Espace vectoriel, sous-espace vectoriel Un groupe commutatif (E,+)

Espace vectoriel, sous-espace vectoriel
Un groupe commutatif (E, +) est un espace vectoriel sur un corps
K, ou un K-espace vectoriel, si Kop`ere sur Epar une loi externe :
K×E→E
(λ, x)7→ λ.x
ob´eissant aux conditions :
(1.x =x , λ.(x+y) = λ.x +λ.y ,
(λ+µ).x =λ.x +µ.x , λ.(µ.x) = λµ.x ,
quels que soient les ´el´ements xet yde Eet λet µde K. Les ´el´ements
de Ksont appel´es scalaires et ceux de E,vecteurs. Le corps Kest
un espace vectoriel sur lui-mˆeme, et {0}est un espace vectoriel, dit
trivial, sur n’importe quel corps.
Un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel Esur un corps
Kest une partie non vide Fde E, qui est un sous-groupe du groupe
(E, +), stable pour la multiplication par les ´el´ements de K:
F6= Ø ,
x∈F , y ∈F⇒x−y∈F ,
λ∈K, x ∈F⇒λ.x ∈F .
L’espace vectoriel trivial {0}et Esont des sous-espaces vectoriels
de E.
Pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel, il suffit de
montrer, si cela est possible, que c’est un sous-espace vectoriel d’un
espace vectoriel connu, car il y a moins d’axiomes `a v´erifier.
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La multiplication externe a ´et´e not´ee d’un point pour la distinguer
de la multiplication entre ´el´ements du corps ; ceci ´etant compris, on
all`ege l’´ecriture en ´ecrivant si possible λx pour λ.x.
On d´efinit la somme de deux sous-espaces vectoriels F1et F2d’un
espace vectoriel E:
F1+F2={x∈E| ∃xi∈Ei:x=x1+x2}
qui est un sous-espace vectoriel de E. Cette loi est associative. La
somme est directe si la d´ecomposition en (xi) est unique, c’est-`a-dire
si F1∩F2={0}; on la note alors F1⊕F2.
Si F1⊕F2=E, les sous-espaces vectoriels sont dits suppl´ementaires.
Tout sous-espace vectoriel admet des suppl´ementaires.
On d´efinit ´egalement le produit de deux espaces vectoriels E1et
E2:
E1×E2={(x1, x2)|xi∈Ei}
qui, muni des op´erations :
(x1, x2)+(y1, y2) = (x1+x2, y1+y2),
λ.(x1, x2) = (λ.x1, λ.x2),
est un espace vectoriel. On peut d´efinir la somme ou le produit d’un
nombre quelconque de sous-espaces ou d’espaces vectoriels ; par exemple :
Kn=K×K· · · × K={(x1, x2, . . . , xn)|xi∈K},
qui joue un rˆole tr`es important.
L’intersection F1∩F2de deux sous-espaces vectoriels est un sous-
espace vectoriel. Leur r´eunion n’est un sous-espace vectoriel que si l’un
des sous-espaces est contenu dans l’autre.
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1 Combinaison lin´eaire, base, dimension
Une combinaison lin´eaire dans un espace vectoriel Eest une
somme finie Pλixi,λi∈K,xi∈E. L’ensemble des combinaisons
lin´eaires d’´el´ements x1, . . . , xn, . . . de l’espace vectoriel Eest un sous-
espace vectoriel not´e vect(xi) (on lit vectoriel (xi)) ; mˆeme si la
famille des xiest infinie, une combinaison lin´eaire porte toujours sur
un nombre fini d’´el´ements.
Une base de l’espace vectoriel Esur le corps Kest une famille, finie
ou non, d’´el´ements (ei) de Etelle que tout ´el´ement de Epeut s’´ecrire
de fa¸con unique comme combinaison lin´eaire des ei, c’est-`a-dire :
(∀x∈E , ∃λ1, . . . , λn∈K:x=Pn
i=1 λixi
Pµiei= 0 ⇐⇒ ∀i , µi= 0.
La premi`ere condition exprime que la famille est g´en´eratrice. La
seconde, ´equivalente `a l’unicit´e de la d´ecomposition de xsur les ei,
signifie que la famille (ei) est libre.
Supposons la famille g´en´eratrice mais non libre, li´ee par un nombre
fini de combinaisons lin´eaires : on a Pµiei= 0 o`u les µine sont
pas tous nuls ; chaque combinaison lin´eaire permet d’exprimer l’un des
eien fonction des autres et donc de l’´eliminer. Quand on les a toutes
utilis´ees, les eirestants forment une base. Dans l’autre sens, si la famille
est libre mais non g´en´eratrice, on peut la compl´eter en une base par
ajouts successifs de vecteurs libres.
Tout espace vectoriel Eadmet des bases. Ces bases ont toutes le
mˆeme cardinal qui est sa dimension, dim(E) .
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