Opérations élémentaires sur les matrices

Agr´egation interne de Math´ematiques
D´epartement de Math´ematiques
Universit´e de La Rochelle
F. Geoffriau
2006-2007
Op´erations ´el´ementaires sur les matrices
Proposition 1. – Base canonique de Mn,p(k)
Pour tout i∈{1, . . . , n}et tout j∈{1, . . . , p}, on consid`ere la matrice Eij dont tous les
coefficients sont nuls sauf celui en position (i, j)qui vaut 1;
Eij =(δikδj!)1!k!n,1!!!p
o`u δij est le symbole de Kronecker, il vaut 1si i=j,0sinon.
La famille (Eij )1!i!n,1!j!pest une base du k-espace vectoriel Mn,p(k), c’est la base
canonique de Mn,p(k). Soit A=(aij )1!i!n,1!j!p, on a
A=
n
!
i=1
p
!
j=1
aij Eij
Preuve – Clair. !
Proposition 2. – Produit matriciel et base canonique
Soit i, j, k, "∈{1, . . . , n}. On a
Eij Ek!=δjkEi!
Preuve – On pose Eij =(ars)1!r,s!n,Ek!=(brs)1!r,s!net Eij Ek!=(crs)1!r,s!n. Soit
r, s ∈{1, . . . , n}, on a
crs =
n
!
t=1
artbts =
n
!
t=1
δirδjtδktδ!s=δir δjkδ!s
Ainsi Eij Ek!=(δirδjkδ!s)1!r,s!n=δjk (δirδ!s)1!r,s!n=δjkEi!.!
D´ efinition 3. – Matrice de transposition
Soit i, j ∈{1, . . . , n},i"=j. On appelle matrice de transposition toute matrice de Mn(k)
de la forme
Tij =In−Eii −Ejj +Eij +Eji =
1
...0
1
00· · · 01
0 1 0
.
.
.....
.
.
0 1 0
10· · · 00
1
0...
1

– 2 – Op´erations ´el´ementaires sur les matrices
Proposition 4. – Propri´ et´ es des matrices de transposition
Soit i, j ∈{1, . . . , n},i"=j.
a. La matrice Tij est inversible, d’inverse elle-mˆeme.
b. Soit A∈Mn,p(k), la matrice Tij Ase d´eduit de Aen ´echangeant les lignes d’indices iet j.
c. Soit B∈Mq,n(k), la matrice BTij se d´eduit de Ben ´echangeant les colonnes d’indices i
et j.
Preuve – a. Soit τij ∈knl’application lin´eaire dont la matrice dans la base canonique
e=(e1, . . . , en) de knest Tij . Alors
τij (ei)=ej,τij (ej)=ei,et ∀k"=i, j τij (ek)=ek
En fait τij permute les vecteurs eiet ej. Il est alors clair que τij est bijective et que τ2
ij = idkn.
Par cons´equent, la matrice Tij est inversible d’inverse elle-mˆeme.
b. On pose A=(ak!)1!k!p,1!!!n. Alors
Tij A=(In−Eii −Ejj +Eij +Eji)A
=A−!
k,!
ak!EiiEk!−!
k,!
ak!EjjEk!+!
k,!
ak!Eij Ek!+!
k,!
ak!EjiEk!
=A−!
!
ai!Ei!−!
!
aj!Ej!+!
!
aj!Ei!+!
!
ai!Ej!
=A+!
!
(aj!−ai!)Ei!+!
!
(ai!−aj!)Ej!
=!
k!=i,j ! !
ak!Ek!+!
!
aj!Ei!+!
!
ai!Ej!
d’o`u le r´esultat.
c. Faire de mˆeme. !
D´ efinition 5. – Matrice d’affinit´ e
On appelle matrice d’affinit´e toute matrice de la forme
Di(λ)=In+(λ−1)Eii =
1
...0
1
λ
1
0...
1
avec i∈{1, . . . , n}et λ∈k∗. C’est la matrice diagonale constitu´ee de 1 sur la diagonale sauf
`a la ligne io`u le coefficient est λ.
Proposition 6. – Propri´ et´ es des matrices d’affinit´ e
Soit λ, µ ∈k∗et i∈{1, . . . , n}.
a. On a Di(λ)Di(µ)=Di(λµ),D
i(1) = In
Di(λ)∈GLn(k),D
i(λ)−1=Di(λ−1)
b. Soit A∈Mn,p(k), la matrice Di(λ)Ase d´eduit de Aen multipliant la ligne d’indice ipar
λ.
F. Geoffriau

Op´erations ´el´ementaires sur les matrices – 3 –
c. Soit B∈Mq,n(k), la matrice BDi(λ)se d´eduit de Ben multipliant la colonne d’indice i
par λ.
Preuve – a. On a
Di(λ)Di(µ)=(In+(λ−1)Eii)(In+(µ−1)Eii)
=In +(λ−1+µ−1+(λ−1)(µ−1))Eii
=In−(λµ−1)Eii =Di(λµ)
et il est clair que Di(1) = In. Ainsi
Di(λ)Di(λ−1)=Di(λλ−1)=Di(1) = Inet Di(λ−1)Di(λ)=Di(λ−1λ)=Di(1) = In
donc Di(λ) est inversible d’inverse Di(λ−1).
b. On pose A=(ak!)1!k!p,1!!!n. Alors
Di(λ)A=((In−(λ−1)Eii)A=A−!
k,!
(λ−1)ak!EiiEk!
=A−!
!
(λ−1)ai!Ei!=!
k!=i! !
ak!Ek!+!
!
λai!Ei!
d’o`u le r´esultat.
c. Faire de mˆeme. !
D´ efinition 7. – Matrice de transvection
On appelle matrice de transvection toute matrice de la forme
Ui,j (λ)=In+λEij =
1
...λ
0...
1
pour i, j ∈{1, . . . , n},i"=jet λ∈k. C’est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf
ceux de la diagonale qui valent 1 et celui en position (i, j) qui vaut λ.
Proposition 8. – Propri´ et´ es des matrices de transvection
Soit λ, µ ∈k,i, j ∈{1, . . . , n},i"=j.
a. On a Ui,j (λ)Ui,j (µ)=Ui,j (λ+µ),U
i,j (0) = In
Ui,j (λ)∈GLn(k),U
i,j (λ)−1=Ui,j (−λ)
b. Soit A∈Mn,p(k), la matrice Ui,j (λ)Ase d´eduit de Aen rempla¸cant la ligne d’indice ipar
elle-mˆeme additionn´ee de la ligne d’indice jmultipli´ee par λ.
c. Soit B∈Mq,n(k), la matrice BUi,j (λ)se d´eduit de Ben rempla¸cant la colonne d’indice j
par elle-mˆeme additionn´ee de la colonne d’indice imultipli´ee par λ.
Preuve – a. On a
Ui,j (λ)Ui,j (µ) = (In+λEij )(In+µEij )=In+(λ+µ)Eij =Ui,j (λ+µ)
car i"=j, et il est clair que Ui,j (0) = In. Ainsi
Ui,j (λ)Ui,j (−λ)=Ui,j (λ−λ)=Ui,j (0) = Inet Ui,j (−λ)Ui,j (λ)=Ui,j (−λ+λ)=In
donc Ui,j (λ) est inversible, d’inverse Ui,j (−λ).
F. Geoffriau

– 4 – Op´erations ´el´ementaires sur les matrices
b. On pose A=(ak!)1!k!p,1!!!n. Alors
Ui,j (λ)A=(In+λEij )A=A−!
k,!
λak!Eij Ek!
=A−!
!
λaj!Ei!=!
k!=i! !
ak!Ek!+!
!
(ai!+λaj!)Ei!
d’o`u le r´esultat.
c. Faire de mˆeme. !
D´ efinition 9. – Op´ erations ´ el´ ementaires sur les matrices
Toute application de Mn,p(k) dans lui-mˆeme de la forme A%→ UA (resp. A%→ AU) o`u Uest
une matrice de transposition, d’affinit´e ou de transvection donn´ee d’ordre n(resp. d’ordre p)
est dite op´eration ´el´ementaire sur les lignes (resp. colonnes).
Une telle op´eration peut se noter suivant le cas Li←→ Lj,Li←− λLi,Li←− Li+λLj,
Ci←→ Cj,Ci←− λCiet Cj←− Cj+λCi.
Proposition 10. – Rang et op´ eration ´ el´ ementaire
Toute op´eration ´el´ementaire sur une matrice conserve son rang.
Preuve – Clair car les matrices de transposition, d’affinit´e et de transvection sont in-
versibles. !
D´ efinition 11. – Matrice ´ echelonn´ ee
On appelle matrice ´echelonn´ee en ligne toute matrice de Mn,p(k) telle que :
a. si une ligne est nulle, toutes les suivantes sont nulles ;
b. si le premier terme non nul de la i-`eme ligne est en position j, soit la i+ 1-`eme ligne est
nulle, soit elle a son premier terme non nul en position kavec k > j.
On appelle matrice ´echelonn´ee en colonne toute matrice dont la transpos´ee est
´echelonn´ee en ligne.
Exemple 12. – La matrice Aest ´echelonn´ees en ligne et Ben colonne.
A=
2 3 0 1
0 0 3 5
0 0 0 7
B=
3 0 0 0
8 1 0 0
5 0 2 0
4 5 6 0
Remarque 13. – a. Le rang d’une matrice de Mn,p(k) ´echelonn´ee en ligne est ´egale au
nombre de lignes non nulles.
b. Le rang d’une matrice de Mn,p(k) ´echelonn´ee en colonne est ´egale au nombre de colonnes
non nulles.
c. Une matrice (ai,j )i,j ∈Mn,p(k) est ´echelonn´ee en ligne si et seulement si pour tout
i∈{1, . . . , n}et pour tout j∈{1, . . . , p}, on a
[∀k∈{1, . . . , min(n, j)}ai,k = 0] =⇒[∀k∈{1, . . . , min(n, j + 1)}ai+1,k = 0]
Th´ eor` eme 14. – M´ ethode du pivot de Gauss ou algorithme fang-cheng
a. Soit A=(ai,j )1!i!n,1!j!pune matrice de Mn,p(k). Il existe un produit P∈GLn(k)de
matrices de transposition et de transvection tel que la matrice PA soit ´echelonn´ee en ligne.
F. Geoffriau

Op´erations ´el´ementaires sur les matrices – 5 –
b. Soit A∈Mn,p(k). Il existe un produit P∈GLp(k)de matrices de transposition et de
transvection tel que AP soit ´echelonn´ee en colonne.
Preuve – a. Si la premi`ere colonne de Aest non nulle, quitte `a permuter la premi`ere ligne
avec une autre, on peut supposer a1,1non nul. Pour chaque indice i=2, . . . , n, on applique
la transvection Li←− Li−(ai,1/a1,1)L1, et ainsi on transforme la matrice Aen la matrice
A1=
a1,1∗. . . ∗
0
.
.
.A$
1
0
la matrice A$
1appartient `a Mn−1,p−1(k). De proche en proche, on transforme Aen une
matrice ´echelonn´ee. Si une sous-colonne est nulle, on consid`ere la sous-matrice priv´ee de
cette colonne.
b. On a tA∈Mp,n(k). D’apr`es le point pr´ec´edant, il existe un produit Q∈GLp(k) de
matrices de transposition et de transvection tel que QtAsoit ´echelonn´ee en ligne. Mais alors
AtQ=t(QtA) est ´echelonn´ee en colonne et tQest un produit de matrices de transposition
et de transvection. !
Remarque 15. – a. Attention, dans le cas o`u n=p, la matrice obtenue est ´equivalente `a la
matrice Amais n’est pas semblable, c’est une matrice du type PA (ou AP ) avec P∈GLn(k).
b. En utilisant les matrices d’affinit´e, on peut faire en sorte que les pivots de Gauss soient
´egaux `a 1.
c. Si les coefficients de Asont entiers, on peut faire en sorte qu’il en soit de mˆeme de ceux de
A$
1en faisant la transformation Li←− a1,1Li−ai,1L1, ce qui revient `a une dilatation suivie
d’une transvection. On peut r´eduire les calculs en divisant a1,1et ai,1par leur pgcd.
Exercice 16. – D´eterminer le rang de la matrice
13−56
2 4 0 3
2 1 3 5
−1−7 1 7
Solution –
13−56
2 4 0 3
2 1 3 5
−1−7 1 7
13−56
0−2 10 −9
0−5 13 −7
0−4−4 13
L2←L2−2L1
L3←L3−2L1
L4←L4+L1
13−56
0−2 10 −9
00−24 31
00−24 31
L3←2L3−5L2
L4←L4−2L2
13−56
0−2 10 −9
00−24 31
0 0 0 0
L4←L4−L3
Ainsi le rang de la matrice est 3. !
F. Geoffriau