Fiche d`exercices 13 : Intervalle de fluctuation et

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Fiche d’exercices 13 : Intervalle de fluctuation et estimation Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2015/2016
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Fiche d’exercices 13 : Intervalle de fluctuation et estimation
Intervalle de fluctuation et estimation
Exercice 1
Dans une classe de première S, il y a 9 garçons et 28 filles.
On se demande toutefois si lorsque l’on choisit 37 élèves au hasard dans une population
constituée d’une moitié de garçons et d’une moitié de filles, cette distribution est rare.
1. Quelle est la fréquence des garçons dans la classe de première S ?
2. Réaliser une simulation du choix de 37 élèves avec la fonction random de la calculatrice et
calculer la fréquence des garçons.
3. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique de proportion de garçons au seuil de
95%. Conclure.
En réalité à l’administration du lycée on peut obtenir l’information suivante :
« il y a 524 élèves en première S, dont 195 garçons et 329 filles »
4. Déterminer le nouvel intervalle de fluctuation asymptotique de 95% concernant la
proportion des garçons pour un échantillon de 37 élèves. Conclure.
Exercice 2
Monsieur Z, chef d’un gouvernement, affirme que 52% des électeurs lui font confiance. On
interroge 100 électeurs au hasard (la population est suffisamment grande pour considérer
qu’il s’agit de tirages avec remise) et on souhaite savoir à partir de quelles fréquences, au
seuil de 95%, on peut mettre en doute le pourcentage annoncé par Monsieur Z.
1. On fait l’hypothèse que Monsieur Z dit vrai et que la
proportion des électeurs qui lui font confiance dans
la population est 0,52. Montrer que la variable
aléatoire X correspondant au nombre d’électeurs lui
faisant confiance sur un échantillon de 100 électeurs,
suit la loi binomiale de paramètres n=100 et p =0,52.
2. On donne ci-contre un extrait de la table des
probabilités cumulées P(X ≤ k) où X suit la loi
binomiale de paramètres n=100 et p=0,52.
(a) Déterminer a et b tels que :
- a est le plus petit entier tel que P(X ≤ a) > 0,025
- b est le plus petit entier tel que P(X ≤ b) > 0,975
k
P(X
≤
k)
40 0,0106
41 0,0177
42 0,0286
43 0,0444
… …
61 0,9719
62 0,9827
63 0,9897
64 0,9941
(b) Déterminer l’intervalle de fluctuation
n
b
n
a;
et comparer avec l’intervalle
+− n
p
n
p1 ;
1
.
(c) En utilisant le théorème de Moivre-Laplace, construire un intervalle au seuil
asymptotique de 95%. Conclure.
Exercice 3
Dans cet exercice, on donne une proportion p d’un caractère donné dans une population
et la taille n d’un échantillon extrait de cette population. Dire dans chaque cas si les
conditions de validité d’utilisation d’un intervalle de fluctuation asymptotique sont
remplies ; lorsque cela est possible, déterminer un intervalle de fluctuation
asymptotique :
1. n = 30 et p = 0,2 au seuil de 68%
2. n = 200 et p =0,01 au seuil de 95%
3. n = 50 et p = 0,95 au seuil de 99%
4. n = 10000 et p = 10
-3
au seuil de 99%
Exercice 4
Dans le monde, la proportion de gauchers est de 12%.
Dans un club de tennis, il y a 42 gauchers parmi les 206 licenciés.
1. Déterminer la fréquence de gauchers dans ce club.
2. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%
3. Peut-on dire que ce club est « représentatif » de la proportion de gauchers dans le
monde ?
Exercice 5
1. Compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche l’intervalle de fluctuation
asymptotique au seuil de 99,7%.
Variables : p, A et B sont des nombres réels
n est un nombre entier
Initialisation : Lire p, Lire n
Traitement : Si n ≥ 0 et np ≥ 5 et n(1-p) ≥ 5
Alors
Affecter à A la valeur
(
)
npp
p− −1 ...
Affecter à B la valeur
(
)
npp
p− +1 ...
Afficher l’intervalle [A ; B]
Sinon
Afficher « On ne peut pas calculer
l’intervalle de fluctuation »
2. Que va afficher cet algorithme si l’utilisateur utilise les valeurs n=40 et p=0,898 ?

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3. Une usine fabrique des ampoules et on teste la durée de vie de ces ampoules.
(a) Quelle doit être la taille minimale de l’échantillon pour que l’on puisse utiliser
l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de 95% ?
(b) Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de 68%
pour un échantillon de 1000 ampoules en arrondissant les bornes à 10
-4
près.
(c) Dans la population de cette entreprise, on a relevé 870 ampoules en état de marche
après 900 heures sur les 1000 ampoules testées. Le fabricant affirme que sa
production est dans la norme habituelle constatée dans le commerce. A-t-il
raison ?
(d) Cette entreprise modernise sa chaîne de production et sur un lot de 10 000
ampoules, on a 9 200 ampoules avec une durée de vie supérieure à 900 heures.
Le fabricant peut-il, au seuil de 95%, faire la publicité affirmant que la proportion
d’ampoules dont la durée de vie est supérieure à 900 heures est supérieure à la
moyenne constatée dans le commerce ?
Exercice 6 (devoir surveillé)
Un institut de sondage désire choisir un échantillon « représentatif » pour interroger les
français sur leur intention de vote au second tour d’une élection présidentielle.
L’échantillon est choisi parmi la population active, l’institut choisit comme critères de
représentativité le secteur d’activité des personnes interrogées.
On sait que parmi la population active, 10,5% des français sont des demandeurs d’emploi,
20,9% travaillent dans le secteur public et 21,6% travaillent dans l’agriculture, l’industrie
ou la construction.
1. L’institut établi un premier échantillon constitué de 1000 personnes, parmi celles-ci 90
sont des demandeurs d’emploi, 220 travaillent dans le secteur public et 170 dans
l’agriculture, l’industrie ou la construction.
(a) Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la variable
aléatoire « proportion de demandeurs d’emploi » dans un échantillon aléatoire de
taille 1000 sélectionné au sein de la population active.
(b) Calculer la proportion de demandeurs d’emploi dans l’échantillon et vérifier si
cette valeur appartient à l’intervalle de fluctuation.
(c) Procéder de manière identique pour le secteur public, puis pour les personnes
travaillant dans l’agriculture, l’industrie ou la construction.
(d) Peut-on faire l’hypothèse que cet échantillon est représentatif de la population
française selon les critères choisis par cet institut de sondage ?
(e) En supposant que l’échantillon est constitué des mêmes proportions, quelle devrait
être sa taille maximale pour qu’il soit considéré par cet institut de sondage comme
représentatif au seuil de 95% ?
2. On suppose que l’échantillon choisi est de taille n = 200 et 54% des personnes
interrogées déclarent qu’ils voteront pour le candidat A. On considère que le candidat
est élu, s’il obtient 50% des votes.
(a) L’institut de sondage déclare que le candidat A sera élu avec un niveau de
confiance de 95% En utilisant un intervalle de confiance au niveau 0.95, expliquer
pour l’institut se trompe.
(b) Déterminer la taille minimale de l’échantillon pour que l’institut de sondage ait
raison.
Exercice 7 (devoir surveillé)
On interroge un échantillon de 1000 personnes choisies de façon aléatoire dans la
population française. Sur ces 1000 personnes, 490 sont des femmes, 312 ont moins de 25
ans.
1. (a) D’après l’INSEE, la proportion de femmes dans la population française est de
51,6%. En utilisant un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%,
déterminer si l’échantillon est conforme à la répartition hommes - femmes dans la
population française.
(b) D’après l’INSEE, la proportion de jeunes de moins de 25 ans dans la population
française est de 30,8%. En utilisant un intervalle de fluctuation asymptotique au
seuil de 95%, déterminer si l’échantillon est conforme à la proportion de jeunes
de moins de 25 ans dans la population française.
2. On interroge les personnes de cet échantillon au sujet d’une émission de télévision.
258 personnes se disent intéressées par cette émission.
(a) Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95% pour la proportion des
personnes intéressées par cette émission dans la population.
(b) Comment doit-on augmenter la taille de l’échantillon, pour que l’amplitude de
l’intervalle de confiance soit divisé par 2 ? (justifier)
Exercice 8
1. Question de cours
Pré-requis :
- théorème de Moivre - Laplace
- si Z suit la loi normale centrée réduite, alors
(
)
95,096,196,1 =≤≤− Zp
(a) Soit X
n
une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p.
On définit la variable aléatoire Y
n
par :
npq
npX
Y
n
n
−
=
Déterminer la limite quand n tend vers +∞ de
(
)
96,196,1 ≤≤−
n
Yp
(b) En déduire la limite de
∈
n
n
I
n
X
p où
( ) ( )
−
+
−
−= n
pn
p
n
pn
pI
n
1
;
1
2. Application : La population d’un pays contient 90% de personnes qui savent lire.
(a) Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique, au niveau de 95%, de la
fréquence des personnes sachant lire dans un échantillon de taille n de cette
population, prélevé au hasard et avec remise.
(b) Pourquoi doit-on supposer que n est supérieur ou égal à 50 ?
(c) Déterminer la plus petite valeur de n telle que cet intervalle contienne 0,89.

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Problèmes de synthèse
Exercice 9
1. Loi normale
Une entreprise découpe une grande quantité de tubes pour le montage des remontées
mécaniques. La longueur des tubes est exprimée en millimètres. Un tube est dit
« conforme pour la longueur » lorsque celle-ci appartient à l’intervalle [245 ; 255].
On désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque tube pris au hasard dans la
production d’une journée, associe sa longueur.
(a) Après un réglage de la machine, on admet que la variable aléatoire Y suit la loi
normale de moyenne 250 et d’écart type 3. Calculer la probabilité qu’un tube pris au
hasard dans la production de cette journée soit conforme pour la longueur.
(b) Le résultat obtenu à la question 1. (a) n’est pas satisfaisant. On décide de modifier
l’écart type à l’aide d’un nouveau réglage de la machine. Dans cette question, la
variable aléatoire Y suit une loi normale de moyenne 250 et d’écart type σ .
2. Loi binomiale
Dans un lot de tubes, 3% ne sont pas conformes pour la longueur. On prélève au hasard
500 tubes de ce lot. Le lot est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce
prélèvement à un tirage avec remise de 500 lots.
On considère la variable aléatoire Z qui à tout prélèvement ainsi défini, associe le
nombre de tubes qui ne sont pas conformes pour la longueur.
(a) Justifier que la variable aléatoire Z suit une loi binomiale dont on précisera les
paramètres.
(b) Calculer la probabilité P(Z=0).
(c) Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement au moins un tube ne soit pas
conforme pour la longueur.
(d) En appliquant le théorème de Moivre-Laplace et en justifiant les hypothèses
utilisées, calculer la probabilité suivante :
(
)
8025 ≤≤ ZP
3. Test d’hypothèse
On se propose de construire un test d’hypothèse pour vérifier la moyenne µ inconnue
des longueurs, exprimées en millimètres, d’un lot important de tubes destinés au
montage des remontées mécaniques.
On désigne L la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 500 tubes
prélevées au hasard, associe la moyenne des longueurs de ces tubes (le lot est
suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages
avec remise).
Soit l’hypothèse H
0
: on considère le lot conforme
Soit l’hypothèse H
1
: on considère le lot non conforme
Le seuil de signification de ce test est fixé à 5%.
(a) Sous l’hypothèse H
0
, on admet que la variable aléatoire L suit la loi normale de
moyenne 250 et d’écart type 0,33.
Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la variable L.
(b) Enoncer une règle de décision permettant d’utiliser ce test.
(c) On prélève un échantillon aléatoire de 500 tubes dans ce lot et on observe que,
pour tout échantillon, la longueur moyenne des tubes est µ = 250,49.
Peut-on au seuil de 5%, conclure que le lot est conforme ?
Exercice 10 (Baccalauréat Antilles-Guyane 19 Juin 2014)
PARTIE A
Un ostréiculteur élève deux espèces d’huîtres : « la plate » et « la japonaise ». Chaque
année, les huîtres plates représentent 15% de sa production.
Les huîtres plates représentent 15% de sa production.
Les huîtres sont dites de calibre n°3 lorsque leur masse est comprise entre 66g et 85g.
Seulement 10% des huîtres plates sont de calibre n°3, alors que 80% des huîtres
japonaises le sont.
1. Le service sanitaire prélève une huître au hasard dans la production de
l’ostréiculteur. On suppose que toutes les huîtres ont la même chance d’être choisies.
On considère les événements suivants :
- J : « l’huître prélevée est une huître japonaise »
- C : « l’huître prélevée est de calibre n°3 »
(a) Construire un arbre de probabilité pondéré complet traduisant la situation.
(b) Calculer la probabilité que l’huître prélevée soit une huître plate de calibre n°3.
(c) Justifier que la probabilité d’obtenir une huître de calibre n°3 est 0,695.
(d) Le service sanitaire a prélevé une huître de calibre n°3. Quelle est la probabilité
que ce soit une huître plate ?
2. La masse d’une huître peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi
normale de moyenne µ = 90 et d’écart-type σ = 2.
(a) Donner la probabilité que l’huître prélevée dans la production de l’ostréiculteur
ait une masse comprise entre 87g et 89g.
(b) Donner
(
)
91≥XP .
PARTIE B
Cet ostréiculteur affirme que 60% de ses huîtres ont une masse supérieure à 91g. Un
restaurateur souhaiterait lui acheter une grande quantité d’huîtres mais il voudrait,
auparavant, vérifier l’affirmation de l’ostréiculteur.
Le restaurateur achète auprès de cet ostréiculteur 10 douzaines d’huîtres qu’on
considèrera importante pour qu’on l’assimile à un tirage avec remise.
Il constate que 65 de ces huîtres ont une masse supérieure à 91g.
1. Soit F la variable aléatoire qui à tout échantillon de 120 huîtres associe la fréquence de
celles-ci qui ont une masse supérieure à 91g.
Après en avoir vérifié les conditions d’application, donner un intervalle de
fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la variable aléatoire F.
2. Que peut penser le restaurateur de l’affirmation de l’ostréiculteur ?