Préparation à l`Agrégation de Mathématiques Algèbre linéaire

UNIVERSITÉ DE POITIERS
Mathématiques
Agrégation 2008/2009
Paul Broussous
Préparation à l’Agrégation de Mathématiques
Algèbre linéaire
Réduction des endomorphismes
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Avant Propos
Nous supposerons connues les notions de base d’algèbre linéaire (programme de L1
et L2). En particulier nous demandons aux étudiants de réviser les notions de base,
dimension,rang et déterminant. Le théorème de la base incomplète sera d’utilisation
systématique.
Faute de temps, nous ne développerons que certains points du programme : ceux qui
semblent poser le plus de difficultés aux agrégatifs. En particulier nous traiterons les
points suivants : espaces quotients,dualité,réduction des endomorphismes. Nous illustre-
rons le cours par des exercices et des extraits de problèmes d’écrit d’Agrégation récents.
La référence principale à la base de ces notes est Algèbre, Patrice Tauvel, 2nde édition,
Dunod. Nous conseillons aussi le Cours de Mathématiques, tome 1, Algèbre, d’Arnaudiès
et Fraysse, chez Dunod.
La page web de Pascal Boyer (http ://www.institut.math.jussieu.fr/ boyer/) est très
bien faite et propose des pistes intéressantes d’exercices et de développements à l’oral.
Nous utiliserons les notations suivantes.
–ksera le plus souvent le corps de base.
–knest l’espace vectoriels des vecteurs lignes ou n-uplets.
–E,F,G,U,V,W, ..., désigneront des espaces vectoriels.
–u,v,w, ..., désigneront des vecteurs, et parfois des applications linéaires.
–0Edésigne le vecteur nul de Eet idEl’identité de E.
–f,g,h,ϕ,ψdésignerons des applications linéaires.
–Lk(E, F ) = L(E, F )est l’espace vectoriel des applications linéaire de Edans F.
–L(E) = Endk(E) = End(E)est l’algèbre des endomorphismes de E.
–Ker et Im désigne le noyau et l’image d’une application linéaire.
–dim désigne la dimension d’un espace vectoriel.
–rg désigne le rang d’une application linéaire, d’une matrice, ou d’une famille de
vecteurs.
–Mat(B,B′, f)désigne la matrice de l’application linéaire fdans des bases Bet B′.
–Det désigne le déterminant d’une matrice ou d’un endomorphisme.
–M(n, k),M(n, m, k)sont les algèbres des matrices carrées n×nou rectangulaires
n×m.
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Première partie
1. Sommes, produits, espaces quotients, supplémentaires
Soit Iun ensemble fini ou infini d’indices et (Ei)i∈Iune famille d’espaces vectoriels.
On munit le produit Qi∈IEi, c’est-à-dire l’ensemble des suites (vi)i∈I, où pour chaque
i,vi∈Ei, des lois suivantes :
– addition (vi)i∈I+ (wi)i∈I= (vi+wi)i∈I,
– multiplication par un scalaire λ(vi)i∈I= (λvi)i∈I,λ∈k.
1.1. Lemme-Définition. i) Muni de ces deux lois Qi∈IEiest un k-espace vectoriel
appelé l’espace vectoriel produit de la famille (Ei)i∈I.
ii) Les projections canoniques pio:Qi∈IEi−→ Eio,(vi)i∈I7→ vio,io∈Isont linéaires.
Démonstration. Laissée en exercice.
Rappelons que si Eet Fsont des espaces vectoriels, alors L(E, F )est naturellement
un k-espace vectoriel.
1.2. Proposition.Soit Eun espace vectoriel et (Fi)i∈Iune famille d’espaces vectoriels.
Il existe un isomorphisme naturel entre espaces vectoriels :
ϕ:Y
i∈I
L(E, Fi)−→ L(E, Y
i∈I
Fi).
Démonstration. Un élément du produit Qi∈IL(E, Fi)est une suite f= (fi)i∈I, où pour
chaque i∈I,fi:E−→ Fiest une application linéaire. Définissons ϕ(f)comme associant
àv∈E, la suite (fi(v))i∈I.
Notons pio:Qi∈IFi−→ Fio,io∈I, les projections canoniques. Définissons une
application linéaire
ψ:L(E, Y
i∈I
Fi)−→ Y
i∈I
L(E, Fi)
par ψ(g) = (pi◦g)i∈I. Si f∈Qi∈IL(E, Fi),ψ◦ϕ(f)est la famille (pi◦ϕ(f))i∈I, avec
pour v∈E,pi◦ϕ(f)(v) = pi(fj(v))j∈I=fi(v), c’est-à-dire pi◦ϕ(f) = fi. Donc ψ◦ϕ
est l’application identité de l’espace Qi∈IL(E, Fi). Nous laissons le soin au lecteur de
montrer en exercice que ϕ◦ψest l’application identité de L(E, Qi∈IFi).
Si (Ei)i∈Iest une famille d’espaces vectoriels, on note
a
i∈
Eiou encore M
i∈I
Ei,
le sous-ensemble de Qi∈IEiformé des suites (vi)i∈Itelles que viest nul sauf pour un
nombre fini d’indices i.
1.3. Lemme-Définition. i) Avec les notations précédentes, `i∈IEiest un sous-espace
vectoriel de Qi∈IEiqu’on appelle somme directe (externe) de la famille (Ei)i∈I.
ii) Pour chaque io∈I, la restriction de pios’appelle la projection canonique de `i∈IEi
sur Eio.
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iii) Pour chaque io∈I, l’application jio:Eio−→ `i∈IEi, donné par [jio(v)]i=v, si
i=io,[jio(v)]i= 0, si i6=io, est linéaire et s’appelle l’injection canonique de Eiodans
`i∈IEi.
Démonstration. Laissée en exercice.
1.4. Remarques. i) Supposons Ifini. Alors le produit et la somme directe d’une famille
d’espaces vectoriels coïncident.
ii) Supposons que les Eisoient tous égaux à un même espace vectoriel E. Alors Qi∈IEi
s’identifie à l’espace vectoriel EIdes applications de Idans E. Dans cette identification,
l’espace `i∈IEicorrespond au sous-espace E(I)de EIformé des applications à support
fini ; le support d’une application f:I−→ Eétant Supp(f) = {i∈I;f(i)6= 0E}.
1.5. Proposition-Définition.Soit Iun ensemble. Pour io∈I, soit fio∈k(I)l’appli-
cation définie par fio(i) = δiio. Alors la famille (fi)i∈Iest une base de k(I),appelée base
canonique.
Démonstation. Laissée en exercice.
1.6. Proposition. Soient (Ei)i∈Iune famille d’espaces vectoriels et Fun espace vecto-
riel. Il existe un isomorphisme naturel d’espaces vectoriels :
ϕ:L(a
i∈I
Ei, F )−→ Y
i∈I
L(Ei, F ).
Démonstration. En effet ϕassocie à une application linéaire f:`i∈IEi−→ Fla famille
d’applications linéaires (f◦ji)i∈I, où les jisont les injections canoniques. On vérifie
facilement que ϕa pour inverse l’application ψdonnée par
ψ((fi)i∈I) : (vi)i∈I∈a
i∈I
Ei7→ X
i∈I
fi(vi)∈F .
Soit Eun espace vectoriel et (Ei)i∈Iune famille de sous-espaces vectoriels de E.
Rappelons que la somme Pi∈IEiest le sous-espace vectoriel de Eengendré par la réunion
des sous-ensembles Ei,i∈I. C’est aussi l’ensemble des sommes Pi∈Ivi, où (vi)i∈Idécrit
l’ensembles des familles de vecteurs nulles sauf pour un nombre fini d’indices. On a donc
une application surjective :
p:a
i∈I
Ei−→ X
i∈I
Ei⊂E , , (vi)i∈I7→ X
i∈I
vi.
On dit que la somme X
i∈I
Eiest directe si pest injective, c’est-à-dire si pest un
isomorphisme. Si c’est le cas, on écrit
M
i∈I
Eipour X
i∈I
Ei
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Exercice 1. Soit (Ei)i∈Iune famille de sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E.
Posons
F=X
i∈I
Ei, G =a
i∈I
Ei.
Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) La somme Pi∈IEiest directe.
(ii) Pour tout x∈F, il existe un unique suite (xi)∈Gtelle que x=Pi∈Ixi.
(iii) Si (xi)∈Gvérifie Pixi= 0, alors xi= 0 quelque soit i∈I.
(iv) Pour tout i∈I, on a
Ei∩X
j∈I\{i}
Ej={0}.
En outre, si Iest l’ensemble fini {1,2,...,n}, les conditions précédentes sont équi-
valentes à
Ei∩(E1+···+Ei−1) = {0}
pour i= 2,...,n.
Exercice 2. Soit Ele R-espace vectoriel des fonctions f:R−→ Rcontinues, nulles sur
Zet nulles en dehors d’un intervalle borné (dépendant de f). Pour chaque n∈Z, soit
Enle sous-espace vectoriel de Eformé des applications continues nulles en dehors de
[n, n + 1]. Montrer que E=Ln∈ZEn.
Deux sous-espaces vectoriels Uet Vd’un espace vectoriel Esont dits supplémentaires
si U⊕V=E. Tout vecteur de xde Es’écrit alors de façon unique u+v, avec u∈U
et v∈V. On dit que Vest un supplémentaire de UL’application pqui à x∈Eassocie
us’appelle la projection sur Uparallèlement à V. Cette application est un projecteur
(ou idempotent) de l’anneau End(E)au sens où p◦p=p. Réciproquement, si pest un
projecteur de E, on vérifie aisément que Ker pet Im psont supplémentaires.
Exercice 3. Soit (pi)i∈1,...n une famille de projecteurs d’un espace vectoriel E. On dit
que cette famille est orthogonale si pour tout couple d’indices (i, j)vérifiant i6=j, on a
pi◦pj= 0. Posons Ei= Im pi,i= 1,...,n. Montrer que les assertions suivantes sont
équivalentes :
(i) Eest la somme directe des Ei,i= 1,...,n.
(ii) La famille de projecteurs (pi)i=1,...,n est orthogonale et on a idE=p1+···+pn.
Soient Eun espace vectoriel et Fun sous-espace de E. Considérons dans un premier
temps Eet Fcomme groupes abéliens (pour l’addition des vecteurs). Rappelons que le
groupe quotient (E/F, +) est l’ensemble quotient E/Rpour la relation d’équivalence :
xRyssi x−y∈F ,
muni de l’addition
¯x+ ¯y=x+y .
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