Nombres Complexes

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NIVEAU : 4ème MATHS
Série N°2
Exercice 1
1°) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes suivants :
z0 =1+ i ; z1 = 1+i 3 ; z2 =
1
3
6
2
z
i
+i
; z3 =
; T = 2 ; P = z2 ×z3 .
2
2
2
2
z3
2°) Mettre sous forme algébrique chacun des nombres complexes suivants :

z1 = 2+i -1+i  + 1+2i  ; z2 = 1+ i 3

3
; z3 =
1 -3i
.
3- i
3°) Mettre sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :
13
1
3
z1 =  - i
 2 2 


; z2 =1+i 3 ; z3

=
3+i
 1- i  ; z
9
4
1+ i 
2
= sinα +i 1+cosα  ; α 0,π .
4°) Soit  un nombre réel appartenant à l’intervalle] 0, [. Déterminer le module et un argument de
chacun des nombres complexes suivants :
z0 = 1 - eiα ; z1 = 1+ eiα ; Z =
z0
; T = z0 ×z1 .
z1
Exercice 2
Soient les nombres complexes z1 = 1- i et z2 =
6 -i 2
2
1°) Mettre sous forme trigonométrique z1 ; z2 ;
z1
et z1 ×z2
z2
2°) En déduire que cos
π
6+ 2
π
6- 2
=
et sin =
12
4
12
4
3°) On considère l’équation dans IR,


6 + 2 cosx +


6 - 2 sinx = 2
Résoudre cette équation dans IR ; puis placer les points images des solutions sur le cercle
trigonométrique.
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1
Exercice 3


Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O,u,v .
On considère les points A, B et C d’affixes respectives i, - i, et 1 – i.
Soit f l’application de P \ {A} dans P, qui à tout point M(z) associe le point M’(z’) tel que : z' =
1 - iz
.
z-i
 z+i 
1°) a) Vérifier que pour tout z  i, on a : z' = -i 
.
 z-i 
b) Déterminer l’ensemble E des points M(z) tels que z’ soit réel.
c) Déterminer l’ensemble F des points M(z) tels que z’ soit imaginaire pûr.
2°) a) Vérifier que pour tout z  i, on a : (z’ + i) (z – i) = 2.
b) Montrer que lorsque le point M varie sur le cercle de centre A et de rayon 1, le point M’ varie sur
un cercle dont on précisera le centre et le rayon.


3°) Soit   ]-, [, on considère l’équation  Eθ  : z²- 2+ eiθ z +2+ 1- i  eiθ = 0 .
a) Vérifier que 1 – i est une solution de  E  . En déduire l’autre solution.
θ
b) Soit M un point d’affixe z = 1 + i + ei . Montrer que z'+ i = 1- itan   .
2
θ
c) En déduire que CM' = -tan    v ; puis trouver l’ensemble des points M’ lorsque  varie dans
2
]- , [.
Exercice 4
π 
I- On considère l’équation  Eθ  :z²-2 i +cosθ z +2icosθ=0 ; où    , π  .
2 
1°) Résoudre dans , l’équation  E  .
2°) Donner le module et un argument de chacune des solutions de  E  .


II- Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O,u,v .
On désigne par A, M’ et M’’ les points d’affixes respectives i ; i + eiθ et i + e-iθ .
π 
1°) Montrer que, pour tout réel    , π  , le triangle AM’M’’ est un triangle isocèle.
2 
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2
2°) Déterminer la valeur de  pour que le triangle AM’M’’ soit équilatéral.
3°) Soit I le milieu du segment [M’M’’]. Déterminer et représenter l’ensemble des points I lorsque 
π 
varie dans  , π  .
2 
Exercice 5
I- On considère l’équation  Eθ  :e-iθz²-2z +2eiθ =0 .
Résoudre, dans
, l’équation  E  . Donner le module et un argument de chacune de ces solutions.


II- Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O,u,v .
On désigne par M1 et M2 les points d’affixes respectives z1 = 1- i  eiθ et z2 = 1+ i  eiθ .
1°) Déterminer l’ensemble (C1) des points M1 lorsque  décrit [0, ].
2°) Montrer que
z2
= i . En déduire que le triangle O M1M2 est isocèle et rectangle en O.
z1


3°) a) Montrer que u,M1M2  θ+
π
2π .
2
b) Déterminer  pour que la droite (M1M2) soit parallèle à la droite d’équation : y = x.
Exercice 6


 π
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O,u,v . Soit   0,  .
 2
I- 1°) a) Vérifier que : 1+2isin 2θ e2iθ = e 4iθ .
 
, l’équation : 2z2 -2z - isin 2θ e 2iθ =0 .
b) Résoudre dans




2°) On donne les points I cosθ e iθ et J -isinθ e iθ .
Calculer IJ, en déduire que [IJ] est un diamètre d’un cercle fixe que l’on précisera.
1
II- Soit f l’application qui à tout point M d’affixe z  0 associe le point M  d’affixe z  tel que : z'= 1- .
z
 π
1°) Déterminer l’affixe du point I  = f (I). En déduire l’ensemble des points I  lorsque  varie dans 0,  .
 2
2°) Soit A le point d’affixe 1.
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3
a) Montrer que AM ' et OM sont colinéaires.


 


b) Montrer que si M  A alors OA, OM '  AM , OM 2  .
c) En déduire une résolution géométrique de l’équation
z 1
=1 i .
z
Exercice 7
1°) Résoudre dans
l’équation E : z²- 3z +1= 0 , écrire les solutions sous forme exponentielle
2°) Soit  un réel différent de π + 2kπ (k  Z) , montrer que
1-z
α
= eiα  z = -itan
1+z
2
4
4
 1- z   1+ z 
3°) Utiliser ce qui précède pour résoudre l’équation E’ : 
 +
 = 3
 1+ z   1- z 
Exercice 8

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé R O , i , j

On considère dans
les équations : (E) : z3 = 8i et (E’) : 8z3  12 3z2 +18z  3 3  8i = 0
1°) Résoudre dans
algébrique).
l’équation (E). (Donner les solutions sous la forme exponentielle et sous forme
1
2°) Soit M(z) un point du plan et M’(Z) son image par l’homothétie h de centre I( 3 ,0) et de rapport .
2
a) Montrer que z = 2Z  3 .
b) Montrer que z est une solution de (E) si et seulement si Z est une solution de (E’).
c) Résoudre alors l’équation (E’).
d) Sans utiliser le résultat de la question 2)c), Montrer que les images des solutions de l’équation (E’)
forment un triangle équilatéral.
Exercice 9
1°) Soit  un réel
a) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes
l’équation :
(E ) : z²  2ei z  (2i sin )ei  0

b) Déterminer les solutions de (E) pour   
2
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4
c) Soit l’équation (E’) : z3  2z2  2(1  2i )z  4(1  i )  0 , résoudre (E’) sachant qu’elle admet une

solution z0 telle que arg ( z0 )  2 
4


2°) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct R 0, i , j On considère les points M’ et
 
M’’d’affixes respectives z’ = 1+ ei et z "  1  e i pour    0, 
 2
a) Ecrire z’ et z " sous forme exponentielle
b) Montrer que le triangle OM’M’’ est rectangle en O.
k
n
 z" 
c) Soit Sn =  i  , calculer Sn en fonction de n et  puis lim S n .
n
k 0  z ' 

  
3°) Dans cette question     ,  et on donne le point M d’affixe e  i .
 2 2
a) Montrer que le produit scalaire : OM ' . MM '  2cos²  3cos  1 .
b) Pour quelle valeur de  le produit scalaire OM ' . MM ' est-il maximal ?
Exercice 10
1°) a) Résoudre dans ℂ l’équation : z2  2(6  i )z  11  2i  0
b) En déduire les solutions de l’équation : z2  2(6  i )z  11  2i  0
2°) Résoudre dans ℂ l’équation : z3  1 (on donnera les solutions sous la forme algébrique).
3°) Soit a = - 11 – 2 i
a) Vérifier que z0  1  2i est une racine cubiques de a.
b) Résoudre alors l’équation z 3  a
4°) En déduire de tout ce qui précède les solutions dans
de l’équation : z6  2(6  i )z3  11  2i  0 .
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