Séance 5 - Denis Vekemans

Algèbre
Anneaux - Corps
Denis Vekemans ∗
Exercice 1 Soit (A, +,0A)un groupe abélien.
On munit l’ensemble Ad’une autre loi binaire ·, en posant a·b= 0A, pour tout a, b ∈A.
Montrer que (A, +,·)est un anneau commutatif.
Exercice 2 Soit
2Z={2ztels que z∈Z}.
Montrer que (2Z,+,·)est un anneau commutatif.
Exercice 3 (Mars 2004) Soit (R,+,·)l’anneau des nombres réels.
On définit deux nouvelles lois Let Nsur Rde la manière suivante : ∀(x, y)∈R2, on pose xLy=
x+y−2et xNy=x·y−2x−2y+ 6.
1. Montrer que (R,L)est un groupe abélien.
2. Montrer que (R,L,N)est un anneau commutatif unitaire.
Exercice 4 On considère le produit cartésien Z×Z={(a, b)tels que a∈Z, b ∈Z}.
On pose
(a, b) + (c, d) = (a+c, b +d)
et
(a, b)◦(c, d) = (a·c, a ·d+b·c)
pour tout (a, b),(c, d)∈Z×Z.
Montrer que (Z×Z,+,◦)est un anneau commutatif.
L’anneau (Z×Z,+,◦)est-il unitaire ?
Exercice 5 Soit (A, +,·)un anneau commutatif.
Notons 0et 1respectivement le neutre pour +et pour ·.
Soit Pune partie de Atelle que
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
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L1 Maths - Info Algèbre 2008
1. Pest stable pour +dans A;
2. P∩(−P) = {0}et P∪(−P) = A.
Montrer que la relation ≤sur Adéfinie par x≤ysi et seulement si y−x∈Pest un ordre total sur A.
Exercice 6 Soit (A, +,·)un anneau idempotent, c’est-à-dire tel que, pour tout x∈A,x·x=x.
Notons 0et 1respectivement le neutre pour +et pour ·.
1. Montrer que, pour tout x∈A,x+x= 0.
2. En déduire que Aest commutatif.
3. Montrer que la relation binaire définie sur Apar
xRy⇐⇒ x·y=x,
est une relation d’ordre sur A.
4. Si Aest (A, +,·)un anneau idempotent intègre, montrer que Aest soit trivial, soit isomorphe à
(Z/2Z,+,·).
Exercice 7 Soit (A, +,·)un anneau unitaire.
Notons 0et 1respectivement le neutre pour +et pour ·.
On munit l’ensemble Ade deux opérations : aLb=a+b+ 1 et aNb=a·b+a+b.
1. Montrer que (A, L,N)est un anneau.
2. Montrer que l’application f: (A, +,·)→(A, L,N)définie par f(a) = a−1est un isomorphisme
d’anneaux.
Exercice 8 met nsont deux entiers naturels premiers entre eux.
Montrer que l’anneau Z/mnZest isomorphe à Z/mZ×Z/nZ
Exercice 9 Soit
Q[ı] = {a+bı tels que (a, b)∈Q2} ⊂ C.
Montrer que Q[ı]est un sous-corps du corps (C,+,·)des nombres complexes.
Soit
Z[ı] = {a+bı tels que (a, b)∈Z2} ⊂ C.
Z[ı]est-il un sous-corps du corps (C,+,·)des nombres complexes ?
Exercice 10 Montrer que tout anneau commutatif unitaire intègre fini est un corps.
Exercice 11 Soit (A, +,·)un anneau unitaire commutatif. Notons 0et 1respectivement le neutre pour +
et pour ·.
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L1 Maths - Info Algèbre 2008
Un élément xde Aest dit nilpotent s’il existe n∈N∗tel que xn= 0.
On peut montrer que ∀(x, y)∈A2,∀n∈N∗,
(x+y)p=
p
X
k=0 p
k!xkyp−k,
où p
k!=p!
k! (p−k)!.
(a) Soient xet ydeux éléments nilpotents de A. Montrer que x+yest nilpotent.
(b) Soit xun élément nilpotent de Aet soit y∈A. Montrer que xy est nilpotent.
(c) Soit x∈Anilpotent. Montrer que 1−xest inversible et déterminer son inverse.
Exercice 12 Soit (A, +,·)un anneau commutatif unitaire.
Soit Sune partie de Astable pour ·ne contenant pas 0.
On définit
– une relation binaire Rpar
∀(a, s)∈A×S, ∀(a′, s′)∈A×S, (a, s)R(a′, s′)⇐⇒ ∃ω∈Stel que ω·(a·s′−a′·s) = 0.
– une loi de composition notée ♣
∀(a, s)∈A×S, ∀(a′, s′)∈A×S, (a, s)♣(a′, s′) = (a·s′+a′·s, s ·s′).
– une loi de composition notée ♠
∀(a, s)∈A×S, ∀(a′, s′)∈A×S, (a, s)♠(a′, s′) = (a·a′, s ·s′).
Montrer que Rest une relation d’équivalence sur Fet que F/Rpeut être muni de la structure d’anneau
quotient.
Exercice 13 Déterminer tous les endomorphismes du corps R.
Références
[1] M. Gran, fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d’Opale.
[2] M. Serfati, Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.
[3] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI,
PCSI, PTSI, TSI, Ellipses, 2004.
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