Probl`emes d`arithmétique 2

Université Joseph Fourier, Grenoble.
L2 MAT235.
Problèmes d’arithmétique 2
Problème 1 Dans cet exercice nous étudions les puissances du nombre 5 modulo
36.
a. En employant le théorème d’Euler, montrer que
512 ≡ 1(mod 36).
b. Trouver le reste du nombre 541 après division par 36
c. Trouver le plus petit nombre k ∈ N∗ tel que 5k ≡ 1(mod 36).
d. Trouver tous les nombres n ∈ N∗ tels que 5n ≡ 17(mod 36).
Problème 2 Le but de cet exercice est de démontrer l’existence d’un nombre
infini de premiers congrus à 3 modulo 4.
a. Soit n ∈ N∗ tel que n ≡ 3(mod 4). Démontrer qu’il existe un nombre premier p tel que p ≡ 3(mod 4) qui divise n.
b. Soient k ∈ N∗ et p1 , . . . , pk des nombres premiers congrus à 3 modulo 4.
Démontrer que le nombre n = 4p1 . . . pk − 1 admet un facteur premier p congru
à 3 modulo 4.
c. Démontrer que p 6= pi pour i = 1, . . . , k et en déduire qu’il existe une infinité
de nombres premiers congrus à 3 modulo 4.
Problème 3 On propose de déterminer les entiers n pour lesquels 4n2 + 3 est
un multiple de 13.
a. Démontrer que 13|4n2 +3 si et seulement si n est une solution de la congruence
4n2 ≡ 10 (mod 13).
b. Trouver les solutions de la congruence
4x ≡ 10 (mod 13),
c. Déterminer les entiers n pour lesquels 4n2 + 3 est un multiple de 13.
Problème 4 Un nombre n ∈ N \ {0, 1} est dit de Carmichael si n n’est pas
premier et bn−1 ≡ 1(mod n) pour tout nombre b ∈ Z tel que b ∧ n = 1. Le but
de cet exercice est de démontrer que 560 est un nombre de Carmichael.
a. Démontrer que si b ∧ 561 = 1, alors b ∧ 3 = 1, b ∧ 11 = 1 et b ∧ 17 = 1.
(Indication : 561 = 3 × 11 × 17.)
1
b. En déduire que b560 est une solution du système de congruences
x ≡
x ≡
1 (mod 3)
1 (mod 11)
x ≡
1 (mod 17).
c. En utilisant le théorème chinois, démontrer que 561 est un nombre de
Carmichael.
2