Algorithmique algébrique MHT 631

Algorithmique algébrique
MHT 631
Jean-Paul Cerri
2008-2009

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Table des matières
1 Algèbre linéaire, préliminaires 5
1.1 Gerschgörin-Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Normes sur Mn,n(K)....................... 9
1.3 Suites de matrices, convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Exponentielle de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.3 Généralisation. Autres exemples . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.4 Application aux systèmes différentiels . . . . . . . . . . 22
2 Le pivot de Gauss 27
2.1 Rappels sur les matrices de permutations . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Exemples concrets, le principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Le théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Lecoût............................... 33
2.5 Mise en oeuvre effective et variantes . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Conditionnement 37
3.1 Définition ............................. 37
3.2 Erreurs relatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Méthodes itératives 43
4.1 Le lemme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 La méthode de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 La méthode de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4 Relaxation............................. 48
4.5 Programmation .......................... 48
4.5.1 Jacobi ........................... 49
4.5.2 Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5.3 Relaxation avec Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . 50
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4TABLE DES MATIÈRES
5 Calculs effectifs divers 51
5.1 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Valeurspropres .......................... 54
5.2.1 Méthode des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2.2 Méthode de la déflation . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2.3 Méthode QR ....................... 57
6 Espaces euclidiens 59
6.1 introduction............................ 59
6.2 Orthogonalisation de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7 Décompositions 67
7.1 Décomposition QR ........................ 67
7.2 Décomposition de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.3 La méthode QR .......................... 71
8 Méthodes de calcul 73
8.1 Cholesky pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.1.1 Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.1.2 Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.1.3 Variante.......................... 75
8.1.4 Méthode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.2 Moindrescarrés.......................... 77
8.3 La méthode de Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.3.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.3.2 Laméthode ........................ 81
9 Polynômes orthogonaux 85
9.1 Généralités ............................ 85
9.2 Un cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.3 Exemples ............................. 88
9.3.1 Polynômes de Tchebycheff . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.3.2 Polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.3.3 Polynômes de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10 Compléments 93
10.1 Extensions de certains résultats aux matrices “quelconques” . . 93
10.2 Décomposition en valeur singulière (SVD) . . . . . . . . . . . 93
10.3Pseudo-inverse........................... 93

Chapitre 1
Algèbre linéaire, préliminaires
Éléments supposés connus en algèbre linéaire
•Corps commutatif K: ici, sauf mention explicite, K=Rou C;
•K-espace vectoriel, sous-espace vectoriel, familles libres, familles géné-
ratrices, bases ;
•Kespace vectoriel de dimension finie n, sous-espaces, bases ;
•Déterminant d’une famille de vecteurs d’un K-espace vectoriel (suivant
une base), propriétés du déterminant ;
• L(E, F )où Eet Fsont deux K-ev, propriétés de L(E, F );
–L(E, F )est un K-ev ;
– Noyau Kerfet image Imfd’un élément fde L(E, F );
– Propriétés et lien avec surjectivité et injectivité de f;
– Théorème du rang en dimension finie ;
• L(E)où Eest un K-ev, propriétés de L(E);
–L(E)est une algèbre en général non commutative ;
– Éléments inversibles : GL(E);
– Cas de la dimension finie : lien avec image, noyau (une condition
suffit) ;
– Déterminant d’un élément de L(E)et lien avec l’inversibilité ;
– Valeur propre et vecteur propre d’un élément de L(E);
– Polynômes minimal et caractéristique d’un élément de L(E);
– Théorème de Cayley-Hamilton ;
– Critères de diagonalisabilité ;
•Matrices associées aux éléments de L(E, F )(si Eet Fsont de dimen-
sions finies et si une base de Eet une base de Fsont fixées) ;
•Notations Mp,q(K), et isomorphismes standards, opérations dans les
espaces de matrices ;
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