïdes de contact
Pour tout groupoïde de Lie
Γ
α


→
Γ

β → 0
nous désignerons par Α α (Γ ) le fibré vectoriel, de base Γo , constitué des vecteurs
tangents aux α-fibres dont l’origine est un point de Γo . J. Pradines [P] a montré que
toute section U ⊂ Γo → Αα (Γ ) s’étend en un champ de vecteurs sur α −1 (U ) , invariant
par les translations à droite du groupoïde Γ , d’où une structure de faisceau d’algèbres
de Lie dans le faisceau des germes de sections locales de Α (Γ ) ; c’est à partir de cette
situation que J. Pradines a élargi la notion d’algébroïde de Lie. L’application Tβ :
Αα (Γ ) → TΓo qui induit un homomorphisme d’algèbres de Lie des sections de Αα (Γ )
16
vers les champs de vecteurs tangents à Γo est l’ancrage. Les éléments de Αα (Γ ) sont,
dans le cas du groupoïde de jauge d’un fibré principal, les “déplacements
infinitésimaux“ des fibres au sens de C. Ehresmann [E].
On peut, de la même manière, définir Αβ (Γ ) → Γo , dont les fibres sont les β fibres; toute section U ⊂ Γo → Αβ (Γ ) s’étend en un champ de vecteurs sur β −1 (U ) ,
invariant par les translations à gauche, d’où une structure d’algébroïde de Lie,
TΓ
d’ancrage Tα . Les identifications de Αα (Γ ) et de Αβ (Γ ) au fibré normal N (Γ ) =
TΓ0
définissent sur cet espace deux structures d’algébroïde de Lie qui sont opposées
[C.D.W.].
Dans le cas d’un groupoïde symplectique (Γ, Ω) , il a été démontré dans
[C.D.W.] que le champ Ω -hamiltonien Xα ∗ f (où f, est une fonction définie dans un
ouvert U de Γo ) est invariant à gauche et tangent aux β -fibres ; de même Xβ ∗ f est
invariant à droite et tangent aux α-fibres, puisque les α-fibrations et β-fibrations sont
symplectiquement orthogonales.
On en déduit que l’on peut prendre dans α −1 (U ) comme base du module des
champs invariants, les champs hamiltoniens Xα ∗ f ,..., Xα ∗ f ,où f1 ,.., fn , sont des fonctions
n
indépendantes sur Γo ; la structure d’algébroïde de Lie de Α β (Γ ) ,est définie par les
crochets [ Xα ∗ f , Xα ∗ f ]. Même propriété pour la structure d’algébroïde de Lie de Αα (Γ ) ,
i
j
au moyen des crochets [ Xβ ∗ f , Xβ ∗ f f ].
i
j j
La dualité symplectique associe à tout champ Xα × f la forme df ∈ T ∗Γo . On peut
en déduire une structure d’algébroïde de Lie sur T ∗Γo telle que le crochet
[df , dg] = d { f , g} .où { } est le crochet de Poisson de la structure de Poisson Λ o
α
induite par la projection Γ 

→ Γo , l’ancrage étant l’application Λ∗° : T*Γ0 → TΓ .
Mêmes propriétés si l’on considère les champs Xβ ∗ f et la structure de Poisson induite
β → Γo .
par la projection Γ 
Considérons maintenant un groupoïde de contact ( Γ, ω ), de champ de Reeb E,
de tenseur Λ. On remarque qu’à toute section s:U ⊂ Γo → Αβ (Γ ) est associée une
section ( f , η) de J 1 (Γo ,R)= T ∗Γo ×
R, où
f (u) = i(s(u))ω pour tout u ∈ U .
La forme η est définie de la manière suivante : Le fibré B tangent aux β-fibres
de Γ est d’après la formule (1) de IV la somme directe ξ ⊕ Λ∗ A0 ,# où A0 est
l’annulateur du fibré A tangent aux α-fibres. Dans α −1 (U ) , ce fibré Ao est localement
engendré par n formes indépendantes α ∗η1 ,..., α ∗ηk , où les ηi sont des formes
différentielles sur Γo . Pour des raisons de dimension ( A0 est de rang n et Λ ∗ ( A0 ) de
17
même rang si dim Γ = 2 n + 1) , Λ∗ est un isomorphisme. En tout point u de U ⊂ Γo , on
peut écrire
Α uβ = ξu ⊕ Λ#((Α αu )°)
où pour simplifier, on a noté Α β =Αβ (Γ ) et Αα=Αα (Γ ) . À cette décomposition
correspond une décomposition s(u) = f (u) Eu + υ ; la forme η ∈ Tu∗Γo ,est la forme
(Λ#) −1υ .
De cet isomorphismeϕ, de J 1 (Γo ,R) sur Αβ, on déduit une structure d’algébroïde
de Lie sur J 1 (Γo , R) et l’on retrouve un résultat dû à Kerbrat et Souici Benhammadi
[ K .S] , L’ancrage de, J 1 (Γo ,R) est l’application Tα o ϕ .
Parmi les sections de J 1 (Γo ,R) il y a les sections holonomes J 1 f : u → Ju1 f , ou
encore ( f , df ) . À chacune de ses sections, correspond sur α −1 (U ) un champ de
vecteurs ω -hamiltoniens Xα * f (α * f ) E + Λ∗ ( dα * f ) . D’après la formule (7 ) de I, le
crochet de deux tels champs est encore un champ ω-hamiltonien. On en déduit que le
crochet de deux sections holonomes J 1 f et J 1g est une section holonome
J 1 f , J 1g : J 1[ f , g]Γ0 où [ ]0 est le crochet de Jacobi de f et g, induit par le morphisme
de Jacobi α :Γ → Γ0 .
[
]
Remarquons qu’à la section ( f , η ) de J 1 (Γo , ,R) sont associées les sections
( f , df ) et ( o, η − df ) ; les sections de ce dernier type ne forment pas une algèbre de
Lie car le crochet de deux champs appartenant à Λ0 ( A0 ) , n’est pas nécessairement un
champ appartenant à Λ#(A0), cette distribution n’étant pas complètement intégrable.
Ces propriétés peuvent être déduites des formules suivantes (dûes à C. Marle
[M2] et inspirées de celles de [K.S.]).
L’ancrage Tα o ϕ = a : J 1 (Γ0 , Ρ) est l’application
posant a1 = a( f1 , η1 ) , a2 = a( f2 , η2 )
section ( f , η) avec
( f , η) → Λ# η +
on obtient pour le crochet
fE .
En
[( f ,η ), ( f ,η )]la
1
1
2
2
f =-Λ (γ 1 , γ 2 ) + i( a1 )df2 − i( a2 )df1
η = −d Λ (η1 , η2 ) +l ( a1 )η2 On peut encore écrire :
l (a )η + (i( E )η )(η
2
1
2
1
− df1 ) − (i( E )η1 )(η2 − df2 )
η = df + i (Λ# γ 1 ) dη − i (Λ# η2 )dη1
−(i( E )η1 )(η2 − df2 ) + (i( E )η2 )(η1 − df1 ) + i( E )( f1dη2 − f2 dη1 ).
Si η1 = df1 et η2 = df2 , on retrouve bien η = df .
18
Il est à noter que la variété J 1 (Γo , R) = TΓ0 x R étant munie de la forme de
contact η = dt − θ Γ0 (où θ Γ0 est la forme de Liouville sur T *Γ0 ; pour toute
section s = ( f , η) de J 1 (Γo , ,R) la forme s*η est égale à df − η .
Si l’on remplace A β (Γ ) par A α (Γ ) , les sections de A α (Γ ) s’étendent en
ω
champs ω c − hamiltoniens Xcβ * f , où la fonction c est définie par φ ∗ω = − ,. On
c
ω
coïncident.
rappelle que les restrictions à Γo des formes ω et
c
Remarque : On peut retrouver les résultats précédents en considérant le symplectifié
˜ de (Γ, ω ) .
Γ˜ , Ω
( )
()
Il résulte de la remarque 1 du paragraphe V 2, qu’on peut identifier A β Γ̃ au
produit fibré
Γ̃0 x A β (Γ )
π 0 xp
où π 0 , est le restriction à Γ̃o = Γo × R+ de π : Γ̃ → Γ et p la projection A β (Γ ) → Γ0 .
Pour démontrer le théorème plus général de [K.S.] suivant lequel pour toute
variété de Jacobi (M, Λ, E) le fibré J 1 ( M , R) est muni d’une structure d’algébroïde de
Lie, C. Marle considère l’homogénéisé ( p, Λp) de (M , Λ , E) avec P = M × R∗
1
∂
et Λp = (Λ+ λ ΛE); il montre, en associant à toute section ( f , η) de J 1 ( M , R), la
∂λ
λ
forme ρ = λη + fdλ , qu’il y a correspondance biunivoque entre sections de J 1 ( M , R)
et 1-formes homogènes sur P. Remarquons qu’à la section holonome j1 f ,correspond
la forme exacte d (λf ) . Dans le cas du groupoïde symplectique homogène Γ̃ , les 1formes homogènes sur Γ̃o sont transformées par la dualité symplectique en champ Ω̃ hamiltoniens homogènes ; comme il y a correspondance biunivoque, entre de tels
champs et les champs ω -hamiltoniens Xα × f sur Γ, on retrouve l’isomorphisme
de Α β (Γ ) , sur J 1 (Γo , R).
VII - Exemples de groupoïdes de contact
1-Les considérations du paragraphe V nous conduisent à distinguer les exemples
pour lesquels la structure du premier groupe de Jacobi de la base Γo est de rang pair
(groupoïdes strictement de contact et structures conformes) de ceux pour lesquels Γo
est de rang impair.
Dans le premier groupe, l’exemple 1 est “élémentaire“, les exemples 2 et 3 sont
liés à la préquantification et à la Mécanique.
2- Exemples de groupoïdes strictement de contact et structures conformes
19
Exemple 1:
soit

a→
γ
γ0

b→
un groupoïde symplectique muni d’une forme exacte Ω = dθ .
Considérons la variété Γ = γ × R munie de la forme de contact s’écrivent
(avec les conventions de l’introduction) ω = dt − θ .
On définit sur Γ , une structure de groupoïde, produit de la structure de
groupoïde, produit de la structure de groupoïde de δ par la structure de groupe additif
de R . Ainsi
α ( x, t ) = ( a( x ), 0)
β ( x, t ) = (b( x ), 0)
( x1, t1 ).( x2 , t2 ) = ( x1.x2 , t1 + t2 )
si x1 ⋅ x2 , est défini.
On vérifie qu’on a un groupoïde Γ strictement de contact, sa base Γ0 = γ ° x {0}
est munie de la structure de Poisson de γ 0 .
Le symplectifié de Γ est le groupoïde Γ̃ = γ x R×R, dont les applications α̃ et
β̃ sont définie par
α˜ ( x, t, s) = ( a( x ), 0, s)
β˜ ( x, t, s) = (b( x ), 0, s)
Cas particuliers
Soit W une variété quelconque ; on désigne par θ w la forme de
*
Liouville de T W , soit ( M , dϕ ) une variété symplectique exacte.
- Le groupoïde Γ = T*W x R= J 1 (W , R) muni de la forme ω = dt − θ w est un
groupoïde strictement de contact dont la base est la variété W munie d’une structure de
Jacobi de rang nul.
- Le groupoïde Γ = M × M × R muni de la forme ω qui peut s’écrire (avec la
convention de l’introduction).
ω = dt − (ϕ1 − ϕ 2 )
est un groupoïde strictement de contact dont la base est diagonal ∆ M du produit
M × M c’est-à-dire une variété symplectique.
- Le groupoïde Γ = M × M × R x T*W muni de la forme ω = dt − (ϕ1 − ϕ 2 ) + θ w est
un groupoïde strictement de contact dont la base ∆ M ×W est munie d’une structure de
Poisson.
20
Exemple 2 : Groupoïde de jauge d’une préquantification
Une préquantification d’une variété symplectique ( M,Ω) est un S1 − fibré
principal π : P → M possédant une forme de connexion ω dont le courbure est la
forme - Ω ; cette forme de connexion est une forme de contact.
Il a été démontré par A.Weinstein [W2] que le groupoïde de jauge ΓP , de P
(quotient de P × P par l’action diagonale de S1 ) est muni d’une forme de contact η,
qui en fait une préquantification de M × M , la variété des unités de ΓP , étant une sous
variété de Legendre.
En utilisant le fait que le fibré horizontale h=kerη est le “pull-back”
p * T( M x M ) où p = (α , β ) est la projection ΓP → ( M × M ) ; on a démontré dans [L5]
que est un groupoïde strictement de contact.
La structure de contact sur le groupoïde ΓP avait été démontrée dans [L2] pour la
fibration princiaple S2 n +1 → Pn (C ) de la sphère S2 n +1 sur l’espace projectif Pn (C). On
utilisait le plongement de S2 n +1 × S2 n +1 dans S4 n + 3 . En particulier pour la fibration de
Hopf :S3 → S2 , le groupoïde est difféomorphe à S3 × S2 .
Exemple 3 La variété Γ = J 1 (R n × R) = T ∗ Rn × R= Rn × Rn* × R est munie
d’une première structure de groupoïde strictement de contact au moyen de la forme,
n
ω = dt − ∑ pi dy i
1
(voir exemple 1).
On peut mettre en évidence une deuxième structure de groupoïde de contact.
L’involution de Legendre (dans la terminologie de [L.M.] est l’application
Ψ:
Rn × Rn+ × R→Rn* × Rn × R
définie par
Ψ(v, ξ , t ) = (ξ , v, −t + < ξ , v >);
en posant
τ (v, ξ, t ) = t −
1
< ξ , v >,
2
on exprime Ψ par
Ψ(v, ξ , τ ) = (ξ , v, −τ )
la forme ω peut s’écrire
21
ω = dτ −
1 n
∑ ( pi dyi − yi dpi ) ;
2 1
Ψ * ω = −ω .
on en déduit que
Considérons une fonction L sur R n telle que l’application l: R n→
Rn* définie
par l = dL, soit un difféomorphisme (donc une transformation de Legendre). En
combinant Ψ et l, on obtient un difféomorphisme
φ:
Rn × Rn* × R→Rn × Rn* × R
tel que
φ (v, ξ, t ) = (v' , ξ' , t' )
avec v' = l-1 (ξ ) , ξ ' =l (v)
τ (v' , ξ' , t' ) = −τ (v, ξ, t )
ou
t' = −t +
1
1
ξ, v +
2
2
l (v) ,l-1 (ξ )
.
On définit sur Γ une structure de groupoïde telle sur le difféomorphisme φ soit
la symétrie : u → u −1 . Alors la variété des unités Γo est l’ensemble.
Γo = {(v, ξ , t ) ∈ Rn × Rn* × R; ξ =
l (v), t = 1 < l (v), v > }
2
Si L est homogène de degré 2, alors
1
< l (v), v >= L(v)
2
et
Γo = {v, dL(v), L(v)}, v ∈ Rn ;
Γo est l’image de Rn, par la section j1 L de J 1 (Rn,
variété de Legendre de J 1 (R ,R). On définit sur
suivantes :
n
β (v, ξ, t ) = (v, l (v), L(v)
)
R) ; d’après [L.M], c’est une sousJ (Rn, R) les lois de composition
1
et α = β o φ .
Le produit (ν 2 , ξ2 , τ 2 ) ⋅ (ν1 , ξ1 , τ 1 ) est défini si et seulement si
ξ2 =
l (v )
1
alors
22
τ [(v2 , ξ2 , t2 ).(v1 , ξ1 , t1 )] = τ (v2 , ξ2 , t2 ) + τ (v1 , ξ1 , t1 ) .
Les α-fibres (resp. les β-fibres) sont difféomorphes à Rn × R (resp. Rn* × R) ; elles
[
]
[
]
contiennent le champ de Reeb. Comme yi , y j = 0 et pi , p j = 0 , les deux feuilletages
sont pseudo-orthogonaux.
φ * ω = −ω .
On vérifie que
On a donc un groupoïde de contact.
2. Exemples de groupoïdes de contact Γ induisant sur la base Γo une stucture de
Jacobi de rang impair.
Exemple 4. Soit ( M, ω ) une variété de contact. On peut montrer (cf. [L5]) que sur la
variété Γ = M1 × M2 × R (avec M1 = M2 = M ) la forme η = etω1 − e − tω 2 est une
forme de contact.
Comme dans l’exemple 1, on définit sur Γ une structure de groupoïde, produit
de la structure de groupoïde de M1 × M2 par le groupe additif de R.
Soit φ la symétrie x1 → x2 , x2 → x1 , t → −t . Cette symétrie vérifie la relation
φ ∗ω = −ω .
La variété des unités Γo s’identifiant à M est une sous-variété de Legendre de Γ .
Mais (Γ, η) n’est pas un groupoïde de contact; par exemple le α-feuilletage (dont les
intégrales premières sont les fonctions sur M2) n’est pas η-complet ; le crochet de deux
1
intégrales premières dépend de t. De plus, le champ de Reeb (e − t E1 − e t E2 )
2
n’appartient pas au α-feuilletage.
D’autre part, si l’on considère la forme
µ = e 2 tω 1 − ω 2 = e t η
ainsi qu’il a été fait par C.Albert [A], on obtient
φ ∗ µ = e −2 tω 2 − ω1 = −e −2 t µ .
On vérifie que (Γ, µ ) est un groupoïde de contact. Le symplectifié commun Γ̃ de
(Γ, η) et (Γ, µ ) s’identifie au produit M˜ × M˜ , où M̃ est la symplectifiée de ( M,ω ) .
Exemple 5 Soit ( M, ω ) une variété de contact et W une variété quelconque. On
considère Γ = M1 × M2 × R ×T ∗W (avec M1 = M2 = M ). On peut définir sur Γ une
première structure de groupoïde, produit de la structure naturelle de groupoïde de
M1 × M2 × R définie dans l’exemple 4 par la structure naturelle de groupoïde du fibré
vectoriel T ∗ M ; la sous –variété des unités Γo qui s’identifie à M × W est une sousvariété de Legendre de (Γ, ρ ) avec
23
ρ = e tω 1 − e − tω 2 + θ W ,
où θ W est la forme de Liouville sur T ∗W . On a φ * ρ = − ρ . Cependant (Γ, ρ ) n’est pas
un groupoïde de contact.
Pour obtenir un groupoïde de contact, il faut à la fois modifier la structure de
groupoïde et la forme de contact. La structure de groupoïde de Γ sera le produit de la
structure de groupoïde naturel de M × M par la structure de groupoïde suivante sur
R ×T ∗W ; le composé (t, u)(s, v) est défini si et seulement si u et v appartiennent à la
même fibre de q: T ∗W → W ; alors
(t, u)(s, v) = (t + s, e 2 su + v) .
L’ensemble des unités de R ×T ∗W est {0} × Ow (image de la section nulle de T ∗W ).
(
)
La symétrie φ w est définie par φ w (t, u) = −t, −e − u . Par suite si θ = etθ w , on a
2t
φ w∗θ = −e − tθ .
On vérifie alors que la forme
υ = e 2 tω1 − ω 2 + e tθ w
est une forme de contact sur Γ , telle que φ ∗ υ= −e −2 t υ, et définissant sur Γ une
structure de groupoïde de contact.
Cet exemple est inspiré, avec des notations différentes, de celui de KerbratSouici Benhammadi [K.S].
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