Aide Mémoire de Calcul Différentiel

Aide Mémoire de Calcul Différentiel
1 Rappels sur les espaces normés
boule ouverte de centre aet de rayon rdef ⇐⇒ B(a, r) = {x∈E| kx−ak< r}
boule fermé de centre aet de rayon rdef ⇐⇒ B(a, r) = {x∈E| kx−ak6r}
Ωouvert def ⇐⇒ ∀x∈Ω,∃r > 0|B(x, r)⊂Ω
Afermé def ⇐⇒ E\Aouvert
⇐⇒ ∀xn∈A−→ xalors x∈A
V(a) : Vvoisinage de adef ⇐⇒ ∃r > 0, B(a, r)⊂V
Aborné def ⇐⇒ ∃x∈E, ∃r > 0|A⊂B(x, r)
suite convergente def ⇐⇒ ∀ε > 0,∃n0∈N|n>n0⇒ kxn−xk< ε
suite de Cauchy def ⇐⇒ ∀ε > 0,∃n0∈N|n, m >n0⇒ kxn−xmk< ε
suite convergente =⇒suite de Cauchy
espace de Banach (complet) def ⇐⇒ suite de Cauchy = suite convergente
k·k et k·k0équivalentes def ⇐⇒ ∃a > 0, b > 0| ∀x∈E, akxk6kxk06bkxk
f:E→Fcontinue en adef ⇐⇒ ∀ε > 0,∃δ > 0 : kx−akE6δ⇒ kf(x)−f(a)kF6ε
⇐⇒ ∀ε > 0,∃δ > 0,∀x∈B(a, δ), f (x)∈B(f(a), ε)
fcontinue ⇐⇒ Bfermé alors f−1(B)fermé
⇐⇒ Bouvert alors f−1(B)ouvert
⇐⇒ ∀xn−→ xalorsf(xn)−→ f(x)
compact def ⇐⇒ sous-recouvrement fini d’ouverts
⇐⇒ ∀ suite, ∃sous-suite convergente
=⇒fermé + borné
=⇒de Banach (complet)
Ffermé ⊂Kcompact =⇒Fcompact
Kcompact et fcontinue =⇒f(K)compact et fbornée et atteint ses bornes
1

dimensions infinies (cas général) dimensions finies
exemples : C0([0; 1],R)∼ R∞,P[X]exemples : Rn,Mn×m(R)
normes équivalentes
espace de Banach (complet) si suite de Cauchy = suite convergente
suite de Cauchy = suite convergente
compact = sous-recouvrement fini d’ouverts compact ⇐⇒ fermé + borné
compact ⇐⇒ sous-suite convergente
compact =⇒fermé + borné
linéaire + continue ⇔linéaire + bornée linéaire =⇒continue
sur B(0; 1)
Théorème du point fixe
f:E→Eavec E, espace de Banach
kf(x)−f(y)k6αkx−yk(0 < α < 1) =⇒f(a) = aunique
Applications linéaires continues : L(E, F )
|||f||| =kfkL(E,F )= supkxkE61kf(x)kF
si flinéaire : fcontinue sur E⇔fcontinue en un point
⇔fest bornée sur B(0; 1)
⇔ ∃M>0tel que kf(x)kF6MkxkE(avec M=|||f|||)
f∈ L(E, F ) =⇒ kf(x)kF6|||f|||kxkE
2 Synthèse sur les applications différentiables
f(a+h)−f(a) = linéaire, continue en h+négligeable en h
différentielle : f0(a)∈ L(E, F )
f(a+h)−f(a) = [f0(a)](h)ou f0(a)h+o(h)
(calcul différentiel) =(algèbre linéaire) +(majorations de normes)
x7→ f0(a)(x−a) + f(a): équation de la tangente à fen a= approximation affine
Rappels
f=o
a(g)⇐⇒ f(x)
g(x)
x→a
−−−→ 0f=O
a(g)⇐⇒ lim x→a
f(x)
g(x)borné
f(h) = o(h)⇐⇒ kf(h)k
khk
khk→0
−−−−→ 0
2

g∈ L(R,R)⇐⇒ ∃λ∈R| ∀x∈R, g(x) = λx
g∈ L(Rn,Rm)⇐⇒ ∃Mg∈Mn×m(R)| ∀x∈Rn, g(x) = Mgx
⇒f0(a)∈ L(Rn,Rm)≡f0(a)∈Mn×m(R)
2.1 Propriétés
•fdifférentiable =⇒fcontinue
•f∈ L(E, F ) =⇒f0(a) = f
•fconstante =⇒f0(a)=0
•(λf)0(a) = λf0(a)
•(f+g)0(a) = f0(a) + g0(a)
•(g◦f)0(a) = g0(f(a)) ◦f0(a)
•l(x) = B(f(x), g(x)) =⇒l0(a)h=B(f0(a)h, g(a)) + B(f(a), g0(a)h)
ex : l(x) = f(x)×g(x) = B(f(x), g(x)) avec B(x, y) = x×y
⇒l0(a)h=f0(a)h×g(a) + f(a)×g0(a)h
2.2 Théorème d’accroissements finis
fdifférentiable sur [a, b]⇒ kf(b)−f(a)kF6 sup
x∈[a,b]
|||f0(x)|||!kb−akE
fdifférentiable sur un connexe ⇒ kf(x)−f(y)kF6sup
a∈connexe
|||f0(a)|||kx−ykE
|||f0(a)||| =kf0(a)kL(E,F )= supkxkE61kf0(a)(x)kF
2.3 Cas f:Rn→Rm
fdifférentiable ⇒δifexistent :δif(a) = f0(a)ei
fdifférentiable :δifexistent
fdifférentiable ⇐δifexistent et sont continues
f0(a)h=Xδif(a)hi
2.4 Continûment différentiable
f∈C1=fdifférentiable
f0continue ⇔δifexistent et sont continues (cas Rn→Rm)
f0(x) : E→F
h7→ f0(x)h6=f0:U→ L(E, F ) x7→ f0(x)
fdifférentiable sur U ⇒f0(a)continue (et linéaire) ∀a∈E
6=f0continue
3

2.5 Matrice Jacobienne de f:Rn→Rmen x
Jf(x) = 
∂1f1(x). . . ∂nf1(x)
.
.
..
.
..
.
.
∂1fm(x). . . ∂nfm(x)
=
∇f1(x)T
.
.
.
∇fm(x)T
= (J1f(x). . . Jmf(x))
L(Rn,Rm)≡Mn×m(R)
x∈Rnf0(x)≡Jf(x)
x, y ∈Rn, f0(x)y=Jf (x)y∈Rm
2.6 Gradient de f:Rn→Ren x
∇f(x) = Jf(x)T=
∂1f(x)
.
.
.
∂nf(x)
f0(x)h=∂1f(x). . . ∂nf(x)
h1
.
.
.
hn
=h∇f(x), hi
f(a+h)−f(a) = h∇f(x), hi+o(h)
Rappels
Injectif, Surjectif, Bijectif
finjectif ⇔f(x) = f(y)⇒x=y
si flinéaire : finjectif ⇔(f(x) = 0 ⇒x= 0) ⇔ker f={0}
fsurjectif ⇔ ∀y, ∃x|f(x) = y
∀f:E→F⇒f:E→f(E)surjectif
fbijectif ⇔finversible
⇔finjectif et surjectif
⇔ ∀y, ∃!x|f(x) = y
f∈ L(Rn,Rm)inversible et d’inverse continue ⇔det Jf (x)6= 0
Inversion de matrice
A−1=1
det AcomAT
avec comAij = (−1)i+jdet(Aprivée de la i-ème ligne et de la j-ième colonne)
a b
c d −1
=1
ac −bd d−b
−c a 
4

3 Différentielles secondes, formules de Taylor
3.1 f00(a)différentielle seconde de fen a
f0(a+h) = f0(a) + f00(a)h+o(h)dans L(E, F )
f00(a)=(f0)0(a)∈ L(E, L(E, F )) ≡ L(E×E, F )) = application bilinéaire continue
3.2 Théorème de Schwarz
fde classe C2⇒f00(a)est symétrique
3.3 Cas f:Rn→R
f00(x)(h, k) =
n
X
j=1
n
X
i=1
∂2f
∂xj∂xi
(x)kihj
Matrice hessienne de f(carrée et symétrique)
∇2f(x) = 
∂2f
∂x2
1
(x)· · · ∂2f
∂xn∂x1(x)
.
.
..
.
.
∂2f
∂x1∂xn(x)· · · ∂2f ∂x2
n(x)
3.4 Formule de Taylor
f:E→F f(a+h) = f(a) + f0(a)h+1
2f00(a)(h, h) + o(h2)
f:Rn→Rf(a+h) = f(a) + h∇f(a), hi+1
2h∇2f(a)h, hi+o(h2)
3.5 Ensemble convexe / Fonction convexe
C⊂Rnconvexe ⇐⇒ ∀x, y ∈C, ∀α∈[0,1], αx + (1 −α)y∈C
f:C⊂Rn→Rconvexe ⇐⇒ ∀α∈[0,1], f(αx+(1−α)y)6αf(x)+(1−α)f(y)
3.6 Propriétés
fconvexe =⇒λf convexe (λ > 0)
fet gconvexes =⇒(f+g)et max(f, g)convexes
3.7 M∈Mn(R)matrice symétrique
Mest définie positive Mest semi-définie positive
⇐⇒ ∀x∈Rn\{0}, xTMx > 0⇐⇒ ∀x∈Rn, xTM x >0
⇐⇒ toutes valeurs propres >0⇐⇒ toutes valeurs propres >0
n=2
⇐⇒ det(M)>0
tra(M)>0
n=2
⇐⇒ det(M)>0
tra(M)>0
5