fiche de révision du bac

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FICHE DE RÉVISION DU BAC
Série S – Mathématiques
ARITHMÉTIQUE
1
LE COURS
[Série – Matière – (Option)]
[Titre de la fiche]
Introduction
Pré-requis :
Ensemble de nombres
Plan du cours
1. Divisibilité dans Z
2. Congruence
3. Plus grand commun diviseur
1. Divisibilité dans Z
Dans tout ce qui suit, on se place dans l’ensemble des entiers relatifs Z.
A. Diviseur
Définitions :
Soient a et b deux entiers relatifs.
On dit que a divise b, ou que a est un diviseur de b, s’il existe un entier relatif k tel que     .
On dit que b est un multiple de a, s’il existe un entier relatif k tel que     .
On note .
Ex : 3 est un diviseur de 18. 18 est un multiple de 3.
5 est un diviseur de -25. -25 est un multiple de 5.
Propriétés :
Soient a, b et c trois entiers relatifs.
- Si a divise b alors a divise kb pour tout   .
- Si a divise b et b divise c, alors a divise c.
- Si a divise b et a divise c, alors a divise    pour tout    et tout   .

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ARITHMÉTIQUE
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LE COURS
[Série – Matière – (Option)]
[Titre de la fiche]
B. Division euclidienne
Propriété :
Soient a un entier relatif et b un entier relatif non nul.
Il existe une unique manière d’écrire b sous la forme        telle que   ,    et   .
Ex :       
Lorsque l’on se place dans l’ensemble des entiers naturels N , on retrouve la division euclidienne vu auparavant, q
étant le quotient, et r le reste.
Remarque :
Si a divise b, alors        avec   .
C. Nombres premiers
Définition :
Un nombre premier est un entier naturel qui n’admet que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Ex : 1, 2, 3, 17 sont des nombres premiers.
Il y a une infinité de nombres premiers.
Propriété :
Soit n un entier naturel.
Si n n’est pas un nombre premier, alors il admet pour diviseur au moins un nombre premier p tel que   .
Décomposition en produit de facteurs premiers :
Soit n un entier naturel.
Il existe une unique manière d’écrire n sous la forme d’une décomposition de facteurs premiers :
Si plusieurs de ces facteurs sont identiques, on peut écrire la décomposition avec des puissances de facteurs premiers.

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LE COURS
[Série – Matière – (Option)]
[Titre de la fiche]
Ex :      
Corollaire :
Tout produit partiel de ces facteurs divise n.
Ex :     divise 120.
2. Congruence
A. Nombres congrus
Définition :
Soient a et b deux entiers relatifs. Soit n un entier naturel non nul.
On dit que b est congru à a modulo n, si la différence    est un multiple de n (si n divise   ).
Il existe donc un entier relatif k tel que :       .
On note :    ou   
Ex :    (on a en effet       
Remarque : la notion de congruence se retrouve également dans l’ensemble des réels. Ainsi pour les angles :
Division euclidienne :
Soient a un entier relatif et b un entier relatif non nul.
       avec   ,    et   .
On peut alors écrire :   .
Corollaire :
Soient a un entier relatif et b un entier relatif non nul.
Il existe un entier naturel    tel que   .

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ARITHMÉTIQUE
4
LE COURS
[Série – Matière – (Option)]
[Titre de la fiche]
Nombres pairs et impairs :
Soit k un entier relatif. On a :
   et     
B. Propriétés
Transitivité :
Soient a, b et c trois entiers relatifs. Soit n un entier naturel non nul.
Si a est congru à b modulo n et b est congru à c modulo n, alors a est congru à c modulo n.
Ex :   et    donc   
Opérations :
Soient a, b, a’, b’ quatre entiers relatifs et n un entier naturel non nul tels que :    et  .
On a alors :
  pour tout   
  pour tout   
3. Plus grand commun diviseur
A. Diviseurs communs
Définition :

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LE COURS
[Série – Matière – (Option)]
[Titre de la fiche]
Soient a et b deux entiers relatifs.
L’ensemble des diviseurs communs est l’ensemble des nombres qui divisent à la fois a et b.
Ex : -28 a pour diviseurs -28, -14, -7, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 7, 14 et 28.
42 a pour diviseurs -42, -21, -14, -7, -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 et 42.
L’ensemble des diviseurs communs à -28 et 42 est :        
PGCD :
Le plus grand commun diviseur de deux entiers relatifs a et b est le plus grand élément de l’ensemble des diviseurs
communs.
On le note : PGCD (a,b).
Le PGCD de deux nombres est un entier naturel (positif).
Ex : PGCD(- 28, 42) = 14.
Propriétés :
Si a divise b, alors PGCD (a,b) = . Si b divise a, alors PGCD (a,b) = .
PGCD (a,0) = 
Division euclidienne :
Soient a un entier relatif et b un entier relatif non nul.
       avec   ,    et   .
On a : PGCD   PGCD  .
B. Nombres premiers entre eux
Définition :
Soient a et b deux entiers relatifs.
On dit que a et b sont premiers entre eux si PGCD (a,b) = 1.
Deux nombres premiers entre eux n’ont pas de diviseur commun.
Ex : 28 et 25 sont premiers entre eux.