L3 Informatique - TD de Probabilités

L3 Informatique - TD de Probabilités
Année 2011-2012
Feuille 1 - Espace probabilisés
Exercice 1. La différence symétrique de deux événements Aet B, notée A∆B, est définie par
A∆B= (A∩Bc)∪(Ac∩B).
1. Montrer que la fonction ddéfinie pour tous événements Aet Bpar d(A,B) = P(A∆B)est une
distance sur l’ensemble des événements.
2. Si Aet Bsont deux événements, établir l’inégalité |P(A)−P(B)| ≤ P(A∆B).
Exercice 2. Egalité de Poincaré- Soient A1,··· ,Andes événements. Montrer que
Pn
[
i=1
Ai=
n
∑
k=1
(−1)k−1∑
1≤i1<···<ik≤n
Pk
\
j=1
Aij.
Exercice 3. Problème des rencontres- Une urne contient nboules numérotées de 1 à n. On les
extrait successivement sans remise et après chaque tirage, on observe le numéro de la boule
tirée.
1. Quel est l’espace probabilisé associé à cette expérience aléatoire ?
2. On dit qu’il y a rencontre au i-ème tirage si la boule iest tirée ; dans la suite Eidésigne
l’événement « il y a rencontre au i-ème tirage ». Calculer la probabilité de Ei1∩···∩Eik.
3. Calculer la probabilité de l’événement « il y a au moins une rencontre ».
4. Calculer la probabilité de l’événement « il n’y a pas de rencontre ».
Exercice 4. Inégalités de Fatou- Soit (An)n≥1une suite d’événements. Montrer les inégalités
Pliminf
nAn≤liminf n
P(An)≤limsup
n
P(An)≤Plimsup
n
An.
Exercice 5. Dans la suite, Aet Bsont deux événements.
1. Montrer que si Aet Bsont indépendants et A⊂B, alors P(B) = 1 ou P(A) = 0.
2. Montrer que si Aest indépendant de lui-même, alors P(A)∈ {0,1}.
3. Montrer que si P(A)∈ {0,1}, alors Aest indépendant de tout événement.
4. Montrer que |P(A∩B)−P(A)P(B)| ≤ 1/4.
Exercice 6. André, Berthe et Zoé sont placés au hasard sur une droite. On considère les évé-
nements E: « Berthe est à la droite d’André » et F: « Zoé est à la droite d’André ». Ces
événements sont-ils indépendants ?
1

Exercice 7. On lance un dé équilibré et on considère les deux événements A: « le résultat
est divisible par 2 » et F: « le résultat est divisible par 3 ». Ces deux événements sont-ils
indépendants ?
Exercice 8. On considère une pièce dont la probabilité de tomber sur pile est p∈]0,1[. Dans la
suite, les lancers de pièce sont supposés indépendants.
1. La pièce est lancée nfois. Pour tout k∈ {0,··· ,n}, on note µn({k})la probabilité que la
pièce tombe kfois sur pile. Que vaut µn?
2. Dans la question précédente, on suppose que p=λ/navec λ>0. Que vaut la limite de µn
lorsque n→∞?
3. On compte le nombre de lancers jusqu’à l’obtention de pile. Quelle est la probabilité qui
décrit cette expérience aléatoire ?
Exercice 9. Montrer que les fonctions ci-dessous définissent des lois de probabilité sur Rà
densité (par rapport à la mesure de Lebesgue) :
R3x7→ 1
b−a1[a,b](x),pour a<b:loi uniforme sur [a,b],notée U[a,b];
R3x7→ λe−λx,pour λ>0 : loi exponentielle,notée E(λ);
R3x7→ 1
√2πσ2e−1
2σ2(x−m)2,pour m∈Ret σ>0 : loi normale, notée N(m,σ2).
Feuille 2 - Variables aléatoires
Exercice 1. Soit X∼N(0,1). Calculer la densité de X2.
Exercice 2. Soient εet Xdes variables aléatoires indépendantes, avec X∼N(0,1)et εtelle
que P(ε=±1) = 1/2.Calculer la loi de εX.
Exercice 3. Soit (X,Y)un couple de variables aléatoires de densité f, avec
f(x,y) = 2e−(x+y)1{0≤x≤y}.
1. Calculer la loi de X.
2. Calculer la loi de X+Y.
Exercice 4. Soit X∼U(] −π/2,π/2[) et Yune variable aléatoire de loi de Cauchy, i.e. de
densité favec
f(x) = 1
π(1+x2).
Montrer que Y∼tanX.
2

Exercice 5. La durée écoulée entre l’arrivée de deux mails consécutifs dans la messagerie de
Gérard suit une loi E(λ), avec λ>0. On suppose que ces durées sont des réalisations de
variables aléatoires indépendantes.
1. Donner la loi suivie par les instants d’arrivée des npremiers mails dans la messagerie de
Gérard.
2. Calculer la loi du nombre de mails arrivés dans la messagerie de Gérard jusqu’à l’instant t.
Exercice 6. Un circuit électrique est composé de deux types de diodes A et B montées en
série. Les durées de vie des diodes, qui sont indépendantes, suivent des lois exponentielles de
paramètres inconnus éventuellement différents.
1. Quelle est la loi suivie par la durée de vie du circuit ?
2. Calculer la probabilité que la défaillance du circuit soit due à la diode A.
Exercice 7. Soient (Xn)n≥1des variables aléatoires indépendantes et de même loi. On note
Gn=card{i=1,··· ,n:Xi≤0}et Gn=n−Dn.
On considère une variable aléatoire Nde loi de Poisson P(λ), avec λ>0, i.e.
P(N=k) = e−λλk
k!,∀k∈N.
Si Nest indépendante de la suite (Xn)n≥1, calculer les lois de DNet GN, puis montrer que GN
et DNsont indépendantes.
Exercice 8. Montrer qu’une fonction de répartition admet au plus une infinité dénombrable de
points de discontinuité.
Exercice 9. Soient Xet Ydes variables aléatoires indépendantes et de même loi E(λ), avec
λ>0.
1. Déterminer la loi de inf(X,Y).
2. Calculer la loi de X+Y.
Exercice 10. Soient Xet Ydes variables aléatoires indépendantes et de même loi N(0,1). On
note (R,Θ)la représentation polaire de (X,Y). Calculer les lois de R2et Θ, puis montrer que R
et Θsont indépendantes.
Exercice 11. Soit (X,Y)une variable aléatoire à valeurs dans R2de densité f, avec
f(x,y) = 1
2πe−x2+y2
2.
Calculer la fonction caractéristique de Z=X/Y. Quelle est sa loi ? Montrer que l’inverse d’une
variable aléatoire de loi de Cauchy suit une loi de Cauchy.
Exercice 12. Soit X= (X1,··· ,Xn)une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de
même loi sans atome, i.e. de fonction de répartition continue.
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1. Pour x= (x1,··· ,xn)des réels distincts, on note Rx(i)le rang de xidans la liste x, i.e.
Rx(i) = card{i=1,··· ,n:xj≤xi}.
Calculer la loi de la variable aléatoire RX.
2. On note X(1),··· ,X(n)la suite Xré-ordonnée, i.e. X(1)<··· <X(n)p.s. Calculer la fonction
de répartition de X(i).
Exercice 13. Marche aléatoire- Soient X1,X2,··· des variables aléatoires indépendantes et de
même loi telle que P(X1=1) = 1−P(X1=−1) = p∈[0,1]. On pose S0=0 et pour tout n≥1,
Sn=X1+···+Xn(les variables aléatoires (Sn)n≥0modélisent la trajectoire d’un marcheur très
imprévisible qui se déplace sur Z). Soit Al’événement « La marche aléatoire (Sn)n≥0revient
une infinité de fois en 0 ».
1. Calculer P(Sn=0), pour tout n≥0.
2. Montrer que P(A) = 0 si p6=1/2.
3. On suppose ici que p=1/2.
a. Etablir l’égalité, pour tous m≥0 et k≥1 :
P(Sm=0,Sn6=0∀n≥m+k) = P(Sm=0)P(Sj6=0∀j≥k).
b. En déduire que P(A) = 1.
Feuille 3 - Espérance mathématique
Exercice 1. Calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire X, lorsque X∼G(p),
X∼P(λ),X∼B(n,p),X∼E(λ)et X∼N(m,σ2).
Exercice 2. Soit Xune variable aléatoire réelle de carré intégrable. Montrer que, pour tout
a∈R:
EX−EX2≤E(X−a)2.
Exercice 3. Inégalité de Chernoff- Soit Xune variable aléatoire admettant des moments expo-
nentiels de tous ordres, i.e. EeλX<∞pour tout λ∈R. Montrer que, pour tout t∈R,
P(X≥t)≤exp−sup
λ>0λt−lnEeλX.
Exercice 4. Calculer la loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes de lois
B(n1,p)et B(n2,p). Mêmes questions pour la loi normale et la loi de Poisson.
Exercice 5.
1. Montrer qu’une variable aléatoire réelle Xest de loi symétrique, i.e. X∼ −X, si et seulement
si sa fonction caractéristique est à valeurs réelles.
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2. Montrer qu’une combinaison convexe de fonctions caractéristiques est une fonction caracté-
ristique.
3. Montrer que le carré et le carré du module d’une fonction caractéristique sont des fonctions
caractéristiques.
Exercice 6. L’objectif de l’exercice est de calculer la fonction caractéristique d’une variable
aléatoire de loi de Cauchy.
1. Pour tout t∈R, calculer ZR
e−|x|+itxdx.
2. En déduire la fonction caractéristique de la loi de Cauchy. On rappelle que si g ∈L1(λ), avec
λla mesure de Lebesgue sur R, sa transformée de Fourier ˆg est définie par
ˆg(t) = ZR g(x)eitxdx.
Lorsque ˆg∈L1(λ), on a la formule inverse :
g(x) = 1
2πZR
ˆg(t)e−itxdt,∀x∈R.
Exercice 7. Théorème de Bernstein- Soient Xet Ydes variables aléatoires réelles indépendantes
et de même loi de carré intégrable et centré réduite.
1. Si X∼N(0,1), montrer que X+Yet X−Ysont indépendantes et de même loi N(0,2).
2. On suppose que X+Yet X−Ysont indépendantes. Soit ϕla fonction caractéristique de X.
a. Montrer que, pour tout t∈R,ϕ(2t) = ϕ(t)3ϕ(−t). En déduire que ϕne s’annulle pas.
b. Soit ψ(t) = ϕ(t)/ϕ(−t). Montrer que ψ(2t) = ψ(t)2et ψ(t) = 1+o(t2).
c. Etablir la relation ϕ(t) = ϕ(−t)pour tout t∈R.
d. Prouver que X∼N(0,1).
Exercice 8. Processus de Galton-Watson- Dans une réaction nucléaire, une particule élémen-
taire provoque l’apparition de particules de même nature. La i-ème particule de la génération
nengendre, indépendamment des autres, ξn+1
iparticules. Soit Xnle nombre de particules pré-
sentes à la génération net Gnla fonction génératrice de Xn, définie par
Gn(s) = EsXn,s∈[0,1].
On suppose que X0=1 et que les variables aléatoires (ξn
i)i,nsont indépendantes et de même loi
à support borné.
1. Que vaut EXn?
2. Calculer Gn+1en fonction de Gnet de G1.
3. Montrer que G1est croissante et convexe.
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