2015-chap-1--ensembles-de

Nds-seconde
RELATIFS
nombres réels
ENSEMBLES DE NOMBRES
INTERVALLES
CHAPITRE 1
NOMBRES entiers
I . Les ensembles de nombres
1°) Définitions
a). Les entiers naturels sont tous les entiers positifs ou nuls.
L’ensemble des entiers naturels est noté ℕ.
ℕ =  0 ; 1 ; 2 ; ….. ; 50 ; 51 …. 
Ex : 5  ℕ
2,5  ℕ
ℕ* est l’ensemble des entiers naturels non nuls, noté aussi ℕ\{0}
b). Les entiers relatifs sont les entiers naturels et leurs opposés.
L’ensemble des entiers relatifs est noté ℤ
ℤ=


…. –11 ; –10 ; …. ; –1 ; 0 ; 1 ; 2….10 ; 11 ; ….
c) Les nombres décimaux sont les nombres pouvant s’écrire sous la forme d’un quotient d’un entier relatif par
𝑎
une puissance de 10, ie :
avec 𝑎 ∈ ℤ et n ∈ ℕ .
10𝑛
L’ensemble des nombres décimaux est noté ⅅ.
Remarque : Les nombres décimaux sont les nombres ayant un nombre fini de chiffres après la virgule.
Exemples : 5,01 =
; –7 =
sont des décimaux.
1
n’est pas un nombre décimal car …........................................
3
d) Les nombres rationnels sont les nombres pouvant s’écrire sous la forme d’un quotient de 2 entiers (fraction :
𝑎
avec a ∈ ℤ et b  ℤ*)
𝑏
L’ensemble des nombres rationnels est noté ℚ.
3
𝐄𝐱𝐞𝐦𝐩𝐥𝐞: 2,5 ∈
; − ∈
5
e) Les nombres réels
;
2
∈
7
;
√5 ∈
;
1. La droite des réels
Définition: Les nombres réels (ou les réels) sont les abscisses de tous les points d’une droite munie d’un repère (O,I).
La droite graduée qui les représente s’appelle la droite numérique (ou la droite réelle).
On note IR l’ensemble des nombres réels.
Figure :
O I
0 1
M
x
x est l’abscisse du point M ; ℝ est l’ensemble des valeurs prises par x lorsque M décrit la droite (OI).
1
Chap 1 : ensembles de nombres
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Certains nombres ne sont pas rationnels, ils sont dits irrationnels.
Exemple : 2 est irrationnel.
Exemples : déterminer le plus petit ensemble auquel appartiennent les nombres suivants :
0 ; −2 ;
30 3 5
;
;
; √4 ; √3 ;
10 4 7
Remarque : tous les nombres connus en 2nde sont des nombres réels.
2. Propriété fondamentale.
ℕℤ ⅅℚℝ
ℤ
ⅅ
ℚ
ℕ
ℝ
3.
Intervalles de ℝ
a. Ordre dans ℝ
Figure :
A
O I
a
0 1
B
b
a est l’abscisse du point A ; a est un nombre réel négatif, on note a ≤ 0 ou aℝ–
b est l’abscisse du point B ; b est un nombre réel positif , on note b ≥ 0 ou b ℝ+
2
Chap 1 : ensembles de nombres
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Définitions : Soit a et b deux nombres réels.
Dire que a est inférieur à b signifie que la différence 𝑎𝑏 est négative ou nulle.
_______________________________________________________________ ____
________________________________________________ __________________
Remarque : a ≤ b s’illustre graphiquement par le fait que lorsque l’on parcourt l’axe dans le sens positif, le point A
d’abscisse a est avant le point B d’abscisse b.
O I
A
B
0 1 a
b
a est _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; a est un nombre réel négatif, on note : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
b est _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; b est un nombre réel_ _ _ _ _ _ _ _, on note : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
b. Intervalles de ℝ
Certaines parties de ℝ
sont appelés des intervalles. On les note en utilisant des crochets. Les intervalles sont
représentés par des demi-droites ou des segments.
 Intervalles non bornés.
Soit a un réel.
inégalité
Représentation graphique
Intervalle non borné
x a
x >a
x a
x <a
REMARQUE : L’infini n’est pas un nombre, le crochet est toujours tourné vers l’extérieur en l’infini.
 Intervalles bornés.
Soit a et b deux réels tels que a < b. Les nombres a et b sont appelés les bornes de l’intervalle.
encadrement
Représentation graphique
Intervalle borné
axb
a<x<b
ax<b
a<x b
3
Chap 1 : ensembles de nombres
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Exemples : Applications directes :
𝒙 𝒗é𝒓𝒊𝒇𝒊𝒆
𝒙 𝒂𝒑𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒆𝒏𝒕 à
représentation
]–5;3[
3,14 < 𝑥 ≤ 𝜋
[– 100 ; 50 [
√257 > 𝑥 ≥ 15
5 ≤ 𝑥 < 6
[4;+∞[
–7 ≥ 𝑥 > –8
𝑥 >– 7
5 > 𝑥
c. Intersection et réunion d’intervalles
Soit I et J deux intervalles de IR
L’intersection de I et de J _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
______________ ________________________________________________ _____
La réunion de I et de J _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
____________ __________________________________________________ ___
Cas particuliers :
4
Chap 1 : ensembles de nombres
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Lorsque les deux intervalles n’ont aucun réel commun, ils sont appelés « _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _»
Exemple :_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
- leur intersection est vide. Elle se note  et se lit « _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _».
Exemple :_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
-
la réunion de deux intervalles disjoints ne peut pas s’écrire sous la forme d’un seul intervalle :
on écrit la réunion sans « réduire » :_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Exercice 1 : Compléter le tableau suivant : Il est recommandé de représenter les intervalles donnés de deux couleurs
différentes sur une même droite réelle pour donner leur réunion et leur intersection.
Intervalle I
Intervalle J
[– 2 ; 5 [
]1;7[
]1;5[
]1;7[
[– 4 ; 1 ]
] 3 ; + [
] –  ; 3]
[ 1 ; + [
]–;6]
[ 6 ; 10]
I∩J
I∪J
a) I = [– 2 ; 5 [ et J = ] 1 ; 7 [ _______________________________________________________
b) K = ] 1 ; 5 [ et L = ] –  ; 3 ] _____________________________________________________
c) M = [– 4 ; 1 ] et N = ] 3 ; + [ ___________________________________________________
Exercice 2 : Compléter le tableau suivant :
Conditions avec inégalités
Conditions avec intervalles
2,4 < 𝑥 < 3 𝑜𝑢 3 ≤ 𝑥 ≤ 4
– 1 ≤ 𝑥 𝑒𝑡 (– 3 < 𝑥 ≤ 0)
5
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