Matrices - Alexis Bonnecaze

Matrices et
d´ eterminants
Table des mati`eres
1 Matrice 2
2 Matrice carr´ee 3
3 D´eterminant d’une matrice carr´ee 4
4 Matrice de Vandermonde 5
5 Matrice associ´ee `a une ´epplication lin´eaire 5
6 Forme normale d’une matrice 7
1

1 Matrice
B´ezout (1730-1783) a introduit les d´eterminants, d´efinis ensuite
axiomatiquement par Kronecker (1823-1891) et Weierstrass (1815-1897).
Cayley (1821-1895) a introduit le calcul matriciel. Matrices et d´eterminants
ont ouvert la voie `a l’alg´ebre lin´eaire moderne.
Une matrice Mappartenant `a Mm,n(K) est un tableau d’´el´ements
de K(corps ou anneau) `a mlignes et ncolonnes ; le scalaire `a l’in-
tersection de la i-`eme ligne et de la j-`eme colonne est not´e mij et la
matrice elle-mˆeme est not´ee M= (mij).
On d´efinit la somme de deux matrices, (aij) et (bij), comme ´etant
la matrice (mij) avec mij =aij +bij , et le produit par un scalaire λ:
λ(mij)=(λ mij).
L’´el´ement neutre de cette op´eration est la matrice 0m,n dont tous les
termes sont nuls. L’oppos´ee de la matrice (mi,j) est la matrice (−mi,j).
Voici une matrice de M2,3(F3), A, et une matrice de M3,2(F3), B:
A=1 2 0
2 0 1 , B =
1 2
2 0
0 1
.
Elles ont six coordonn´ees et peuvent ˆetre assimil´ees `a des vecteurs
de F6
3, de sorte que M2,3(F3) et M3,2(F3) sont des espaces vectoriels de
dimension 6 sur F3. Plus g´en´eralement, Mm,n(K), si Kest un corps, est
un espace vectoriel de dimension mn ; si Kest un anneau, Mm,n(K) est
un module sur K.
Le produit des matrices se fait lignes par colonnes , et le
nombre de lignes de la seconde matrice doit ˆetre ´egal au nombre de
2

colonnes de la premi`ere. Effectuons par exemple le produit AB :
AB =1 2 0
2 0 1 
1 2
2 0
0 1
=1.1+2.2+0.0 1.2+2.0+0.1
2.1+0.2+1.0 2.2+0.0+1.1
=2 2
2 2 .
Ceci s’´ecrit en notation abstraite :
(aij)(bij)=(mij),avec mij =X
k
aik bkj .
La forme lin´eaire :
(xi)1≤i≤n7→ a1x1+· · · +anxn
est repr´esent´ee par la matrice `a une ligne (m1j), m1j=aj, et le vecteur
(xi) par la matrice `a une colonne (mi1), mi1=xi.
2 Matrice carr´ee
Si m=n, les matrices sont dites carr´ees ; on peut les multiplier
entre elles et leur ensemble, not´e Mn(K), muni de l’addition et de la
multiplication, est un anneau non commutatif et non int`egre.
L’´el´ement neutre pour la multiplication est la matrice (δij ), δij ´etant
le symbole de Kronecker, ´egal `a 1 si i=jet `a 0 sinon. Cette matrice,
dite identit´e, est not´ee In(en dimension n).
Si AB =Indans Mn(K), Aet Bsont inverses l’une de l’autre.
Une matrice de la forme mij =λiδij est dite diagonale, et scalaire
si les λisont ´egaux. Si mij =mji, c’est-`a-dire si les termes sym´etriques
3

par rapport `a la diagonale principale (mii), sont ´egaux, la matrice
est dite sym´etrique. Ainsi la matrice :
S=1 3
3 2 
est sym´etrique, et sa diagonale principale est (1,2).
3 D´eterminant d’une matrice carr´ee
Le produit :
a b
c d   d−b −c a = (ad −bc)1 0 0 1 = (ad −bc)I2
montre que l’inverse de la premi`ere matrice est la seconde divis´ee par
ad −bc. Ce terme est le d´eterminant de la premi`ere matrice. Celle-ci
est donc inversible ssi son d´eterminant n’est pas nul. Le d´eterminant
d’une matrice carr´ee A= (aij), que nous allons d´efinir dans Mn(K),
est not´e det Aou |aij|.
Supposons que nous savons calculer le d´eterminant des matrices de
Mn(K), et soit A= (aij)∈Mn+1(K). En supprimant la ime ligne et la
jme colonne de A, dont l’intersection est {aij }, on obtient une matrice
de Mn(K) dont le d´eterminant, not´e aij , est le mineur associ´e `a aij .
On a alors :
det A=
n+1
X
j=1
(−1)j1a1jaij .
Ainsi :
det 
1 2 3
4 5 6
7 8 9
= 1 
5 6
8 9 
−4
2 3
8 9 
+ 7 
2 3
5 6 
= 0.
4

Une permutation de lignes ou de colonnes change le signe du d´eterminant.
Cette m´ethode n´ecessite un trop grand nombre d’op´erations lorsque
nest grand (de l’ordre de n!) . Nous verrons un algorithme beaucoup
moins gourmand (polynomial).
4 Matrice de Vandermonde
Les matrices de Vandermonde sont utilis´ees dans diff´erentes branches
des math´ematiques ; donnons-en la d´efinition adapt´ee au domaine des
corps finis. Soit αun ´el´ement primitif de Fq, avec q= 2met n=q−1 ;
la matrice de Vandermonde V(x), pour x=αk, 1 ≤k≤n−1, est la
matrice de Mn(Fq) de terme g´en´eral vij =x(i−1)(j−1) :
V(x) = 
1 1 . . . 1
1x . . . xn−1
. . . . . . . . . . . .
1xn−1. . . x(n−1)2
.
Notons bien que xdoit ˆetre diff´erent de 0 et de 1.
L’inverse de V(x) est V(x−1).
5 Matrice associ´ee `a une ´epplication lin´eaire
Consid´erons des espaces vectoriels Eet Fde bases respectives
(e1, . . . , en) et (f1, . . . , fm) ; une matrice M= (mij) est dite associ´ee
`a une application lin´eaire u∈ L(E, F ) si sa j-`eme colonne est l’image
de ejexprim´ee dans la base (fk). On dit aussi que l’application lin´eaire
uest repr´esent´ee par la matrice M, que l’on peut noter M(u). Ainsi
la matrice Bci-dessus est associ´ee `a l’endomorphisme u∈ L(F2
3,F3 3)
5