Algèbre linéaire (I). Exercices. 1. Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie respective n ∈ N? et m ∈ N? . Soit (e1 , . . . , en ) une base de E. On considère l’application ϕ de L(E, F ) dans F n définie par ϕ(u) = (u(e1 ), . . . , u(en )). Vérifier que ϕ est un isomorphisme et en déduire que L(E, F ) est de dimension nm. Soit (f1 , . . . , fm ) une base de F . On définit pour tout 1 ≤ i ≤ m et tout 1 ≤ j ≤ n, uij = ϕ−1 (0, . . . , 0, fi , 0, . . . , 0) où fi est placé à la j-ième place. Montrer que (uij ; 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) est une base de L(E, F ). Préciser pour tout 1 ≤ k ≤ n, la valeur de uij (ek ). 2. Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 2 de base B. On considère l’endomorphisme u de E dont la matrice A relativement à B est définie par: A = Mat(u; B) = [cos(i + j − 2).θ]1≤i,j≤n où θ ∈ R. Calculer Vj + Vj+2 (1 ≤ j ≤ n − 2) où Vj désigne le j-ième vecteur colonne de A. En déduire la rang de la matrice A. 3. (a) Soit u ∈ L(R3 ) défini par: (x1 , x2 , x3 ) 7→ (−x2 − x3 , x1 + 2x2 + x3 , −x1 − x2 ). Montrer que u est un projecteur dont on précisera le noyau et l’image. (b) Soit v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 tel que: v1 + v2 + v3 = 1. On considère u ∈ L(R3 ) défini par: x = (x1 , x2 , x3 ) 7→ x − (x1 + x2 + x3 ).v. Montrer que u est un projecteur dont on précisera le noyau et l’image. 4. Soient E et F deux K-espaces vectoriels ainsi que f ∈ L(E, F ). (a) Montrer que Af = {g ∈ L(F, E)/f ◦ g ◦ f = 0} est un sous-espace vectoriel de L(F, E). (b) Montrer que si f est injective, alors: Af = {g ∈ L(F, E)/ ker g ⊃ Imf }. (c) Montrer que si f est surjective, alors: Af = {g ∈ L(F, E)/ Img ⊂ ker f }. 5. Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et f ∈ L(E, F ). On considère l’application ϕ qui à tout élément u ∈ L(F ) associe u ◦ f ∈ L(E, F ). Vérifier que ϕ est linéaire puis montrer que ϕ est injective si et seulement si f est surjective. 6. Soit E un R-espace de dimension n ≤ 3 et non réduit à {0}. On note A = {u ∈ L(E)/u2 + IdE = 0}. (a) Soit x un vecteur non nul de E et u ∈ A. Montrer que (x, u(x)) est libre. En déduire que si A= 6 ∅, alors n ≥ 2. (b) Montrer que si n = 2, alors A = 6 ∅. (c) Montrer que si n = 3, alors A = ∅. 7. Déterminer la structure de l’ensemble des matrices de M2 (C) qui commutent avec la matrice 8. Soient a et b deux réels et A la matrice b b−a −a − b −b . Calculer An , n ∈ N. 1 −3 −2 4 . 0 9. Soit J la matrice 1 1 1 1 . 0 1 0 1 (a) Calculer J 2 . En déduire que J est inversible et préciser J −1 . (b) Déterminer, dans R[X], le reste de la division euclidienne de X n par X 2 − X − 2. En déduire J n , n ∈ N. a (c) Soient a et b deux nombres complexes et C la matrice b b 0 1 .. . 10. Soit la matrice A = 0 0 0 0 .. . ··· ··· .. . 1 0 b b a b . Calculer C n , n ∈ N. b a 0 1 0 0 . Montrer A est inversible. Calculer An . Préciser A−1 . 0 0 0 1 0 11. Soit A = [aij ]i,j ∈ Mn (C) vérifiant la condition (matrice dite à diagonale strictement dominante): X ∀ 1 ≤ i ≤ n, |aii | > |aij |. j6=i Montrer que A inversible. Indication: supposer ker u 6= {0} où u ∈ L(Cn ) est canoniquement associé à A . . . 12. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E) tel que: u3 = u. Montrer que E = ker u ⊕ Imu. Que dire de la restriction de u au sous-espace Imu? Donner un exemple simple. 13. On reprend les notations de l’exercice 5. Montrer que ϕ est surjective si et seulement si f est injective. (indications : Pour l’implication directe, on pourra commencer par montrer que si ϕ est surjective alors dim (E) ≤ dim (F ) et en déduire qu’il existe des applications linéaires injectives de E dans F . . . ). 14. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N? et u ∈ L(E). Montrer l’équivalence: ker u = Imu ⇐⇒ u 6= 0, u2 = 0, rgu = n/2 . 15. Soit E un K-espace vectoriel et u ∈ L(E). Montrer l’équivalence: ker u ∩ Imu = {0} ⇐⇒ ker u = ker u2 . 16. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). Est-il vrai que ker u ⊕ Imu = E si et seulement si u est un projecteur? Montrer qu’en fait: ker u ⊕ Imu = E ⇐⇒ Imu = Imu2 . 17. Soit E un R-espace vectoriel de dimension 2 a ab la matrice relativement à B est ab b2 ac bc 3 et B une base de E. Soit u l’endomorphisme de E dont ac bc où a2 + b2 + c2 = 1. c2 (a) Montrer que: u2 = u. (b) Montrer que: E = ker u ⊕ ker(u − IdE ). 1 (c) En déduire que A est semblable à la matrice 0 0 0 0 0 0 0 . 0 18. Résoudre dans Mn (R) les équations matricielles: (a) X = tr (X).A + B où A, B sont deux matrices données de Mn (R) (indication : discuter suivant A et B). (b) X + t X = tr (X).A où A est une matrice donnée de Mn (R) (indication : discuter suivant A). 19. (a) Calculer pour tout (k, l) ∈ {1, 2, . . . , n}2 le coefficient (i, j) des produits dans Mn (K): M.Ekl et Ekl .M où M désigne une matrice quelconque de Mn (K). En déduire tr (M.Ekl ) et tr (Ekl .M ). (b) Montrer que pour toute forme linéaire ϕ sur Mn (K), il existe une unique matrice A ∈ Mn (K) telle que: ∀M ∈ Mn (K), ϕ(M ) = tr (A.M ). (c) En déduire que si E est un K-espace de dimension finie, pour toute forme linéaire ψ sur L(E), il existe un unique endomorphisme f ∈ L(E) tel que: ∀u ∈ L(E), ψ(u) = tr (f ◦ u). 20. Soit P ∈ GLn (K). On considère l’automorphisme ψP de Mn (K) défini par: ∀M ∈ Mn (K), ψP (M ) = P −1 .M.P. Donner la matrice de ψP dans la base canonique de Mn (K) en fonction des coefficients de P et de P −1 . En déduire la valeur de tr (ψP ). 21. Soit E un K-espace vectoriel et u ∈ L(E). Montrer que u est une homothétie si et seulement si pour tout x ∈ E, (x, u(x)) est liée. 22. Une caractérisation des endomorphismes de trace nulle. Soit u ∈ L(E), u 6= 0. On suppose que tr (u) = 0. (a) Montrer que u n’est pas une homothétie. (b) On suppose n ≥ 2. Soit x ∈ E tel que (x, u(x) est libre. i. Montrer qu’il existe un sous-espace supplémentaire H de la droite K.x qui contient u(x). ii. On considère alors la projection p sur H parallèlement à K.x. Montrer que la trace de l’endomorphisme p ◦ u/H ∈ L(H) est nulle. (c) En déduire une démonstration par récurrence sur la dimension de E de l’existence d’une base B de E telle que mat(u; B) ait tous ses coefficients diagonaux nuls. (d) Traduire matriciellement ce dernier résultat. 23. Calculer le déterminant : 0 0 ··· ··· 0 1 0 0 a 1 1 0 ··· 0 a a . b b (n) 1 b b 24. Soit σ ∈ Sn . On définit la matrice Mσ = δi,σ(j) i,j ∈ Mn (K). (a) Quels sont les vecteurs-colonnes de Mσ ? En déduire que detMσ = ε(σ). Préciser (Mσ )−1 . (b) On considère l’endomorphisme σ e ∈ L(Kn ) défini par: ∀i, σ e(εi ) = εσ(i) où (ε1 , . . . , εn ) est la base n canonique de K . Que peut-on dire de la matrice de σ e relativement à la base canonique? Exprimer les composantes de σ e(x) en fonctions de celles de x. (c) Quel est l’effet de la multiplication à gauche par Mσ sur une matrice quelconque A de Mn (K)? 25. Soit la matrice A = 1 ai + bj Y ∈ Mn (K) où les ai , bj sont des scalaires tels que ∀i, ∀j, ai + bj 6= 0. i,j (aj − ai )(bj − bi ) i<j Montrer que detA = Y (ai + bj ) . i,j 26. Calculer le déterminant de la matrice [ai,j ]i,j ∈ Mn (K) où ai,j = min(i, j). 27. Calculer explicitement la valeur du déterminant: cos θ 1 1 2 cos θ .. . 0 ··· .. . .. . 1 . 1 2 cos θ (n) 0 28. Soit P un polynôme de Kn [X]. Montrer que: P (1) P (2) .. . P (n + 2) P (2) ··· P (3) .. . ··· P (n + 3) ··· P (n + 2) .. . .. . P (2n + 3) = 0. Indication: considérer les polynômes P (X), P (X + 1), . . . , P (X + n + 1). 1 4 9 16 4 9 16 25 = 0. Application: montrer - sans calculs - que 9 16 25 36 16 25 36 49 29. Soit (α1 , . . . , αn ) ∈ Rn . On définit la matrice A = [sin(αi + αj )]i,j ∈ Mn (R) (n ≥ 2). Calculer detA. a1 an 30. Soit An = an−1 .. . a2 On pose: P (X) = a2 a1 an .. . ··· ··· an−1 an−2 a3 ··· an n X an an−1 an−2 ∈ Mn (C) ((a1 , . . . , an ) ∈ Cn ). .. . a1 ak X k−1 et ω = e2iπ/n . k=1 (a) Calculer: An . 1 ω ω2 .. . ω n−1 . (b) On note, pour tout 0 ≤ k ≤ n − 1, ωk = ω k . Que vaut le produit matriciel 1 1 1 1 ω0 ω1 · · · ωn−1 An . . . .. ? .. .. . n−1 n−1 n−1 ω0 ω1 · · · ωn−1 En déduire la valeur de detAn . Application: Calculer 1 2 n 1 .. .. . . 2 3 ··· ··· n n−1 .. . ··· 1 . 31. Soit An ∈ M2n (K) définie par: aij = a si i = j, aij = b si i + j = 2n + 1 et aij = 0 sinon. Calculer detAn . 32. Soit A = [|i − j|]i,j ∈ Mn (R). Calculer detA. 33. On note: ∆n = 2x 1 0 .. . 0 1 2x .. . ··· 0 1 .. . ··· ··· .. . .. .. . 0 1 . . 1 2x (n) 0 0 .. . Déterminer une relation de récurrence vérifie par (∆n ). Préciser la valeur de ∆n en distinguant les cas |x| > 1, x = 1, x = −1 et |x| < 1 (dans ce dernier cas, on pourra poser x = cos θ). 1 + a2 a 34. Soit A = 0 . .. 0 a 1 + a2 0 a a .. . 1 + a2 ··· Calculer detA et préciser rgA. ··· ··· a 0 0 .. . a 1 + a2 ∈ Mn (C) (matrice tridiagonale symétrique).