chapitre 1 : puissances, calcul litteral

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CHAPITRE 4 : NOMBRES RATIONNELS ET DECIMAUX
I L’ensemble Q des nombres rationnels :
Cet ensemble permet de pallier en partie certaines insuffisances de l’ensemble des nombres entiers,
notamment le fait que la division de a par b (avec b non nul) a toujours un résultat dans l’ensemble Q.
1.1 caractérisation :
Un nombre rationnel est un nombre qui est le quotient de deux nombres entiers a et b (b non nul).
C’est donc la solution d’une équation
axb 
, avec a et b deux entiers relatifs et b
0
.
Ce nombre peut s’écrire sous la forme d’une fraction
b
a
, qui sera aussi notée par la suite a/b.
a est le numérateur et b est le dénominateur de la fraction. a/b est le quotient de a par b.
fractions égales : si b et d sont des entiers relatifs non nuls ;
 on a
d
c
b
a
ssi
.cbda 
(produits en croix)
si k est un entier relatif non nul ;
 on
kb ka b
a
et
.
:
:kb ka
b
a
Une fraction peut être simplifiée en divisant son numérateur et son dénominateur par un diviseur
commun.
Une fraction est dite irréductible si le numérateur et le dénominateur n’ont pas de diviseur commun
autre que 1 (a et b sont dits nombres premiers entre eux).
En divisant le numérateur et le dénominateur d’une fraction par leur plus grand diviseur commun, on
obtient la fraction irréductible égale à la fraction de départ.
Les critères de divisibilité, les tables, la décomposition en facteurs premiers peuvent faciliter la
simplification de fractions.
Exercice1 : Simplifier, en explicitant, les fractions suivantes sans utiliser de calculatrice :
44
352
;
2828
4242
;
323232
242424
;
77
32032
.
1.2 propriétés dans l’ensemble des nombres rationnels :
si a et b sont des entiers relatifs non nuls,
 comme
1 a
b
b
a
, l’inverse de
b
a
est
a
b
donc
.
1a b
b
a
 la somme, la différence, le produit, le quotient de deux rationnels sont des rationnels.
 L’ensemble des rationnels est totalement ordonné : si a et b sont deux rationnels,
on a toujours
.ou baba 
Pour comparer deux fractions, on peut utiliser plusieurs méthodes :
Méthode1 : si les dénominateurs sont égaux, on compare les numérateurs. La fraction la plus grande
est celle qui a le plus grand dénominateur.
Méthode2 : si les numérateurs sont égaux, on compare les dénominateurs. La fraction la plus grande
est celle qui a le plus petit dénominateur.
Méthode3 : sinon, on réduit les fractions au même dénominateur.
Méthode 4 : on utilise des valeurs approchées décimales de chaque fraction.
L’intervalle ]a ;b[ (ensemble des rationnels q tels que
bqa 
) possède une infinité d’éléments.

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Exercice 2 : trouver une fraction qui s’intercale entre
21
15
et
21
16
et une entre
7
9
et
.
13
19
II l’ensemble D des nombres décimaux :
Les calculs sur les fractions sont parfois longs et compliqués. Ces tâches sont plus agréables avec certains
types de fractions, notamment celles dont les dénominateurs sont écrits avec des puissances de dix.
2.1 caractérisation :
Un nombre décimal peut être défini comme un nombre pouvant être écrit sous forme de fraction
décimale :
n
b
a10
, b étant un nombre entier relatif et n un nombre entier naturel.
Il peut encore s’écrire comme produit d’un nombre entier relatif par une puissance de dix :
.10 n ba 
Il peut encore s’écrire avec une écriture décimale qui comporte une partie entière, qui peut être nulle,
et une partie décimale dont le nombre de chiffres différents de 0 est fini. Un nombre décimal est égal à
la somme de sa partie entière et de sa partie décimale : 12,3 = 12 + 0,3.
2.2 propriétés :
 La somme ou le produit de deux nombres décimaux sont des nombres décimaux.
Exercice 3 :
1/ La somme de deux nombres décimaux est-elle toujours un nombre décimal ?
2/ La somme de deux rationnels non décimaux est-elle toujours un rationnel non décimal?
 Pour comparer deux nombres décimaux, on compare d’abord les parties entières ; si elles sont
différentes, le plus grand nombre est celui qui a la plus grande partie entière ; si les parties
entières sont égales, on compare respectivement chaque chiffre des parties décimales, à partir
des dixièmes, en s’arrêtant dès qu’un chiffre diffère à un rang donné. Le plus grand nombre
décimal est celui qui a le plus grand chiffre à ce rang.
 Entre deux décimaux, on peut toujours intercaler une infinité de nombres décimaux.
Exercice 4 : déterminer deux chiffres a et b qui satisfont à l’encadrement :
.834,348,38276,3  ab
Exercice 5 : dénombrer les solutions de la double inégalité :
.834,5345,38276,43  cda
III l’ensemble R des nombres réels :
3.1 caractérisation :
L’ensemble R des nombres réels est un ensemble « continu » : les nombres réels permettent de graduer
parfaitement la droite, sans « trou ».
Certains nombres réels sont irrationnels (ils ne peuvent pas s’exprimer sous forme de fraction) et sont
solutions d’équations : de tels nombres sont appelés « nombres algébriques ».
2
est une solution de
l’équation
2² x
. Le nombre d’or
251
est une solution de l’équation
.01²  xx
D’autres nombres irrationnels ne sont pas solution de telles équations ; ils sont appelés « nombres
transcendants ».
Exemples : , e .

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3.2 propriétés :
Les propriétés vérifiées dans Q le sont aussi dans R.
 Tout élément non nul a un inverse pour la multiplication.
 La somme, la différence, le produit, le quotient (sauf cas d’une division par 0) de deux nombres
réels sont des nombres réels.
 L’ensemble des nombres réels est totalement ordonné.
 L’intervalle ]a ;b[ (ensemble des réels q tels que
bqa 
) possède une infinité d’éléments.
3.3 ordre sur les nombres réels :
 Le passage aux opposés s’accompagne du changement de sens de l’inégalité.
-b.a- àéquivaut  ba
 Le passage aux inverses pour des nombres de même signe s’accompagne du changement de
sens de l’inégalité.
.
b
1
a
1
àéquivaut  ba
(a et b étant deux nombres réels non nuls de même signe)
 En ajoutant un même nombre réel aux deux termes d’une inégalité, on obtient une nouvelle
inégalité de même sens que la première.
cbcaba  àéquivaut
et
d.bca entraine et  dcba
 En multipliant les deux termes d’une inégalité par un même nombre réel positif, on obtient une
nouvelle inégalité de même sens que la première.
. àéquivaut cbcaba 
avec c nombre réel positif non nul.
 En multipliant les deux termes d’une inégalité par un même nombre réel négatif, on obtient une
nouvelle inégalité de sens contraire par rapport à la première.
. àéquivaut cbcaba 
avec c nombre réel négatif non nul.
IV différentes manières d’écrire les nombres :
Il y a différentes manières d’écrire les nombres. La manière dont un nombre est écrit ne détermine pas
toujours sa nature !
2 = 6/3 = 8 π / 4 π =
4
= - (-2) = 1,999…
Le fait de pouvoir l’exprimer sous une certaine forme permet de déterminer sa nature.
4.1 Comment reconnaître si une fraction représente un nombre décimal ?
Un nombre rationnel est un nombre décimal si, parmi toutes les fractions qui le représentent,
Il y a au moins une fraction décimale (le dénominateur est une puissance de dix).
Exemples :
.675,0
1000
675
10
675
52 ²527 5227
40
27 3333 
.0675,1
10000
10675
10
10675
52
517
2
17
16
17 444
4
4

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Comment alors reconnaître si un nombre rationnel exprimé sous forme de fraction irréductible p/q est
un nombre décimal ?
Par définition, si c’est un nombre décimal, il existe un entier n tel que (p/q) 10 n soit un entier.
Or 10 n = 2 n 5 n , donc (p/q) 2 n 5 n est un entier, donc (p 2 n 5 n) / q est un entier ; q ne
divisant pas p, q divise forcément 2 n 5 n , q est donc de la forme 2 p 5 m , avec
.0et 0nmnp 
A retenir :
Les seuls rationnels qui sont des décimaux sont donc ceux qui peuvent s’écrire à l’aide d’une
fraction irréductible du type :
naturels. entiers desétant et
52 pn
apn 
Exercice 6 :
On donne les nombres rationnels suivants :
1001
364
A
et
275
384
B
1/Les nombres A et B sont-ils des nombres décimaux ?
2/ Le nombre A + B est-il un nombre décimal ?
4.2 Quel type de nombres une écriture décimale peut-elle représenter ?
Une écriture décimale peut désigner un entier (3,00), un nombre décimal (3,25), un rationnel non
décimal (0,333…) ou un irrationnel (
2
= 1,4142… ). Il ne faut donc pas confondre « nombre
décimal » et « écriture décimale ». Comment, à partir d’une écriture décimale, déterminer à quel
ensemble appartient un nombre ?
Si l’écriture décimale du nombre est finie, le nombre est un nombre décimal par définition.
Si l’écriture décimale du nombre est illimitée, il ya deux cas possibles.
1er cas : cas d’un nombre rationnel :
Pour un rationnel p/q, les restes dans les divisions successives peuvent prendre au plus q valeurs (0, 1,
2, 3, …, q-1), le reste étant toujours inférieur au diviseur q.
Si l’un des restes est égal à zéro, la division s’arrête, p/q est alors un nombre décimal.
Si les restes successifs sont tous différents de zéro, ils peuvent prendre les valeurs (1,… , q-1).
La suite de ces restes successifs est illimitée, mais prend au plus q-1 valeurs différentes. On retrouvera
un reste déjà produit, et donc la même suite de chiffres (la période) pour le quotient.
Exemple : 43/7 = 6,1428571… la suite décimale est donc illimitée et périodique.
Si, à droite de la virgule, une suite décimale est périodique et illimitée, elle est l’écriture d’un nombre
rationnel.

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Exemple : soit x = 15,272727… = 15,27.
Alors 100 x = 1527,2727… donc 100 x – x = 1527,2727… - 15,2727…
Soit 99 x = 1512. Donc
99
1512
x
ou encore
.
11
168
x
Cas particulier : soit x = 1,99999… = 1,9.
Alors 10 x = 19,999… donc 10 x – x = 19,999… - 1,999..
Soit 9 x = 18. Donc
9
18
x
ou encore
2x
.
Une écriture décimale de période 9 désigne un rationnel décimal !
2ème cas : cas d’un nombre irrationnel :
Une écriture décimale illimitée, mais non périodique, est l’écriture d’un nombre irrationnel (donc non
rationnel).
Exemples : π, e etc.
Exercice 7:
Le quotient de deux entiers naturels peut avoir une écriture décimale qui ne se termine pas. Par
exemple,
...666,0
3
2
et
...0636363,2
110
227 
1/ On considère le nombre x = 0,9999… = 0,9 (période à un chiffre).
Comparer 10 x et 9 + x.
2/ Démontrer que 0,999… = 1 à l’aide la question précédente.
3/Déterminer une écriture fractionnaire de 19,787878….
4.3 Notation scientifique :
Son recours permet facilement d’apprécier l’ordre de grandeur d’un nombre quand il comporte un
grand nombre de chiffres.
Un nombre est écrit en notation scientifique s’il est écrit sous la forme
n
a10
avec a nombre décimal
s’écrivant avec un seul chiffre non nul avant la virgule et n un nombre entier relatif.
Exercice 8 : le son se propage à 3,43
2
10
m/s (à 20 °C). Entre la vision d’un éclair et le coup de
tonnerre, 3,5 s se sont écoulées. A quelle distance l’orage se trouve-t-il ?