chapitre 1 : puissances, calcul litteral

CHAPITRE 4 : NOMBRES RATIONNELS ET DECIMAUX
I L’ensemble Q des nombres rationnels :
Cet ensemble permet de pallier en partie certaines insuffisances de l’ensemble des nombres entiers,
notamment le fait que la division de a par b (avec b non nul) a toujours un résultat dans l’ensemble Q.
1.1 caractérisation :
Un nombre rationnel est un nombre qui est le quotient de deux nombres entiers a et b (b non nul).
C’est donc la solution d’une équation b  x  a , avec a et b deux entiers relatifs et b  0 .
a
Ce nombre peut s’écrire sous la forme d’une fraction
, qui sera aussi notée par la suite a/b.
b
a est le numérateur et b est le dénominateur de la fraction. a/b est le quotient de a par b.
fractions égales : si b et d sont des entiers relatifs non nuls ;
a c
 on a  ssi a  d  b  c. (produits en croix)
b d
si k est un entier relatif non nul ;
a ak
a a:k
 on 
et

.
b bk
b b:k
Une fraction peut être simplifiée en divisant son numérateur et son dénominateur par un diviseur
commun.
Une fraction est dite irréductible si le numérateur et le dénominateur n’ont pas de diviseur commun
autre que 1 (a et b sont dits nombres premiers entre eux).
En divisant le numérateur et le dénominateur d’une fraction par leur plus grand diviseur commun, on
obtient la fraction irréductible égale à la fraction de départ.
Les critères de divisibilité, les tables, la décomposition en facteurs premiers peuvent faciliter la
simplification de fractions.
Exercice1 : Simplifier, en explicitant, les fractions suivantes sans utiliser de calculatrice :
352
4242
242424
32032
;
;
;
.
44
2828
323232
77
1.2 propriétés dans l’ensemble des nombres rationnels :
si a et b sont des entiers relatifs non nuls,
a b
a
b
1 b
 .
 comme   1 , l’inverse de est
donc
a a
b a
b
a
b
 la somme, la différence, le produit, le quotient de deux rationnels sont des rationnels.
 L’ensemble des rationnels est totalement ordonné : si a et b sont deux rationnels,
on a toujours a  b ou a  b.
Pour comparer deux fractions, on peut utiliser plusieurs méthodes :
Méthode1 : si les dénominateurs sont égaux, on compare les numérateurs. La fraction la plus grande
est celle qui a le plus grand dénominateur.
Méthode2 : si les numérateurs sont égaux, on compare les dénominateurs. La fraction la plus grande
est celle qui a le plus petit dénominateur.
Méthode3 : sinon, on réduit les fractions au même dénominateur.
Méthode 4 : on utilise des valeurs approchées décimales de chaque fraction.
L’intervalle ]a ;b[ (ensemble des rationnels q tels que a  q  b ) possède une infinité d’éléments.
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Exercice 2 : trouver une fraction qui s’intercale entre
9 19
15
16
et
et une entre et
.
7 13
21
21
II l’ensemble D des nombres décimaux :
Les calculs sur les fractions sont parfois longs et compliqués. Ces tâches sont plus agréables avec certains
types de fractions, notamment celles dont les dénominateurs sont écrits avec des puissances de dix.
2.1 caractérisation :
Un nombre décimal peut être défini comme un nombre pouvant être écrit sous forme de fraction
b
décimale : a  n , b étant un nombre entier relatif et n un nombre entier naturel.
10
Il peut encore s’écrire comme produit d’un nombre entier relatif par une puissance de dix :
a  b  10  n.
Il peut encore s’écrire avec une écriture décimale qui comporte une partie entière, qui peut être nulle,
et une partie décimale dont le nombre de chiffres différents de 0 est fini. Un nombre décimal est égal à
la somme de sa partie entière et de sa partie décimale : 12,3 = 12 + 0,3.
2.2 propriétés :
 La somme ou le produit de deux nombres décimaux sont des nombres décimaux.
Exercice 3 :
1/ La somme de deux nombres décimaux est-elle toujours un nombre décimal ?
2/ La somme de deux rationnels non décimaux est-elle toujours un rationnel non décimal?
 Pour comparer deux nombres décimaux, on compare d’abord les parties entières ; si elles sont
différentes, le plus grand nombre est celui qui a la plus grande partie entière ; si les parties
entières sont égales, on compare respectivement chaque chiffre des parties décimales, à partir
des dixièmes, en s’arrêtant dès qu’un chiffre diffère à un rang donné. Le plus grand nombre
décimal est celui qui a le plus grand chiffre à ce rang.
 Entre deux décimaux, on peut toujours intercaler une infinité de nombres décimaux.
Exercice 4 : déterminer deux chiffres a et b qui satisfont à l’encadrement : 3,8276  3,8ab4  3,834.
Exercice 5 : dénombrer les solutions de la double inégalité : 43,8276  a3,5cd 4  53,834.
III l’ensemble R des nombres réels :
3.1 caractérisation :
L’ensemble R des nombres réels est un ensemble « continu » : les nombres réels permettent de graduer
parfaitement la droite, sans « trou ».
Certains nombres réels sont irrationnels (ils ne peuvent pas s’exprimer sous forme de fraction) et sont
solutions d’équations : de tels nombres sont appelés « nombres algébriques ». 2 est une solution de
1 5
l’équation x²  2 . Le nombre d’or
est une solution de l’équation x²  x  1  0.
2
D’autres nombres irrationnels ne sont pas solution de telles équations ; ils sont appelés « nombres
transcendants ».
Exemples :  , e .
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3.2 propriétés :
Les propriétés vérifiées dans Q le sont aussi dans R.
 Tout élément non nul a un inverse pour la multiplication.
 La somme, la différence, le produit, le quotient (sauf cas d’une division par 0) de deux nombres
réels sont des nombres réels.
 L’ensemble des nombres réels est totalement ordonné.
 L’intervalle ]a ;b[ (ensemble des réels q tels que a  q  b ) possède une infinité d’éléments.
3.3 ordre sur les nombres réels :
 Le passage aux opposés s’accompagne du changement de sens de l’inégalité.
a  b équivaut à - a  -b.
 Le passage aux inverses pour des nombres de même signe s’accompagne du changement de
sens de l’inégalité.
1 1
a  b équivaut à  . (a et b étant deux nombres réels non nuls de même signe)
a b
 En ajoutant un même nombre réel aux deux termes d’une inégalité, on obtient une nouvelle
inégalité de même sens que la première.
a  b équivaut à a  c  b  c et a  b et c  d entraine a  c  b  d.
 En multipliant les deux termes d’une inégalité par un même nombre réel positif, on obtient une
nouvelle inégalité de même sens que la première.
a  b équivaut à a  c  b  c. avec c nombre réel positif non nul.
 En multipliant les deux termes d’une inégalité par un même nombre réel négatif, on obtient une
nouvelle inégalité de sens contraire par rapport à la première.
a  b équivaut à a  c  b  c. avec c nombre réel négatif non nul.
IV différentes manières d’écrire les nombres :
Il y a différentes manières d’écrire les nombres. La manière dont un nombre est écrit ne détermine pas
toujours sa nature !
2 = 6/3 = 8 π / 4 π =
4 = - (-2) = 1,999…
Le fait de pouvoir l’exprimer sous une certaine forme permet de déterminer sa nature.
4.1 Comment reconnaître si une fraction représente un nombre décimal ?
Un nombre rationnel est un nombre décimal si, parmi toutes les fractions qui le représentent,
Il y a au moins une fraction décimale (le dénominateur est une puissance de dix).
Exemples :
27
27
27  5² 675 675
 3
 3 3  3 
 0,675.
40 2  5 2  5
1000
10
4
17 17 17  5
10675 10675
 4  4


 1,0675.
4
16 2
10000
2 5
10 4
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Comment alors reconnaître si un nombre rationnel exprimé sous forme de fraction irréductible p/q est
un nombre décimal ?
Par définition, si c’est un nombre décimal, il existe un entier n tel que (p/q)  10 n soit un entier.
Or 10 n = 2 n  5 n , donc (p/q)  2 n  5 n est un entier, donc (p  2 n  5 n) / q est un entier ; q ne
divisant pas p, q divise forcément 2 n  5 n , q est donc de la forme 2 p  5 m , avec
0  p  n et 0  m  n.
A retenir :
Les seuls rationnels qui sont des décimaux sont donc ceux qui peuvent s’écrire à l’aide d’une
fraction irréductible du type :
a
n et p étant des entiers naturels.
2 5p
n
Exercice 6 :
On donne les nombres rationnels suivants : A 
364
384
et B 
1001
275
1/Les nombres A et B sont-ils des nombres décimaux ?
2/ Le nombre A + B est-il un nombre décimal ?
4.2 Quel type de nombres une écriture décimale peut-elle représenter ?
Une écriture décimale peut désigner un entier (3,00), un nombre décimal (3,25), un rationnel non
décimal (0,333…) ou un irrationnel ( 2 = 1,4142… ). Il ne faut donc pas confondre « nombre
décimal » et « écriture décimale ». Comment, à partir d’une écriture décimale, déterminer à quel
ensemble appartient un nombre ?
Si l’écriture décimale du nombre est finie, le nombre est un nombre décimal par définition.
Si l’écriture décimale du nombre est illimitée, il ya deux cas possibles.
1er cas : cas d’un nombre rationnel :
Pour un rationnel p/q, les restes dans les divisions successives peuvent prendre au plus q valeurs (0, 1,
2, 3, …, q-1), le reste étant toujours inférieur au diviseur q.
Si l’un des restes est égal à zéro, la division s’arrête, p/q est alors un nombre décimal.
Si les restes successifs sont tous différents de zéro, ils peuvent prendre les valeurs (1,… , q-1).
La suite de ces restes successifs est illimitée, mais prend au plus q-1 valeurs différentes. On retrouvera
un reste déjà produit, et donc la même suite de chiffres (la période) pour le quotient.
Exemple : 43/7 = 6,1428571… la suite décimale est donc illimitée et périodique.
Si, à droite de la virgule, une suite décimale est périodique et illimitée, elle est l’écriture d’un nombre
rationnel.
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Exemple : soit x = 15,272727… = 15,27.
Alors 100 x = 1527,2727… donc 100 x – x = 1527,2727… - 15,2727…
1512
168
Soit 99 x = 1512. Donc x 
ou encore x 
.
99
11
Cas particulier : soit x = 1,99999… = 1,9.
Alors 10 x = 19,999… donc 10 x – x = 19,999… - 1,999..
18
Soit 9 x = 18. Donc x 
ou encore x  2 .
9
Une écriture décimale de période 9 désigne un rationnel décimal !
2ème cas : cas d’un nombre irrationnel :
Une écriture décimale illimitée, mais non périodique, est l’écriture d’un nombre irrationnel (donc non
rationnel).
Exemples : π, e etc.
Exercice 7:
Le quotient de deux entiers naturels peut avoir une écriture décimale qui ne se termine pas. Par
2
227
exemple,  0,666... et
 2,0636363...
3
110
1/ On considère le nombre x = 0,9999… = 0,9 (période à un chiffre).
Comparer 10 x et 9 + x.
2/ Démontrer que 0,999… = 1 à l’aide la question précédente.
3/Déterminer une écriture fractionnaire de 19,787878….
4.3 Notation scientifique :
Son recours permet facilement d’apprécier l’ordre de grandeur d’un nombre quand il comporte un
grand nombre de chiffres.
Un nombre est écrit en notation scientifique s’il est écrit sous la forme a  10 n avec a nombre décimal
s’écrivant avec un seul chiffre non nul avant la virgule et n un nombre entier relatif.
Exercice 8 : le son se propage à 3,43  10 2 m/s (à 20 °C). Entre la vision d’un éclair et le coup de
tonnerre, 3,5 s se sont écoulées. A quelle distance l’orage se trouve-t-il ?
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V approximation décimale d’un nombre réel :
Une approximation décimale d’un nombre réel est un nombre décimal que l’on accepte comme
suffisamment voisin du nombre réel considéré. Cette approximation peut être obtenue par les arrondis
ou les troncatures.
5.1 Valeur approchée :
Une valeur approchée par défaut, à p près d’un nombre x est un nombre a tel que :
a  x  a  p.
Une valeur approchée par excès, à p près d’un nombre x est un nombre a tel que :
a p  x  a.
Exemples : 22/7 = 3,14285714…
Une valeur approchée par défaut à 1/10 près de 22/7 est 3,1.
Une valeur approchée par excès à 1/10 près de 22/7 est 3,2.
Une valeur approchée par défaut à 1/1000 près (ou à 10 -3 près) de 22/7 est 3,142.
Une valeur approchée par excès à 1/1000 près de 22/7 est 3,143.
5.2 Arrondi :
L’arrondi à l’unité de 22/7 est 3 : c’est l’entier relatif le plus proche de 22/7.
L’arrondi au dix-millièmes près de 22/7 est 3,1429 : c’est le nombre décimal comportant 4 chiffres
dans sa partie décimale et qui est le plus proche de 22/7.
Par convention, l’arrondi à l’unité du nombre 2,5 est l’entier 3.
5.3 Troncature :
Pour tronquer un nombre au rang considéré, on « coupe » le nombre au rang considéré et on supprime
tous les chiffres à droite après la coupure.
La troncature à l’unité de 22/7 est l’entier 3.
La troncature de 22/7 au dix-millièmes près est 3,1428.
Exercice 9:
Soit a un nombre rationnel et b un nombre irrationnel ; y a-t-il des entiers n non nuls :
- pour lesquels n  a soit un entier ?
- pour lesquels n  b soit un entier ?
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CORRIGE DES EXERCICES CHAPITRE 4:
Exercice1 :
5
352 2  11

 2 3  8.
44 2 2  11
donc
4 242 est composé de 42 centaines et 42 unités donc est divisible par 101.
4242 42  101 42 3


 .
2828 28  101 28 2
3
242424 24  10101 2  3  10101 3 3
De même,


 2  .
323232 32  10101
4
2 5  10101
2
32032 32  1001 32  91  11 32  7  13



 416.
77
7  11
7  11
7
Exercice 2 :
15 16

150 155 160
31 1 31
il y a 21 21    . ou bien
. ou bien avec les valeurs approchées :


2
21 2 42
210 210 210
15
16
74
est une fraction possible.
 0,71 et
 0,76 donc
21
21
100
Exercice 3 :
a
b
1/ Soit n et
les deux nombres décimaux avec p < n.
10
10 p
b  10 n  p
b  10 n  p a  b  10 n  p
a
b
a
a
qui est une fraction décimale.






10 n 10 p 10 n 10 p  n  p
10 n
10 n
10 n
2/ Un seul contre-exemple suffit :
1 2
  1 qui est un rationnel décimal puisque nombre entier.
3 3
Exercice 4 : a = 2, il y a 6 réponses, par exemple : 3,8276  3,8294  3,834. etc
Exercice 5 : dénombrer les solutions de la double inégalité : 43,8276  a3,5cd 4  53,834.
a = 5 obligatoirement. On a donc : 43,8276  53,5cd 4  53,834.
il ya alors 10 chiffres possibles pour c et 10 chiffres possibles pour d soit 100 nombres, il ya donc 100
valeurs possibles.
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Exercice 6 :
On donne les nombres rationnels suivants : A 
364
384
et B 
1001
275
1/ 1 001 = 11  91 mais 364 n’est pas divisible par 11 (364 = 33  11 + 1) donc le dénominateur de A
n’est pas du type 2 p  5 m donc A n’est pas un nombre décimal.
275 = 11  25 mais 384 n’est pas divisible par 11 (384 = 34  11 + 10) donc le dénominateur de B
n’est pas du type 2 p  5 m donc B n’est pas un nombre décimal.
2/
27  3
364 384 4  7  13
4 384 4  25 384 100 384 484 11  44 44



 







1001 275 11  7  13 11  5  5 11 275 11  25 275 275 275 275 11  25 25
44 44
or
ce qui prouve que A+B est un nombre décimal.

25 5²
A B 
Exercice 7:
1/ 10 x = 10  0,9999… = 9,9999…
et 9 + x = 9 + 0,9999… = 9,9999….
Donc 10 x = 9 + x.
2/ résolvons cette équation : 10 x = 9 + x ssi 10 x – x = 9 ssi 9 x = 9 ssi x = 1.
3/ soit x = 19,787878….
100 x = 1 978,7878… alors 100 x – x = 1 959 alors 99 x = 1 959 alors x = 1 959 / 99 = 653 / 33.
2ème méthode :
Comme à la question 1/ x = 19 + 0,7878…, posons y = 0,7878… alors 100 y = 78,7878… = 78 + y
Alors 100 y = 78 + y soit 99 y = 78 et y = 78/99 et x = 19 + 78/99 = 653/33.
Exercice 8 : d = v  t .
d = 3,43  10 2  3,5 = 12,005  10 2 m = 1200,5 m = 1,2005 km.
Exercice 9:
1/ soit a = p/q alors n  a = n  p/q = ( n  p)/q. Il suffit de prendre n comme multiple de q pour que
n  a soit un entier.
2/ par l’absurde : supposons que n  b soit un entier c alors n  b = c alors b = c/n nombre rationnel.
Or c’est contraire à l’énoncé puisque b est irrationnel donc notre supposition est fausse donc n  b ne
peut pas être un entier.
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