1 Fonctions circulaires I. Les mesures d`un angle orienté 1°/ Le

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Fonctions circulaires
I. Les mesures d’un angle orienté
1°/ Le cercle trigonométrique
On munit le plan d’un repère orthonormal
, on considère le cercle de centre
On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre
montre , ou encore sens direct ou positif.
et de rayon 1.
de rayon 1, parcouru dans le sens contraire des aiguilles d’une
Remarques : le sens des aiguilles d’une montre est dit indirect ( ou négatif )
la longueur du cercle trigonométrique est
2°/ Le radian et les mesures d’un angle
Le radian est une unité de mesure d’angle, on la note rad
 Sur le cercle trigonométrique, un angle au centre mesure 1 radian lorsqu’il intercepte un arc de longueur 1 unité
( longueur d’arc égale au rayon du cercle )
Un angle plat intercepte un demi-cercle, il mesure donc
radians ( ce qui correspond à 180 degrés )
Un angle droit intercepte un quart de cercle, il mesure donc


radians ( ce qui correspond à 90 degrés )
La mesure d’un angle orienté est la mesure de l’arc intercepté sur le cercle par cet angle.
Mesure positive dans le sens direct, négative dans le sens indirect.
Un angle orienté a une infinité de mesures
Quelques exemples :
En posant
, l’angle
l’angle
Conversion des mesures entre degrés et radians , il y a proportionnalité.
Mesure en degrés
180
90
45
( Voir votre livre page 51 )
-15
Mesure en radians

La mesure principale d’un angle orienté est celle appartenant à l’intervalle
Exemples :
2
3°/ Des mesures principales à bien connaître : mesures remarquables
On munit le plan d’un repère orthonormal
, et on pose :
,
(voir aussi livre page 50 : activité et cours )
II. Le cosinus et le sinus d’un angle orienté.
1°/ Définitions
On considère un point M du cercle trigonométrique, et une mesure en radians de l’angle orienté
Le cosinus de est l’abscisse de
le sinus de est l’ordonnée de
Quelques exemples de lecture sur le cercle :
2°/ Propriétés des cosinus et sinus
Pour tout réel
Propriété fondamentale :
3°/ Valeurs remarquables
0
3
III. Angles associés
Les points
est une mesure en radians de l’angle
a pour mesure –
a pour mesure
a pour mesure
a pour mesure
a pour mesure
Des symétries par rapport à :
l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées, le centre O,
on déduit :
Pour tout réel
Applications :
Voir votre livre page 55
Ex 1 : Simplifier les expressions suivantes :
EX 2 : Donner, à l’aide des angles associés, les valeurs exactes des sinus et cosinus suivants :
;
4
Résumé sur les signes de sinus et cosinus :
IV. Résolution d’équations trigonométriques
et
du type
où
L’équation
et
sont des réels
est équivalente à :
ou
avec
L’équation
entier relatif
est équivalente à :
ou
avec
entier relatif
Exemples : Résoudre dans ℝ , les équations suivantes
Dans chaque cas, on donnera toutes les solutions, puis, quelques valeurs particulières
1.
2.
3.
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4.
On pose
5.
, et on résout
On pose
, et on résout