fiche de révision du bac

FICHE DE RÉVISION DU BAC
LE COURS
[Série – Matière – (Option)]
[Titre
de Sla–fiche]
Série
Mathématiques
ARITHMÉTIQUE
Introduction
Pré-requis :
Ensemble de nombres
Plan du cours
1. Divisibilité dans Z
2. Congruence
3. Plus grand commun diviseur
1. Divisibilité dans Z
Dans tout ce qui suit, on se place dans l’ensemble des entiers relatifs Z.
A. Diviseur
Définitions :
Soient a et b deux entiers relatifs.
On dit que a divise b, ou que a est un diviseur de b, s’il existe un entier relatif k tel que
On dit que b est un multiple de a, s’il existe un entier relatif k tel que
.
On note
.
.
Ex : 3 est un diviseur de 18. 18 est un multiple de 3.
5 est un diviseur de -25. -25 est un multiple de 5.
Propriétés :
Soient a, b et c trois entiers relatifs.
- Si a divise b alors a divise kb pour tout
.
- Si a divise b et b divise c, alors a divise c.
- Si a divise b et a divise c, alors a divise
pour tout
et tout
.
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[Titre
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Série
Mathématiques
ARITHMÉTIQUE
B. Division euclidienne
Propriété :
Soient a un entier relatif et b un entier relatif non nul.
Il existe une unique manière d’écrire b sous la forme
telle que
,
et
.
Ex :
Lorsque l’on se place dans l’ensemble des entiers naturels N, on retrouve la division euclidienne vu auparavant, q
étant le quotient, et r le reste.
Remarque :
Si a divise b, alors
avec
.
C. Nombres premiers
Définition :
Un nombre premier est un entier naturel qui n’admet que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Ex : 1, 2, 3, 17 sont des nombres premiers.
Il y a une infinité de nombres premiers.
Propriété :
Soit n un entier naturel.
Si n n’est pas un nombre premier, alors il admet pour diviseur au moins un nombre premier p tel que
.
Décomposition en produit de facteurs premiers :
Soit n un entier naturel.
Il existe une unique manière d’écrire n sous la forme d’une décomposition de facteurs premiers :
Si plusieurs de ces facteurs sont identiques, on peut écrire la décomposition avec des puissances de facteurs premiers.
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ARITHMÉTIQUE
Ex :
Corollaire :
Tout produit partiel de ces facteurs divise n.
Ex :
divise 120.
2. Congruence
A. Nombres congrus
Définition :
Soient a et b deux entiers relatifs. Soit n un entier naturel non nul.
On dit que b est congru à a modulo n, si la différence
est un multiple de n (si n divise
Il existe donc un entier relatif k tel que :
On note :
Ex :
).
.
ou
(on a en effet
Remarque : la notion de congruence se retrouve également dans l’ensemble des réels. Ainsi pour les angles :
Division euclidienne :
Soient a un entier relatif et b un entier relatif non nul.
avec
,
et
.
On peut alors écrire :
.
Corollaire :
Soient a un entier relatif et b un entier relatif non nul.
Il existe un entier naturel
tel que
.
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[Titre
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Mathématiques
ARITHMÉTIQUE
Nombres pairs et impairs :
Soit k un entier relatif. On a :
et
B. Propriétés
Transitivité :
Soient a, b et c trois entiers relatifs. Soit n un entier naturel non nul.
Si a est congru à b modulo n et b est congru à c modulo n, alors a est congru à c modulo n.
Ex :
et
donc
Opérations :
Soient a, b, a’, b’ quatre entiers relatifs et n un entier naturel non nul tels que :
On a alors :
et
.
pour tout
pour tout
3. Plus grand commun diviseur
A. Diviseurs communs
Définition :
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Série
Mathématiques
ARITHMÉTIQUE
Soient a et b deux entiers relatifs.
L’ensemble des diviseurs communs est l’ensemble des nombres qui divisent à la fois a et b.
Ex : -28 a pour diviseurs -28, -14, -7, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 7, 14 et 28.
42 a pour diviseurs -42, -21, -14, -7, -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 et 42.
L’ensemble des diviseurs communs à -28 et 42 est :
PGCD :
Le plus grand commun diviseur de deux entiers relatifs a et b est le plus grand élément de l’ensemble des diviseurs
communs.
On le note : PGCD (a,b).
Le PGCD de deux nombres est un entier naturel (positif).
Ex : PGCD(- 28, 42) = 14.
Propriétés :
Si a divise b, alors PGCD (a,b) =
. Si b divise a, alors PGCD (a,b) =
.
PGCD (a,0) =
Division euclidienne :
Soient a un entier relatif et b un entier relatif non nul.
avec
,
et
.
On a : PGCD
PGCD
.
B. Nombres premiers entre eux
Définition :
Soient a et b deux entiers relatifs.
On dit que a et b sont premiers entre eux si PGCD (a,b) = 1.
Deux nombres premiers entre eux n’ont pas de diviseur commun.
Ex : 28 et 25 sont premiers entre eux.
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Mathématiques
ARITHMÉTIQUE
Propriété :
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls, avec PGCD (a, b) = k.
et
( a’ et b’ sont des entiers relatifs).
a’ et b’ sont premiers entre eux.
PGCD (a’, b’) = 1.
Théorème de Gauss :
Soient a, b et c trois entiers relatifs.
Si a divise et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c.
Remarque :
divise alors
.
Ex : 14 divise 630.
Or 14 et 9 sont premiers entre eux, donc 14 divise 70.
divise également 630.
Théorème de Bézout :
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.
a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tels que :
Ex : 12 et 25.
(
et
) donc 12 et 25 sont premiers entre eux.
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