Probabilités

Probabilités
Exercice 1. [Vocabulaire]
Rappeler le sens des expressions suivantes : expérience aléatoire, issue, éventualité, univers, événement.
Exercice 2. On lance simultanément deux dés non truqués dont les faces sont comme d’habitude
numérotées de 1 à 6 et on s’intéresse à la somme des points obtenus.
1. Déterminer l’univers Ω des résultats possibles.
2. On souhaite savoir si chacune des issues détaillées précédemment ont la même chance de se produire.
Écrire un algorithme qui permette de simuler cette expérience aléatoire 20 fois et le programmer sur
sa calculatrice.
En regroupant les résultats obtenus dans la classe, à quelle conclusion arrivez-vous ?
1
La loi des grands nombres
Soit k un entier naturel non nul : on considère une expérience aléatoire débouchant sur k éventualités que
l’on note e1 , . . . , ek : ces éventualités constituent l’univers Ω des résultats possibles.
Soit N ∈ N∗ : on répète dans des conditions identiques et indépendantes N fois cette expérience aléatoire. À l’issue de ces N expériences aléatoires, on a observé x1 fois l’issue e1 ; . . . ; xk fois l’issue ek .
Exercice 3.
l’éventualité ei .
Compléter :
Soit i ∈ {1, . . . , k} : exprimer en fonction de xi et N la fréquence d’apparition fi de
k
X
xi = . . . . . .
i=0
k
X
fi = . . . . . .
i=0
∀i ∈ {1, . . . , k},
. . . 6 fi 6 . . .
Loi des grands nombres : Lorsque l’on répète un grand nombre de fois, dans des conditions identiques et indépendantes, une même expérience aléatoire débouchant sur un nombre fini d’éventualités,
la fréquence d’apparition d’une éventualité donnée se stabilise autour d’un nombre théorique, appelé probabilité de cette éventualité
Propriétés : Soit p1 , . . ., pk les probabilités respectives des éventualités e1 , . . . , ek . Alors :
k
X
pi = . . . . . .
i=0
∀i ∈ {1, . . . , k}
. . . 6 pi 6 . . .
Vocabulaire et remarques
1. Lorsque l’on affecte à chaque éventualité sa probabilité, on dit que l’on munit l’univers des résultats
possibles d’une loi de probabilité, que l’on note souvent par la lettre p, ou P .
2. (Méthode) – La probabilité d’un événement A est alors noté p(A) et se calcule en sommant les
probabilités des éventualités qui constituent A.
L’ensemble Ω est un événement appelé événement certain et sa probabilité vaut . . . . . ..
L’ensemble ∅ est un événement appelé événement impossible et sa probabilité vaut . . . . . ..
Seconde
Probabilités
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3. Une loi de probabilité est un modèle qui sert à quantifier a priori la chance théorique de survenir
de telle éventualité.
4. Proposer une loi de probabilité en adéquation avec la réalité d’une expérience aléatoire est donc un
problème de modélisation que nous allons aborder dans certains cas simples cette année.
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Calcul des probabilités
Exercice 4. Un générateur de nombres aléatoires fournit un entier compris (au sens large) entre 1 et
20. Il est programmé de façon que les entiers pairs aient tous la même probabilité, les entiers impairs aient
tous la même probabilité mais que les entiers pairs soient deux fois plus fréquents que les entiers impairs.
On fait fonctionner le générateur une seule fois.
1. À partir des informations données, proposer un modèle probabiliste pour cet expérience aléatoire.
2. On considère les événements A : “L’entier obtenu est multiple de 3” et B : “L’entier obtenu est
strictement supérieur à 10”.
(a) Ecrire en extension les événements A et B et donner leur probabilité.
(b) Ecrire en compréhension l’événement B̄ et donner sa probabilité.
(c) Ecrire en compréhension et en extension l’événement A ∪ B et donner sa probabilité.
(d) Ecrire en compréhension et en extension l’événement A ∩ B et donner sa probabilité.
Propriétés : Soient A et B deux événements d’un univers Ω muni d’une loi de probabilité p.
1. L’événement A et son contraire Ā sont liés par la relation : p(A) + p(Ā) = 1.
2. Les événements A ∪ B et A ∩ B sont liés par la relation :
p(A ∪ B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B)
Si les événements A et B sont incompatibles (autrement dit, si A ∩ B = . . . . . . . . .), alors :
p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
Exercice 5.
patibles ?
Soit A et B deux événements tels que p(A) = 0.5 et p(B) = 0.7. A et B sont-ils incom-
Un modèle important : l’équiprobabilité ou probabilité uniforme.
Lorsque à l’issue d’une expérience aléatoire, on peut raisonnablement supposer que toutes les éventualités
ont la même probabilité, on dit qu’elles sont équiprobables.
On munit alors l’univers Ω des résultats possibles de l’équiprobabilité, encore appelée probabilité
uniforme.
...
.
Si l’univers Ω contient exactement k éventualités, la probabilité de chaque éventualité est
...
La probabilité d’un événement A se calcule alors en effectuant le quotient :
Nombre d’éventualités réalisant A
Nombre total d’éventualités
Exercice 6. On lance simultanément deux dés non truqués dont les faces sont comme d’habitude
numérotées de 1 à 6 et on s’intéresse à la somme des points obtenus. Proposer une loi de probabilité sur
l’ensemble des résultats possibles.
Seconde
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