Espaces vectoriels notes de cours Licence Sciences et

Espaces vectoriels
notes de cours Licence Sciences et Technologies, L1, M’2
H. Le Ferrand, [e-mail]
February 26, 2007
Contents
1 Espaces vectoriels 2
1.1 D´efinition ................................................. 2
1.2 Exemples ................................................. 2
1.2.1 Kn................................................. 2
1.2.2 F(IR) ............................................... 2
1.2.3 IRIN ................................................ 2
1.3 Propri´et´es................................................. 3
2 Sous-espaces vectoriels. D´ependance lin´eaire. 3
2.1 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 D´efinition............................................. 3
2.1.2 Combinaisons lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.3 Notion de sous-espace engendr´e par une famille finie de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 D´ependance lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Le concept de base et de dimension 4
3.1 Le r´esultat fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Base .................................................... 5
3.3 Equivalence-ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3.1 Unexemple............................................ 5
3.3.2 La notion fondamentale de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3.3 Retour `a l’exemple du d´ebut de cette section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3.4 Op´erations ´el´ementaires-lignes sur une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Espace vectoriel de dimension finie 7
4.1 Th´eor`eme et d´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Somme de sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2.1 Un premier r´esultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2.2 Somme de deux sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5 Syst`emes lin´eaires 9
5.1 G´en´eralit´es ................................................ 9
5.2 Rang.................................................... 9
5.3 Syst`emes homog`enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.3.1 Dimension de l’ensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.3.2 Rang de la transpos´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
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1 Espaces vectoriels
1.1 D´efinition
Un ensemble V6=∅est appel´e espace vectoriel sur K(K=IR ou lC ) s’il est muni de deux op´erations,
V×V→V, (u, v)7→ u+v, et K×V→V, (λ, u)7→ λu
v´erifiant les axiomes (u,vet wsont dans V,αet βdans K):
V(1) u+ (v+w) = (u+v) + w,u+v=v+u
V(2) il existe un vecteur 0 (le vecteur nul) tel que ∀u∈V u + 0 = u
V(3) pour tout u∈Vil existe un vecteur −utel que u+ (−u) = 0
V(4) α(u+v) = αu +αv
V(5) (α+β)u=αu +βu
V(6) (αβ)u=α(βu)
V(7) 1.u =u
Les ´el´ements de Vsont appel´es vecteurs.
Remarque 1.1 Les diff´erentes propri´et´es de + font de (V, +) un groupe commutatif.
1.2 Exemples
1.2.1 Kn
Par d´efinition
Kn={(α1, . . . , αn), / αi∈K, i = 1 . . . n}
On a (α1, . . . , αn) = (β1, . . . , βn) si et seulement si αi=βipour tout i. Les op´erations sont :
(α1, . . . , αn)+(β1, . . . , βn) = (α1+β1, . . . , αn+βn) (1)
λ(α1, . . . , αn) = (λα1, . . . , λαn).(2)
Alors, Knest un K-espace vectoriel.
Remarque 1.2 Dans le cas n= 1, lC est un lC -espace vectoriel, c’est aussi un IR-espace vectoriel.
1.2.2 F(IR)
Soit F(IR) l’ensemble des applications de IR dans IR muni des op´erations :
f+g:x7→ (f+g)(x) = f(x) + g(x) (3)
αf :x7→ (αf)(x) = αf (x) (α∈IR).(4)
F(IR) est un IR-espace vectoriel.
1.2.3 IRIN
L’ensemble des suites r´eelles IRIN muni des op´erations
(un)+(vn) = (un+vn) (5)
λ(un) = (λun).(6)
est un IR-espace vectoriel.
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1.3 Propri´et´es
Soit Vun K-espace vectoriel, on a les propri´et´es suivantes :
(i) si u+v=u+walors v=w.
(ii) l’´equation u+x=va une unique solution, not´ee v−u. On a v−u=v+ (−u).
(iii) −(−u) = u
(iv) 0.u = 0
(v) −(αu) = (−αu) = α(−u) (α∈K,u∈V).
(vi) (−α)(−u) = αu
(vii) si αu =αv avec α6= 0 alors u=v.
Remarque 1.3 Si αu = 0, α∈K,u∈V, alors α= 0 ou u= 0.
Remarque 1.4 Si les aisont dans V,a1+· · · +an=Pn
i=1 ai,ona:
n
X
i=1
ai+
n
X
i=1
bi=
n
X
i=1
(ai+bi) (7)
n
X
i=1
λi!a=
n
X
i=1
λia(8)
n
X
i=1
λiai+
n
X
i=1
µiai=
n
X
i=1
(λi+µi)ai(9)
2 Sous-espaces vectoriels. D´ependance lin´eaire.
2.1 Sous-espaces vectoriels
2.1.1 D´efinition
Un sous-espace S⊂Vo`u Vest un K-espace-vectoriel, est un ensemble non vide tel que :
(s1) si aet bsont dans S,a+b∈S;
(s2) si a∈Set λ∈K,λa ∈S.
On dit que Sest un sous-espace vectoriel de V.
Remarque 2.1 “(s1) et (s2)” ´equivaut `a :
∀(a, b)∈S×S, ∀(λ, µ)∈K×K, λa +µb ∈S.
Remarque 2.2 Il est clair (!) que Sest un K- espace vectoriel. Un sous-espace est tout simplement un espace
vectoriel contenu dans un espace vectoriel ambiant (pour les mˆemes op´erations !)
Exemple 2.3 Soit Sl’ensemble des solutions de
x+ 2y−3z+t= 0
x+y+z+t= 0 (10)
Sest sous-espace vectoriel de IR4.
Exemple 2.4 L’ensemble des solutions de y00 +m2y= 0 est un sous-espace vectoriel de F(IR).
Exemple 2.5 des sous-espaces de F(IR) : C(IR), C1(IR), C∞(IR), les fonctions polynomiales.
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2.1.2 Combinaisons lin´eaires
D´efinition 2.6 Soit {a1, . . . , am}une famille de vecteurs de V. Un vecteur a∈Vest dit combinaison
lin´eaire des vecteurs a1, . . . , am, s’il existe λ1, . . . , λm∈Ktels que a=Pm
i=1 λiai.
On a la propri´et´e imm´ediate :
Proposition 2.7 Soit Sun sous-espace de V, toute combinaison lin´eaire (finie) de vecteurs de Sest encore
dans S.
2.1.3 Notion de sous-espace engendr´e par une famille finie de vecteurs.
{a1, . . . , am}une famille de vecteurs de V(m≥1). L’ensemble de toutes les combinaisons lin´eaires des vecteurs
a1, . . . , amforment un sous-espace vectoriel S=S(a1, . . . , am).
Remarque 2.8 S(a1, . . . , am) est le plus petit sous-espace vectoriel de Vcontenant {a1, . . . , am}. On dit que
S(a1, . . . , am) est le sous-espace engendr´e par a1, . . . , am.
Remarque 2.9 Un probl`eme important est de prouver qu’un sous-espace vectoriel est engendr´e par une famille
finie de vecteurs. On peut penser `a l’exemple des suites de Fibonacci vu dans le premier chapitre.
Remarque 2.10 L’autre question qui suit la pr´ec´edente, est : si on a S=S(a1, . . . , am), n-y-a-t-il pas trop de
ai? Un des vecteurs aiest peut-ˆetre combinaison lin´eaire des autres.
2.2 D´ependance lin´eaire
Proposition 2.11 Soit {a1, . . . , am}une famille de vecteurs de V. Un des vecteurs aipeut ˆetre exprim´e en
fonction des vecteurs a1, . . . , ai−1, ai+1, . . . , amsi et seulement si il existe (µ1, . . . , µm)6= (0, . . . , 0) tel que
µ1a1+· · · +µmam= 0.
Remarque 2.12 Dans ce cas S(a1, . . . , am) = S(a1, . . . , ai−1, ai+1, . . . , am).
D´efinition 2.13 On dit que la famille {a1, . . . , am}est li´ee (ou que les vecteurs a1, . . . , amsont lin´eairement
d´ependants) s’il existe (λ1, . . . , λm)6= (0, . . . , 0) tel que
λ1a1+· · · +λmam= 0.
Dans le cas contraire on dit que la famille est libre (i.e λ1a1+· · · +λmam= 0 entraine λ1=λ2=· · · =
λm= 0).
Exemple 2.14 {0}est li´ee !
Exemple 2.15 Si a6= 0, {a}est libre.
Exemple 2.16 {a, b}est lin´eairement d´ependant si et seulement si a=λb ou b=λ0a.
exercice 1 Dans IR2que dire des vecteurs a= (1,−1), b= (1,1), c= (2,1) ?
exercice 2 Soit l’´equation dans IR3(ou lC 3), x1+ 2x2−x3= 0. Montrer que S, l’ensemble des solutions, est
engendr´e par deux vecteurs u1et u2.
3 Le concept de base et de dimension
Dans l’exercice pr´ec´edent, S=S(u1, u2) avec u1= (1,−1
2,0) et u2= (0,1,2). Pouvions nous diminuer le
nombre de vecteurs g´en´erateurs, i.e a-t-on S=S(u) ? La r´eponse est non. Cela vient du fait que le syst`eme
(u1, u2) est libre.
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3.1 Le r´esultat fondamental
Proposition 3.1 Soit Sun sous-espace vectoriel d’un K-espace vectoriel V. On suppose que Sest engendr´e
par nvecteurs a1, . . . , an. Supposons que b1, . . . , bpsoient des vecteurs de Savec p>n. Alors la famille
{b1, . . . , bp}est li´ee.
exercice 3 Regardons, `a titre d’exercice ce qui se passe sur un exemple. Soit S=S(a1, a2) et b1= 2a1+a2,
b2=−a1+a2et b3=a1. Trouvons une relation de d´ependance entre b1,b2et b3.
3.2 Base
Proposition 3.2 Supposons que S, sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel V, poss`ede deux syst`emes
g´en´erateurs finis libres, {a1, . . . , am}et {b1, . . . , bn}. Alors n=m.
Remarque 3.3 On fera attention qu’un espace vectoriel, mˆeme d’ailleurs un sous-espace, n’admet pas
n´ecessairement de syst`eme g´en´erateur fini.
D´efinition 3.4 a) Si la famille {b1, . . . , bk}est libre et engendre V, on dit que c’est une base de V.
b) Supposons que Vposs`ede une base form´ee de kvecteurs. Toutes les autres bases ont alors kvecteurs.
Cet entier est alors appel´e la dimension de V(dim V=k). Notons que l’´ecriture d’un vecteur sur une
base est unique.
Exemple 3.5 La base canonique de Kn.
Exemple 3.6 Donner diff´erentes bases de IRn[X], ensemble des polynˆomes `a coefficients r´eels de degr´e ≤n.
3.3 Equivalence-ligne
3.3.1 Un exemple
On travaille dans IR4, il s’agit de trouver une base du sous-espace vectoriel engendr´e par a= (−3,2,1,4),
b= (4,1,0,2), et c= (−10,3,2,6), et de mettre en ´evidence, s’il y a lieu, une relation de d´ependance entre a,b
et c. Soit (e1, e2, e3, e4) la base canonique de IR4:
a=−3e1+ 2e2+e3+ 4e4
b= 4e1+e2+ 2e4
c=−10e1+ 3e2+ 2e3+ 6e4
(11)
L’objectif est de trouver de nouveaux syt`emes g´en´erateurs pour S(a, b, c). On proc`ede de la fa¸con suivante :
(I) ´echanger un vecteur et un autre :
S(b, a, c) = S(a, b, c).
(II) remplacer un vecteur par la somme de ce vecteur et d’un multiple d’un autre. Par exemple on v´erifie que
:
S(a−2b, b, c) = S(a, b, c).
Remarque 3.7 Une base ´etant fix´ee (ici la base canonique de IR4) les op´erations pr´ec´edentes sont en fait
effectu´ees sur les coefficients (ou coordonn´ees) des vecteurs sur la base.
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