`A propos de trigonométrie 1 O`u l`on définit les radians 2 Les

Mme Morel-Rappels cours 1
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A propos de trigonom´etrie
1 O`u l’on d´efinit les radians
On consid`ere le crecle trigonom´etrique de centre O et de rayon 1.
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A chaque point du cercle, on associe la longueur de l’arc de cercle parcouru : on d´efinit ainsi la mesure
de l’angle en radians (voir l’activit´e de d´ecouverte des radians).
On obtient alors le tableau de proportionnalit´e suivant :
Angle en degr´es 360 180 90 45 60 30
Angle en radians ou
longueur de l’arc 2π π π
2
π
4
π
3
π
6
de cercle parcouru
2 Les valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus
Le cosinus d’un angle se lit en abscisse et le sinus en ordonn´ees (voir l’activit´e de d´ecouverte de la
trigonom´etrie en seconde).
Le th´eor`eme de Pythagore nous fournit imm´ediatement l’´egalit´e : cos2x+ sin2x= 1.
Quelques valeurs remarquables sont `a connaˆıtre ou `a savoir retrouver.
1. Si l’angle vaut π
4: le point du cercle correspondant est donc sur le cercle trigonom´etrique et sur
la droite d’´equation y=x(premi`ere bissectrice).
•L’information y=xnous permet d’´ecrire que :
cos π
4= sin π 4
•L’information : le point est sur le cercle trigonom´etrique nous permet d’´ecrire que :
cos2π
4+ sin2π 4= 1
En regroupant ces deux informations, nous obtenons l’´equation suivante :
cos2π
4+ cos2π 4= 1
soit
2 cos2π
4= 1
d’o`u
cos2π
4=1 2
Or, π
4se situe dans le premier quart du cercle trigonom´etrique. Par cons´equent, cos π 4>0. Nous
en d´eduisons alors que :
sin π
4= cos π 4=r1 2=1
√2
=√2
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2. Si l’angle vaut π
3: il faut savoir que soit le sinus soit le cosinus vaut 1 2.
De plus, puisque cos2π
3+ cos2π 3= 1, si cos π 3=1 2alors sin π 3=√3 2et si sin π 3=1 2alors
cos π
3=√3 2.
`
A pr´esent, comment conclure quant `a la valeur de cos π
3?
La question `a laquelle il faut r´epondre est la suivante : quel est le plus grand des deux nombres
suivants : 1
2et √3 2? Vous r´epondez bien-sˆur √3 2.
Reportez-vous `a pr´esent sur le cercle trigonom´etrique. A-t-on cos π
3>sin π 3ou cos π 3<sin π 3?
Vous observez que cos π
3<sin π 3. Par cons´equent,
cos π
3=1 2et sin π 3=√3 2
3. Si l’angle vaut π
6: le travail est le mˆeme que pour π 3, mais les valeurs de sinus et de cosinus sont
´echang´ees :
sin π
6=1 2et cos π 6=√3 2
Nous obtenons donc le tableau de valeurs suivant :
Angle en radians 2π π π
2
π
4
π
3
π
6
cosinus 1 -1 0 √2
2
1
2
√3
2
sinus 0 0 1 √2
2
√3
2
1
2