Espaces vectoriels notes de cours Licence Sciences et

Espaces vectoriels
notes de cours Licence Sciences et Technologies, L1, M’2
H. Le Ferrand, [email protected]
February 26, 2007
Contents
1 Espaces vectoriels
1.1 Définition . . .
1.2 Exemples . . .
1.2.1 K n . . .
1.2.2 F(IR) .
1.2.3 IRIN . .
1.3 Propriétés . . .
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2 Sous-espaces vectoriels. Dépendance linéaire.
2.1 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Notion de sous-espace engendré par une famille
2.2 Dépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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finie de vecteurs.
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3 Le concept de base et de dimension
3.1 Le résultat fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Equivalence-ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 La notion fondamentale de matrice . . . . . . .
3.3.3 Retour à l’exemple du début de cette section .
3.3.4 Opérations élémentaires-lignes sur une matrice
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7
4 Espace vectoriel de dimension finie
4.1 Théorème et définition . . . . . . . .
4.2 Somme de sous-espaces . . . . . . . .
4.2.1 Un premier résultat . . . . .
4.2.2 Somme de deux sous-espaces
7
7
8
8
8
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5 Systèmes linéaires
5.1 Généralités . . . . . . . . . . .
5.2 Rang . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Systèmes homogènes . . . . . .
5.3.1 Dimension de l’ensemble
5.3.2 Rang de la transposée .
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des solutions
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1.1
Espaces vectoriels
Définition
Un ensemble V 6= ∅ est appelé espace vectoriel sur K (K = IR ou Cl ) s’il est muni de deux opérations,
V × V → V,
(u, v) 7→ u + v, et K × V → V,
(λ, u) 7→ λu
vérifiant les axiomes (u, v et w sont dans V , α et β dans K):
V(1) u + (v + w) = (u + v) + w, u + v = v + u
V(2) il existe un vecteur 0 (le vecteur nul) tel que ∀u ∈ V
u+0=u
V(3) pour tout u ∈ V il existe un vecteur −u tel que u + (−u) = 0
V(4) α(u + v) = αu + αv
V(5) (α + β)u = αu + βu
V(6) (αβ)u = α(βu)
V(7) 1.u = u
Les éléments de V sont appelés vecteurs.
Remarque 1.1 Les différentes propriétés de + font de (V, +) un groupe commutatif.
1.2
1.2.1
Exemples
Kn
Par définition
K n = {(α1 , . . . , αn ), / αi ∈ K, i = 1 . . . n}
On a (α1 , . . . , αn ) = (β1 , . . . , βn ) si et seulement si αi = βi pour tout i. Les opérations sont :
(α1 , . . . , αn ) + (β1 , . . . , βn ) = (α1 + β1 , . . . , αn + βn )
(1)
λ(α1 , . . . , αn ) = (λα1 , . . . , λαn ).
(2)
n
Alors, K est un K-espace vectoriel.
Remarque 1.2 Dans le cas n = 1, Cl est un Cl -espace vectoriel, c’est aussi un IR-espace vectoriel.
1.2.2
F(IR)
Soit F(IR) l’ensemble des applications de IR dans IR muni des opérations :
f + g : x 7→ (f + g)(x) = f (x) + g(x)
(3)
αf : x 7→ (αf )(x) = αf (x) (α ∈ IR).
(4)
F(IR) est un IR-espace vectoriel.
1.2.3
IRIN
L’ensemble des suites réelles IRIN muni des opérations
(un ) + (vn ) = (un + vn )
(5)
λ(un ) = (λun ).
(6)
est un IR-espace vectoriel.
2
1.3
Propriétés
Soit V un K-espace vectoriel, on a les propriétés suivantes :
(i) si u + v = u + w alors v = w.
(ii) l’équation u + x = v a une unique solution, notée v − u. On a v − u = v + (−u).
(iii) −(−u) = u
(iv) 0.u = 0
(v) −(αu) = (−αu) = α(−u) (α ∈ K, u ∈ V ).
(vi) (−α)(−u) = αu
(vii) si αu = αv avec α 6= 0 alors u = v.
Remarque 1.3 Si αu = 0, α ∈ K, u ∈ V , alors α = 0 ou u = 0.
Pn
Remarque 1.4 Si les ai sont dans V , a1 + · · · + an = i=1 ai , on a :
n
X
ai +
i=1
n
X
i=1
n
X
n
X
2
2.1
2.1.1
n
X
λi
i=1
n
X
(ai + bi )
(7)
i=1
!
λi ai +
i=1
bi =
a=
µi ai =
i=1
n
X
i=1
n
X
λi a
(8)
(λi + µi )ai
(9)
i=1
Sous-espaces vectoriels. Dépendance linéaire.
Sous-espaces vectoriels
Définition
Un sous-espace S ⊂ V où V est un K-espace-vectoriel, est un ensemble non vide tel que :
(s1) si a et b sont dans S, a + b ∈ S ;
(s2) si a ∈ S et λ ∈ K, λa ∈ S.
On dit que S est un sous-espace vectoriel de V .
Remarque 2.1 “(s1) et (s2)” équivaut à :
∀(a, b) ∈ S × S, ∀(λ, µ) ∈ K × K, λa + µb ∈ S.
Remarque 2.2 Il est clair (!) que S est un K- espace vectoriel. Un sous-espace est tout simplement un espace
vectoriel contenu dans un espace vectoriel ambiant (pour les mêmes opérations !)
Exemple 2.3 Soit S l’ensemble des solutions de
x + 2y − 3z + t
x+y+z+t
= 0
= 0
S est sous-espace vectoriel de IR4 .
Exemple 2.4 L’ensemble des solutions de y 00 + m2 y = 0 est un sous-espace vectoriel de F(IR).
Exemple 2.5 des sous-espaces de F(IR) : C(IR), C 1 (IR), C ∞ (IR), les fonctions polynomiales.
3
(10)
2.1.2
Combinaisons linéaires
Définition 2.6 Soit {a1 , . . . , am } une famille de vecteurs de V . Un vecteur
a ∈ V est dit combinaison
Pm
linéaire des vecteurs a1 , . . . , am , s’il existe λ1 , . . . , λm ∈ K tels que a = i=1 λi ai .
On a la propriété immédiate :
Proposition 2.7 Soit S un sous-espace de V , toute combinaison linéaire (finie) de vecteurs de S est encore
dans S.
2.1.3
Notion de sous-espace engendré par une famille finie de vecteurs.
{a1 , . . . , am } une famille de vecteurs de V (m ≥ 1). L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs
a1 , . . . , am forment un sous-espace vectoriel S = S(a1 , . . . , am ).
Remarque 2.8 S(a1 , . . . , am ) est le plus petit sous-espace vectoriel de V contenant {a1 , . . . , am }. On dit que
S(a1 , . . . , am ) est le sous-espace engendré par a1 , . . . , am .
Remarque 2.9 Un problème important est de prouver qu’un sous-espace vectoriel est engendré par une famille
finie de vecteurs. On peut penser à l’exemple des suites de Fibonacci vu dans le premier chapitre.
Remarque 2.10 L’autre question qui suit la précédente, est : si on a S = S(a1 , . . . , am ), n-y-a-t-il pas trop de
ai ? Un des vecteurs ai est peut-être combinaison linéaire des autres.
2.2
Dépendance linéaire
Proposition 2.11 Soit {a1 , . . . , am } une famille de vecteurs de V . Un des vecteurs ai peut être exprimé en
fonction des vecteurs a1 , . . . , ai−1 , ai+1 , . . . , am si et seulement si il existe (µ1 , . . . , µm ) 6= (0, . . . , 0) tel que
µ1 a1 + · · · + µm am = 0.
Remarque 2.12 Dans ce cas S(a1 , . . . , am ) = S(a1 , . . . , ai−1 , ai+1 , . . . , am ).
Définition 2.13 On dit que la famille {a1 , . . . , am } est liée (ou que les vecteurs a1 , . . . , am sont linéairement
dépendants) s’il existe (λ1 , . . . , λm ) 6= (0, . . . , 0) tel que
λ1 a1 + · · · + λm am = 0.
Dans le cas contraire on dit que la famille est libre (i.e λ1 a1 + · · · + λm am = 0 entraine λ1 = λ2 = · · · =
λm = 0).
Exemple 2.14 {0} est liée !
Exemple 2.15 Si a 6= 0, {a} est libre.
Exemple 2.16 {a, b} est linéairement dépendant si et seulement si a = λb ou b = λ0 a.
exercice 1 Dans IR2 que dire des vecteurs a = (1, −1), b = (1, 1), c = (2, 1) ?
exercice 2 Soit l’équation dans IR3 (ou Cl 3 ), x1 + 2x2 − x3 = 0. Montrer que S, l’ensemble des solutions, est
engendré par deux vecteurs u1 et u2 .
3
Le concept de base et de dimension
Dans l’exercice précédent, S = S(u1 , u2 ) avec u1 = (1, − 12 , 0) et u2 = (0, 1, 2). Pouvions nous diminuer le
nombre de vecteurs générateurs, i.e a-t-on S = S(u) ? La réponse est non. Cela vient du fait que le système
(u1 , u2 ) est libre.
4
3.1
Le résultat fondamental
Proposition 3.1 Soit S un sous-espace vectoriel d’un K-espace vectoriel V . On suppose que S est engendré
par n vecteurs a1 , . . . , an . Supposons que b1 , . . . , bp soient des vecteurs de S avec p > n. Alors la famille
{b1 , . . . , bp } est liée.
exercice 3 Regardons, à titre d’exercice ce qui se passe sur un exemple. Soit S = S(a1 , a2 ) et b1 = 2a1 + a2 ,
b2 = −a1 + a2 et b3 = a1 . Trouvons une relation de dépendance entre b1 , b2 et b3 .
3.2
Base
Proposition 3.2 Supposons que S, sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel V , possède deux systèmes
générateurs finis libres, {a1 , . . . , am } et {b1 , . . . , bn }. Alors n = m.
Remarque 3.3 On fera attention qu’un espace vectoriel, même d’ailleurs un sous-espace, n’admet pas
nécessairement de système générateur fini.
Définition 3.4
a) Si la famille {b1 , . . . , bk } est libre et engendre V , on dit que c’est une base de V .
b) Supposons que V possède une base formée de k vecteurs. Toutes les autres bases ont alors k vecteurs.
Cet entier est alors appelé la dimension de V (dim V = k). Notons que l’écriture d’un vecteur sur une
base est unique.
Exemple 3.5 La base canonique de K n .
Exemple 3.6 Donner différentes bases de IRn [X], ensemble des polynômes à coefficients réels de degré ≤ n.
3.3
3.3.1
Equivalence-ligne
Un exemple
On travaille dans IR4 , il s’agit de trouver une base du sous-espace vectoriel engendré par a = (−3, 2, 1, 4),
b = (4, 1, 0, 2), et c = (−10, 3, 2, 6), et de mettre en évidence, s’il y a lieu, une relation de dépendance entre a, b
et c. Soit (e1 , e2 , e3 , e4 ) la base canonique de IR4 :

 a = −3e1 + 2e2 + e3 + 4e4
b = 4e1 + e2 + 2e4
(11)

c = −10e1 + 3e2 + 2e3 + 6e4
L’objectif est de trouver de nouveaux sytèmes générateurs pour S(a, b, c). On procède de la façon suivante :
(I) échanger un vecteur et un autre :
S(b, a, c) = S(a, b, c).
(II) remplacer un vecteur par la somme de ce vecteur et d’un multiple d’un autre. Par exemple on vérifie que
:
S(a − 2b, b, c) = S(a, b, c).
Remarque 3.7 Une base étant fixée (ici la base canonique de IR4 ) les opérations précédentes sont en fait
effectuées sur les coefficients (ou coordonnées) des vecteurs sur la base.
5
3.3.2
La notion fondamentale de matrice
Nous avons déjà rencontré des matrices.
Définition 3.8 Une famille ordonnée {r1 , . . . , rp } de p vecteurs lignes de K n est appelée matrice p × n, (p
lignes, n colonnes qui donnent le format de la matrice).
Exemple 3.9 Soit r1 = (−3, 2, 1, 4), r2 = (4, 1, 0, 2), r3 = (−10, 3, 2, 6), on obtient la matrice 3 × 4

 

−3 2 1 4
r1

4 1 0 2  =  r2 
−10 3 2 6
r3
Plus généralement, si ri = (αi1 , . . . , αin ) (i = 1, . . . , p),

α11 α12
 α21 α22

A=
..
..

.
.
αp1
αp2
···
···
α1n
α2n
..
.
(12)





(13)
· · · αpn
Les colonnes de A sont les vecteurs colonnes de K p ,



α1n
α11
 α2n
 α21 



c1 =  .  , . . . , cn =  .
 ..
 .. 
αp1
αpn





(14)
i) On écrit A = (αij )1≤i≤p,1≤j≤n et parfois (A)ij au lieu de αij . L’ensemble des matrices p × n à coefficients
dans K est noté Mpn , ou mieux K p×n . Ainsi une matrice ligne est un élément de K 1×n et une matrice
colonne un élément de K p×1 .
Proposition 3.10 K p×n est K-espace vectoriel de dimension pn.
ii) Si A = (αij ) ∈ K p×n , sa matrice transposée est notée AT et par définition AT = (βij ) ∈ K n×p où
βij = αji .

−3
−3 2 1 4

2
4 1 0 2 , AT = 
Exemple 3.11 A = 
 1
−10 3 2 6
4



4 −10
1
3 
.
0
2 
2
6
Remarque 3.12 La tranposition transforme les vecteurs lignes en vecteurs colonnes et réciproquement.
iii) On travaillera avec IRp×n et Cl p×n . On peut remarquer que si A ∈ Cl p×n , il existe A1 et A2 dans IRp×n
telles que A = A1 + iA2 .
3.3.3
Retour à l’exemple du début de cette section
Il s’agit de trouver une base de S(a, b, c) en faisant de l’élimination de Gauss.
6
3.3.4
Opérations élémentaires-lignes sur une matrice
On résume ce que l’on a vu. On travaille sur une matrice A ∈ K p×n .
Définition 3.13 On appelle opération élémentaire-ligne sur A une opération du type :
(I) échanger deux lignes de A ;
(II) remplacer la ligne ri par ri + λrj (i 6= j, λ ∈ K) :
(III) remplacer ri par µri (µ 6= 0).
Soit V un K-espace vectoriel muni d’une base finie (a1 , . . . , an ). Soit b1 , . . . , bp des vecteurs de V :
bi = λi1 a1 + λi2 a2 + · · · + λin an
i = 1...p
(15)
Considérons A = (λij )1≤i≤p,1≤j≤n la matrice des coefficients.
Proposition 3.14 Les opérations élémentaires-lignes sur A, nous donnent de nouveaux systèmes générateurs
de S(b1 , . . . , bp ) et au final dans le cadre de l’élimination de Gauss, une base de S(b1 , . . . , bp ).
Remarque 3.15 Quand a-t-on (b1 , . . . , bp ) libre ?
Remarque 3.16 On peut définir de même des opérations élémentaires- colonnes.
exercice 4 Donner une base de S(b1 , b2 , b3 ) ∈ IR3 où b1 = (1, 3, 4), b2 = (4, 0, 1) et b3 = (3, 1, 2).
4
Espace vectoriel de dimension finie
4.1
Théorème et définition
Lemme 4.1 Si (a1 , . . . , ap ) est liée et si (a1 , . . . , ap−1 ) est libre alors ap ∈ S(a1 , . . . , ap−1 ).
Proposition 4.2 Soit V un espace vectoriel possédant un système générateur fini, alors il posséde une base
(évidemment finie).
Définition 4.3 Un espace vectoriel possédant un système générateur fini est dit espace vectoriel de
dimension finie.
Démonstration 4.4
• si V = {0}, la conclusion est immédiate.
• si V 6= {0} possède n générateurs, intéressons nous aux familles libres de vecteurs de V . Il y en a car
V 6= {0}. Le cardinal d’une telle famille ne peut excéder n. Choisissons une famille libre de cardianl
maximal p : (b1 , . . . , bp ). Toute famille de p + 1 vecteurs est donc liée. Ainsi, si b ∈ V , (b1 , . . . , bp , b) est
lié, or (b1 , . . . , bp ) est libre donc b ∈ S(b1 , . . . , bp ), i.e (b1 , . . . , bp ) est une base de V .
Corollaire 4.5 Si dim V = p et si (a1 , . . . , ap ) est libre alors (a1 , . . . , ap ) est une base de V .
Proposition 4.6 Si V est de dimension finie engendré par a1 , . . . , an , il est possible de choisir une base de V
parmi les vecteurs a1 , . . . , an (dans un espace de dimension finie une famille génératrice contient toujours une
base).
Démonstration 4.7
• si V = {0}, la conclusion est immédiate.
• si V 6= {0} quitte à changer l’ordre des indices, il est possible de choisir une famille {a1 , . . . , ar }, 1 ≤ r ≤ n,
libre de plus grand cardinal, i.e n’importe quelle famille de plus de r + 1 ai est liée. D’après le lemme, les
vecteurs ar+1 , . . . , an sont dans S(a1 , . . . , ar ), ce qui permet de conclure.
Corollaire 4.8 Si dim V = p et si (a1 , . . . , ap ) est génératrice alors (a1 , . . . , ap ) est une base de V .
7
4.2
4.2.1
Somme de sous-espaces
Un premier résultat
On travaille en dimension finie.
Proposition 4.9 Soit b1 , . . . , bq des vecteurs linéairement indépendants dans V . Si (b1 , . . . , bq ) n’est pas une
base de V (i.e q < dim V = n), il existe des vecteurs bq+1 , . . . , bn tels que (b1 , . . . , bn ) soit une base de V .
Cette propriété est une version du théorème de la base incomplète.
Démonstration 4.10 Soit (a1 , . . . , an ) une base de V .
• si q = n − 1, il existe ai 6∈ S(b1 , . . . , bq ), (b1 , . . . , bq , ai ) est libre, c’est une base de V .
• si q = n − s, supposons la propriété vraie jusqu’à s − 1 : il existe ai 6∈ S(b1 , . . . , bq ), (b1 , . . . , bq , ai ) est une
famille libre de q + 1 = n − (s − 1) vecteurs, ce qui permet de poursuivre le raisonnement par récurrence
...
4.2.2
Somme de deux sous-espaces
Définition 4.11 Soit S et T deux sous-espaces vectoriel de V , on pose :
S + T = {s + t ; s ∈ S, t ∈ T } .
(16)
On vérifie que S + T est un sous-espace vectoriel de V .
Proposition 4.12 Si V est de dimension finie, S un sous-espace vectoriel de V , S est de dimension finie et
dim S ≤ dim V .
Preuve 4.13 Si dim V = n, n’importe quelle famille de n + 1 vecteurs de S est liée. Il suffit de considérer une
famille maximale libre (s1 , . . . , sk ) de S. On a k ≤ n et S = S(s1 , . . . , sk ).
Remarque 4.14 S = V si et seulement si dim S = dim V .
Proposition 4.15 Si S et T sont deux sous-espaces d’un espace de dimension finie, si S ∩ T = {0} alors
dim(S + T ) = dim S + dim T .
Démonstration 4.16 Soit (s1 , . . . , sd ) une base de S et (t1 , . . . , te ) une base de T , alors la famille
(s1 , . . . , sd , t1 , . . . , te ) engendre clairement S +T . Si α1 s1 +· · · αd ss +β1 t1 +· · ·+βe te = 0, alors α1 s1 +· · · αd ss =
−(β1 t1 + · · · + βe te ) et comme S ∩ T = {0}, il vient
0 = α1 s1 + · · · αd ss = β1 t1 + · · · + βe te
puis 0 = α1 = · · · = αd = β1 = · · · = βe , i.e la famille (s1 , . . . , sd , t1 , . . . , te ) est libre ...
Définition 4.17 Si S ∩ T = {0} on dit que la somme S + T est directe et on la note S
somme est directe équivaut à dire que si x ∈ S + T , x = s + t cette écriture étant unique.
L
T . Dire que la
exercice 5 Définir et caractériser la somme directe de trois sous-espaces.
exercice 6 Montrer, S et T étant deux sous-espaces d’un espace de dimension finie,
dim(S + T ) + dim(S ∩ T ) = dim S + dim T.
8
(17)
5
Systèmes linéaires
5.1
Généralités
On considère le système

α11 x1 + α12 x2 + · · · + α1n xn



 α21 x1 + α22 x2 + · · · + α2n xn
(S)
..

.



αp1 x1 + αp2 x2 + · · · + αpn xn
=
=
..
.
β1
β2
..
.
(18)
= βp
à p équations, n inconnues. On travaille sur IR ( ouCl ). Une solution de (S) est un n-uple (λ1 , . . . , λn ) satisfaisant
toutes les égalités ci-dessus.
Considérons la matrice du système A = (αij )1≤i≤p,1≤j≤n et notons cj sa j-ième colonne. Si b = (β1 , . . . , βp )T
alors
(λ1 , . . . , λn ) est solution de (S) ⇐⇒ λ1 c1 + λ2 c2 + · · · + λn cn = b.
(19)
Le système homogène est alors :
x1 c1 + x2 c2 + · · · + xn cn = 0.
(20)
Il y a toujours la solution (0, . . . , 0) !
Supposons que le système x1 c1 + x2 c2 + · · · + xn cn = b ait une solution x? . L’ensemble des solutions du
système est alors
x? + SH = {x? + x où x est solution du système homogène}
(21)
SH désigne l’ensemble des solutions du système homogène. Nous devons répondre aux questions suivantes :
(a) Quand (S) a-t-il des solutions ?
(b) Si oui en trouver ?
(c) SH est un sous-espace vectoriel de K n , donc est de dimension finie. Quelle est sa dimension ? En donner
une base ?
5.2
Rang
Définition 5.1 Soit A = (αij ) ∈ K p×n dont les colonnes sont notées c1 , . . . , cn . Le rang de A est la dimension
de S(c1 , . . . , cn ) (on parle aussi du rang des vecteurs colonnes).
Remarque 5.2
rangA ≤ min(p, n).
(22)
Proposition 5.3 Le système x1 c1 + · · · xn cn = b a une solution (on dira qu’il est compatible) si et seulement
si une des deux conditions suivantes est satifaite :
(a) b ∈ S(c1 , . . . , cn )
(b) dim S(c1 , . . . , cn ) = dim S(c1 , . . . , cn , b).
Démonstration 5.4 Déjà (a) équivaut à la comptabilté du système. Montrons que (a) équivaut à (b) :
• si b ∈ S(c1 , . . . , cn ) alors S(c1 , . . . , cn , b) = S(c1 , . . . , cn ) !
• si dim S(c1 , . . . , cn ) = dim S(c1 , . . . , cn , b), comme S(c1 , . . . , cn ) ⊂ S(c1 , . . . , cn , b), on a S(c1 , . . . , cn ) =
S(c1 , . . . , cn , b)...
9
Exemple 5.5 A titre d’exemple, en utilisant l’élimination de Gauss (qui à chaque étape donne un système
équivalent au système initial), regarder si les systèmes suivants sont compatibles ou non :
x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 1
(23)
x1 + x2 + x3 + x4 = 0


 −3x1 + x2 + 4x3 = 1

x1 + x2 + x3 = 0
(24)
−2x1 + x3 = −1



x1 + x2 − 2x3 = 0
Autre formulation : soit A = (c1 , . . . , cn ) ∈ IRp×n la matrice du système, A0 = (c1 , . . . , cn , b) ∈ IRp×(n+1) la
matrice “augmentée”, le système est compatible si et seulement si rangA = rangA0 .
5.3
5.3.1
Systèmes homogènes
Dimension de l’ensemble des solutions

α11 x1 + α12 x2 + · · · + α1n xn



 α21 x1 + α22 x2 + · · · + α2n xn
..

.



αp1 x1 + αp2 x2 + · · · + αpn xn
= 0
= 0
.. ..
. .
= 0
(25)
A = (αij ) = (c1 , . . . , cn ) ∈ IRp×n . Posons r = rangA = dimS(c1 , . . . , cn ) et quitte à renuméroter les colonnes,
supposons (c1 , . . . , cr ) libre. Il existe alors pour chaque i ∈ {r + 1, . . . , n} une relation de dépendance linéaire :
(i)
ci = λ1 c1 + · · · λ(i)
r cr .
(26)
Proposition 5.6 Sous les hypothèses précédentes,
(i)
ui = (λ1 , . . . , λr(i) , 0, . . . , 0, −1, 0, . . . , 0)
où −1 figure à la i-ième place, est solution du système homogène et (ur+1 , . . . , un ) est une base de l’ensemble
des solutions.
Corollaire 5.7 (Théorème du rang version1) La dimension de l’ensemble des solutions d’un système
homogène en n inconnues est n − r où r est le rang de la matrice associée.
Exemple 5.8 Etudions les systèmes suivants :
x1 + 2x2 − 3x3 + x4
x1 + x2 + x3 + x4


= 0
= 0
x1 + x2 − 2x3 + x4 = 0
−x1 − x2 + x3 + 3x4 = 0

2x1 + 2x2 + 5x3 = 0
x1 + 2x2 − x3 + x4 + x5 = 0
10
(27)
(28)
(29)
5.3.2
Rang de la transposée
Soit A = (αij ) ∈ IRp×n , ci ∈ IRp×1 sa i-ième colonne, rj ∈ IR1×n sa j-ième ligne.
Si x = (x1 , . . . , xn )T , on pose
ri x = αi1 x1 + · · · αin xn .
(30)
On vérifiera que
(λr + µs)x = λrx + µsx.
(31)
Le systèma homogène associé à A s’écrit alors :


 r1 x = 0
.. .. ..
. . .


rp x = 0
(32)
Proposition 5.9 On a rangA = dim S(r1 , . . . , rp ), i.e le rang des vecteurs lignes et le rang des vecteurs colonnes
sont égaux.
Démonstration 5.10 Soit t = dim S(r1 , . . . , rp ) et supposons que (r1 , . . . , rt ) soit une base de S(r1 , . . . , rp ).
On considère les deux systèmes :


 r1 x = 0
.. .. ..
(33)
(1)
. . .


rp x = 0
et


 r1 x = 0
.. .. ..
(2)
. . .


rt x = 0
(34)
(1) et (2) ont les mêmes solutions : clairement, une solution
Pt de (1) est une solution de (2). Si x est solution de
(2), pour t + 1 ≤ i ≤ p, ri = ψ1 r1 + · · · ψt rt , puis ri x = k=1 ψk rk x = 0...
Soit A0 la matrice dont les lignes sont r1 , . . . , rt : rangA0 ≤ t car les colonnes de A0 sont des vecteurs à t
composantes. Ainsi n − rangA0 ≥ n − t. Par ailleurs (1) et (2) ont le même espace de solutions, qui a pour
dimension n − rangA = n − rangA0 ≥ n − t, ainsi rangA ≤ t, en faite le rang des vecteurs colonnes est plus
petit que le rang des vecteurs lignes. C’est fini ! car il suffit d’appliquer ceci à la matrice AT .
Corollaire 5.11 rangAT = rangA.
11