Probabilités

Probabilités
Exercice 1. [Vocabulaire]
Rappeler le sens des expressions suivantes : expérience aléatoire, issue, éventualité, univers, événement.
Exercice 2. On lance simultanément deux dés non truqués dont les faces sont comme d’habitude
numérotées de 1 à 6 et on s’intéresse à la somme des points obtenus.
1. Déterminer l’univers Ωdes résultats possibles.
2. On souhaite savoir si chacune des issues détaillées précédemment ont la même chance de se produire.
Écrire un algorithme qui permette de simuler cette expérience aléatoire 20 fois et le programmer sur
sa calculatrice.
En regroupant les résultats obtenus dans la classe, à quelle conclusion arrivez-vous ?
1 La loi des grands nombres
Soit kun entier naturel non nul : on considère une expérience aléatoire débouchant sur kéventualités que
l’on note e1,...,ek: ces éventualités constituent l’univers Ωdes résultats possibles.
Soit N∈N∗: on répète dans des conditions identiques et indépendantes Nfois cette expérience aléa-
toire. À l’issue de ces Nexpériences aléatoires, on a observé x1fois l’issue e1;...;xkfois l’issue ek.
Exercice 3. Soit i∈ {1,...,k}: exprimer en fonction de xiet Nla fréquence d’apparition fide
l’éventualité ei.
Compléter :
k
X
i=0
xi=......
k
X
i=0
fi=......
∀i∈ {1,...,k}, . . . 6fi6...
Loi des grands nombres : Lorsque l’on répète un grand nombre de fois, dans des conditions iden-
tiques et indépendantes, une même expérience aléatoire débouchant sur un nombre fini d’éventualités,
la fréquence d’apparition d’une éventualité donnée se stabilise autour d’un nombre théorique, appelé pro-
babilité de cette éventualité
Propriétés : Soit p1,...,pkles probabilités respectives des éventualités e1,...,ek. Alors :
k
X
i=0
pi=......
∀i∈ {1,...,k}... 6pi6...
Vocabulaire et remarques
1. Lorsque l’on affecte à chaque éventualité sa probabilité, on dit que l’on munit l’univers des résultats
possibles d’une loi de probabilité, que l’on note souvent par la lettre p, ou P.
2. (Méthode) – La probabilité d’un événement Aest alors noté p(A)et se calcule en sommant les
probabilités des éventualités qui constituent A.
L’ensemble Ωest un événement appelé événement certain et sa probabilité vaut .......
L’ensemble ∅est un événement appelé événement impossible et sa probabilité vaut .......
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3. Une loi de probabilité est un modèle qui sert à quantifier a priori la chance théorique de survenir
de telle éventualité.
4. Proposer une loi de probabilité en adéquation avec la réalité d’une expérience aléatoire est donc un
problème de modélisation que nous allons aborder dans certains cas simples cette année.
2 Calcul des probabilités
Exercice 4. Un générateur de nombres aléatoires fournit un entier compris (au sens large) entre 1 et
20. Il est programmé de façon que les entiers pairs aient tous la même probabilité, les entiers impairs aient
tous la même probabilité mais que les entiers pairs soient deux fois plus fréquents que les entiers impairs.
On fait fonctionner le générateur une seule fois.
1. À partir des informations données, proposer un modèle probabiliste pour cet expérience aléatoire.
2. On considère les événements A: “L’entier obtenu est multiple de 3” et B: “L’entier obtenu est
strictement supérieur à 10”.
(a) Ecrire en extension les événements Aet Bet donner leur probabilité.
(b) Ecrire en compréhension l’événement ¯ Bet donner sa probabilité.
(c) Ecrire en compréhension et en extension l’événement A∪Bet donner sa probabilité.
(d) Ecrire en compréhension et en extension l’événement A∩Bet donner sa probabilité.
Propriétés : Soient Aet Bdeux événements d’un univers Ωmuni d’une loi de probabilité p.
1. L’événement Aet son contraire ¯ Asont liés par la relation : p(A) + p(¯ A) = 1.
2. Les événements A∪Bet A∩Bsont liés par la relation :
p(A∪B) + p(A∩B) = p(A) + p(B)
Si les événements Aet Bsont incompatibles (autrement dit, si A∩B=.........), alors :
p(A∪B) = p(A) + p(B)
Exercice 5. Soit Aet Bdeux événements tels que p(A) = 0.5et p(B) = 0.7.Aet Bsont-ils incom-
patibles ?
Un modèle important : l’équiprobabilité ou probabilité uniforme.
Lorsque à l’issue d’une expérience aléatoire, on peut raisonnablement supposer que toutes les éventualités
ont la même probabilité, on dit qu’elles sont équiprobables.
On munit alors l’univers Ωdes résultats possibles de l’équiprobabilité, encore appelée probabilité
uniforme.
Si l’univers Ωcontient exactement kéventualités, la probabilité de chaque éventualité est ...
....
La probabilité d’un événement Ase calcule alors en effectuant le quotient :
Nombre d’éventualités réalisant A
Nombre total d’éventualités
Exercice 6. On lance simultanément deux dés non truqués dont les faces sont comme d’habitude
numérotées de 1 à 6 et on s’intéresse à la somme des points obtenus. Proposer une loi de probabilité sur
l’ensemble des résultats possibles.
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