1 Action de Steinitz et aspects topologiques. Définition 1. Soient K

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Action de Steinitz et aspects topologiques.
Définition 1. Soient Kun corps et n, m ∈N∗,A, B ∈ Mn,m(K)sont dites équivalentes noté
A'Bsi et seulement si elles codent la même application linéaire φ∈ L(Km,Kn), ce qui équivaut
à ce qu’il existe P, Q)∈GLn(K)×GLm(K)tel que B=P AQ−1.
Objectif 1. Caractériser l’ensemble de ces matrices en termes d’actions de groupes.
Théorème 1. Action de Steinitz
Soit G=GLn(K)×GLm(K), alors GMn,m(K)par conjugaison via (P, Q).A =P AQ−1.
1. A'B⇐⇒ Aet Bont le même rang ⇐⇒ Orb(A) = Orb(B)
2. Mn,m(K) = F
0≤r≤min(n,m)
Oroù Ordésigne l’orbite des matrices de rang rdont un repré-
sentant particulier est la matrice Jr=Ir0
0 0.
Pour K=R,Cet Mn,m(K)muni de sa structure usuelle d’espace vectoriel normé :
Or=F
0≤k≤r
Okoù r∈[[0,min(n, m)]]
Démonstration. Vérifions brièvement que l’action de Steinitz est bien définie. Pour A∈ Mn,m(K)
et (P1, Q1),(P2, Q2)dans G, on a :
•(In,Im).A =A
•(P1, Q1).((P2, Q2).A) = P1(P2AQ−1
2)Q−1 1= (P1P2)A(Q1Q2)−1= (P1P2, Q1Q2).A
Etape 1 : Supposons A'B, alors Aet Breprésentant la même application linéaire u, elles ont
le même rang rg(A) = rg(B) = rg(u)(le rang d’une matrice est invariant par multiplication à
gauche ou à droite par une matrice inversible.)
Inversement, supposons rg(A) = rg(B) = r. Pour montrer que A'B, il suffit (par transitivité
de la relation ') de montrer qu’elles sont toutes deux équivalentes à une même matrice, en
l’occurence à la matrice Jrdéfinie par :
Jr=Ir0
0 0où Irdésigne la matrice identité de taille r.
Objectif : Montrer que Jrcode les application linéaires uA,uBcanoniquement associées à A,B
c’est-à-dire qu’il existe des bases e1,e2de Kmet f1,f2de Kndans lesquelles :
Mate1,f1(uA) = Jr=Mate2,f2(uB)(∇)
Traitons le cas de uA. Par le théorème du rang, on a dim(Ker(uA)) = dim(Ker(A)) = m−ret
il existe une base (ei)r+1≤i≤mde Ker(uA), de cardinal m−r, puis par le théorème de la base
incomplète, une famille libre (e1, . . . , er)telle que :
e1= (ei)1≤i≤msoit une base de Km.
On a ainsi construit une base e1de Kmadaptée au noyau de uA. Il reste désormais à construire
une base f1de Kntelle que la matrice de uAdans les bases (e1,f1)soit de la forme requise (∇).
On définit alors naturellement une famille libre de Knde cardinal rpar :
fi=uA(ei)pour i∈[[1, r]], image de la famille libre (ei)1≤i≤rpar l’injection uA|vect(e1,...,er).
En effet, uA|vect(e1,...,er)est injective par construction même puisque :
Ker(uA|vect(e1,...,er)) = Ker(uA)∩vect(e1, . . . , er) = {0}
Ainsi, toujours d’après le théorème de la base incomplète, il existe une famille libre (fr+1, . . . , fn)
telle que f= (fi)1≤i≤nsoit une base de Kn, pour laquelle on a Mate1,f1(uA) = Jr=⇒A'Jr.
On a de même que B'Jret donc A'B. Enfin, on en conclut alors directement d’après ce qui
précède que Orb(A) = Orb(B)⇐⇒ rg(A) = rg(B), ce qui donne le point 1du théorème.
Etape 2 : GMn,m(K)permet de partionner Mn,m(K)en les orbites disjointes sous cette
action. Par la caractérisation des orbites par le rang, on a : Mn,m(K) = F
0≤r≤min(n,m)
Oroù Or
désigne l’orbite des matrices de rang rdont un représentant particulier est la matrice Jr.

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Etude topologique des orbites de l’action par conjugaison : dans la suite Kdésigne Rou
C. Notre objectif est de montrer que Or=F
0≤k≤r
Ok. Nous allons procéder par double inclusion :
1. Montrer que F
0≤k≤r
Okest fermé, ceci prouvera que Or⊂F
0≤k≤r
Ok.
2. Montrer que F
0≤k≤r
Ok⊂Oren prouvant que toute matrice de rang ≤rest limite d’une
suite de matrices de rang exactement r.
Méthode : Si r= min(n, m)on a naturellement Omin(n,m)⊂S
0≤k≤min(n,m)
Ok=Mn,m(K)
et donc Omin(n,m)⊂ Mn,m(K). Pour r≤min(n, m)−1, montrons que F
0≤k≤r
Okest l’image
réciproque d’un fermé de Kpar une application continue. Soient I⊂[[1, n]] et J⊂[[1, m]] tels que
|I|=|J|=koù k∈[[0,min(n, m)]]. On note ∆I,J l’application définie par :
∆I,J :Mn,m(K)−→ K
A= (ai,j )1≤i≤m,1≤j≤n7−→ det ((ai,j )i∈I,j∈J)
Par la caractérisation du rang en termes de déterminants extraits (voir rappel) on est amené à
considèrer l’application δr+1 définie par :
δr+1 :
Mn,m(K)−→ K
A7−→ P
I⊂[[1,n]],J⊂[[1,m]],|I|=|J|=r+1
|∆I,J (A)|
L’application δr+1 est continue, par continuité du module et continuité du déterminant qui est
une fonction polynômiale en les coefficients de la matrice A. Ainsi, on a :
G
0≤k≤r
Ok={A∈ Mn,m(K)|rg(A)≤r}
={A∈ Mn,m(K)|∆I,J (A)=0,∀|I|=|J| ≥ r+ 1}
={A∈ Mn,m(K)|∆I,J (A)=0,∀|I|=|J|=r+ 1}
=δ−1
r+1({0})
Ainsi, F
0≤k≤r
Okest fermé et comme par construction, Or⊂F
0≤k≤r
Ok, on a Or⊂F
0≤k≤r
Ok.
Inversement, soit Ade rang k≤r≤min(n, m), on va prouver que Aest limite d’une
suite d’éléments de Or. C’est clair si rg(A) = r, supposons donc rg(A) = k≤r−1. Comme
Jk∈Orb(A), on a :
∃(P, Q)∈G, A =PJkQ−1
et commençons par montrer que Jkest limite d’une suite de matrices de Or. Dans Mn,m(K)
muni de sa topologie usuelle d’espace vectoriel normé, toutes les normes sont équivalentes, il suffit
donc de montrer qu’il existe une suite de matrice de rang rqui converge vers Jkcomposantes
par composantes. Alors,
Bp=
Ik0 0
01
pIr−k0
0 0 0
vérifie lim
p→∞ Bp=Jk
et par continuité de l’application φA:A7−→ P AQ−1, on a lim
p→∞ P BpQ−1=PJkQ−1=Asoit
F
0≤k≤r
Ok⊂Oret donc F
0≤k≤r
Ok=Or
Application 1.
1. La seule orbite fermée est l’orbite maximale O0={0}.
2. La seule orbite ouverte est l’orbite maximale Omin(n,m).

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Démonstration. :
1) D’après ce qu’on vient de voir, il est clair que si k≥1, alors Okn’est pas fermée. Dans ce cas,
O0={0}est bien la seule orbite fermée.
2) Etape 1 : Supposons k < min(n, m)et montrons que Okn’est pas ouverte. Pour ce faire, on
va prouver que Jkn’est pas intérieur à Ok. Toutes les normes étant équivalentes sur Mn,m(K),
travaillons avec la norme définie par : kAk= max
1≤i≤n,1≤j≤m|ai,j |. Soit ε > 0. Alors,
B= Ik0
0ε
2In−k!∈BO(Jk, ε)car kB−Jkk=ε
2mais Ik0
0ε
2In−k!6∈ Ok
Donc pour tout ε > 0,BO(Jk, ε)6⊂ Oket donc Okn’est pas ouverte si k < min(n, m).
Etape 2 : montrons que Omin(n,m)est ouverte. Soit I=J= [[1,min(n, m)]], l’application ∆I,J
est continue et ∆I,J (Jmin(n,m)) = 1 6= 0. Il existe alors un voisinage ouvert Ude Jmin(n,m)sur
lequel ∆I,J ne s’annule pas et donc un voisinage ouvert de Jmin(n,m)composée de matrices de
rang min(n, m), le rang ne pouvant pas augmenter plus, soit U⊂Omin(n,m). Pour A∈Omin(n,m),
il existe (P, Q)∈Gtel que A=PJmin(n,m)Q−1et l’application
ΦP,Q :M7−→ P M Q−1
étant naturellement un homéomorphisme (continue car polynomiale en les coefficients de M,
bijective, d’inverse M7−→ P−1M Q, elle aussi continue car polynomiale), elle transforme un
voisinage de Jmin(n,m)en un voisinage de A. Alors, ΦP,Q(U)est un voisinage de Atel que l’on
ait toujours ΦP,Q(U)⊂Omin(n,m)et donc Omin(n,m)est ouverte.
Rappel 1. Aet B∈ Mn,m(K)codent la même application linéaire φde L(Km,Kn)si et
seulement s’il existe des matrices (P, Q)∈GLn(K)×GLm(K)telles que B=P−1AQ.
Démonstration. :
Etape 1 : Supposons que Aet Breprésentent la même application linéaire u∈ L(Km,Kn). Il
existe alors des bases e1, e2de Kmet f1, f2de Kntelles que Mate1,f1(u) = Aet Mate2,f2(u) = B.
Soit x∈Kn. On note alors :
•X1=Mate1xet X2=Mate2x
•Y1=Matf1u(x)et Y2=Matf2u(x)
•P=Pass(e1, e2)et Q=Pass(f1, f2)
Puisque X1=P X2,Y1=QY2on a Y1=AX1et Y2=BX2soit :
Y2=Q−1Y1=Q−1AX1= (Q−1AP )X2et comme Y2=BX2on a B=Q−1AP
et comme Y2=BX2on a B=Q−1AP .
Etape 2 : Supposons que B=Q−1AP . On note e, f les bases canoniques respectivement de Kn
et Km. Alors les vecteurs colonnes de Pexprimés dans la base canonique ede Kndéfinissent une
nouvelle base e2de Knpuisque Pest inversible et donc P=Pass(e, e2). De même, les vecteurs
colonnes de Qdéfinissent une nouvelle base f2de Kn, ce qui donne Q=Pass(f, f2). On a alors
d’après l’étape 1:
A=Mate,f (uA)et B=Mate2,f2(uA) =⇒A'B.
[O-A]
Rappel 2. A est de rang rsi et seulement si tous les déterminants extraits de Ade taille r+ 1
sont nuls et s’il en existe un de taille rqui n’est pas nul.
Supposons que les mineurs d’ordre r+ 1 de Asoient nuls. Intéressons nous à l’ordre r+ 2, les
sous-matrices de Asont emboités et on peut écrire une matrice d’ordre r+ 2 sous la forme :

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×. . . . . . ×
.
.
.a0
1,1. . . a0 1,r+1
.
.
..
.
..
.
.
×a0
r+1,1. . . a0 r+1,r+1
En développant le déterminant selon la première ligne, on obtient une combinaison de mineur
d’ordre r+ 1 qui sont tous nuls et donc une sous-matrice de taille r+ 2 a un déterminant nul.
De proche en proche, on montre par une récurrence fini que tous les mineurs d’ordre ≥r+ 1 de
Asont nuls si ceux d’ordre r+ 1 le sont.
Références :
•Objectif Agregation pages 155 à 157.
•Gourdon 1 algèbre page 185.