Équations diophantiennes du premier degré

Équations diophantiennes du premier degré
Z, auctore
3 octobre 2007
Résumé
Soient a, b, c trois entiers. Résoudre l’équation diophantienne
ax + by = c.
consiste à déteminer toutes les paires de nombres entiers x et y qui
en sont solution. Dans la suite, on étudie d’abord un exemple particulier
avant de considérer le problème en toute généralité.
On suppose connus la division euclidienne, les notions de pgcd et de
nombres premiers entre eux, les théorèmes de Bachet et de Gauss.
§ 1. Résolution d’une équation particulière. Considérons l’équation
(1)
7x + 12y = 5.
Il est clair que x = −1 et y = 1 est une solution de cette équation puisque
7 × (−1) + 12 × 1 = 5.
(2)
Pour éliminer le terme constant 5, soustrayons (1) et (2) :
7(x + 1) + 12(y − 1) = 0.
On en déduit que
7(x + 1) = 12(1 − y)
(3)
où tous les nombres en jeu sont entiers. Les nombres 7 et 12 étant premiers entre
eux, on voit1 ainsi que 7 divise (1 − y) et que 12 divise (x + 1). Il doit donc
exister deux entiers k et k 0 tels que
x + 1 = 12k
et
1 − y = 7k 0 .
Alors, l’égalité (3) devient
7 × 12k = 12 × 7k 0 .
Ceci montre que k = k 0 . Donc pour un certain entier k, on a
x + 1 = 12k
et
1 − y = 7k.
1. C’est le théorème de Gauss : si a divise bc, et si a est premier avec b, alors a divise
nécessairement c.
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c’est-à-dire que si x et y sont solution de l’équation (1), alors
x = −1 + 12k
y = 1 − 7k
et
pour un certain k ∈ Z. Réciproquement, on voit que
7 × (−1 + 12k) + 12 × (1 − 7k) = −7 + 84k + 12 − 84k = 5.
Les solutions sont donc exactement les couples
(4)
(x = −1 + 12k ; y = 1 − 7k), k ∈ Z.
Exercice 1. Résoudre l’équation 13x − 8y = 21 en remarquant qu’une solution particulière
est donnée par x = 1, y = −1.
§ 2. Généralisation. L’exemple précédent laisse penser que la connaissance
d’une solution particulière détermine toutes les autres en fonction des coefficients
de l’équation. Ceci est parfaitement général, moyennant une condition sur les
coefficients.
Propriété 1. Soient a et b deux nombres premiers entre eux. Soit (x0 ; y0 )
une solution particulière de l’équation
ax + by = c.
Alors elle possède une infinité de solutions qui sont toutes données par
(x = x0 + bk ; y = y0 − ak), k ∈ Z.
Démonstration. La démarche suit exactement l’exemple de la résolution de l’équation (1). On suppose que
ax0 + by0 = c.
Si x, y est une autre solution de l’équation, alors on a
ax + by = c
et par différence
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) = 0,
c’est-à-dire
a(x − x0 ) = b(y0 − y).
C’est ici que le fait que a et b sont premiers entre eux intervient de façon cruciale :
avec le théorème de Gauss, on en déduit que a est un diviseur de (y0 − y) et que b est
un diviseur de (x − x0 ). On peut donc écrire, pour deux entiers k et k0 convenables
x − x0 = bk
et
y0 − y = ak0 .
Donc l’égalité a(x − x0 ) = b(y0 − y) devient
abk = bak0
ce qui montre que
k = k0 .
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On en déduit finalement que, pour un certain k entier
x = x0 + bk
et
y = y0 − ak.
Il reste à vérifier réciproquement que de telles combinaisons fournissent des solutions
de l’équation initiale :
a(x0 + bk) + b(y0 − ak) = ax0 + by0 +abk − bak = c,
|
{z
}
c
ce qui achève la démonstration.
On peut se demander à quelle condition il est possible de trouver une solution
particulière.
Propriété 2. Soit d = pgcd (a ; b). L’équation ax + by = c possède des
solutions si et seulement si d divise le terme constant c.
En particulier, l’équation ax + by = 1 admet des solutions si et seulement
si a et b sont premiers entre eux.
Démonstration. Supposons que (x0 ; y0 ) soit une solution de l’équation ; alors d divise
bien entendu ax0 +by0 et dans ce cas, d divise c = ax0 +by0 . Réciproquement, supposons
qu’il existe u tel que c = du. On sait d’après le théorème de Bachet2 qu’on peut
trouver deux entiers x1 , y1 tels que
ax1 + by1 = d.
En multipliant par u, on obtient
ax1 u + by1 u = du
c’est-à-dire l’existence de x et y tels que ax + by = c.
D’après cette propriété, il est inutile d’espérer trouver des entiers x et y qui
soient solution de l’équation
21x + 12y = 50
puisque pgcd (21 ; 12) = 3 et 50 n’est pas divisible par 3.
§ 3. Obtention d’une solution particulière. L’expérimentation peut permettre de trouver rapidement une solution particulière d’une équation diophantienne du premier degré. Par exemple, pour l’équation
7x + 5y = 2,
il est facile de voir (dans les tables !) que les nombres 42 et −40 conviennent,
c’est-à-dire que x = 6 et y = −8 conviennent.
De façon plus générale, c’est la « remontée » des égalités de l’algorithme d’Euclide
qui fournit une relation de Bachet entre les entiers a et b : on peut toujours
trouver explicitement deux entiers x, y tels que
ax + by = pgcd (a ; b).
2. il concerne les nombres entiers ; Bezout a étendu ce résultat aux polynômes.
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Exemple.
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Pour résoudre l’équation diophantienne
(5)
217x + 34y = 2
on cherche le pgcd des nombres 217 et 34.
On part du pgcd 1 et on « remonte » en
remplaçant les restes successifs :
L’algorithme d’Euclide donne :
217 = 34 × 6 + 13
1=3−2×1
= 3 − (5 − 3 × 1)
34 = 13 × 2 + 8
=3×2−5
= (8 − 5 × 1) × 2 − 5
13 = 8 × 1 + 5
=8×2−5×3
= 8 × 2 − (13 − 8 × 1) × 3
8=5×1+3
= 8 × 5 − 13 × 3
= (34 − 13 × 2) × 5 − 13 × 3
5=3×1+2
= 34 × 5 − 13 × 13
= 34 × 5 − (217 − 34 × 6) × 13
3=2×1+ 1
d’où la relation cherchée
2 = 1 × 2.
34 × 83 − 217 × 13 = 1
Ainsi, x = −13 et y = 83 forment une solution de l’équation
217x + 34y = 1.
Une solution particulière de l’équation (5) est x = −26, y = 166 :
217 × (−26) + 34 × 166 = 2.
Puisque les coefficients de x et y sont premiers entre eux, on en déduit que toutes
les solutions de cette équation sont données par
(x = −26 + 34k ; y = 166 − 217k), k ∈ Z.
Exemple.
(6)
Pour l’équation
544x − 944y = 160
on cherche d’abord le pgcd des nombres 944 et 544.
L’algorithme d’Euclide donne :
944 = 544 × 1 + 400
544 = 400 × 1 + 144
400 = 144 × 2 + 112
144 = 112 × 1 + 32
112 = 32 × 3 + 16
32 = 16 × 2.
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Le pgcd est 16 ; il divise le terme constant 160. On simplifie les coefficients de
l’équation (6), qui devient de façon équivalente
34x − 59y = 10,
(7)
les coefficients 34 et 59 étant maintenant premiers entre eux. Après quelques
calculs3 , on obtient une relation de Bachet :
15 × 59 − 34 × 26 = 1.
L’équation (7) admet donc la solution particulière x = −260, y = −150. On en
déduit toutes les solutions de (7) – et donc de (6) :
(x = −260 + 59k ; y = −150 + 34k), k ∈ Z.
§ 4. Méthode. De façon générale, pour résoudre une équation diophantienne
ax + by = c,
la démarche consiste à
1. déterminer le pgcd d des coefficients a et b et s’assurer qu’il divise le terme
constant c,
2. diviser les coefficients de l’équation par d, pour former l’équation équivalente
a0 x + b0 y = c0 ,
avec a0 , b0 premiers entre eux,
3. en déterminer une solution particulière x0 , y0 , puis toutes les solutions
avec x = x0 + b0 k, y = y0 − a0 k, pour tout k ∈ Z,
C’est la troisième étape qui est la plus délicate, demandant la remontée de
l’algorithme d’Euclide ou l’obtention « à vue » d’une solution particulière.
Exercice 2. Trouver une solution particulière puis résoudre chacune des équations diophantiennes suivantes.
(8)
65x + 104y = 26
(9)
56x − 21y = 105
(10)
14x + 20y = 7.
3. toujours en remontant l’algorithme d’Euclide
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