exercices

DEVOIR SURVEILLE: UE « Philosophie et histoire des mathématiques »
Licence de Mathématiques / Master de Philosophie.
Session 1 (2006).
Durée : 2 heures. Aucun document n’est autorisé.
I) Autour du début de la Géométrie de Descartes (7 pts) :
« Tous les problèmes de géométrie se peuvent facilement réduire à tels termes, qu’il n’est
besoin, par après, que de connaître la longueur de quelques lignes droites, pour les construire.
Et comme toute l’arithmétique n’est composée que de quatre […] opérations, qui sont :
l’addition, la soustraction, la multiplication, la division […] ; ainsi n’a-t-on autre chose à
faire, en géométrie, touchant les lignes qu’on cherche, pour les préparer à être connues, que
leur en ajouter d’autres, ou en ôter, en ayant une que je nommerai l’unité pour la rapporter
d’autant mieux aux nombres, et qui peut ordinairement être prise à discrétion, puis en ayant
encore deux autres, en trouver une quatrième, qui soit à l’une de ces deux comme l’autre est à
l’unité, ce qui est le même que la multiplication ; ou bien en trouver une quatrième, qui soit à
l’une de ces deux comme l’unité est à l’autre, ce qui est le même que la division […]
Et je ne craindrai pas d’introduire ces termes d’arithmétique en la géométrie, afin de me
rendre plus intelligible.
Soit par exemple AB l’unité, et qu’il faille multiplier BD par BC ; je n’ai qu’à joindre les
points A et C, puis tirer DE parallèle à CA, et BE est le produit de cette multiplication.
»
1) (1 pt)
Dans les Elements d’Euclide, quels sont les livres consacrés à l’arithmétique ? Quels sont les
livres consacrés à la géométrie ?
2) Descartes établit un parallèle, dans le second paragraphe du texte, entre géométrie et
arithmétique. Pouvez-vous expliquer en quoi cette comparaison est nouvelle par rapport à
l’approche euclidienne ? (2 pts)
3)
a) Expliquer la multiplication de BD par BE, dont Descartes parle à la fin du texte. Pour
Euclide, quel est le résultat de la multiplication d’un segment par un autre ? (2 pts)
b) A partir du calcul cartésien, donner une construction à la règle et au compas d’un segment
de longueur z, telle que z = az + b², où a et b sont des segments de longueurs a et b données (2
pts).
II) Irrationalités (8, 5 pts) :
1) Pouvez-vous expliquer ce qu’est l’algorithme d’Euclide ? Dans quel cas l’algorithme
termine ? Dans quel cas, il ne termine pas ?
(2 pts).
3) Exposer succinctement la théorie des irrationnels de Al-Kayyam. (2 pts)
4) Pouvez-vous expliquer la définition suivante que l’on trouve au livre V des Elements ? (2
pts)
« Déf. 5 : Des grandeurs sont dites être dans le même rapport, une première relativement à
une deuxième, et une troisième relativement à une quatrième, quand les équimultiples de la
première et de la troisième ou simultanément la dépassent, ou sont simultanément égaux ou
simultanément inférieurs à des équimultiples de la deuxième et de la quatrième, selon
n’importe quelle multiplication, chacun à chacun, et pris de manière correspondante. »
5) Comparer les deux définitions des irrationnels, celle de Al-Kayyam et celle d’Euclide (2, 5
pts) (15 lignes max.)
III) Sur l’origine du calcul différentiel (4, 5 pts) :
Quelles sont les principales critiques que l’on a adressées au calcul différentiel au XVIIème et
XVIIIème ?
Quelles sont les principales justifications qu’on a cherchées à donner à ce calcul ?
(20 lignes max.)