Espaces de Hilbert. - Phytem

Espaces préhilbertiens Espaces de Hilbert Bases hilbertiennes Exemple: une base hilbertienne de L2 (R) Exemples d’opér
Espaces de Hilbert.
L. Quivy
Ens Cachan
25 novembre 2013
L. Quivy
MMP
Espaces préhilbertiens Espaces de Hilbert Bases hilbertiennes Exemple: une base hilbertienne de L2 (R) Exemples d’opér
1
Espaces préhilbertiens
2
Espaces de Hilbert
3
Bases hilbertiennes
4
Exemple: une base hilbertienne de L2 (R)
5
Exemples d’opérateurs
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MMP
Espaces préhilbertiens Espaces de Hilbert Bases hilbertiennes Exemple: une base hilbertienne de L2 (R) Exemples d’opér
Definition
Un K-espace vectoriel E est dit préhilbertien s’il est muni d’un
produit hermitien souvent noté, h·, ·i, c’est-à-dire une application
de E × E à valeurs dans K telle que
1
hx, y i = hy , xi (symétrie hermitienne)
2
hα1 x1 + α2 x2 , y i = α1 hx1 , y i + α2 hx2 , y i
3
hx, xi ∈ R+ (définie positive)
4
hx, xi = 0 ⇔ x = 0.
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Théorème
Inégalité de Cauchy-Schwarz
|hx, y i| ≤ kxk · ky k .
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Proposition
Inégalité de Minkowsky Pour x et y éléments de E , on a
p
p
p
hx + y , x + y i ≤ hx, xi + hy , y i.
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Proposition
Identité du parallélogramme: Soit (E , h·i) un espace
préhilbertien.
Alors, pour tous vecteurs a et b de E , on a
ka + bk2 + ka − bk2 = 2 kak2 + kbk2 .
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Definition
Soit (E , h·i) un espace préhilbertien.
On dit que x et y sont orthogonaux si hx, y i = 0.
Soit A ⊂ E , A 6= ∅, on définit l’orthogonal de A comme étant
A⊥ = {y ∈ E tq ∀x ∈ A, hx, y i = 0}
qui est un sous-espace fermé de E .
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Théorème
Théorème de Pythagore Si les xi sont deux à deux orthogonaux,
on a alors
kx1 + · · · + xn k2 = kx1 k2 + · · · + kxn k2 .
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Definition
Soit (H, h·, ·i) un espace préhilbertien.
On dit que c’est un espace de Hilbert si (H, k·k) est un espace
complet pour la norme induite par le produit scalaire.
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Théorème
Théorème de projection sur un convexe fermé Soit K un
convexe fermé non vide d’un espace de Hilbert H.
Soit x ∈ H, il existe un unique z = pK (x) dans K tel que
kx − pK (x)k = inf {kx − y k , y ∈ K } , (noté d (x, K ))
qu’on appelle projeté de x sur K et qui est caractérisé par
∀y ∈ K ,
Re (hx − z, y − zi) ≤ 0.
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Corollaire
Soit M un sous-espace fermé d’un espace de Hilbert H.
Soit x ∈ H, alors z = pM (x) est caractérisé par
1
z ∈ M;
2
hx − z, v i = 0,
∀v ∈ M.
De plus, pM est une application linéaire continue de norme égale à
1.
En d’autres termes, pM est la projection orthogonale sur M et on a
kxk2 = kpM (x)k2 + kx − pM (x)k2
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soit aussi
MMP
kpM (x)k ≤ kxk .
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Théorème
Pour tout sous-espace fermé F d’un espace de Hilbert H, on a
H = F ⊕ F ⊥.
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Definition
(uα )α∈A est une famille ordonnée si huα , uβ i = δαβ .
Definition
(uα )α∈A est une famille totale si {uα , α ∈ A}⊥ = {0}.
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Théorème
Inégalité de Bessel Soit (en )n∈N une famille orthonormée
dénombrable.
Alors, la projection orthogonale de x ∈ H sur
En = Vect(ui , i = 1, · · · n)
est
xn =
n
X
hx, ei i ei
i=1
et vérifie
kxn k2 =
n
X
|hx, ei i|2 ≤ kxk2 .
i=1
Ainsi, la suite (hx, ei i) est de carré sommable, dont appartient à
`2 (N).
De plus, la suite xn converge dans H (au sens de la norme de H).
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Proposition
Soit (uα )α∈A une famille orthonormée.
Les deux propositions suivantes sont équivalentes:
1
Vect(ualpha ) est dense dans H;
2
{uα , α ∈ A}⊥ = {0}.
On dit alors que c’est une base hilbertienne.
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Corollaire
On retrouve les propriétés des séries de Fourier (dans un cadre un
peu plus général):
pour f ∈ L2 2π − per (R, C), on a
X 1 Z 2π
f (y )e −iny dye inx ,
f (x) =
2π 0
n∈Z
la convergence ayant lieu au sens de la norme de L2 2π − per (R, C)
(en particulier f être définie que presque partout).
De plus, on a l’égalité de Parseval (toujours pour
f ∈ L2 2π − per (R, C)):
Z
2π
0
2π
X Z
|f (x)| dx =
2
n∈Z
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2π
0
MMP
f (y )e
−iny
2
dy .
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Théorème
Soit (en )n∈N une base hilbertienne de H,
En = Vect(ei , i = 1, · · · , n), x ∈ H et xn = pEn (x) la projection
orthogonale de x sur En . Alors, on a
1
x = lim xn = lim
n→+∞
2
n→+∞
n
X
hx, ei i ei =
i=1
Egalité de Parseval-Plancherel: kxk2 =
+∞
X
hx, ei i ei ;
i=1
+∞
X
khx, ei ik2 .
i=1
Réciproquement, étant donné une suite (ξi ) dans `2 (N), la série
+∞
n
X
X
X
ξi ei converge et x =
ξi ei vérifie ∀n,
ξi ei = pEn (x).
i
i=0
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i=0
MMP
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Base hilbertienne de L2 (R)
Proposition
On définit un produit scalaire sur l’ensemble des fonctions
polynômiales par
Z
2
0
hf , g i =
f (x)g (x)e −x dx.
R
En orthogonalisant la famille (X 0 , X 1 , · · · , X n ) de polynômes, on
obtient une famille H0 , · · · , Hn de polynômes (appelés polynômes
de Hermite) qui vérifient
Hn (x) = (−1)n e x
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2
d n −x 2
e
.
dx n
MMP
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Théorème
Une base hilbertienne de L2 (R) muni du produit scalaire h·, ·i est
donnée par les
Hn (x)e −
x2
2
où les Hn (x) sont les polynômes de Hermite.
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Definition
Soit H un espace de Hilbert. On appelle opérateur borné sur H
une application linéaire continue de H dans H.
On appelle opérateur non borné sur H une application linéaire de
A dans H, où A est un sous-espace dense de H (pour la norme de
H).
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Definition
Lorsque T est un opérateur sur H (de domaine A), on dit que u est
un vecteur propre de T et λ ∈ C une valeur propre de T lorsque
u ∈ A\ {0}
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et Tu = λu.
MMP
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Definition
Soit T un opérateur. On dit que T est formellement autoadjoint
si
hTx, y i = hx, Ty i ,
formellement antiautoadjoint si
hTx, y i = − hx, Ty i
et formellement unitaire si
hTx, Ty i = hx, y i
.
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