`A propos de trigonométrie 1 O`u l`on définit les radians 2 Les

Mme Morel-Rappels cours
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À propos de trigonométrie
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Où l’on définit les radians
On considère le crecle trigonométrique de centre O et de rayon 1.
À chaque point du cercle, on associe la longueur de l’arc de cercle parcouru : on définit ainsi la mesure
de l’angle en radians (voir l’activité de découverte des radians).
On obtient alors le tableau de proportionnalité suivant :
Angle en degrés
Angle en radians ou
longueur de l’arc
360
180
90
45
60
30
2π
π
π
2
π
4
π
3
π
6
de cercle parcouru
2
Les valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus
Le cosinus d’un angle se lit en abscisse et le sinus en ordonnées (voir l’activité de découverte de la
trigonométrie en seconde).
Le théorème de Pythagore nous fournit immédiatement l’égalité : cos2 x + sin2 x = 1.
Quelques valeurs remarquables sont à connaı̂tre ou à savoir retrouver.
π
: le point du cercle correspondant est donc sur le cercle trigonométrique et sur
4
la droite d’équation y = x (première bissectrice).
1. Si l’angle vaut
• L’information y = x nous permet d’écrire que :
π
π
= sin
4
4
cos
• L’information : le point est sur le cercle trigonométrique nous permet d’écrire que :
cos2
π
π
+ sin2 = 1
4
4
En regroupant ces deux informations, nous obtenons l’équation suivante :
cos2
π
π
+ cos2 = 1
4
4
soit
2 cos2
d’où
cos2
π
=1
4
π
1
=
4
2
π
π
Or, se situe dans le premier quart du cercle trigonométrique. Par conséquent, cos > 0. Nous
4
4
en déduisons alors que :
r
√
π
π
1
1
2
sin = cos =
=√ =
4
4
2
2
2
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π
: il faut savoir que soit le sinus soit le cosinus vaut .
3
2√
π
π
1
π
π
1
π
3
alors sin =
et si sin =
alors
De plus, puisque cos2 + cos2 = 1, si cos =
3
3
3
2
3
2
3
2
√
π
3
cos =
.
3
2
π
À présent, comment conclure quant à la valeur de cos ?
3
La question à laquelle
il faut répondre est la suivante
: quel est le plus grand des deux nombres
√
√
3
3
1
suivants : et
? Vous répondez bien-sûr
.
2
2
2
π
π
π
π
Reportez-vous à présent sur le cercle trigonométrique. A-t-on cos > sin ou cos < sin ?
3
3
3
3
π
π
Vous observez que cos < sin . Par conséquent,
3
3
√
π
1
π
3
cos = et sin =
3
2
3
2
2. Si l’angle vaut
3. Si l’angle vaut
échangées :
π
π
: le travail est le même que pour , mais les valeurs de sinus et de cosinus sont
6
3
√
1
π
π
3
sin = et cos =
6
2
6
2
Nous obtenons donc le tableau de valeurs suivant :
Angle en radians
2π
π
π
2
π
4
√
cosinus
1
-1
0
2
2
√
sinus
0
0
1
2
2
π
3
1
2
√
3
2
π
6
√
3
2
1
2