FS Proba - Scolinfo

Année 2012-2013 Terminale S2 Probabilités
Fiche synthèse sur les probabilités
Probabilités élémentaires L’univers
Ω
est l’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire.
Lorsque tous les événements sont équiprobables, la probabilité d’un événement est définie par :
( )
cardA
p A
card
=
Ω
( ) ( ) ( ) ( )
p A B p A p B p A B
∪ = + − ∩
A et B sont disjoints ou incompatibles signifie que
A B
∩ = ∅
;
on a alors
( ) ( ) ( )
p A B p A p B
∪ = +
( ) 1 ( )
p A p A
= −
.
Par la suite, A est un événement de probabilité non nulle
La probabilité de B sachant que A est réalisé est définie par :
( )
( ) ( / )
( )
A
p A B
p B p B A p A
∩
= =
On a alors :
( ) ( ) ( )
A
p A p B p A B
× = ∩
( )
1
A
p A
=
Si A et B sont incompatibles alors
( )
0
A
p B
=
et
( ) ( )
1
A A
p B p B
= −
Quelques représentations
Les événements
1 2 3 4 5
, , , ,
B B B B B
forment une partition ou un système complet d’événements de l’univers
Ω
signifie qu’ils sont de probabilités non nulles, deux à deux disjoints et que leur réunion est
Ω
.
On a alors la « Formule des probabilités totales » :
1 2 3 4 5
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
p A p A B p A B p A B p A B p A B
= ∩ + ∩ + ∩ + ∩ + ∩
A et B sont indépendants signifie que
( ) ( ) ( )
p A B p A p B
∩ = ×
ou que
( ) ( )
A
p B p B
=
Si A et B sont indépendants alors A et
B
sont aussi indépendants
Les tirages successifs avec remise sont associés à la notion d’événements indépendants.
Lorsqu’on répète n fois , de manières indépendantes , plusieurs fois une même expérience n’ayant que deux issues
possibles, l’événement S de probabilité p et donc l’événement
S
, on utilise une loi binomiale de paramètres n et p.
Sur n répétitions, la probabilité d’obtenir k fois l’événement S est alors :
(1 )
k n k
n
p p
k
−
 × × −
Retenir que
: Dans le cas d’une loi binomiale, si on demande calculer la probabilité d’un événement du type « Obtenir
au moins une fois ……. » alors on calcule la probabilité de l’événement contraire.

Année 2012-2013 Terminale S2 Probabilités
Fiche synthèse sur les probabilités
Probabilités élémentaires L’univers
Ω
est l’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire.
Lorsque tous les événements sont équiprobables, la probabilité d’un événement est définie par : ( )
cardA
p A
card
=
Ω
( ) ( ) ( ) ( )
p A B p A p B p A B
∪ = + − ∩
A et B sont disjoints ou incompatibles signifie que
A B
∩ = ∅
;
on a alors
( ) ( ) ( )
p A B p A p B
∪ = +
( ) 1 ( )
p A p A
= −
.
Par la suite, A est un événement de probabilité non nulle
La probabilité de B sachant que A est réalisé est définie par :
( )
( ) ( / )
( )
A
p A B
p B p B A p A
∩
= =
On a alors :
( ) ( ) ( )
A
p A p B p A B
× = ∩
( )
1
A
p A
=
Si A et B sont incompatibles alors
( )
0
A
p B
=
et
( ) ( )
1
A A
p B p B
= −
Quelques représentations
Les événements
1 2 3 4 5
, , , ,
B B B B B
forment une partition ou un système complet d’événements de l’univers
Ω
signifie qu’ils sont probabilités non nulles, deux à deux disjoints et que leur réunion est
Ω
.
On a alors la « Formule des probabilités totales » :
1 2 3 4 5
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
p A p A B p A B p A B p A B p A B
= ∩ + ∩ + ∩ + ∩ + ∩
A et B sont indépendants signifie que
( ) ( ) ( )
p A B p A p B
∩ = ×
ou que
( ) ( )
A
p B p B
=
Si A et B sont indépendants alors A et
B
sont aussi indépendants
Les tirages successifs avec remise sont associés à la notion d’événements indépendants.
Lorsqu’on répète n fois , de manières indépendantes , plusieurs fois une même expérience n’ayant que deux issues
possibles, l’événement S de probabilité p et donc l’événement
S
, on utilise une loi binomiale de paramètres n et p.
Sur n répétitions, la probabilité d’obtenir k fois l’événement S est alors :
(1 )
k n k
n
p p
k
−
 × × −
Retenir que
: Dans le cas d’une loi binomiale, si on demande calculer la probabilité d’un événement du type « Obtenir
au moins une fois ……. » alors on calcule la probabilité de l’événement contraire.