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J´erˆome Dubois “Alg`ebre et Analyse ´el´ementaires”
donc (X−r)diviseP(X). #
4. Le th´eor`eme fondamental de l’Alg`ebre :
(a) Th´eor`eme de d’Alembert–Gauss :Dans C[X]tout polynˆome admet
au moins une racine ; on dit que Cest alg´ebriquement clos
Ce th´eor`eme fondamental et classique est admis.
Par exemple : X2+1=(X−i)(X+i).
(b) Remarque : Dans R[X]cen’estpluslecas,parexempleX2+1 n’a pas de
racine dans R;parcontre(d’apr`esleth´eor`emedesvaleursinterm´ediaires)
tout polynˆome de R[X]dedegr´eimpairposs`edeaumoinsuneracine.
5. Th´eor`eme : Un polynˆome de degr´e d"0aauplusdracines dans K.
D´emonstration. — Le r´esultat ´etant ´evident si d=0,onsupposedanslasuite
que d>0etqu’ilestvraijusqu’aurangd−1. Soit P(X)∈K[X]unpolynˆome
de degr´e d.SiP(X)n’apasderacine,iln’yarienad´emontrer;sinonP(X)
poss`ede une racine r∈Ket il existe donc (voir Prop. 3 §3.4) Q(X)∈K[X]de
degr´e d−1telqueP(X)=(X−r)Q(X). On a donc Z(P)={r}∪Z(Q). Par
l’hypoth`ese de r´ecurrence "Z(Q)!d−1, il s’en suit donc que P(X)poss`edeau
plus 1 + (d−1) = dracines. #
6. Cons´equence : On d´eduit du th´eor`eme pr´ec´edent que le seul polynˆome P(X)
de degr´e inf´erieur ou ´egal `a d"0admettantaumoinsd+1 racines distinctes
est le polynˆome nul.
7. Racine multiple.
(a) D´efinition : Soient P(X)∈K[X], r∈Ket m∈N∗.Onditquerest
racine d’ordre mde P(X)si(X−r)mdivise P(X)et(X−r)m+1 ne divise
pas P(X).
(b) Observation : La d´efinition pr´ec´edente peut se reformuler ainsi : rest
racine d’ordre mde P(X)si,etseulementsi,ilexisteunpolynˆomeQ(X)
tel que :
P(X)=(X−r)m·Q(X)avecQ(r)"=0.
(c) Proposition : Soit P(X)∈K[X]un polynˆome non nul, alors r∈Kest
racine d’ordre mde P(X)si, et seulement si,
(i)P(i)(r)=0pour 0!i!m−1et (ii)P(m)(r)"=0.
Ici P(i)(X)d´esigne la i-`eme d´eriv´ee de P(X).
D´emonstration. — C’est une cons´equence simple de la formule de Taylor
polynomiale. #
8. Cas des racines rationnelles.
(a) Observation : Tout polynˆome `a coefficients dans Qet de degr´e 1 poss`ede
exactement une racine rationnelle.
(b) Proposition : Soit P(X)=anXn+···+a1X+a0Z[X]un polynˆome `a
coefficients entiers. Si le nombre rationnel (´ecrit sous forme irr´eductible)
p/q est racine de P(X)alors qdivise anet pdivise a0.
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