Corrigé DS n° 1 Exercice 1 15 points Partie A cf cours 2 points Partie

Corrigé DS n° 1
Exercice 1
15 points
Partie A
cf cours 2 points
Partie B
1.
a. 1 point Si n est impair, n 4 l’est aussi, donc n 4 + 1 est pair.
Si n est pair, n 4 l’est aussi, donc n 4 + 1 est impair.
b. 1 point Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
– Si n ≡ 0
mod 3, n 4 ≡ 0
mod 3, A(n) ≡ 1
mod 3.
– Si n ≡ 1
mod 3, n 4 ≡ 1
mod 3, A(n) ≡ 2
mod 3.
4
– Si n ≡ 2
mod 3, n ≡ 1
mod 3, A(n) ≡ 2
mod 3.
Donc, quel que soit l’entier n > 2, A(n) n’est pas un multiple de 3.
c. 1 point Soit d un diviseur de A(n) . Soit k un diviseur commun à n et d . Alors , k
divise A(n) et n et donc k divise A(n)−n ×n 3 = 1 . Donc k = 1 et on peut en déduire
que d et n sont premiers entre eux .
d. 1 point Soit d un diviseur de A(n). On a alors : n 4 + 1 ≡ 0
D’où : n 4 ≡ −1
mod d , et donc : n 8 ≡ 1
mod d .
Donc, pour tout entier d diviseur de A(n) :
n8 ≡ 1
2.
mod d .
mod d .
a. 2 points Soit k un entier tel que n k ≡ 1
mod d .
Effectuons la division euclidienne de k par s (l’existence de s est assurée d’après
1.d) :
Il existe un unique couple d’entiers (q, r ) tel que k = sq + r avec 0 6 r < s.
D’où : n k = (n s )q × n r . Or : n s ≡ 1
mod d . Donc : (n s )q ≡ 1
mod d .
k
r
Et comme n ≡ 1
mod d , il en résulte : n ≡ 1
mod d .
Or r < s et s est le plus petit entier naturel non nul ayant cette propriété. Donc
r = 0 et donc s divise k.
b. 1 point On a vu au 1.d que : n 8 ≡ 1
de k = 8.
mod d . Donc d’après a, s est un diviseur
c. 2 points D’après 1.c, l’entier d est premier avec n. Si, de plus, d est premier, alors
il découle du petit théorème de Fermat que :
n d −1 ≡ 1
mod d .
Comme d > 2 (car premier) alors k = d − 1 est un entier naturel non nul. D’où,
d’après a, s divise k, i.e. s divise d − 1.
On a donc montré que :
Si d est un diviseur premier de A(n), alors s est un diviseur de d − 1.
3. 2 points Recherche des diviseurs premiers de A(n) dans le cas où n est un entier pair.
Soit p un diviseur premier de A(n) et soit s le plus petit des entiers naturels non nuls k
tels que n k ≡ 1
mod d .
D’après 2.b s est un diviseur de 8, donc s ∈ {1, 2, 4, 8}.
Si s ∈ {1, 2, 4}, i.e. si s est un diviseur de 4, alors de : n s ≡ 1
n4 ≡ 1
mod p on déduit :
mod p.
D’où :
A(n) ≡ 2
mod p.
Or on a p > 2 , puisque n étant un entier pair alors A(n) est un entier impair.
Donc A(n) n’est pas un multiple de p, contrairement à l’hypothèse.
Donc s ne divise pas 4 : donc s = 8, et, d’après 2.c, 8 est un diviseur de p − 1, i.e.
p −1 ≡ 0
mod 8, et donc p ≡ 1
mod 8.
On a donc montré que, dans le cas où n est un entier pair :
Si p est un diviseur premier de A(n), alors p est congru à 1 modulo 8.
4. 2 points Recherche des diviseurs premiers de A(12).
A(12) = 20 737. En effectuant les divisions successives de 20 737 par les nombres de la
liste donnée, on constate que 20 737 = 89 × 233.
Or 233 premier . Donc les diviseurs premiers de A(12) sont 89 et 233.
Exercice 2
5 points
1. 2014 = 287 × 7 + 5 donc 2014 ≡ 5[7] . 52 ≡ 4[7] , 53 ≡ −1[7] donc 56k ≡ 1[7] et on a :
20142014 ≡ 5335×6+4 ≡ 2[7] : FAUX
2. 23 ≡ −1[9] donc FAUX
3. Si n = 1 , alors n 2 + 5n + 8 = 14 , n + 5 = 6 et le reste de 14 par 6 est 2 . FAUX
4. Réalisons un tableau de congruences modulo 7
a 0 1 2 3 4 5 6
VRAI
3a 0 3 6 2 5 1 4
5. On peut procéder modulo 2
n 0 1
VRAI
n2 0 1
2