Équations diophantiennes du premier degré

Équations diophantiennes du premier degré
Z, auctore
3 octobre 2007
Résumé
Soient a,b,ctrois entiers. Résoudre l’équation diophantienne
ax +by =c.
consiste à déteminer toutes les paires de nombres entiers xetyqui
en sontsolution.Dans la suite,on étudie d’abord un exemple particulier
avant de considérer le problème en toute généralité.
On suppose connus la division euclidienne, les notions de pgcd etde
nombres premiers entre eux, les théorèmes de Bachet et de Gauss.
§ 1. Résolution d’une équation particulière. Considérons l’équation
(1) 7x+ 12y= 5.
Il est clair que x=−1et y= 1 est une solution de cette équation puisque
(2) 7×(−1) + 12 ×1 = 5.
Pour éliminer le terme constant 5, soustrayons (1) et (2) :
7(x+ 1) + 12(y−1) = 0.
On en déduit que
(3) 7(x+ 1) = 12(1 −y)
où tous les nombres en jeu sontentiers. Les nombres 7et 12 étantpremiers entre
eux, on voit1ainsique 7divise (1 −y)etque 12 divise (x+ 1). Il doit donc
exister deux entiers ket k0tels que
x+ 1 = 12ket 1−y= 7k0.
Alors, l’égalité (3) devient
7×12k= 12 ×7k0.
Ceci montre que k=k0. Donc pour un certain entier k, on a
x+ 1 = 12ket 1−y= 7k.
1.C’est lethéorème de Gauss :siadivise bc,etsiaestpremieravec b,alorsadivise
nécessairement c.
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c’est-à-dire que si xet ysont solution de l’équation (1), alors
x=−1 + 12ket y= 1 −7k
pour un certain k∈Z. Réciproquement, on voit que
7×(−1 + 12k) + 12 ×(1 −7k) = −7 + 84k+ 12 −84k= 5.
Les solutions sont donc exactement les couples
(4) (x=−1 + 12k;y= 1 −7k), k ∈Z.
Exercice 1. Résoudrel’équation 13x−8y= 21 en remarquantqu’une solution particulière
est donnée par x= 1,y=−1.
§ 2. Généralisation. L’exemple précédent laisse penserque la connaissance
d’une solution particulière détermine toutes les autres en fonction des coefficients
de l’équation.Ceciestparfaitementgénéral, moyennantune condition sur les
coefficients.
Propriété 1. Soientaetbdeuxnombres premiers entre eux. Soit (x0;y0)
une solution particulière de l’équation
ax +by =c.
Alors elle possède une infinité de solutions qui sont toutes données par
(x=x0+bk ;y=y0−ak), k ∈Z.
Démonstration. La démarche suit exactement l’exemple de larésolution de l’équa-
tion (1). On suppose que
ax0+by0=c.
Si x,yest une autre solution de l’équation, alors on a
ax +by =c
et par différence
a(x−x0) + b(y−y0) = 0,
c’est-à-dire
a(x−x0) = b(y0−y).
C’est icique lefait que aetbsontpremiers entre eux intervientde façon cruciale :
avec lethéorème de Gauss,on en déduit que aestun diviseurde (y0−y)etque best
un diviseur de (x−x0). On peut donc écrire, pour deux entiers ket k0convenables
x−x0=bk et y0−y=ak0.
Donc l’égalité a(x−x0) = b(y0−y)devient
abk =bak0
ce qui montre que
k=k0.
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On en déduit finalement que, pour un certain kentier
x=x0+bk et y=y0−ak.
Il reste à vérifier réciproquementque de telles combinaisons fournissentdes solutions
de l’équation initiale :
a(x0+bk) + b(y0−ak) = ax0+by0
c
+abk −bak =c,
ce qui achève la démonstration.
On peutse demanderà quelle condition il estpossible de trouverune solution
particulière.
Propriété 2. Soit d=pgcd (a;b). L’équation ax +by =cpossède des
solutions si et seulement si ddivise le terme constant c.
En particulier, l’équation ax +by = 1 admetdes solutions sietseulement
si aet bsont premiers entre eux.
Démonstration. Supposons que (x0;y0)soit une solution de l’équation ;alorsddivise
bien entendu ax0+by0etdans ce cas,ddivise c=ax0+by0.Réciproquement, supposons
qu’il existeutelque c=du.On sait d’après lethéorème de Bachet2qu’on peut
trouver deux entiers x1,y1tels que
ax1+by1=d.
En multipliant par u, on obtient
ax1u+by1u=du
c’est-à-dire l’existence de xet ytels que ax +by =c.
D’après cette propriété, il est inutile d’espérer trouverdes entiersxetyqui
soient solution de l’équation
21x+ 12y= 50
puisque pgcd (21 ; 12) = 3 et 50 n’est pas divisible par 3.
§ 3. Obtention d’une solution particulière. L’expérimentation peutper-
mettre de trouver rapidementune solution particulière d’une équation diophan-
tienne du premier degré. Par exemple, pour l’équation
7x+ 5y= 2,
il est facile de voir (dans les tables !) que les nombres 42 et−40 conviennent,
c’est-à-dire que x= 6 et y=−8conviennent.
Defaçon plus générale,c’est la« remontée »des égalités de l’algorithme d’Euclide
qui fournit une relation de Bachetentreles entiersaetb:on peut toujours
trouver explicitement deux entiers x,ytels que
ax +by =pgcd (a;b).
2. il concerne les nombres entiers ; Bezout a étendu ce résultat aux polynômes.
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Exemple. Pour résoudre l’équation diophantienne
(5) 217x+ 34y= 2
on cherche le pgcd des nombres 217 et 34.
L’algorithme d’Euclide donne :
217 = 34 ×6 + 13
34 = 13 ×2 + 8
13 = 8 ×1 + 5
8 = 5 ×1 + 3
5 = 3 ×1 + 2
3 = 2 ×1 + 1
2 = 1 ×2.
On part du pgcd 1eton « remonte»en
remplaçant les restes successifs :
1 = 3 −2×1
= 3 −(5 −3×1)
=3×2−5
= (8 −5×1) ×2−5
= 8 ×2−5×3
= 8 ×2−(13 −8×1) ×3
=8×5−13 ×3
= (34 −13 ×2) ×5−13 ×3
= 34 ×5−13 ×13
= 34 ×5−(217 −34 ×6) ×13
d’où la relation cherchée
34 ×83 −217 ×13 = 1
Ainsi, x=−13 et y= 83 forment une solution de l’équation
217x+ 34y= 1.
Une solution particulière de l’équation (5) est x=−26,y= 166 :
217 ×(−26) + 34 ×166 = 2.
Puisque les coefficients de xetysontpremiers entre eux, on en déduit que toutes
les solutions de cette équation sont données par
(x=−26 + 34k;y= 166 −217k), k ∈Z.
Exemple. Pour l’équation
(6) 544x−944y= 160
on cherche d’abord le pgcd des nombres 944 et 544.
L’algorithme d’Euclide donne :
944 = 544 ×1 + 400
544 = 400 ×1 + 144
400 = 144 ×2 + 112
144 = 112 ×1 + 32
112 = 32 ×3 + 16
32 = 16 ×2.
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Le pgcd est 16; il divise leterme constant 160. On simplifieles coefficients de
l’équation (6), qui devient de façon équivalente
(7) 34x−59y= 10,
les coefficients 34et 59 étantmaintenantpremiers entre eux. Après quelques
calculs3, on obtient une relation de Bachet :
15 ×59 −34 ×26 = 1.
L’équation (7) admet donc la solution particulière x=−260,y=−150.On en
déduit toutes les solutions de (7) – et donc de (6) :
(x=−260 + 59k;y=−150 + 34k), k ∈Z.
§ 4. Méthode. Defaçon générale,pour résoudre une équation diophantienne
ax +by =c,
la démarche consiste à
1. déterminer le pgcd ddes coefficientsaetbets’assurerqu’il divise leterme
constant c,
2. diviser les coefficients de l’équation pard,pour former l’équation équiva-
lente
a0x+b0y=c0,
avec a0,b0premiers entre eux,
3. en déterminerune solution particulièrex0,y0,puistoutes les solutions
avec x=x0+b0k, y =y0−a0k, pour tout k∈Z,
C’est latroisième étape quiest la plus délicate,demandant laremontée de
l’algorithme d’Euclide ou l’obtention « à vue » d’une solution particulière.
Exercice 2. Trouver une solution particulière puis résoudre chacune des équations diophan-
tiennes suivantes.
65x+ 104y= 26(8)
56x−21y= 105(9)
14x+ 20y= 7.(10)
3. toujours en remontant l’algorithme d’Euclide
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