Fiche d`exercices 13 : Intervalle de fluctuation et
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Fiche d’exercices 13 : Intervalle de fluctuation et estimation Intervalle de fluctuation et estimation Exercice 3 Exercice 1 Dans une classe de première S, il y a 9 garçons et 28 filles. On se demande toutefois si lorsque l’on choisit 37 élèves au hasard dans une population constituée d’une moitié de garçons et d’une moitié de filles, cette distribution est rare. 1. Quelle est la fréquence des garçons dans la classe de première S ? 2. Réaliser une simulation du choix de 37 élèves avec la fonction random de la calculatrice et calculer la fréquence des garçons. 3. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique de proportion de garçons au seuil de 95%. Conclure. En réalité à l’administration du lycée on peut obtenir l’information suivante : « il y a 524 élèves en première S, dont 195 garçons et 329 filles » 4. Déterminer le nouvel intervalle de fluctuation asymptotique de 95% concernant la proportion des garçons pour un échantillon de 37 élèves. Conclure. Dans cet exercice, on donne une proportion p d’un caractère donné dans une population et la taille n d’un échantillon extrait de cette population. Dire dans chaque cas si les conditions de validité d’utilisation d’un intervalle de fluctuation asymptotique sont remplies ; lorsque cela est possible, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique : 1. n = 30 et p = 0,2 au seuil de 68% 2. n = 200 et p =0,01 au seuil de 95% 3. n = 50 et p = 0,95 au seuil de 99% 4. n = 10000 et p = 10-3 au seuil de 99% Exercice 4 Dans le monde, la proportion de gauchers est de 12%. Dans un club de tennis, il y a 42 gauchers parmi les 206 licenciés. 1. Déterminer la fréquence de gauchers dans ce club. 2. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% 3. Peut-on dire que ce club est « représentatif » de la proportion de gauchers dans le monde ? Exercice 2 Monsieur Z, chef d’un gouvernement, affirme que 52% des électeurs lui font confiance. On interroge 100 électeurs au hasard (la population est suffisamment grande pour considérer qu’il s’agit de tirages avec remise) et on souhaite savoir à partir de quelles fréquences, au seuil de 95%, on peut mettre en doute le pourcentage annoncé par Monsieur Z. 1. On fait l’hypothèse que Monsieur Z dit vrai et que la P(X≤k) k proportion des électeurs qui lui font confiance dans 40 0,0106 la population est 0,52. Montrer que la variable 41 0,0177 aléatoire X correspondant au nombre d’électeurs lui 42 0,0286 faisant confiance sur un échantillon de 100 électeurs, 43 0,0444 suit la loi binomiale de paramètres n=100 et p =0,52. … … 2. On donne ci-contre un extrait de la table des 61 0,9719 probabilités cumulées P(X≤k) où X suit la loi 62 0,9827 binomiale de paramètres n=100 et p=0,52. 63 0,9897 (a) Déterminer a et b tels que : 64 0,9941 - a est le plus petit entier tel que P(X≤a) > 0,025 - b est le plus petit entier tel que P(X≤b) > 0,975 (b) Déterminer l’intervalle de fluctuation Exercice 5 1. Compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 99,7%. Variables : p, A et B sont des nombres réels n est un nombre entier Initialisation : Lire p, Lire n Traitement : Si n ≥ 0 et np ≥ 5 et n(1-p) ≥ 5 Alors a b n ; n et comparer avec l’intervalle 1 1 ; p+ p − . n n (c) En utilisant le théorème de Moivre-Laplace, construire un intervalle au seuil asymptotique de 95%. Conclure. Affecter à A la valeur p − ... p(1 − p ) n Affecter à B la valeur p + ... p(1 − p ) n Afficher l’intervalle [A ; B] Sinon Afficher « On ne peut pas calculer l’intervalle de fluctuation » 2. Que va afficher cet algorithme si l’utilisateur utilise les valeurs n=40 et p=0,898 ? 1/3 Fiche d’exercices 13 : Intervalle de fluctuation et estimation PHYSIQUE ET MATHS – Soutien scolaire et universitaire - http://www.physique-et-maths.fr Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2015/2016 - [email protected] - 06-01-98-97-87 3. Une usine fabrique des ampoules et on teste la durée de vie de ces ampoules. (a) Quelle doit être la taille minimale de l’échantillon pour que l’on puisse utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de 95% ? (b) Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de 68% pour un échantillon de 1000 ampoules en arrondissant les bornes à 10-4 près. (c) Dans la population de cette entreprise, on a relevé 870 ampoules en état de marche après 900 heures sur les 1000 ampoules testées. Le fabricant affirme que sa production est dans la norme habituelle constatée dans le commerce. A-t-il raison ? (d) Cette entreprise modernise sa chaîne de production et sur un lot de 10 000 ampoules, on a 9 200 ampoules avec une durée de vie supérieure à 900 heures. Le fabricant peut-il, au seuil de 95%, faire la publicité affirmant que la proportion d’ampoules dont la durée de vie est supérieure à 900 heures est supérieure à la moyenne constatée dans le commerce ? (a) L’institut de sondage déclare que le candidat A sera élu avec un niveau de confiance de 95% En utilisant un intervalle de confiance au niveau 0.95, expliquer pour l’institut se trompe. (b) Déterminer la taille minimale de l’échantillon pour que l’institut de sondage ait raison. Exercice 7 (devoir surveillé) On interroge un échantillon de 1000 personnes choisies de façon aléatoire dans la population française. Sur ces 1000 personnes, 490 sont des femmes, 312 ont moins de 25 ans. 1. (a) D’après l’INSEE, la proportion de femmes dans la population française est de 51,6%. En utilisant un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, déterminer si l’échantillon est conforme à la répartition hommes - femmes dans la population française. (b) D’après l’INSEE, la proportion de jeunes de moins de 25 ans dans la population française est de 30,8%. En utilisant un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, déterminer si l’échantillon est conforme à la proportion de jeunes de moins de 25 ans dans la population française. 2. On interroge les personnes de cet échantillon au sujet d’une émission de télévision. 258 personnes se disent intéressées par cette émission. (a) Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95% pour la proportion des personnes intéressées par cette émission dans la population. (b) Comment doit-on augmenter la taille de l’échantillon, pour que l’amplitude de l’intervalle de confiance soit divisé par 2 ? (justifier) Exercice 6 (devoir surveillé) Un institut de sondage désire choisir un échantillon « représentatif » pour interroger les français sur leur intention de vote au second tour d’une élection présidentielle. L’échantillon est choisi parmi la population active, l’institut choisit comme critères de représentativité le secteur d’activité des personnes interrogées. On sait que parmi la population active, 10,5% des français sont des demandeurs d’emploi, 20,9% travaillent dans le secteur public et 21,6% travaillent dans l’agriculture, l’industrie ou la construction. 1. L’institut établi un premier échantillon constitué de 1000 personnes, parmi celles-ci 90 sont des demandeurs d’emploi, 220 travaillent dans le secteur public et 170 dans l’agriculture, l’industrie ou la construction. (a) Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la variable aléatoire « proportion de demandeurs d’emploi » dans un échantillon aléatoire de taille 1000 sélectionné au sein de la population active. (b) Calculer la proportion de demandeurs d’emploi dans l’échantillon et vérifier si cette valeur appartient à l’intervalle de fluctuation. (c) Procéder de manière identique pour le secteur public, puis pour les personnes travaillant dans l’agriculture, l’industrie ou la construction. (d) Peut-on faire l’hypothèse que cet échantillon est représentatif de la population française selon les critères choisis par cet institut de sondage ? (e) En supposant que l’échantillon est constitué des mêmes proportions, quelle devrait être sa taille maximale pour qu’il soit considéré par cet institut de sondage comme représentatif au seuil de 95% ? 2. On suppose que l’échantillon choisi est de taille n = 200 et 54% des personnes interrogées déclarent qu’ils voteront pour le candidat A. On considère que le candidat est élu, s’il obtient 50% des votes. Exercice 8 1. Question de cours Pré-requis : - théorème de Moivre - Laplace - si Z suit la loi normale centrée réduite, alors p (− 1,96 ≤ Z ≤ 1,96 ) = 0,95 (a) Soit Xn une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p. On définit la variable aléatoire Yn par : Yn = X n − np npq Déterminer la limite quand n tend vers +∞ de p (− 1,96 ≤ Yn ≤ 1,96 ) n(1 − p ) n(1 − p ) Xn ∈ I n où I n = p − ; p+ n n n (b) En déduire la limite de p 2. Application : La population d’un pays contient 90% de personnes qui savent lire. (a) Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique, au niveau de 95%, de la fréquence des personnes sachant lire dans un échantillon de taille n de cette population, prélevé au hasard et avec remise. (b) Pourquoi doit-on supposer que n est supérieur ou égal à 50 ? (c) Déterminer la plus petite valeur de n telle que cet intervalle contienne 0,89. 2/3 Fiche d’exercices 13 : Intervalle de fluctuation et estimation PHYSIQUE ET MATHS – Soutien scolaire et universitaire - http://www.physique-et-maths.fr Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2015/2016 - [email protected] - 06-01-98-97-87 Problèmes de synthèse Exercice 9 1. Loi normale Une entreprise découpe une grande quantité de tubes pour le montage des remontées mécaniques. La longueur des tubes est exprimée en millimètres. Un tube est dit « conforme pour la longueur » lorsque celle-ci appartient à l’intervalle [245 ; 255]. On désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque tube pris au hasard dans la production d’une journée, associe sa longueur. (a) Après un réglage de la machine, on admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne 250 et d’écart type 3. Calculer la probabilité qu’un tube pris au hasard dans la production de cette journée soit conforme pour la longueur. (b) Le résultat obtenu à la question 1. (a) n’est pas satisfaisant. On décide de modifier l’écart type à l’aide d’un nouveau réglage de la machine. Dans cette question, la variable aléatoire Y suit une loi normale de moyenne 250 et d’écart type σ. (b) Enoncer une règle de décision permettant d’utiliser ce test. (c) On prélève un échantillon aléatoire de 500 tubes dans ce lot et on observe que, pour tout échantillon, la longueur moyenne des tubes est µ = 250,49. Peut-on au seuil de 5%, conclure que le lot est conforme ? Exercice 10 2. Loi binomiale Dans un lot de tubes, 3% ne sont pas conformes pour la longueur. On prélève au hasard 500 tubes de ce lot. Le lot est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 500 lots. On considère la variable aléatoire Z qui à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de tubes qui ne sont pas conformes pour la longueur. (a) Justifier que la variable aléatoire Z suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. (b) Calculer la probabilité P(Z=0). (c) Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement au moins un tube ne soit pas conforme pour la longueur. (d) En appliquant le théorème de Moivre-Laplace et en justifiant les hypothèses utilisées, calculer la probabilité suivante : P(25 ≤ Z ≤ 80 ) 3. Test d’hypothèse On se propose de construire un test d’hypothèse pour vérifier la moyenne µ inconnue des longueurs, exprimées en millimètres, d’un lot important de tubes destinés au montage des remontées mécaniques. On désigne L la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 500 tubes prélevées au hasard, associe la moyenne des longueurs de ces tubes (le lot est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise). Soit l’hypothèse H0 : on considère le lot conforme Soit l’hypothèse H1 : on considère le lot non conforme Le seuil de signification de ce test est fixé à 5%. (a) Sous l’hypothèse H0, on admet que la variable aléatoire L suit la loi normale de moyenne 250 et d’écart type 0,33. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la variable L. (Baccalauréat Antilles-Guyane 19 Juin 2014) PARTIE A Un ostréiculteur élève deux espèces d’huîtres : « la plate » et « la japonaise ». Chaque année, les huîtres plates représentent 15% de sa production. Les huîtres plates représentent 15% de sa production. Les huîtres sont dites de calibre n°3 lorsque leur masse est comprise entre 66g et 85g. Seulement 10% des huîtres plates sont de calibre n°3, alors que 80% des huîtres japonaises le sont. 1. Le service sanitaire prélève une huître au hasard dans la production de l’ostréiculteur. On suppose que toutes les huîtres ont la même chance d’être choisies. On considère les événements suivants : - J : « l’huître prélevée est une huître japonaise » - C : « l’huître prélevée est de calibre n°3 » (a) Construire un arbre de probabilité pondéré complet traduisant la situation. (b) Calculer la probabilité que l’huître prélevée soit une huître plate de calibre n°3. (c) Justifier que la probabilité d’obtenir une huître de calibre n°3 est 0,695. (d) Le service sanitaire a prélevé une huître de calibre n°3. Quelle est la probabilité que ce soit une huître plate ? 2. La masse d’une huître peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale de moyenne µ = 90 et d’écart-type σ = 2. (a) Donner la probabilité que l’huître prélevée dans la production de l’ostréiculteur ait une masse comprise entre 87g et 89g. (b) Donner P( X ≥ 91) . PARTIE B Cet ostréiculteur affirme que 60% de ses huîtres ont une masse supérieure à 91g. Un restaurateur souhaiterait lui acheter une grande quantité d’huîtres mais il voudrait, auparavant, vérifier l’affirmation de l’ostréiculteur. Le restaurateur achète auprès de cet ostréiculteur 10 douzaines d’huîtres qu’on considèrera importante pour qu’on l’assimile à un tirage avec remise. Il constate que 65 de ces huîtres ont une masse supérieure à 91g. 1. Soit F la variable aléatoire qui à tout échantillon de 120 huîtres associe la fréquence de celles-ci qui ont une masse supérieure à 91g. Après en avoir vérifié les conditions d’application, donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la variable aléatoire F. 2. Que peut penser le restaurateur de l’affirmation de l’ostréiculteur ? 3/3 Fiche d’exercices 13 : Intervalle de fluctuation et estimation PHYSIQUE ET MATHS – Soutien scolaire et universitaire - http://www.physique-et-maths.fr Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2015/2016 - [email protected] - 06-01-98-97-87
