CHAPITRE 2 FONCTIONS HOLOMORPHES I. Fonctions

CHAPITRE 2
FONCTIONS HOLOMORPHES
I. Fonctions complexes d’une variable complexe
I.1 Isomorphisme entre R2et C
Le plan complexe Cporte deux structures d’espace vectoriel, il peut être identifié à
R2et c’est alors un R-espace de dimension 2, de base (1, i) par exemple ; ou considéré
canoniquement comme C-espace de dimension 1, de base (1).
L’application φ:R27−→ C
(x, y)z=x+iy
est un isomorphisme de R-espaces vecto-
riels.
Si fest une fonction définie dans Cau voisinage d’un point z, la fonction f◦φest
définie dans R2au voisinage du point (x, y).
Nous pourrons donc voir toute fonction définie sur Cà valeurs dans Ccomme une
fonction définie sur R2, à valeurs dans R2. Si z=x+iy est un point de Cnous écrirons
f(z) lorsque nous nous intéresserons aux propriétés « complexes » de fet f(x, y) lorsque
nous nous intéresserons aux propriétés « réelles » de f.
– Si fest définie dans Cil faudra lire f◦φ(x, y) lorsqu’on écrira f(x, y).
– Inversement si fdéfinie dans R2, il faudra lire f◦φ−1(z) lorsqu’on écrira f(z).
Cet abus de notation permettra d’alléger les écritures. Ces réflexions amènent à considérer
le diagramme commutatif suivant :
C C
z f(z)
R2R2
x
y! ˜
P(x, y)
˜
Q(x, y)!
f
˜
f
φ φ−1
avec f(z) = P(z) + iQ(z),
˜
f=φ−1◦f◦φ,
˜
P=φ−1◦P◦φ
et ˜ Q=φ−1◦Q◦φ.
(I.1.1)
L3 - Analyse Complexe Fabien PUCCI

36 Fonctions holomorphes
La fonction ˜ fpermet de définir la partie réelle et la partie imaginaire d’une application
complexe vue comme application sur R2:
f(x+iy) = P(x, y) + iQ(x, y).
Enfin, on munit R2de la topologie usuelle associée à la norme euclidienne k(x, y)k=qx2+y2
et Cde celle associée au module |z|.
I.2 Un premier exemple : f(z) = z2
Considérons la fonction fdéfinie par f(z) = z2, définie sur Ctout entier, pour laquelle
le diagramme I.1.1 devient :
C C
z z2
R2R2
x
y! x2−y2
2xy !
f
˜
f
φ φ−1
Toute le problème de représenter le graphe une fonction complexe f:U ⊂ C≡R27−→ C≡R2
est de disposer d’un repère de dimension isomorphe à R2×R2soit de dimension 4 (sic !).
Ces derniers étant plutôt rares, on doit contourner cette difficulté :
⋄On peut tracer des images de familles de courbes appropriées sous la transformation
w=f(z) assimilée à une transformation ˜ fde R2de R2.
On pose w=f(z) = u+iv.
1
1
y
x
O
Figure I.2.1 –Images réciproques de droites parallèles aux axes du plan (u, v)
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I.Fonctions complexes d’une variable complexe 37
– Les images réciproques des courbes u=cste et v=cste sont des hyperboles
d’équations respectives
x2−y2=uet xy =v
2.
Remarque: La figure I.2.1 représente aussi les courbes de niveaux des fonctions
˜
P(x, y) et ˜ Q(x, y).
– Les droites d’équation x=cste et y=cste sont transformées en des paraboles
d’équations respectives
u=x2−v2
4x2et u=v2 4y2−y2.(I.2.2)
1
1
v
u
O
Figure I.2.2 –Transformation de deux réseaux de droites verticales et horizontales
(parallèles aux axes du plan) par l’application z7−→ z2. On obtient, grâce à la
conformité (voir plus loin !) de cette application deux réseaux de courbes qui se
coupent à angle droit.
⋄On peut représenter dans un repère de R3les parties réelle ou imaginaire :
R2R R2R
x
y!x2−y2 x
y!2xy
˜
P˜
Q
⋄On peut représenter dans un repère de R3le module |f(z)|:
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38 Fonctions holomorphes
x
y
x2−y2
x
y
2xy
Figure I.2.3 –Parties réelle et imaginaire de z7−→ z2
xy
x2+y2
Figure I.2.4 –Représentation de z7−→ |f(z)|
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II.Fonctions holomorphes, C-différentiabilité 39
II. Fonctions holomorphes, C-différentiabilité
II.1 Propriétés élémentaires des fonctions holomorphes
Soient Uun ouvert de Cet z0∈ U. Une fonction f:U 7−→ Cest dite C-
différentiable en z0si le nombre
lim
z→z0
z∈C\{z0}
f(z)−f(z0)
z−z0
= lim
h→0
h6=0
f(z0+h)−f(z0)
h,(II.1.3)
existe. On note f′(z0) cette limite. C’est le nombre dérivé de fen z0.
On dit qu’une fonction est holomorphe sur Usi elle est C-différentiable en tout
point de U.
On note H(U) leur ensemble.
Définition II.II.1.1.
La propriété de C-différentiabilité est une propriété locale 1Dans la suite, nous em-
ploierons indifféremment le terme d’holomorphie pour une fonction C-dérivable en un
point ou sur un ouvert et lorsqu’elle est holomorphe sur U, il est alors possible de définir
son application dérivée
f′:U 7−→ C
z f′(z).
Nous verrons cependant que la notion d’holomorphie prend tout son sens lorsqu’elle
est reliée aux propriétés topologiques de son ouvert de définition.
De plus, même si la définition de f′(z0) est analogue à la définition de la dérivée d’une
fonction de variable réelle, on verra que les fonctions holomorphes ont des propriétés
beaucoup plus fortes que les fonctions dérivables de variable réelle mais comme sur R, la
relation (II.1.4) entraîne, qu’une fonction C-dérivable est nécessairement continue puisqu’il
revient au même de dire, au voisinage d’un point z0où fest holomorphe,
f(z0+h)−f(z0) = dfz0h+o(|h|),2(II.1.4)
où dfz0est une application C-linéaire
dfz0:C7−→ C
z f′(z0)z, (II.1.5)
donc continue en 0. Comme sur Rencore, la réciproque est fausse : il suffit de considérer
z7−→ ¯zci-après, continue sur Csans être holomorphe nulle part.
Exemples:
1. Notion qui passera donc bien à la limite uniforme notamment !
2. On dit qu’une fonction fde la variable complexe est un o(|h|) lorsque lim
h→0|f(h)|
|h|= 0
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