Nombres Complexes

1
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1°) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes suivants :
0
z =1+i
;
1
z = 1+i 3
;
2
13
z = +i
22
;
3
62
z = i
22
;
2
3
z
T=z
;
23
P= z ×z
.
2°) Mettre sous forme algébrique chacun des nombres complexes suivants :
1
z = 2+i -1+i + 1+2i
;
3
2
z = 1+i 3
;
3
1-3i
z=3- i
.
3°) Mettre sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :
13
1
13
z = -i
22
;
2
z =1+i 3
;
9
32
3 +i 1- i
z= 1+ i
;
4
z =sinα+i 1+cosα ; α 0,π
.
4°) Soit  un nombre réel appartenant à l’intervalle] 0, [. Déterminer le module et un argument de
chacun des nombres complexes suivants :
iα
0
z =1-e
;
iα
1
z =1+e
;
0
1
z
Z=z
;
01
T = z ×z
.
Soient les nombres complexes
1
z =1- i
et
2
6 -i 2
z= 2
1°) Mettre sous forme trigonométrique z1 ; z2 ;
1
2
z
z
et
12
z ×z
2°) En déduire que
π 6 + 2
cos =
12 4
et
π 6 - 2
sin =
12 4
3°) On considère l’équation dans IR,
6 + 2 cosx + 6 - 2 sinx =2
Résoudre cette équation dans IR ; puis placer les points images des solutions sur le cercle
trigonométrique.
Nombres Complexes
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Série N°2
NIVEAU : 4ème MATHS
Exercice 1
Exercice 2

2
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Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
O,u,v
.
On considère les points A, B et C d’affixes respectives i, - i, et 1 – i.
Soit f l’application de P \ {A} dans P, qui à tout point M(z) associe le point M’(z’) tel que :
1- iz
z'= z - i
.
1°) a) Vérifier que pour tout z  i, on a :
z + i
z'= -i z - i
.
b) Déterminer l’ensemble E des points M(z) tels que z’ soit réel.
c) Déterminer l’ensemble F des points M(z) tels que z’ soit imaginaire pûr.
2°) a) Vérifier que pour tout z  i, on a : (z’ + i) (z – i) = 2.
b) Montrer que lorsque le point M varie sur le cercle de centre A et de rayon 1, le point M’ varie sur
un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
3°) Soit   ]-, [, on considère l’équation
iθ iθ
θ
E :z²- 2+e z+2+ 1- i e =0
.
a) Vérifier que 1 – i est une solution de
E
. En déduire l’autre solution.
b) Soit M un point d’affixe z = 1 + i +
i
e
. Montrer que
θ
z'+ i =1- itan 2
.
c) En déduire que
θ
CM'= -tan v
2
; puis trouver l’ensemble des points M’ lorsque  varie dans
]- , [.
I- On considère l’équation
θ
E :z²-2 i+cosθ z+2icosθ=0
; où  
π,π
2
.
1°) Résoudre dans , l’équation
E
.
2°) Donner le module et un argument de chacune des solutions de
E
.
II- Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
O,u,v
.
On désigne par A, M’ et M’’ les points d’affixes respectives i ;
iθ
i+e
et
-iθ
i+e
.
1°) Montrer que, pour tout réel  
π,π
2
, le triangle AM’M’’ est un triangle isocèle.
Exercice 3
Exercice 4

3
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2°) Déterminer la valeur de  pour que le triangle AM’M’’ soit équilatéral.
3°) Soit I le milieu du segment [M’M’’]. Déterminer et représenter l’ensemble des points I lorsque 
varie dans
π,π
2
.
I- On considère l’équation
-iθ iθ
θ
E :e z²-2z+2e =0
.
Résoudre, dans , l’équation
E
. Donner le module et un argument de chacune de ces solutions.
II- Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
O,u,v
.
On désigne par M1 et M2 les points d’affixes respectives
iθ
1
z = 1-i e
et
iθ
2
z = 1+i e
.
1°) Déterminer l’ensemble (C1) des points M1 lorsque  décrit [0, ].
2°) Montrer que
2
1
z=i
z
. En déduire que le triangle O M1M2 est isocèle et rectangle en O.
3°) a) Montrer que
12
π
u,M M θ+ 2π
2
.
b) Déterminer  pour que la droite (M1M2) soit parallèle à la droite d’équation : y = x.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
O,u,v
. Soit  
π
0, 2
.
I- 1°) a) Vérifier que :
2iθ 4iθ
1+2isin 2θ e =e
.
b) Résoudre dans , l’équation :
2 2iθ
2z -2z-isin 2θ e =0
.
2°) On donne les points I
iθ
cosθ e
et J
iθ
-isinθ e
.
Calculer IJ, en déduire que [IJ] est un diamètre d’un cercle fixe que l’on précisera.
II- Soit f l’application qui à tout point M d’affixe z  0 associe le point M  d’affixe z  tel que :
1
z'=1- z
.
1°) Déterminer l’affixe du point I  = f (I). En déduire l’ensemble des points I  lorsque  varie dans
π
0, 2
.
2°) Soit A le point d’affixe 1.
Exercice 6
Exercice 5

4
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a) Montrer que
'AM
et
OM
sont colinéaires.
b) Montrer que si M  A alors
, ' , 2OA OM AM OM
.
c) En déduire une résolution géométrique de l’équation
z1
=1 i
z
.
1°) Résoudre dans l’équation E : z²-
3z+1=0
, écrire les solutions sous forme exponentielle
2°) Soit un réel différent de
π +2kπ (k Z)
, montrer que
iα
1- z α
= e z = -itan
1+z 2
3°) Utiliser ce qui précède pour résoudre l’équation E’ :
44
1-z 1+z
+ = 3
1+z 1- z
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé R
,,O i j
On considère dans les équations : (E) :
3
z = 8i
et (E’) :
32
8z 12 3z +18z 3 3 8i =0  
1°) Résoudre dans l’équation (E). (Donner les solutions sous la forme exponentielle et sous forme
algébrique).
2°) Soit M(z) un point du plan et M’(Z) son image par l’homothétie h de centre I(
3
,0) et de rapport
1
2
.
a) Montrer que z =
2Z 3
.
b) Montrer que z est une solution de (E) si et seulement si Z est une solution de (E’).
c) Résoudre alors l’équation (E’).
d) Sans utiliser le résultat de la question 2)c), Montrer que les images des solutions de l’équation (E’)
forment un triangle équilatéral.
1°) Soit un réel
a) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation :
( ) : z² 2 (2 sin ) 0
ii
E e z i e
b) Déterminer les solutions de (E) pour
2
Exercice 7
Exercice 8
Exercice 9

5
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c) Soit l’équation (E’) :
32
2 2(1 2 ) 4(1 ) 0z z i z i     
, résoudre (E’) sachant qu’elle admet une
solution
0
z
telle que arg (
0)z
2
4
2°) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct
0, ,R i j
On considère les points M’ et
M’’d’affixes respectives z’ = 1+
i
e
et z
"1
i
e
pour
0, 2
a) Ecrire z’ et
"z
sous forme exponentielle
b) Montrer que le triangle OM’M’’ est rectangle en O.
c) Soit Sn =
0
"
'
k
n
k
z
iz
, calculer Sn en fonction de n et puis
lim n
nS
.
3°) Dans cette question
,
22
et on donne le point M d’affixe
i
e
.
a) Montrer que le produit scalaire :
'. ' 2cos² 3cos 1OM MM
.
b) Pour quelle valeur de le produit scalaire
'. 'OM MM
est-il maximal ?
1°) a) Résoudre dans ℂ l’équation :
22(6 ) 11 2 0z i z i    
b) En déduire les solutions de l’équation :
22(6 ) 11 2 0z i z i    
2°) Résoudre dans ℂ l’équation :
31z
(on donnera les solutions sous la forme algébrique).
3°) Soit a = - 11 – 2 i
a) Vérifier que
012zi
est une racine cubiques de a.
b) Résoudre alors l’équation
3
za
4°) En déduire de tout ce qui précède les solutions dans de l’équation :
63
2(6 ) 11 2 0z i z i    
.
Exercice 10