MATRICES

10-10- 2010 J.F.C. p. 1
MATRICES
Exercice 1 Matrice de passage.
B,B0et B00 sont trois bases d’un espace vectoriel Esur K.
Pas (B,B00) = Pas (B,B0)×Pas (B0,B00)
Pas (B,B0) est la matrice de IdErelativement aux bases B0et B, c’est `a dire Pas (B,B0) = M(IdE,B0,B).
Pas (B0,B00) est la matrice de IdErelativement aux bases B00 et B0, c’est `a dire Pas (B0,B00) = M(IdE,B00,B0).
Or M(IdE,B0,B)×M(IdE,B00,B0) = M(IdE◦IdE,B00 ,B) = M(IdE,B00 ,B).
Ainsi Pas (B,B0)×Pas (B0,B00) est la matrice de IdErelativement aux bases B00 et B; c’est donc Pas (B,B00)
Exercice Retrouver le r´esultat `a la main en posant : Pas (B,B0) = (aij ), Pas (B0,B00) = (bij ) et Pas (B,B00) = (cij ).
Exercice 2 Caract´erisation des matrices de rang 1.
Q1. C=
c1
c2
.
.
.
cn
est une matrice non nulle de Mn,1(K) et L= (`1`2· · · `n) une matrice non nulle de M1,n(K).
Ecrire la matrice A=CL et montrer, en raisonnant sur les colonnes, qu’elle est de rang 1.
Q2. Enoncer et d´emontrer une r´eciproque.
Q1 A=CL = (aij ) est une matrice de Mn(K) et A=
c1`1c1`2· · · c1`n
c2`1c2`2· · · c2`n
.
.
..
.
..
.
.
cn`1cn`2· · · cn`n
. Ou ∀(i, j)∈[[1, n]]2, aij =ci`j.
Pour tout jdans [[1, n]], la j`eme colonne de Aest Cj(A) = 
c1`j
c2`j
.
.
.
cn`j
=`jC.
Le rang de Aest la dimension de F= Vect C1(A), C2(A), . . . , Cn(A)= Vect `1, C, `2, C, . . . , `n, C⊂Vect(C).
Notons que Vect(C) est de dimension 1 car Cn’est pas nul(le). Donc Fest de dimension 0 ou 1.
Si Fest de dimension 0 : ∀i∈[[1, n]], `iC= 0Mn,1(K). Comme Cn’est pas nul(le), ∀i∈[[1, n]], `i= 0 et Lest nul(le)
ce qui n’est pas.
Ainsi Fest de dimension 1 et Aest de rang 1.
Q2 R´eciproquement soit A= (aij ) une matrice de Mn(K) de rang 1. Montrons qu’il existe une matrice non nulle
Cde Mn,1(K) et une matrice non nulle Lde M1,n(K)telles que : A=CL.
Notons encore, pour tout jdans [[1, n]], Cj(A) la j`eme colonne de A.
dim Vect C1(A), C2(A), . . . , Cn(A)= 1 donc il existe un ´el´ement non nul C=
c1
c2
.
.
.
cn
de Mn,1(K) tel que

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Vect C1(A), C2(A), . . . , Cn(A)= Vect(C). Alors ∀j∈[[1, n]],∃`j∈K, Cj(A) = `jC.
Posons L= (`1`2. . . `n). Lest un ´el´ement non nul de M1,n(K) car au moins une des colonne de An’est pas nulle
(dans le cas contraire Aest nulle et Aest alors de rang 0).
∀j∈[[1, n]], Cj(A) = `jCdonne ∀j∈[[1, n]],∀i∈[[1, n]], aij =`jci=ci`j.
Par cons´equent A=CL. Ce qui ach`eve la preuve de la r´eciproque.
Une matrice Ade Mn(K) est de rang 1 si et seulement si il existe une matrice non nulle Cde Mn,1(K)
et une matrice non nulle Lde M1,n(K) telles que : A=CL.
Exercice Reprendre l’exercice avec un ´el´ement de Mn,p(K).
Exercice 3 Formule d’inversion de Pascal. HEC 1998
Q1. nest un ´el´ement de N. a) V´erifier rapidement que l’application ϕde Rn[X] dans lui-mˆeme d´efinie par :
∀P∈Rn[X], ϕ(P(X)) = P(X+ 1)
est un automorphisme de Rn[X]. D´eterminer ϕ−1.
b) D´eterminer la matrice Mde ϕdans la base canonique (1, X, . . . , Xn) de Rn[X].
c) D´eterminer M−1.
Q2. nest un ´el´ement de N. On suppose que (a0, a1, . . . , an) et (b0, b1, . . . , bn) appartiennent `a Rn+1 et v´erifient :
∀j∈[[0, n]], bj=
j
X
k=0
Ck
jak.
a) Trouver un lien entre les deux matrices lignes (a0, a1, . . . , an), (b0, b1, . . . , bn) et M.
b) En d´eduire, pour tout jdans [[0, n]], l’expression de ajen fonction des nombres b0, ..., bj.
Q3. Retouver le nombre de surjections d’un ensemble de p´el´ements dans un ensemble de n´el´ements.
Q1 a) Si Pest un ´el´ement de Rn[X] il en est de mˆeme pour P(X+ 1) donc ϕest une application de Rn[X] dans
lui-mˆeme.
∀λ∈R,∀(P, Q)∈(Rn[X])2, ϕ(λ P +Q)=(λ P +Q)(X+ 1) = λ P (X+ 1) + Q(X+ 1) = λ ϕ(P) + ϕ(Q). ϕest
lin´eaire.
Soit Pun ´el´ement de Ker ϕ.P(X+ 1) = 0Rn[X]donc ∀x∈R, P (x+ 1) = 0. Alors ∀t∈R, P (t) = 0 et Pest nul.
Ker ϕ={0Rn[X]}.ϕest un endomorphisme injectif de Rn[X] qui est de dimension finie.
ϕest un automorphisme de Rn[X].
Posons ∀P∈Rn[X], ψ(P) = P(X−1). ψest clairement un endomorphisme de Rn[X].
De plus : ∀P∈Rn[X], ψ(ϕ(P)) = ψ(P(X+ 1)) = P(X+ 1 −1) = P. Ainsi ψ◦ϕ= IdRn[X].
En composant `a droite par ϕ−1on obtient : ψ=ϕ−1.
∀P∈Rn[X], ϕ−1(P) = P(X−1) .
b) ∀j∈[[0, n]], ϕ(Xj) = (X+ 1)j=
j
X
i=0
Ci
jXi.

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Ainsi M= (mij )(i,j)∈[[0,n]]2avec ∀(i, j)∈[[0, n]]2, mij =0 si i > j
Ci
jsi i6j.
c) ∀j∈[[0, n]], ϕ−1(Xj) = (X−1)j=
j
X
i=0
Ci
j(−1)j−iXi.
Ainsi M−1= (sij )(i,j)∈[[0,n]]2avec ∀(i, j)∈[[0, n]]2, sij =0 si i > j
Ci
j(−1)j−isi i6j.
Q2 a) Posons L= (a0a1. . . an), L0= (b0b1. . . bn) et L00 =LM.
L00 est un ´el´ement de M1,n+1(R). Mieux L00 = (t0t1. . . tn) avec ∀j∈[[0, n]], tj=
n
X
i=0
aimij =
j
X
i=0
aiCi
j=bj.
Ainsi L00 =L0ou L0=LM. Alors
(b0b1. . . bn) = (a0a1. . . an)M .
b) (b0b1. . . bn) = (a0a1. . . an)Mdonc (a0a1. . . an) = (b0b1. . . bn)M−1.
Alors ∀j∈[[0, n]], aj=
n
X
i=0
bisij =
j
X
i=0
biCi
j(−1)j−i.
∀j∈[[0, n]], aj=
j
X
i=0
Ci
j(−1)j−ibi.
Q3 Soit pun ´el´ement de N∗. Pour tout ndans N∗notons Sn
ple nombre de surjections d’un ensemble de p´el´ements
dans un ensemble de n´el´ements. Par convention nous poserons S0
p= 0.
Soit nun ´el´ement de N∗. Soit Al’ensemble des applications d’un ensemble Eayant p´el´ements dans un ensemble F
qui a n´el´ements.
Pour tout kdans [[0, n]] on note Akl’ensemble des applications de Edans Fdont l’image a k´el´ements.
A=
n
[
k=0
Aket cette r´eunion est disjointe. Alors np= Card A=
n
X
k=0
Card Ak.
D`es lors cherchons pour kdans [[0, n]], Card Ak.
Soit kun ´el´ements de [[1, n]]. Pour construire un ´el´ement fde Ak:
•On choisit l’image Cde f; il y Ck
npossibilit´es car c’est une partie de k´el´ements de Fet Fan´el´ements.
•On construit une surjection de Esur C. Il y a Sk
ppossibilit´es car Cak´el´ements.
Ainsi Card Ak=Ck
nSk p. Notons que ceci vaut encore pour k= 0 car Card A0= 0 et S0 p= 0.
D`es lors np= Card A=
n
X
k=0
Card Ak=
n
X
k=0
Ck
nSk p.
Nous avons ainsi prouv´e que ∀n∈N∗, np=
n
X
k=0
Ck
nSk p. Notons encore que ceci vaut pour n= 0.
Par cons´equent : ∀n∈N, np=
n
X
k=0
Ck
nSk p.
Fixons ndans N. Nous avons ∀j∈[[0, n]], jp=
j
P
k=0
Ck
jSk
p=
j
P
i=0
Ci
jSi
p!
Alors la question 2 donne : ∀j∈[[0, n]], Sj
p=
j
P
i=0
Ci
j(−1)j−iip.

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En particulier Sn
p=
n
P
i=0
Ci
n(−1)n−iip. Finalement :
∀p∈N∗,∀n∈N, Sn
p=
n
X
k=0
Ck
n(−1)n−kkp
Remarque Si pest dans N∗et si nappartient `a [[p+ 1,+∞[[, Sn
pest nul et ainsi
n
X
k=0
Ck
n(−1)n−kkp= 0
Exercice 4 Base duale. Transpos´ee.
Q1. B= (e1, e2, . . . , ep) est une base de Eespace vectoriel de dimension psur K.E∗est l’espace vectoriel des formes
lin´eaires sur E. Pour tout idans [[1, p]], e∗
iest la forme lin´eaire sur Ed´efinie par :
∀k∈[[1, p]], e∗
i(ek) = 1 si k=i
0 si k6=i
Q1. Montrer que B∗= (e∗
1, e∗ 2,· · · , e∗
p) est une base de E∗.
Q2. E0est un espace vectoriel de dimension nsur Ket B0= (e0
1, e0 2, . . . , e0
n) en est une base.
uest une application lin´eaire de Edans E0et A=M(u, B,B0).
Pour tout fdans E0∗ on pose : ϕ(f) = f◦u.
a) Montrer que ϕest une application lin´eaire de E0∗ dans E∗et que M(ϕ, B0∗ ,B∗) = tA.
b) Montrer que uet ϕont mˆeme rang
(construire, si possible, une base (t1, t2, . . . , tp) de Etelle que u(t1), u(t2), , . . . , u(tr)soit une base de Im uet
(tr+1, tr+2, . . . , tp) une base de Ker u, compl´eter u(t1), u(t2), . . . , u(tr)... et d´eterminer Ker ϕ).
Que dire alors pour Aet tA?
Q1 E∗=L(E, K) donc E∗a la mˆeme dimension pque E. Pour montrer que B∗= (e∗
1, e∗ 2,· · · , e∗
p) est une base de
E∗il suffit donc de montrer que cette famille de cardinal pest libre. Ais´e et sans gloire.
Montrons plutˆot que B∗est une base en utilisant la d´efinition.
Soit fun ´el´ement de E∗. Montrons par analyse/synth`ese qu’il existe un unique ´el´ement (λ1, λ2, . . . , λp) de Kptel que
f=
p
P
k=1
λke∗
k.
•Analyse/Unicit´e. Supposons que f=
p
X
k=1
λke∗
kavec (λ1, λ2, . . . , λp) dans Kp.
∀i∈[[1, p]], f(ei) =
p
P
k=1
λke∗
k(ei) = λie∗(ei) = λi. Ainsi ∀i∈[[1, p]], λi=f(ei). D’o`u l’unicit´e.
•Synth`ese/Existence. R´ecipoquement posons ∀i∈[[1, p]], λi=f(ei) et montrons que f=
p
X
k=1
λke∗
k.
fet
p
X
k=1
λke∗
k´etant deux formes lin´eaires sur Epour montrer qu’elles sont ´egales il suffit de montrer qu’elles co¨ıncident
sur les ´el´ements de la base B= (e1, e2, . . . , ep).
∀i∈[[1, p]],p
P
k=1
λke∗
k(ei) =
p
P
k=1
λke∗
k(ei) = λie∗
i(ei) = λi=f(ei). Ainsi f=
p
X
k=1
λke∗
k=
p
X
k=1
f(ek)e∗
k. D’o`u
l’existence.

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B∗= (e∗
1, e∗ 2,· · · , e∗
p) est une base de E∗et si fest un ´el´ement de E∗,f=
p
X
k=1
f(ek)e∗
k.
Q2 a) Soit fun ´el´ement de E0∗.uest une application lin´eaire de Edans E0et fune application lin´eaire de E0
dans Kdonc f◦uest une application lin´eaire de Edans K.
Ainsi ϕest une application de E0∗ dans E∗.
∀(f, g)∈(E0∗)2,∀λ∈K, ϕ(λ f +g) = u◦(λ f +g) = λ u ◦f+u◦g=λ ϕ(f) + ϕ(g). ϕest lin´eaire.
ϕest une application lin´eaire de E0∗ dans E∗
Posons A=M(u, B,B0) = (aij ) et C=M(ϕ, B0∗,B∗) = (cij ). A∈ Mn,p(K) et C∈ Mp,n(K). Montrons que tC=A.
Soit jun ´el´ement de [[1, n]] et iun ´el´emnet de [[1, p]]. ϕ(e0
j
∗) =
p
P
k=1
ckj ek∗donc ϕ(e0
j
∗)(ei) =
p
P
k=1
ckj e∗
k(ei) = cij .
De plus ϕ(e0
j
∗)(ei) = (e0
j
∗◦u)(ei) = e0
j
∗(u(ei)) = e0
j
∗n
P
k=1
aki e0
k=
n
P
k=1
aki e0
j
∗(e0
k) = aji e0
j
∗(e0
j) = aji.
Ainsi ∀i∈[[1, p]],∀j∈[[1, n]], cij =aji. Donc C=tA.
b) Notons rle rang de u.r6Min(dim E, dim E0) = Min(n, p).
Si r= 0, uest nulle et ϕl’est ´egalement donc rg ϕ= 0 = rg u.
Supposons rnon nul.
dim Ker u=p−r. Soit (t1, t2, . . . , tr) une base d’un suppl´ementaire Fde Ker uet (tr+1, tr+2, . . . , tp) une base de
Ker u.
La suppl´ementarit´e de Fet de Ker upermet de dire que T= (t1, t2, . . . , tp) est une base de E.
Remarque Il est entendu que si Ker u={0E}, Ker une poss`ede pas de base mais alors r=pet ainsi (t1, t2, . . . , tr) =
(t1, t2, . . . , tp) est directement une base de E. En toute rigueur il faudrait envisager les cas particuliers r=pet ...
r=n.
Posons ∀k∈[[1, r]], t0
k=u(tk). (t01, t02, . . . , t0r) est une famille de cardinal rde Im uet dim Im u=r.
Pour montrer que cette famille est une base de Im uil suffit de montrer qu’elle libre.
Soit (λ1, λ2, . . . , λr) un ´el´ement de Krtel que :
r
X
k=1
λkt0
k= 0E0.
0E0=
r
X
k=1
λkt0
k=
r
X
k=1
λku(tk) = u r
X
k=1
λktk!. Alors
r
X
k=1
λktkest un ´el´ement de Ker uet de F. Il est donc nul car
Ker uet Fsont suppl´ementaires.
r
X
k=1
λktk= 0Edonne alors λ1=λ2=· · · =λr= 0Kcar la famille (t1, t2, . . . , tr) est
libre.
Ceci ach`eve de montrer que (t01, t02, . . . , t0r) est une base de Im u. Cette famille est en particulier une famille libre de
E0que l’on peut compl´eter, si n´ecessaire, en une base T0= (t01, t02, . . . , t0n) de E0.
Nous poserons T∗= (t∗
1, t∗ 2,· · · , t∗
p) et T0∗= (t0
1
∗, t0
2
∗, . . . , t0
n
∗). T∗est une base de E∗et T0∗est une base de E0∗.
Cherchons Ker ϕ. Soit f=
n
X
k=1
λkt0
k
∗un ´element de E0∗.
f∈Ker ϕ⇐⇒ f◦u= 0E∗⇐⇒ ∀i∈[[1, p]], f(u(ti)) = 0K.