Chute d`un corps dans un fluide et gravitation-Satellites - Poly

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POLY-PREPAS
Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux
- Section Orthoptiste / stage i-Prépa intensif -

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Chapitre 7 : Chute d’un bille dans un fluide
I. Deux nouvelles forces :
a) la Poussée d’Archimède :
Tout corps immergé dans un fluide (liquide ou gaz) est soumis à une force verticale ascendante , de
valeur égale au poids du volume V du fluide déplacé par le corps immergé :
*
b) Forces de frottement fluide :
• Pour des vitesses relativement faibles (régime laminaire) :
* A savoir : Le coefficient k dépend de la forme, de la surface, de la nature de l’objet ; pour une bille
de rayon r plongée dans un fluide de viscosité η : η r. Formule de Stokes
(valable pour les vitesses faibles)
• Pour des vitesses plus élevées (régime turbulent) :
• Généralisation, selon la vitesse de l’écoulement, les forces de frottement fluide sont de la
forme :
II. Chute d’une bille dans un fluide :
Système : {la bille}
Référentiel : terrestre considéré comme galiléen
Bilan des forces :
2
ème
Loi de Newton :

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a) 1
er
cas : si on peut négliger la Poussée d’Archimède devant le poids P :
l’équation précédente devient :
On projette sur un axe [Oz) vertical descendant :
d’où, avec et f = kv
Equation différentielle régissant les variations
de v au cours du temps
)
Point-Méthode :
Etant donnée l’équation différentielle (ED 1) et sachant que la bille est
lâchée à t = 0 sans vitesse initiale, déterminer A et B et β pour qu’une solution de cette équation
différentielle soit de la forme
 donc :
On remplace dans l’ED1 et on obtient :
[
En développant : g
D’où : g
En identifiant les coefficients on obtient :

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soit :
Ainsi :
 Condition Initiale :
Or :
Ainsi, :
On retrouve la solution générale : )
b) Détermination de la vitesse-limite :
 1
ère
méthode : quand t tend vers l’∞, et
et

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d’où :
 2
ème
méthode : on part de l’équation différentielle
si
l’équation différentielle devient :
et :
La vitesse-limite de chute de la bille est donc :
c) Constante de temps :
La constante de temps est la durée au bout de laquelle la vitesse a atteint 63% de sa vitesse-limite
Soit à résoudre : =
=
≈ ln