Alg`ebre linéaire (I). Exercices. 1. Soient E et F deux K

Alg`ebre lin´eaire (I). Exercices.
1. Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels de dimension finie respective n∈N?et m∈N?. Soit
(e1, . . . , en) une base de E. On consid`ere l’application ϕde L(E, F ) dans Fnd´efinie par ϕ(u) =
(u(e1), . . . , u(en)). V´erifier que ϕest un isomorphisme et en d´eduire que L(E, F ) est de dimension nm.
Soit (f1, . . . , fm) une base de F. On d´efinit pour tout 1 ≤i≤met tout 1 ≤j≤n,uij =
ϕ−1(0,...,0, fi,0,...,0) o`u fiest plac´e `a la j-i`eme place. Montrer que (uij ; 1 ≤i≤m, 1≤j≤n) est
une base de L(E, F ). Pr´eciser pour tout 1 ≤k≤n, la valeur de uij (ek).
2. Soit Eun R-espace vectoriel de dimension finie n≥2 de base B. On consid`ere l’endomorphisme ude
Edont la matrice Arelativement `a Best d´efinie par:
A= Mat(u;B) = [cos(i+j−2).θ]1≤i,j≤no`u θ∈R.
Calculer Vj+Vj+2 (1 ≤j≤n−2) o`u Vjd´esigne le j-i`eme vecteur colonne de A. En d´eduire la rang
de la matrice A.
3. (a) Soit u∈ L(R3) d´efini par:
(x1, x2, x3)7→ (−x2−x3, x1+ 2x2+x3,−x1−x2).
Montrer que uest un projecteur dont on pr´ecisera le noyau et l’image.
(b) Soit v= (v1, v2, v3)∈R3tel que: v1+v2+v3= 1. On consid`ere u∈ L(R3) d´efini par:
x= (x1, x2, x3)7→ x−(x1+x2+x3).v.
Montrer que uest un projecteur dont on pr´ecisera le noyau et l’image.
4. Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels ainsi que f∈ L(E, F ).
(a) Montrer que Af={g∈ L(F, E)/f ◦g◦f= 0}est un sous-espace vectoriel de L(F, E).
(b) Montrer que si fest injective, alors: Af={g∈ L(F, E)/ker g⊃Imf}.
(c) Montrer que si fest surjective, alors: Af={g∈ L(F, E)/Img⊂ker f}.
5. Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels de dimension finie et f∈L(E, F ). On consid`ere l’application
ϕqui `a tout ´el´ement u∈L(F) associe u◦f∈L(E, F ). V´erifier que ϕest lin´eaire puis montrer que ϕ
est injective si et seulement si fest surjective.
6. Soit Eun R-espace de dimension n≤3 et non r´eduit `a {0}. On note A={u∈ L(E)/u2+IdE= 0}.
(a) Soit xun vecteur non nul de Eet u∈ A. Montrer que (x, u(x)) est libre. En d´eduire que si
A 6=∅, alors n≥2.
(b) Montrer que si n= 2, alors A 6=∅.
(c) Montrer que si n= 3, alors A=∅.
7. D´eterminer la structure de l’ensemble des matrices de M2(C) qui commutent avec la matrice 1−2
−3 4 .
8. Soient aet bdeux r´eels et Ala matrice b b −a
−a−b−b. Calculer An, n ∈N.
1

9. Soit Jla matrice 
011
101
110
.
(a) Calculer J2. En d´eduire que Jest inversible et pr´eciser J−1.
(b) D´eterminer, dans R[X], le reste de la division euclidienne de Xnpar X2−X−2.
En d´eduire Jn, n ∈N.
(c) Soient aet bdeux nombres complexes et Cla matrice 
a b b
b a b
b b a
. Calculer Cn, n ∈N.
10. Soit la matrice A=
0 0 · · · 0 1
1 0 0 0
.
.
.......0
0· · · 1 0 0
0 0 1 0
. Montrer Aest inversible. Calculer An. Pr´eciser A−1.
11. Soit A= [aij ]i,j ∈ Mn(C) v´erifiant la condition (matrice dite `a diagonale strictement dominante):
∀1≤i≤n, |aii|>X
j6=i
|aij |.
Montrer que Ainversible.
Indication: supposer ker u6={0}o`u u∈ L(Cn)est canoniquement associ´e `a A. . .
12. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie et u∈L(E) tel que: u3=u.
Montrer que E= ker u⊕Imu. Que dire de la restriction de uau sous-espace Imu? Donner un exemple
simple.
13. On reprend les notations de l’exercice 5. Montrer que ϕest surjective si et seulement si fest injective.
(indications : Pour l’implication directe, on pourra commencer par montrer que si ϕest surjective alors
dim (E)≤dim (F) et en d´eduire qu’il existe des applications lin´eaires injectives de Edans F. . . ).
14. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n∈N?et u∈L(E). Montrer l’´equivalence:
ker u= Imu⇐⇒ u6= 0, u2= 0,rgu=n/2.
15. Soit Eun K-espace vectoriel et u∈L(E). Montrer l’´equivalence:
ker u∩Imu={0} ⇐⇒ ker u= ker u2.
16. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie et u∈L(E).
Est-il vrai que ker u⊕Imu=Esi et seulement si uest un projecteur?
Montrer qu’en fait:
ker u⊕Imu=E⇐⇒ Imu= Imu2.
17. Soit Eun R-espace vectoriel de dimension 3 et Bune base de E. Soit ul’endomorphisme de Edont
la matrice relativement `a Best 
a2ab ac
ab b2bc
ac bc c2
o`u a2+b2+c2= 1.
2

(a) Montrer que: u2=u.
(b) Montrer que: E= ker u⊕ker(u−IdE).
(c) En d´eduire que Aest semblable `a la matrice 
100
000
000
.
18. R´esoudre dans Mn(R) les ´equations matricielles:
(a) X= tr (X).A +Bo`u A, B sont deux matrices donn´ees de Mn(R)
(indication : discuter suivant Aet B).
(b) X+tX= tr (X).A o`u Aest une matrice donn´ee de Mn(R)
(indication : discuter suivant A).
19. (a) Calculer pour tout (k, l)∈ {1,2, . . . , n}2le coefficient (i, j) des produits dans Mn(K): M.Ekl et
Ekl.M o`u Md´esigne une matrice quelconque de Mn(K). En d´eduire tr (M.Ekl) et tr (Ekl.M).
(b) Montrer que pour toute forme lin´eaire ϕsur Mn(K), il existe une unique matrice A∈ Mn(K)
telle que:
∀M∈ Mn(K), ϕ(M) = tr (A.M).
(c) En d´eduire que si Eest un K-espace de dimension finie, pour toute forme lin´eaire ψsur L(E), il
existe un unique endomorphisme f∈L(E) tel que:
∀u∈L(E), ψ(u) = tr (f◦u).
20. Soit P∈ GLn(K). On consid`ere l’automorphisme ψPde Mn(K) d´efini par:
∀M∈ Mn(K), ψP(M) = P−1.M.P.
Donner la matrice de ψPdans la base canonique de Mn(K) en fonction des coefficients de Pet de
P−1. En d´eduire la valeur de tr (ψP).
21. Soit Eun K-espace vectoriel et u∈L(E). Montrer que uest une homoth´etie si et seulement si pour
tout x∈E, (x, u(x)) est li´ee.
22. Une caract´erisation des endomorphismes de trace nulle.
Soit u∈L(E), u 6= 0. On suppose que tr (u) = 0.
(a) Montrer que un’est pas une homoth´etie.
(b) On suppose n≥2. Soit x∈Etel que (x, u(x) est libre.
i. Montrer qu’il existe un sous-espace suppl´ementaire Hde la droite K.x qui contient u(x).
ii. On consid`ere alors la projection psur Hparall`element `a K.x. Montrer que la trace de
l’endomorphisme p◦u/H ∈L(H) est nulle.
(c) En d´eduire une d´emonstration par r´ecurrence sur la dimension de Ede l’existence d’une base B
de Etelle que mat(u;B) ait tous ses coefficients diagonaux nuls.
(d) Traduire matriciellement ce dernier r´esultat.
23. Calculer le d´eterminant : 
a0· · · 0 1
a0· · · 1b
0b
0
a1b
1 0 · · · 0b
(n)
.
3

24. Soit σ∈ Sn. On d´efinit la matrice Mσ=δi,σ(j)i,j ∈ Mn(K).
(a) Quels sont les vecteurs-colonnes de Mσ? En d´eduire que detMσ=ε(σ). Pr´eciser (Mσ)−1.
(b) On consid`ere l’endomorphisme eσ∈L(Kn) d´efini par: ∀i, eσ(εi) = εσ(i)o`u (ε1, . . . , εn) est la base
canonique de Kn. Que peut-on dire de la matrice de eσrelativement `a la base canonique?
Exprimer les composantes de eσ(x) en fonctions de celles de x.
(c) Quel est l’effet de la multiplication `a gauche par Mσsur une matrice quelconque Ade Mn(K)?
25. Soit la matrice A=1
ai+bji,j
∈ Mn(K) o`u les ai, bjsont des scalaires tels que ∀i, ∀j, ai+bj6= 0.
Montrer que detA=Y
i<j
(aj−ai)(bj−bi)
Y
i,j
(ai+bj).
26. Calculer le d´eterminant de la matrice [ai,j ]i,j ∈ Mn(K) o`u ai,j = min(i, j).
27. Calculer explicitement la valeur du d´eterminant:
cos θ1· · · 0
1 2 cos θ...
......1
0 1 2 cos θ
(n)
.
28. Soit Pun polynˆome de Kn[X]. Montrer que:
P(1) P(2) · · · P(n+ 2)
P(2) P(3) · · · .
.
.
.
.
..
.
..
.
.
P(n+ 2) P(n+ 3) · · · P(2n+ 3)
= 0.
Indication: consid´erer les polynˆomes P(X), P (X+ 1), . . . , P (X+n+ 1).
Application: montrer - sans calculs - que 
1 4 9 16
4 9 16 25
9 16 25 36
16 25 36 49
= 0.
29. Soit (α1, . . . , αn)∈Rn. On d´efinit la matrice A= [sin(αi+αj)]i,j ∈ Mn(R) (n≥2). Calculer detA.
30. Soit An=
a1a2· · · an−1an
ana1· · · an−2an−1
an−1anan−2
.
.
..
.
..
.
.
a2a3· · · ana1
∈ Mn(C) ((a1, . . . , an)∈Cn).
On pose: P(X) =
n
X
k=1
akXk−1et ω=e2iπ/n.
4

(a) Calculer: An.
1
ω
ω2
.
.
.
ωn−1
.
(b) On note, pour tout 0 ≤k≤n−1, ωk=ωk. Que vaut le produit matriciel
An.
1 1 1 1
ω0ω1· · · ωn−1
.
.
..
.
..
.
.
ωn−1
0ωn−1 1· · · ωn−1 n−1
?
En d´eduire la valeur de detAn.
Application: Calculer 
1 2 · · · n
n1· · · n−1
.
.
..
.
..
.
.
2 3 · · · 1
.
31. Soit An∈ M2n(K) d´efinie par: aij =asi i=j,aij =bsi i+j= 2n+ 1 et aij = 0 sinon.
Calculer detAn.
32. Soit A= [|i−j|]i,j ∈ Mn(R). Calculer detA.
33. On note:
∆n=
2x1 0 · · · 0
1 2x1· · · 0
0..........
.
.
.
.
.......1
0· · · 0 1 2x
(n)
.
D´eterminer une relation de r´ecurrence v´erifie par (∆n).
Pr´eciser la valeur de ∆nen distinguant les cas |x|>1, x= 1, x=−1 et |x|<1 (dans ce dernier cas,
on pourra poser x= cos θ).
34. Soit A=
1 + a2a0· · · 0
a1 + a2a· · · 0
0a1 + a2.
.
.
.
.
..
.
.a
0· · · a1 + a2
∈ Mn(C) (matrice tridiagonale sym´etrique).
Calculer detAet pr´eciser rgA.
5