mouvement dans un champ de forces centrales conservatives

mouvement dans un champ de forces
centrales conservatives
Table des matières
1 forces centrales conservatives
1.1 définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 exemples de forces centrales conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2 propriétés des mouvements à force centrale
2.1 conservation du moment cinétique . . . . .
2.1.1 planéité du mouvement . . . . . . .
2.1.2 intégrale première du mouvement . .
2.1.3 Loi des aires . . . . . . . . . . . . . .
2.2 conservation de l’énergie mécanique . . . . .
2.2.1 Intégrale première du mouvement . .
2.2.2 Énergie potentielle effective . . . . .
2.2.3 États de diffusion, états liés . . . . .
3
3
3
3
4
4
4
4
4
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3 mouvement dans un champ de forces centrales newtonien
3.1 définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 équation de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 relation entre l’énergie mécanique, l’énergie potentielle effective
de trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 cas d’une force attractive . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 cas d’une force répulsive . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 étude du mouvement elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 lois de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 énergie et demi grand axe . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 cas particulier des trajectoires circulaires . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 vitesse, énergie mécanique et période . . . . . . . . . . .
3.5.2 vitesses cosmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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et le type
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5
5
5
6
7
8
8
8
9
9
9
9
Le mouvement d’un point matériel soumis à une force constamment dirigée vers un point
fixe, qu’on appelle « force centrale », est un cas fréquent en physique. Cette situation se
rencontre en particulier :
- à l’échelle microscopique, avec, dans le cadre de la mécanique classique, par exemple, le
cas d’un électron soumis à l’action d’un noyau atomique,
- à l’échelle astronomique lorsque nous observons, par exemple, le mouvement des astres
soumis à la force de gravitation du Soleil....
Ce dernier cas a été étudié par Kepler, qui énonça trois lois expérimentales sur le mouvement des planètes (1604 à 1618) à la suite d’études systématiques d’observations de Tycho
Brahé. C’est à partir de ces lois que Newton a édifié sa théorie mécanique.
1
forces centrales conservatives
1.1
définitions
Soit O un point fixe du référentiel R d’étude. Lorsqu’en tout point M de l’es−−−→
−−→
pace, un point matériel est soumis à une force F (M ) colinéaire au vecteur OM ,
on dit qu’il existe dans l’espace un champ de forces centrales : en coordonnées
sphériques,
→
−
−
F = F (r) →
er
- O est appelé centre de force.
→
−
- Un champ de forces centrales est un champ de forces conservatives si F dérive
d’une énergie potentielle :
→
−
δW ( F ) = −dEp
−−→
−−→
−
−
−
−
−
Comme OM = r→
er , dOM = dr→
er + rd→
er avec →
er .d→
er = 0
→
−
→
− −−→
δW ( F ) = F .dOM
→
−
δW ( F ) = Fr .dr
F (r) = −
1.2
dEp
dr
exemples de forces centrales conservatives
1. force de gravitation
Soient deux points matériels M1 et M2 , de masses gravitationnelles (supposées égales
à leurs masses inertes) m1 et m2
−−−−→
−−−→
−−−→
m1 m2 M1 M2
F1→2 = −F2→1 = −G
(M1 M2 )2 M1 M2
avec G = 6, 67.10−11 kg −1 . m3 . s−2
Dans le cas où M de masse m est attiré par un centre de force fixe O dans le
référentiel d’étude, de masse m0 m, M est soumis à la force centrale
→
−
m0 m −
F = −G 2 →
er
r
→
−
→
− −−→
Gmm0 −
dr
−
−
δW ( F ) = F .dOM = − 2 →
er .(dr →
er + r d→
er ) = −Gmm0 2 = −dEp
r
r
2
Gmm0
en prenant Ep (∞) = 0
r
2. force électrostatique
Soient les points matériels M1 de charge q1 et M2 de charge q2
−−−−→
−−−→
−−−→
1
q 1 q 2 M1 M 2
F1→2 = −F2→1 =
4π0 (M1 M2 )2 M1 M2
avec Ep = −
avec
1
= 9.109 S.I.
4π0
Dans le cas où M de charge q et de masse m est attiré ou repoussé par un centre
de force fixe O dans le référentiel d’étude, de charge q 0 et de masse m0 m, M est
soumis à la force centrale
→
−
1 q0q →
−
F =
er
4π0 r2
qq 0
→
−
→
− −−→
qq 0 dr
4π −
−
−
δW ( F ) = F .dOM = 2 0 →
er .(dr →
er + r d→
er ) =
= −dEp
r
4π0 r2
qq 0
4π0
avec Ep =
en prenant Ep (∞) = 0
r
2
propriétés des mouvements à force centrale
Soit un point matériel M soumis dans le référentiel d’étude supposé galiléen à un champ
de forces centrales conservatives de centre O fixe.
2.1
2.1.1
conservation du moment cinétique
planéité du mouvement
D’après le théorème du moment cinétique en O,
−−−−→
−−−−→ −
→
−→ −−→ →
−
dLO (M ) −−−−−
→
−
−
= MO ( F ) = OM ∧ F = r →
er ∧ F (r) →
e r = 0 ⇒ LO (M ) = cte
dt
le moment cinétique du point matériel M au centre de force O se conserve.
−−−−→ −−→
−→ −
→
− −−→
→ −−→
−
−
Comme LO (M ) = OM ∧ m→
v = 0 , OM et →
v restent perpendiculaires à LO = cte.OM
−→ −
→
−
et →
v sont donc contenus dans le plan perpendiculaire à LO = cte :
le mouvement est plan.
2.1.2
intégrale première du mouvement
Dans ce plan, choisissons les coordonnées polaires (r, θ), la base cylindrique correspondante
−
−
−
étant (→
er , →
eθ , →
ez )
−−→
−
→
−
−
−
OM = r →
er
v = ṙ →
er + rθ̇ →
eθ
−−−−→ −−→
−
−
L (M ) = OM ∧ m→
v = mr2 θ̇ →
e
z
O
−→ −
→
comme LO = cte
r2 θ̇ = cte = C
Cette relation est une intégrale première du mouvement, C est la constante des aires.
3
2.1.3
Loi des aires
−−→
L’aire balayée par le rayon vecteur OM pendant dt est
1 −
1
−
dA = rk→
e r ∧ d(r→
e r )k = r2 |dθ|
2
2
La vitesse aréolaire
dA
1
1
= r2 |θ̇| = |C| = cte
dt
2
2
Les aires balayées pendant des durées égales sont égales. M accélère lorsqu’il
se rapproche du centre de force et ralentit lorsqu’il s’en éloigne.
2.2
conservation de l’énergie mécanique
2.2.1 Intégrale première du mouvement
→
−
−
F = F (r) →
er dérivant d’une énergie potentielle Ep (r), l’énergie mécanique se conserve
1
Em = m(ṙ2 + r2 θ̇2 ) + Ep (r) = cte
2
ce qui constitue aussi une intégrale première du mouvement
2.2.2
Énergie potentielle effective
1
1
Em = mṙ2 + mr2 θ̇2 + Ep (r)
2
2
1 2 2
m
m
mr θ̇ = 2 (r2 θ̇)2 = 2 C 2
2
2r
2r
mC 2
1
Em = mṙ2 +
+ Ep (r)
2
2r2
L’énergie mécanique ne dépend plus que de ṙ et r :
1
- le terme mṙ2 est appelé énergie cinétique radiale
2
mC 2
- le terme
+ Ep (r) = Ep,ef f est appelé énergie potentielle effective
2r2
1
Em = mṙ2 + Ep ef f (r) = cte
2
2.2.3
États de diffusion, états liés
1 2
mṙ étant positif, Em = cte est la plus grande valeur que puisse
2
prendre Ep ef f (r) ; les valeurs de r pour lesquelles Ep,ef f > Em sont donc inaccessibles.
Le terme cinétique
- Cas d’une force répulsive :
Pour une force centrale conservative répulsive, Ep (r) est décroissante et Ep ef f (r) l’est
4
aussi, ; on obtient une représentation graphique d’allure :
On se retrouve dans une configuration de barrière de potentiel : les valeurs de r au cours
du mouvement varient entre rmin et +∞. Le point M s’éloigne de O jusqu’à l’infini : on
parle d’état de diffusion
- cas d’une force centrale attractive :
Ep ef f étant la somme d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante, elle peut
présenter un minimum, comme par exemple dans le graphique ci-dessous.
Dans le cas 1, on est ramené à un état de diffusion. Dans le cas 2, rmin ≤ r ≤ rmax : on
parle d’état lié.
3
3.1
mouvement dans un champ de forces centrales newtonien
définition
→
−
α−
Un champ de forces centrales est dit Newtonien s’il est de la forme F = − 2 →
er
r
α
L’énergie potentielle associée est de la forme Ep = − + cte . Il est attractif si α > 0 et
r
répulsif sinon.
exemple : le champ de gravitation d’un astre sphérique est newtonien, avec α = mM G
exemple 2 : le champ de forces électrostatiques engendré par une charge Q au point O
1
est newtonien, avec α = −
qQ
4πε20
3.2
équation de la trajectoire
Soit un point matériel M de masse m soumis dans le référentiel d’étude, supposé galiléen,
à un champ de forces centrales newtonien dont le centre de force est O.
Le mouvement est plan. On se place donc en coordonnées polaires (r,θ).
D’après la relation fondamentale de la dynamique,
m
−→ →
d−
v−
−
α−
M,R
= F = − 2→
er
dt
r
5
−→
−
d−
v−
eθ
α d→
M,R
= 2
dt
r θ̇dt
−
−
−
→
−
dvM,R
eθ
α d→
m
=
dt
C dt
m
Cm −−→
→
−
−
e = −→
eθ +
vm,R est constant
α
→
−
e est appelé vecteur excentricité.
La norme e du vecteur excentricité et l’angle θ0 sont constants.
Cm
→
−
−
e .→
eθ = −1 +
rθ̇
α
e cos(θ − θ0 ) = −1 +
C 2m
αr
mC 2
α
r=
1 + e cos(θ − θ0 )
mC 2
Il s’agit de l’équation d’une conique de paramètre p =
et d’excentricité e, dont l’oriα
gine O est l’un des foyers et d’axe focal la droite de direction θ = θ0 .
De la même façon que l’on peut choisir les coordonnées polaires du plan du mouvement
de façon que θ̇ soit positive, on peut également faire en sorte que l’origine de θ soit l’axe
p
focal ; on a alors une équation du type r =
. On constate donc que le vecteur
1 + e cos θ
excentricité a pour norme l’excentricité de la trajectoire et que sa direction est
normale à l’axe focal.
On peut à partir de la connaissance des conditions initiales ou d’un point particulier de la
trajectoire connaître la nature de celle-ci : si la force est attractive, α > 0. La trajectoire
peut alors être
1. une ellipse (0 < e < 1)
2. une parabole (e = 1)
3. une hyperbole (e > 1)
4. un cercle (e = 0)
3.3
relation entre l’énergie mécanique, l’énergie potentielle effective et
le type de trajectoire
Ep,ef f =
mC 2 α
mC 2
+
E
(r)
=
−
p
2r2
2r2
r
6
3.3.1
cas d’une force attractive
mC 2
1 α2
Ep,ef f est minimale pour r1 =
. On a alors Ep,ef fmin = −
<0
α
2 mC 2
Ep,ef f tend vers 0 quand r tend vers +∞ et vers +∞ quand r tend vers 0.
Cm −−→
−
−
Par ailleurs, →
e = −→
eθ +
vm,R donc
α
e2 = (
En particulier, en r1 , e2 = (

mC ṙ 2
mC 2
− 1)2 + (
)
αr
α
mC 2
mC ṙ 2
− 1)2 + (
)
2
α
mC
α
α
2

 mC 2
mC 2 2

e2 = 
 mC 2 − 1 + ( α ) ∗ m (Em − Ep,ef fmin )
α
α
Em =
α2
(e2 − 1)
2mC 2
1. Une énergie mécanique strictement négative conduit à un état lié, et e <
1. la trajectoire est alors une ellipse de foyer O. Nous reviendrons ultérieurement plus en
détail sur le mouvement elliptique.
Dans le cas particulier où Em = Ep,ef fmin , rmin = rmax et la trajectoire est un cercle.
2. Une énergie mécanique strictement positive (e > 1) conduit à une trajectoire
hyperbolique. On constate alors que lorsque r → ∞, Ecradiale → EM et donc ṙ tend vers
C
une limite finie non nulle. Dans le même temps, puisque θ̇ = 2 , θ → 0 et donc θ tend vers
r
une valeur particulière. Le mouvement tend donc vers un mouvement rectiligne uniforme
ce qui signifie que la trajectoire possède une asymptote à l’infini, c’est donc une hyperbole
dont seule l’une des deux branches est évidemment parcourue.
3. Une énergie mécanique nulle conduit à une trajectoire parabolique (e=1).
7
A l’infini, la vitesse tend vers zéro.
Ce cas correspondant à une énergie mécanique exactement nulle est plus théorique que
réellement physique. Il s’agit en pratique d’une transition entre un mouvement elliptique
de forte excentricité et un mouvement hyperbolique. Cette façon de voir les choses justifie
que le foyer reste à l’intérieur de la trajectoire.
3.3.2
cas d’une force répulsive
Dans ce cas, Ep,ef f n’admet pas de minimum et tend vers 0 à l’infini. Seul un état de
diffusion est possible. De plus, lorsque r → ∞, Ecradiale → EM donc la vitesse tend vers
une valeur particulière. La trajectoire est donc une hyperbole.
3.4
3.4.1
étude du mouvement elliptique
lois de Kepler
Ce sont des lois énoncées en 1609 par Johannes KEPLER (1571-1630) dans son ouvrage
Astronomia nova (l’Astronomie nouvelle). Celui-ci est chargé en 1600 par Tycho BRAHE
(1546- 1601) d’étudier l’orbite de Mars. Tycho BRAHE remet en cause le système de Ptolémée mais reste partisan d’un système géocentrique ; il est convaincu que l’amélioration
de l’astronomie passe par l’accumulation d’observations précises du ciel. Il va pour cela
améliorer de nombreux instruments, refaisant les mesures avec des instruments différents
de façon éliminer le plus possible les erreurs : la précision atteinte est voisine de deux
minutes d’arc, soit une amélioration d’un facteur dix par rapport à ses prédécesseurs.
KEPLER va profiter de la somme d’observations accumulées par T. BRAHE ; après huit
années d’efforts, il renonce à la théorie du mouvement circulaire uniforme pour admettre
que l’orbite de Mars est une ellipse dont le Soleil est l’un des foyers.
1reloi : les planètes autour du Soleil décrivent des ellipses dont l’un des foyers est occupé par le Soleil.
2eloi : le mouvement d’une planète obéit à la loi des aires ; pendant des durées égales
−−→
C
∆t, le rayon vecteur OM balaye des aires égales à S = ∆t où C est la constante des
2
aires liée la planète considérée.
3eloi :
4π 2
T2
=
a3
GMS
où T est la période de révolution elliptique de la planète autour du Soleil, a le demi grandaxe de la trajectoire elliptique et MS la masse du Soleil ; la masse de la planète n’intervient
pas.
Démonstration de la troisième loi :
Pendant une période T, la planète balaie une aire S =
a2 b2 =
De plus, p =
b2
mC 2
=
a
α
C2 2
T
4π 2
b2
mC 2
=
a
GmMS
8
C
T = πab.
2
4π 2 a2 b2
m
b2
T2
=
a
GmMS
T2
4π 2
=
a3
GMS
3.4.2
énergie et demi grand axe
ra et rp , rayons de l’apocentre et du péricentre sont les extrema du rayon et correspondent
donc à ṙ= 0 . En reprenant l’intégrale première de l’énergie, ra et rp sont donc les racines
de l’équation
C2
α
Em = m 2 −
2r
r
2
1 C
α
r− m
=0
r2 +
Em
2 Em
α
On a donc ra + rp = −
et est aussi égal à 2a (cf. schéma), d’où
Em
Em = −
α
2a
p
p
2p
+
=
, ce qui permet, connaissant Em de remonter
1+e 1−e
1 − e2
à la valeur de l’excentricité.
Par ailleurs, ra + rp =
3.5
3.5.1
cas particulier des trajectoires circulaires
vitesse, énergie mécanique et période
Dans ce cas, ṙ = 0 et r2 θ̇ = C donc θ̇ = cte : le mouvement est uniforme.
L’accélération est centripète donc
v2
GmM
=−
R
R2
r
GM
v=
R
−m
D’après ce qui précède, Em = −
α
2R
Par ailleurs, d’après la troisième loi de Kepler,
3.5.2
T2
4π 2
=
R3
GM
vitesses cosmiques
L’étude du mouvement des satellites artificiels se fait dans le cadre suivant :
- le mouvement est décrit dans le référentiel géocentrique supposé galiléen .
- la seule force agissant sur le satellite est l’attraction gravitationnelle terrestre, en considérant que la Terre est un corps à répartition sphérique de masse (ce qui permet d’attribuer
au satellite une énergie potentielle newtonienne). On étudie donc la phase dite "balistique"
et non la phase propulsée pendant laquelle le satellite est attaché à un lanceur.
- la trajectoire est supposée suffisamment haute pour pouvoir négliger les forces de traînée
aérodynamique dues à l’atmosphère et suffisamment basse pour pouvoir négliger l’influence
des autres astres (essentiellement la Lune et le Soleil) devant celle de la Terre.
- première vitesse cosmique : vitesse de satellisation en orbite basse :
9
L’orbite la plus proche de la Terre est une orbite
r circulaire de rayon avoisinant celui de la
GMT
.
Terre RT . La vitesse correspondante est v1 =
RT
Avec MT = 6.1024 kg et RT = 6400km, on obtient v1 = 7, 9.103 m.s−1 = 28, 5.103 km.h−1 ! ! !
- La deuxième vitesse cosmique ou vitesse de libération est la vitesse minimale à communiquer au voisinage de la Terre pour pouvoir s’en éloigner à l’infini. D’après ce qui précède la
trajectoire sera alors parabolique (pour une trajectoire hyperbolique on aurait un excédent
d’énergie cinétique) et donc
1
GmMT
Em = 0 = mv22 −
2
RT
r
donc v2 =
2GMT
. Numériquement :v2 = 11, 3.103 m.s−1 = 40, 7.103 km.h−1 .
RT
10