Interrogation 1

Universit´ e de Nice Licence de math´ ematiques (L3)
2005-06 Compl´ ements d’alg` ebre et arithm´ etique
NOM :Interrogation 1
Exercice 1.
1.1.Donner une preuve de l’´enonc´e suivant : Soit Hun sous-groupe de Z. Il existe un entier
naturel mtel que H=mZ.
Si Hest r´eduit `a z´ero, on prend m= 0. Sinon, il existe un plus petit ´el´ement strictement positif dans H.
On le d´esigne par m. Pour x´el´ement de H, on fait la division euclidienne de xpar m:
x=mq +ravec 0 ≤r < m.
Comme Hest un sous-groupe, il contient les multiples de m, donc qm et aussi r=x−qm. Comme m
est le plus petit ´el´ement strictement positif de H, c’est que r= 0 et que xest un multiple de m. On a
donc H=mZ.
1.2.On consid`ere le sous-groupe Hde Z engendr´e par le syst`eme (70,36,45). Que peut-on
en dire ?
Les entiers 70,36,45 sont premiers entre eux. On peut donc exprimer 1 comme combinaison de 70,36,45
et 1 est dans H. On en conclut que H=Z.
Par exemple, 2 ×36 −70 = 2 et 45 −22 ×2 = 1, d’o`u 1 = 45 −44 ×36 + 22 ×70.
Exercice 2.On consid`ere le morphisme de groupes libres
f:Z3−→ Z
(x1, x2, x3)7−→ 2x1+ 5x2−3x3.
Rappeler la d´efinition d’une Z-base. D´eterminer l’image et le noyau de f. Montrer que ce
sont des groupes libres et en donner des Z-bases.
Un syst`eme (ei, i ∈I) est une Z-base d’un groupe ab´elien Lsi tout ´el´ement xde Ls’´ecrit de mani`ere
unique x=Pi∈Jnieiavec Jsous-ensemble fini de Iet njentier pour tout jdans J. S’il existe une
Z-base, Lest alors libre. S’il existe une Z-base finie `a r´el´ements, Lest alors libre de rang r.
L’image de fest le sous-groupe de Zengendr´e par les images 2, 5 et -3 des ´el´ements de la Z-base
canonique de Z3. Comme ces entiers sont premiers entre eux, f(Z3) est ´egal `a Zet fest surjective. Le
noyau ker fest le sous-groupe de Z3d´efini par l’´equation 2x1+ 5x2−3x3= 0.
(1) Le noyau contient les deux ´el´ements y:= (−5,2,0) et z:= (3,0,2). Ces deux vecteurs sont
ind´ependants dans Q3(ou R3), donc, a fortiori, ind´ependants dans Z3. Forment-ils une Z-base de
ker f? Comme ils forment une base du sous-espace vectoriel d´efini par l’´equation 2x1+5x2−3x3=
0 dans Q3, tout ´el´ement xde Z3a une ´ecriture unique x=αy +βz avec αet βrationnels. On a
donc
x=x2
2y+x3 2z.
Or il existe des ´el´ements de ker favec x2et x3non tous les deux pairs, par exemple (1,−1,−1).
Donc (y, z) n’est pas un syst`eme g´en´erateur de ker f.
(2) On essaie alors avec u= (1,−1,−1) et z= (3,0,2), toujours ind´ependants dans Q3. On calcule
x+x2u= (x1+x2,0, x3−x2) et on note que 2(x1+x2) = 3(x3−x2) puisque xest dans ker f.
On en d´eduit qu’il existe un entier ktel que x1+x2= 3ket x3−x2= 2k, puis que x=x2u+kz.
Le syst`eme (u, z) est une Z-base de ker fqui est donc libre de rang 2.

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Exercice 3.VRAI (et preuve) ou FAUX (et exemple).
3.1.Dans un groupe Gd’ordre 34= 81, l’ordre d’un ´el´ement est une puissance de 3.
VRAI : l’ordre d’un ´el´ement divise l’ordre du groupe 34, donc est une puissance de 3.
3.2.Dans Z2le syst`eme ((3,7),(1,1)) est une Z-base.
FAUX : le d´eterminant de la matrice du syst`eme de vecteurs dans la base canonique de Z2est −4 qui n’est
pas inversible dans Z. En revanche, comme ce d´eterminant est non nul les deux vecteurs sont ind´ependants
dans Q2ou R2, donc dans Z2. Mais, le vecteur (1,0) n’est pas combinaison lin´eaire `a coefficients entiers
de (3,7) et (1,1)).
3.3.Le groupe (Z/9Z)2est isomorphe `a Z/81Z.
FAUX : Dans Z/81Zla classe de 1 modulo 81 est d’ordre 81, alors que dans (Z/9Z)2, tout ´el´ement est
annul´e par 9, donc d’ordre 1, 3 ou 9.
Attention `a la r´edaction : ne pas dire ”le th´eor`eme chinois ne s’applique pas”. La liste des th´eor`emes qui
ne s’appliquent pas ou s’appliquent en donnant une autre conclusion que celle souhait´ee est tr`es longue !
En revanche on peut dire que le th´eor`eme chinois ´enonce que Z/mZ×Z/nZest isomorphe `a Z/mnZsi
et seulement si met nsont premiers entre eux.
3.4.Il y a, `a isomorphisme pr`es, un seul groupe ab´elien d’ordre 81 ayant un ´el´ement d’ordre
81.
VRAI : Tout groupe cyclique Gd’ordre 81 est isomorphe `a Z/81Z. On obtient un isomorphisme en
envoyant la classe de 1 modulo 81 sur un ´el´ement xd’ordre 81 dans G, et donc en envoyant la classe de
nsur nx.
3.5.Tous les groupes d’ordre 17 sont cycliques.
VRAI : Si Gest d’ordre 17, premier, tout ´el´ement xde Ga un ordre qui divise 17, donc ´egal `a 1, auquel
cas x= 0, ou, si x6= 0, ´egal `a 17. Le groupe Gest donc cyclique.
3.6.On consid`ere dans un groupe ab´elien Gun ´el´ement xtel que 36x= 0. Pour prouver que
xest d’ordre 36, il suffit de v´erifier que 12xet 18xne sont pas nuls dans G.
VRAI : Si xest annul´e par 36 son ordre est un diviseur de 36. Il est d’ordre 36 si et seulement si il n’est
pas annul´e par des diviseurs stricts de 36. Or, tout diviseur de 36 diff´erent de 36 = 22×32est un diviseur
de 18 = 2 ×32ou de 12 = 22×3.
Exercice 4.(suppl´ementaire). Combien y a-t-il de matrices dans M2(Z/2Z)? Combien de
matrices inversibles ?
Se donner une matrice dans M2(Z/2Z), c’est se donner 4 ´el´ements de Z/2Z. Il y a donc 24= 16
´el´ements dans M2(Z/2Z). Une telle matrice est inversible si ses deux vecteurs colonnes sont lin´eairement
ind´ependants dans (Z/2Z)2, espace vectoriel sur le corps Z/2Z.
Dans (Z/2Z)2, il y a 4 vecteurs, dont 3 non nuls. Ces trois vecteurs sont deux `a deux lin´eairement
ind´ependants. Se donner une matrice inversible, c’est se donner 2 vecteurs colonnes lin´eairement ind´epen-
dants. Il y en a donc 6. Le groupe GL(2,Z/2Z) est donc d’ordre 6. V´erifier qu’il s’identifie au groupe
sym´etrique S3(non ab´elien) : toute transformation lin´eaire inversible induit une permutation sur les
vecteurs non nuls.