Opérations élémentaires sur les matrices

Agrégation interne de Mathématiques
Département de Mathématiques
Université de La Rochelle
F. Geoffriau
2006-2007
Opérations élémentaires sur les matrices
Proposition 1. – Base canonique de Mn,p (k)
Pour tout i ∈ {1, . . . , n} et tout j ∈ {1, . . . , p}, on considère la matrice Eij dont tous les
coefficients sont nuls sauf celui en position (i, j) qui vaut 1 ;
Eij = (δik δj! )1!k!n,1!!!p
où δij est le symbole de Kronecker, il vaut 1 si i = j, 0 sinon.
La famille (Eij )1!i!n,1!j!p est une base du k-espace vectoriel Mn,p (k), c’est la base
canonique de Mn,p (k). Soit A = (aij )1!i!n,1!j!p , on a
A=
p
n !
!
aij Eij
i=1 j=1
!
Preuve – Clair.
Proposition 2. – Produit matriciel et base canonique
Soit i, j, k, " ∈ {1, . . . , n}. On a
Eij Ek! = δjk Ei!
Preuve – On pose Eij = (ars )1!r,s!n , Ek! = (brs )1!r,s!n et Eij Ek! = (crs )1!r,s!n . Soit
r, s ∈ {1, . . . , n}, on a
crs =
n
!
t=1
art bts =
n
!
δir δjt δkt δ!s = δir δjk δ!s
t=1
Ainsi Eij Ek! = (δir δjk δ!s )1!r,s!n = δjk (δir δ!s )1!r,s!n = δjk Ei! .
!
Définition 3. – Matrice de transposition
Soit i, j ∈ {1, . . . , n}, i "= j. On appelle matrice de transposition toute matrice de Mn (k)
de la forme


1
..


.
0




1




0 0 ··· 0 1




0 1
0




.
.
.

.
.
.
Tij = In − Eii − Ejj + Eij + Eji = 
.
.
.




0
1 0




1 0 ··· 0 0




1




.
..


0
1
– 2 – Opérations élémentaires sur les matrices
Proposition 4. – Propriétés des matrices de transposition
Soit i, j ∈ {1, . . . , n}, i "= j.
a. La matrice Tij est inversible, d’inverse elle-même.
b. Soit A ∈ Mn,p (k), la matrice Tij A se déduit de A en échangeant les lignes d’indices i et j.
c. Soit B ∈ Mq,n (k), la matrice BTij se déduit de B en échangeant les colonnes d’indices i
et j.
Preuve – a. Soit τij ∈ kn l’application linéaire dont la matrice dans la base canonique
e = (e1 , . . . , en ) de kn est Tij . Alors
τij (ei ) = ej ,
τij (ej ) = ei ,
et
∀ k "= i, j
τij (ek ) = ek
2
En fait τij permute les vecteurs ei et ej . Il est alors clair que τij est bijective et que τij
= idkn .
Par conséquent, la matrice Tij est inversible d’inverse elle-même.
b. On pose A = (ak! )1!k!p,1!!!n . Alors
Tij A = (In − Eii − Ejj + Eij + Eji )A
!
!
!
!
=A−
ak! Eii Ek! −
ak! Ejj Ek! +
ak! Eij Ek! +
ak! Eji Ek!
k,!
=A−
=A+
!
!
!
!
=
ai! Ei! −
!
k,!
aj! Ej! +
!
(aj! − ai! )Ei! +
! !
k!=i,j
!
ak! Ek! +
!
!
!
!
k,!
aj! Ei! +
!
!
!
k,!
ai! Ej!
!
(ai! − aj! )Ej!
aj! Ei! +
!
ai! Ej!
!
d’où le résultat.
c. Faire de même.
!
Définition 5. – Matrice d’affinité
On appelle matrice d’affinité toute matrice de la forme






Di (λ) = In + (λ − 1)Eii = 




1
..
.
0
1
λ
0

1
..
.
1










avec i ∈ {1, . . . , n} et λ ∈ k∗ . C’est la matrice diagonale constituée de 1 sur la diagonale sauf
à la ligne i où le coefficient est λ.
Proposition 6. – Propriétés des matrices d’affinité
Soit λ, µ ∈ k∗ et i ∈ {1, . . . , n}.
a. On a
Di (λ)Di (µ) = Di (λµ),
Di (1) = In
Di (λ) ∈ GLn (k),
Di (λ)−1 = Di (λ−1 )
b. Soit A ∈ Mn,p (k), la matrice Di (λ)A se déduit de A en multipliant la ligne d’indice i par
λ.
F. Geoffriau
Opérations élémentaires sur les matrices
–3–
c. Soit B ∈ Mq,n (k), la matrice BDi (λ) se déduit de B en multipliant la colonne d’indice i
par λ.
Preuve – a. On a
(
)(
)
Di (λ)Di (µ) = In + (λ − 1)Eii In + (µ − 1)Eii
(
)
= In + λ − 1 + µ − 1 + (λ − 1)(µ − 1) Eii
= In − (λµ − 1)Eii = Di (λµ)
et il est clair que Di (1) = In . Ainsi
Di (λ)Di (λ−1 ) = Di (λλ−1 ) = Di (1) = In
et
Di (λ−1 )Di (λ) = Di (λ−1 λ) = Di (1) = In
donc Di (λ) est inversible d’inverse Di (λ−1 ).
b. On pose A = (ak! )1!k!p,1!!!n . Alors
!
(
)
Di (λ)A = (In − (λ − 1)Eii A = A −
(λ − 1)ak! Eii Ek!
=A−
!
!
k,!
(λ − 1)ai! Ei! =
!!
k!=i
ak! Ek! +
!
!
λai! Ei!
!
d’où le résultat.
c. Faire de même.
!
Définition 7. – Matrice de transvection
On appelle matrice de transvection toute matrice

1


Ui,j (λ) = In + λEij = 

de la forme
..
0
.

λ
..
.
1




pour i, j ∈ {1, . . . , n}, i "= j et λ ∈ k. C’est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf
ceux de la diagonale qui valent 1 et celui en position (i, j) qui vaut λ.
Proposition 8. – Propriétés des matrices de transvection
Soit λ, µ ∈ k, i, j ∈ {1, . . . , n}, i "= j.
a. On a
Ui,j (λ)Ui,j (µ) = Ui,j (λ + µ),
Ui,j (0) = In
Ui,j (λ) ∈ GLn (k),
Ui,j (λ)−1 = Ui,j (−λ)
b. Soit A ∈ Mn,p (k), la matrice Ui,j (λ)A se déduit de A en remplaçant la ligne d’indice i par
elle-même additionnée de la ligne d’indice j multipliée par λ.
c. Soit B ∈ Mq,n (k), la matrice BUi,j (λ) se déduit de B en remplaçant la colonne d’indice j
par elle-même additionnée de la colonne d’indice i multipliée par λ.
Preuve – a. On a
Ui,j (λ)Ui,j (µ) = (In + λEij )(In + µEij ) = In + (λ + µ)Eij = Ui,j (λ + µ)
car i "= j, et il est clair que Ui,j (0) = In . Ainsi
Ui,j (λ)Ui,j (−λ) = Ui,j (λ − λ) = Ui,j (0) = In
donc Ui,j (λ) est inversible, d’inverse Ui,j (−λ).
F. Geoffriau
et
Ui,j (−λ)Ui,j (λ) = Ui,j (−λ + λ) = In
– 4 – Opérations élémentaires sur les matrices
b. On pose A = (ak! )1!k!p,1!!!n . Alors
!
)
Ui,j (λ)A = (In + λEij A = A −
λak! Eij Ek!
=A−
!
k,!
λaj! Ei! =
!
!!
k!=i
ak! Ek! +
!
!
(ai! + λaj! )Ei!
!
d’où le résultat.
c. Faire de même.
!
Définition 9. – Opérations élémentaires sur les matrices
Toute application de Mn,p (k) dans lui-même de la forme A %→ U A (resp. A %→ AU ) où U est
une matrice de transposition, d’affinité ou de transvection donnée d’ordre n (resp. d’ordre p)
est dite opération élémentaire sur les lignes (resp. colonnes).
Une telle opération peut se noter suivant le cas Li ←→ Lj , Li ←− λLi , Li ←− Li + λLj ,
Ci ←→ Cj , Ci ←− λCi et Cj ←− Cj + λCi .
Proposition 10. – Rang et opération élémentaire
Toute opération élémentaire sur une matrice conserve son rang.
Preuve – Clair car les matrices de transposition, d’affinité et de transvection sont inversibles.
!
Définition 11. – Matrice échelonnée
On appelle matrice échelonnée en ligne toute matrice de Mn,p (k) telle que :
a. si une ligne est nulle, toutes les suivantes sont nulles ;
b. si le premier terme non nul de la i-ème ligne est en position j, soit la i + 1-ème ligne est
nulle, soit elle a son premier terme non nul en position k avec k > j.
On appelle matrice échelonnée en colonne toute matrice dont la transposée est
échelonnée en ligne.
Exemple 12. – La matrice A est échelonnées en ligne et B en colonne.

2

A= 0
0
3
0
0
0
3
0

1
5
7

3
8
B= 
5
4
0
1
0
5
0
0
2
6

0
0

0
0
Remarque 13. – a. Le rang d’une matrice de Mn,p (k) échelonnée en ligne est égale au
nombre de lignes non nulles.
b. Le rang d’une matrice de Mn,p (k) échelonnée en colonne est égale au nombre de colonnes
non nulles.
c. Une matrice (ai,j )i,j ∈ Mn,p (k) est échelonnée en ligne si et seulement si pour tout
i ∈ {1, . . . , n} et pour tout j ∈ {1, . . . , p}, on a
[∀ k ∈ {1, . . . , min(n, j)} ai,k = 0] =⇒ [∀ k ∈ {1, . . . , min(n, j + 1)} ai+1,k = 0]
Théorème 14. – Méthode du pivot de Gauss ou algorithme fang-cheng
a. Soit A = (ai,j )1!i!n,1!j!p une matrice de Mn,p (k). Il existe un produit P ∈ GLn (k) de
matrices de transposition et de transvection tel que la matrice P A soit échelonnée en ligne.
F. Geoffriau
Opérations élémentaires sur les matrices
–5–
b. Soit A ∈ Mn,p (k). Il existe un produit P ∈ GLp (k) de matrices de transposition et de
transvection tel que AP soit échelonnée en colonne.
Preuve – a. Si la première colonne de A est non nulle, quitte à permuter la première ligne
avec une autre, on peut supposer a1,1 non nul. Pour chaque indice i = 2, . . . , n, on applique
la transvection Li ←− Li − (ai,1 /a1,1 )L1 , et ainsi on transforme la matrice A en la matrice


a1,1 ∗ . . . ∗
 0


A1 = 
.
 ..

A$
0
1
la matrice A$1 appartient à Mn−1,p−1 (k). De proche en proche, on transforme A en une
matrice échelonnée. Si une sous-colonne est nulle, on considère la sous-matrice privée de
cette colonne.
b. On a t A ∈ Mp,n (k). D’après le point précédant, il existe un produit Q ∈ GLp (k) de
matrices de transposition et de transvection tel que Q t A soit échelonnée en ligne. Mais alors
t
A t Q = (Q t A) est échelonnée en colonne et t Q est un produit de matrices de transposition
et de transvection.
!
Remarque 15. – a. Attention, dans le cas où n = p, la matrice obtenue est équivalente à la
matrice A mais n’est pas semblable, c’est une matrice du type P A (ou AP ) avec P ∈ GLn (k).
b. En utilisant les matrices d’affinité, on peut faire en sorte que les pivots de Gauss soient
égaux à 1.
c. Si les coefficients de A sont entiers, on peut faire en sorte qu’il en soit de même de ceux de
A$1 en faisant la transformation Li ←− a1,1 Li − ai,1 L1 , ce qui revient à une dilatation suivie
d’une transvection. On peut réduire les calculs en divisant a1,1 et ai,1 par leur pgcd.
Exercice 16. – Déterminer le rang de la matrice


1
3 −5 6
4
0 3
 2


2
1
3 5
−1 −7
1 7
Solution –

1
 2

2
−1

1
0

0
0

1
0

0
0

1
0

0
0

3 −5 6
4
0 3

1
3 5
−7
1 7

3 −5
6
−2 10 −9 

−5 13 −7
−4 −4 13

3 −5
6
−2
10 −9 

0 −24 31
0 −24 31

3 −5
6
−2
10 −9 

0 −24 31
0
0
0
Ainsi le rang de la matrice est 3.
F. Geoffriau
L2 ← L2 − 2L1
L3 ← L3 − 2L1
L4 ← L4 + L1
L3 ← 2L3 − 5L2
L4 ← L4 − 2L2
L4 ← L4 − L3
!
– 6 – Opérations élémentaires sur les matrices
Théorème 17. – Méthode de Jordan-Bareiss
Soit A ∈ GLn (k). Il existe un produit P de matrices élémentaires de Mn (k) tel que P A = In
et donc A−1 = P .
Preuve – Soit A = (aij )1!i,j!n ∈ GLn (k). Comme A est inversible, la première colonne de
A est non nulle. Quitte à permuter les lignes, on peut supposer a11 "= 0. Et quitte à multiplier
la première ligne par 1/a11 , on peut supposer a11 = 1. Pour chaque indice i = 2, . . . , n, on
applique la transvection Li −→ Li − ai,1 L1 , et ainsi on transforme la matrice A en la matrice


1 ∗ ... ∗
.
.. 

.
 0 ..
A1 =  .
.
.. 
 ..
..
.
0 ∗ ... ∗
La matrice A1 se déduit de A par des opérations élémentaires, elles ont donc même rang n
et ainsi A1 est inversible. Notons encore aij les coefficients de A1 .
Comme les colonnes de A1 sont indépendantes, il existe un indice j " 2 tel que a2j "= 0.
Par permutation de lignes, on peut supposer que j = 2. En multipliant la deuxième ligne
par 1/a2,2 , on se ramène à a22 = 1. Pour chaque indice i "= 2, on applique la transvection
Li −→ Li − ai,2 L2 , et ainsi on transforme la matrice A1 en la matrice


1 0 ∗ ... ∗
.
.. 

.
 0 1 ..
.
.
.. 


A2 =  .. 0 ..
.
.
.. ..
.. 
 ..
.
. .
0 0 ∗ ... ∗
On obtient alors le résultat de proche en proche.
!
Exercice 18. – Inverser la matrice

0

A= 1
0
1
0
1

1
1
0
Solution – Si P A = In , on a P = A−1 . Comme P = P In , on voit que, si l’on effectue les
mêmes opérations élémentaires sur In que sur A, lorsque partant de A on obtient In , alors,
partant de In , on aura obtenu A−1 . Pratiquement, il est conseillé de disposer les calculs
comme suit




1 0 0
0 1 1
0 1 0
1 0 1
0 1 0
0 0 1




1 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
L1 ←→ L2
0 1 0
0 0 1




1 0 1
0 1 0
0 1 0
0 0 1
L2 ←→ L3
0 1 1
1 0 0




1 0 1
0 1
0
0 1 0
0 0
1  L3 −→ L3 − L2
0 0 1
1 0 −1

 

1 0 0
−1 1
1
0 1 0  0 0
1  L1 −→ L1 − L3
0 0 1
1 0 −1
F. Geoffriau
Opérations élémentaires sur les matrices
–7–
!
La dernière matrice obtenue est la matrice A−1 .
Remarque 19. – Pour le calcul du rang d’une matrice, on peut faire des opérations
élémentaires sur les lignes et les colonnes. Mais pour rechercher l’inverse d’une matrice,
il faut soit faire uniquement des opérations élémentaires sur les lignes, soit faire uniquement
des opérations élémentaires sur les colonnes.
Remarque 20. – a. Soit E un espace vectoriel de dimension n, e un base de E, et
(v1 , . . . , vp ) une famille de vecteurs de E. On note M la matrice de Mn,p (k) dont les vecteurscolonne sont les vecteurs coordonnées des vecteurs v1 , . . . , vp dans la base e. Alors le rang de
la famille (v1 , . . . , vp ) est égal à celui de M .
Si on veut en plus trouver une base du sous-espace vectoriel F engendré par v1 , . . . , vp ,
il ne faut faire que des opérations élémentaires sur les colonnes de la matrice M . Alors les
vecteurs-colonne non nuls de la matrice échelonnée sont les vecteurs coordonnées dans la base
e d’une base de F .
b. Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension p et n respectivement et soit e et f des
bases de E et F respectivement. Soit ϕ: E → F une application linéaire et M sa matrice
dans les bases e et f . Pour déterminer le rang de ϕ, il suffit d’échelonner la matrice M en
ligne ou en colonne.
Mais si on veut en plus avoir une base de im(ϕ), il ne faut faire que des opérations
élémentaires sur les colonnes de la matrice M . Alors les vecteurs-colonne non nuls de la
matrice échelonnée sont les vecteurs coordonnées dans la base f d’une base de im(ϕ).
Et si on veut une base de ker(ϕ), il faut faire les mêmes opérations élémentaires sur les
colonnes sur la matrice identité Ip et les vecteurs-colonne correspondant aux vecteurs-colonne
nuls de la matrice échelonnée issue de M sont les vecteurs coordonnées dans la base e d’une
base de ker(ϕ).
Exercice 21. – Soit E un espace vectoriel muni d’une base (e1 , e2 , e3 ). Déterminer une
base du sous-espace vectoriel F engendré par les vecteurs f1 = e1 +4e2 +7e3 , f2 = 2e1 −e2 +e3
et f3 = 18e2 + 26e3 .
Solution – On a

1
rg  4
7


1
2 0
−1 18  = rg  4
1 26
7


0
0
1
9 18  = rg  4
13 26
7
0
9
13

0
0 = 2
0
Donc le sous-espace vectoriel F engendré par (f1 , f2 , f3 ) est de dimension 2 et une base de F
est (e1 + 4e2 + 7e3 , 9e2 + 13e3 ).
!
Théorème 22. – Méthode de Jordan-Bareiss améliorée
Soit A ∈ GLn (k). Il existe une matrice P ∈ Mn (k) produit de matrices de transvection et un
scalaire λ ∈ k∗ tels que
*
+
In−1
0n−1,1
PA =
= In + (λ − 1)Enn
01,n−1
λ
Preuve – a. Présentation de l’algorithme.
pour i de 1 à n − 1 faire
k ←− i + 1
tant que aki = 0 et k # n faire k ←− k + 1
si k = n + 1 alors
Li+1 ←− Li+1 + aii Li
F. Geoffriau
– 8 – Opérations élémentaires sur les matrices
k ←− i + 1
fin si
aii
Li ←− Li − 1 −
aki Lk
pour k ∈ {1, . . . , n} \ {i} faire
Lk ←− Lk − aki Li
fin pour
fin pour
pour k ∈ {1, . . . , n − 1} faire
akn L
Lk ←− Lk − a
nn n
fin pour
b. Preuve de l’algorithme. L’algorithme se termine car la seule boucle !! tant que "" a comme
test d’arrêt la majoration d’une variable qui est incrémentée à chaque boucle, les boucles
!! pour "" n’ayant pas de problème de terminaison.
Pour prouver la première boucle, on utilise l’invariant de boucle : à la fin de la i-ème
itération, la matrice A est inversible et est de la forme
A=
*
Ii
0n−i,i
B
C
+
avec B ∈ Mi,n−i (k) et C ∈ Mn−i,n−i (k).
Si les coefficients de la i-ème colonne et des n − i − 1 dernières lignes sont nuls, alors
le coefficient aii est non nul (car sinon la i-ème colonne serait combinaison linéaire des
i − 1 premières colonnes et la matrice A ne serait pas inversible) et dans ce cas l’opération
Li+1 ←− Li+1 + aii Li rend le coefficient ai,i+1 non nul. Ensuite grâce à l’opération
aii
Li ←− Li − 1 −
aki Lk , le coefficient aii devient égal à 1.
Dans la deuxième boucle, les i−1 premières colonnes ne sont pas modifiées car le coefficient
en ligne i de ces colonnes est nul et pour la i-ème colonne, les coefficients des lignes autre que
la i-ème ligne sont annulés.
De plus, ces opérations reviennent à multiplier la matrice A par des matrices inversibles,
donc la nouvelle matrice est elle-aussi inversible. Ainsi l’invariant de boucle est justifié.
Pour la dernière boucle, le coefficient ann est non nul car sinon la dernière colonne
serait combinaison linéaire des autres et A ne serait pas inversible. Et les opérations
akn L annulent les n − 1 premiers coefficients de la dernière colonne. Ainsi
Lk ←− Lk − a
nn n
A=
ce qui est la forme souhaitée.
*
In−1
01,n−1
0n−1,1
ann
+
!
Remarque 23. – Toute matrice de SLn (k) (matrice de détermniant égal à 1) est produit de
matrices de transvection et toute matrice de GLn (k) est produit de matrices de tranvection
et d’une matrice de dilatation.
F. Geoffriau