modélisation mathématique pour l`écologie, l`environnement

NOTES DU COURS :
MODÉLISATION MATHÉMATIQUE
POUR L’ÉCOLOGIE,L’ENVIRONNEMENT ET L’ÉCONOMIE
(MAP 556, ANNÉE 2014-2015)
Jean-René CHAZOTTES
Version du 12 juin 2014

Tout est brouillon en effet, l’idée de texte définitif ne relevant que
de la religion ou de la fatigue.
J. L. BORGES
Préface à la traduction en vers espagnols du «Cimetière marin» de
Valéry
Remember that all models are wrong ; the practical question is how
wrong do they have to be to not be useful.
BOX & DRAPER
Empirical Model-Building (1987), Wiley.
Les chaussures sont un outil pour marcher ; les mathématiques, un
outil pour penser. On peut marcher sans chaussures, mais on va
moins loin.
JEAN-MARIE SOURIAU
Grammaire de la Nature (2007).

Table des matières
IMODÈLES DE BASE &LEUR MISE EN PERSPECTIVE 1
1 Généralités 5
2 Reproduction aléatoire en temps discret 9
2.1 Le modèle de Bienaymé-Galton-Watson . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Plusieurs types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Environnement variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Suppléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Naissances & morts aléatoires en temps continu 31
3.1 Naissances seules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Morts seules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Processus avec des naissances et des morts . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Temps d’attente entre les changements d’état . . . . . . . . . . . . 41
3.5 Démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Limiter la croissance 47
4.1 Le processus de Bienaymé-Galton-Watson densité-dépendant . . 47
4.2 Le modèle logistique déterministe à temps continu . . . . . . . . . 52
4.3 Une version stochastique du modèle logisitique . . . . . . . . . . . 56
4.4 Le modèle logistique déterministe à temps discret . . . . . . . . . 58
4.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5 Interactions 65
5.1 Proies & prédateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Compétition & coopération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3 Systèmes différentiels pour l’écologie . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.4 Modèles aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
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