Du côté du site compagnon: Achille

Chapitre 2
Opérations sur les
nombres en écriture
fractionnaire
Achille
Beau, courageux, orgueilleux, Achille incarne le parfait chevalier, le héros, voire un dieu du monde grec.
Achille est un héros légendaire de la guerre de Troie. Il est le fils du roi Pélée de Phthie en Thessalie et de Thétis
une Néréide.
Il a été élevé par un centaure, Chiron, qui lui enseigne l’art de la guerre, la musique et la médecine.
Sa mère Thétis le plonge dans l’un des fleuves des Enfers, le Styx, afin qu’il devienne invulnérable. Mais pour cela, elle le tient
par le talon qui n’est donc pas trempé par l’eau du fleuve. Ce talon devient alors le point faible d’Achille qui le laisse mortel.
Il périra d’ailleurs d’une flèche en pleine cheville.
Aujourd’hui, le « talon d’Achille » désigne le point faible d’une personne.
Le paradoxe de Zenon d’Elée
Au Ve siècle avant J.-C., le grec Zénon d’Elée nous raconte qu’en additionnant une infinité de nombres, on obtient
un résultat qui n’est pas nécessairement infiniment grand.
Achille, célèbre pour sa rapidité, court régulièrement à la même vitesse sur une longueur égale à 1 (le kilomètre
n’existait pas à cette époque).
Zénon suppose qu’Achille doit parcourir une certaine distance.
1
Pour cela, il doit d’abord parcourir la moitié de la longueur ( ), puis il continue pour parcourir la moitié de la lon2
1
gueur restante ( ), et ainsi de suite en poursuivant à l’infini ce procédé de divisions par 2…
4
La longueur totale parcourue par Achille sera ainsi égale à :
1 1 1
1
1
+ + +
+
+…
2 4 8 16 32
Chapitre 2
Opérations sur les
nombres en écriture
fractionnaire
Commençons par effectuer la somme des premiers termes :
1
2
1
•
2
1
•
2
1
•
2
•
1
4
1
+
4
1
+
4
1
+
4
+
3
4
1
+
8
1
+
8
1
+
8
=
= 0,75
3 1 7
+ = = 0,875
4 8 8
1 7 1 15
+ = + = = 0,9375
16 8 16 16
1 1 15 1 31
+ + = + = = 0,96875
16 32 16 32 32
=
…
1 1 1 1
1
+ + + +…+
≈ 0,999
2 4 8 16
1 024
Plus l’on ajoute de termes et plus l’on se rapproche de 1.
D’après cette légende, il est ainsi possible d’additionner
une infinité de longueurs sans pour autant que le résultat soit une longueur infiniment grande !
Quelques liens utiles
http://www.site-magister.fr/prepas/page2b.htm
Un article sur les exploits d’Achille : l’Aristie.
http://expositions.bnf.fr/homere/
Homère sur les traces d’Ulysse
http://duguesclin.free.fr/Mythologie_grecque/page/Achille.htm
Achille et la guerre de Troie
http://philoctetes.free.fr/homereil.htm
L’Iliade d’Homère
http://www.educnet.education.fr/archives/lettres/lycee--/grec/seqt_2gr.htm
Ressources diverses sur Achille