Espaces de Hilbert. - Phytem

Espaces préhilbertiens Espaces de Hilbert Bases hilbertiennes Exemple: une base hilbertienne de L2(R)Exemples d’opérateurs
Espaces de Hilbert.
L. Quivy
Ens Cachan
25 novembre 2013
L. Quivy MMP

Espaces préhilbertiens Espaces de Hilbert Bases hilbertiennes Exemple: une base hilbertienne de L2(R)Exemples d’opérateurs
1Espaces préhilbertiens
2Espaces de Hilbert
3Bases hilbertiennes
4Exemple: une base hilbertienne de L2(R)
5Exemples d’opérateurs
L. Quivy MMP

Espaces préhilbertiens Espaces de Hilbert Bases hilbertiennes Exemple: une base hilbertienne de L2(R)Exemples d’opérateurs
Definition
Un K-espace vectoriel Eest dit préhilbertien s’il est muni d’un
produit hermitien souvent noté, h·,·i, c’est-à-dire une application
de E×Eà valeurs dans Ktelle que
1hx,yi=hy,xi(symétrie hermitienne)
2hα1x1+α2x2,yi=α1hx1,yi+α2hx2,yi
3hx,xi ∈ R+(définie positive)
4hx,xi=0⇔x=0.
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Théorème
Inégalité de Cauchy-Schwarz
|hx,yi| ≤ kxk·kyk.
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Proposition
Inégalité de Minkowsky Pour x et y éléments de E, on a
phx+y,x+yi ≤ phx,xi+phy,yi.
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