fiche N8-arithmétique

Fiche N8 : Arithmétique
3ème
L’arithmétique est l’étude des nombres entiers naturels.
1°) Rappel : La division euclidienne :
La division euclidienne de l’entier a par l’entier b (b  0) est l’opération qui permet de calculer :
le quotient entier q et le reste r tels que :
bq  a  b (q + 1);
a est le dividende et b le diviseur
a = bq + r ;
q est le quotient et r le reste
0  r  b.
On a :
dividende = diviseur × quotient + reste
Ex :
74 Div par 6
Q = 12 R = 2.
(vérification : 74 = 6 × 12 + 2)
74
14
2
6
12
A la calculatrice :
* Casio : On tape sur la touche : X
2°) Diviseurs d’un nombre entier
Définition : a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b ≠ 0.
On dit que b est un diviseur de a lorsqu’il existe un nombre entier positif n tel que : a = n × b
(Càd lorsque a est dans la table de b)
Ex :
60 = 12 × 5
Donc 5 est un diviseur de 60.
12 est aussi un diviseur de 60.
Tous les diviseurs de 60 sont : 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60.
Remarques :
1°) Si b est un diviseur de a, cela signifie que le reste de la division euclidienne de a par b est 0.
2°) on dit que « b est un diviseur de a » ou bien aussi que « b divise a » ou bien « que a est divisible par b ».
On utilise souvent les critères de divisibilité :
RAPPELS
* Un nombre entier est divisible par 2 si :
son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ou 0.
* Un nombre entier est divisible par 5 si
son chiffre des unités est 0 ou 5.
* Un nombre entier est divisible par 10 si
son chiffre des unités est 0.
* Un nombre entier est divisible par 3 si
la somme de ses chiffres est divisible par 3.
* Un nombre entier est divisible par 9 si
la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Propriété : Un nombre entier strictement supérieur à 1 admet au moins deux diviseurs : 1 et lui-même.
Ex :
Les diviseurs de 10 sont: 1, 2, 5, 10
Définition : Un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs (1 et lui-même) est appelé : un
nombre premier.
Remarques :
* 1 n’est pas un nombre premier car il n’a qu’un seul diviseur : 1
* 2 est le seul nombre premier pair !
Ex : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ….. sont les premiers nombres premiers.
Il existe une méthode pour trouver les nombres premiers inférieurs à n donné :
Le crible d’ d’Erathosthène
(voir le lien : http://fr.wikipedia.org/wiki/Crible_d%27%C3%89ratosth%C3%A8ne )
3°) PGCD, Nombres premiers entre eux.
1 est un diviseur de tous les nombres entiers.
Donc deux nombres entiers positifs ont au moins un diviseur commun : le nombre 1.
Définition : a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs.
Le plus grand des diviseurs communs à a et b s’appelle : le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur). On le note
PGCD (a ; b)
 Méthode 1 : Déterminer le PGCD à partir de la liste des diviseurs
Ex : Déterminer le PGCD (30 ; 24)
→ Il faut trouver les diviseurs communs aux deux nombres
Donc : les diviseurs communs à 30 et à 24 sont : 1,2,3,6
Donc :
PGCD (30 ;24) = 6
 Méthode 2 : Déterminer le PGCD par la méthode des soustractions successives :
Ex:
Déterminer le PGCD (108 ; 92)
On prend les 2 nombres et on calcule la
différence :
« grand − petit »
On prend les 2 plus petits et on recommence :
« grand − petit »
:
108 – 92 = 16
92 – 16 = 76
76 – 16 = 60
60 – 16 = 44
44 – 16 = 28
28 – 16 = 12
16 – 12 = 4
12 – 4 = 8
8–4=4
4–4=0
On s’arrête lorsque l’on obtient un reste nul
Donc : PGCD (108, 92) = 4
Le PGCD est le dernier reste non nul
 Méthode 3: Déterminer le PGCD par l’Algorithme d’Euclide :
Ex:
Déterminer le PGCD (108 ; 92) :
On effectue la division euclidienne du plus grand nombre par le plus
petit :
On prend le diviseur et le reste de la division précédente et on
recommence :
108 ÷R 92 : Q=1 / R = 16
92 ÷R 16 : Q = 5 / R = 12
16 ÷R 12 : Q = 1 / R= 4
12 ÷R 4 : Q = 3 / R = 0
On s’arrête lorsque le reste est nul.
Donc :
Le PGCD est le dernier reste non nul :
Remarque : La rapidité de cette méthode !!!
PGCD (108 ; 92) = 4
3°) Nombres premiers entre eux.
Définition : On dit que deux nombres entiers non nuls sont premiers entre eux lorsque :leur PGCD est égal
à 1.
Ex :
PGCD (10 ; 9) = 1. → Donc 10 et 9 sont premiers entre eux.
PGCD (195 ; 91) = 13. → Donc 117 et 91 ne sont pas premiers entre eux.
ATTENTION !!! à ne pas confondre :
Deux nombres premiers (ex : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 … )
≠
Deux nombres premiers entre eux (ils ont leur PGCD = 1, pas d’autre diviseur commun autre que 1)
III.
Fractions irréductibles :
Définition : On dit qu’une fraction est irréductible lorsqu’elle ne peut plus être simplifiée.
 Reconnaître une fraction irréductible.
Propriété: Si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont premiers entre eux, alors cette fraction
est irréductible.
Ex :
*
*
195
n’est pas une fraction irréductible car PGCD (195 ; 91) = 13 ≠ 1
91
9
est une fraction irréductible car PGCD (10 ;9) = 1
10
(ou
10
)
9
(Remarque :
91
non plus)
195
Remarque : On n’est pas obligé de calculer le PGCD, on applique le plus souvent les critères de
divisibilité !!!!!
*
96
n’est pas irréductible car le numérateur et le dénominateur sont tous les deux pairs (donc multiples
102
de 2 !)
 Rendre une fraction irréductible.
Propriété: Si on divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par leur PGCD,
alors la fraction obtenue est irréductible.
Ex:
Rendre irréductible la fraction :
1/ calcul du PGCD (221 ;323) = 17
2/ simplification de la fraction :
221 221÷17 13
=
=
323 323÷17 19
13
Donc :
est la fraction irréductible
19
221
323