Fiche N8 : Arithmétique
L’arithmétique est l’étude des nombres entiers naturels.
1°) Rappel : La division euclidienne :
La division euclidienne de l’entier
a
par l’entier
b
(
b
0) est l’opération qui permet de calculer :
le quotient entier
q
et le reste
r
tels que :
bq
a
b
(
q
+ 1); a est le dividende et b le diviseur
a
=
bq
+
r ;
q est le quotient et r le reste
0
r
b
.
On a : dividende = diviseur × quotient + reste
Ex :
74 Div par 6 Q = 12 R = 2.
(vérification : 74 = 6 × 12 + 2)
A la calculatrice :
* Casio : On tape sur la touche : X
2°) Diviseurs d’un nombre entier
Définition :
a
et
b
désignent deux nombres entiers positifs avec
b
≠ 0.
On dit que
b
est un diviseur de
a
lorsqu’il existe un nombre entier positif
n
tel que : a = n × b
(Càd lorsque a est dans la table de b)
Ex :
60 = 12 × 5
Donc 5 est un diviseur de 60. 12 est aussi un diviseur de 60.
Tous les diviseurs de 60 sont : 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60.
Remarques :
1°) Si
b
est un diviseur de
a
, cela signifie que le reste de la division euclidienne de
a
par
b
est 0.
2°) on dit que «
b
est un diviseur de
a
» ou bien aussi que «
b
divise
a
» ou bien « que
a
est divisible par
b
».
On utilise souvent les critères de divisibilité :
RAPPELS
* Un nombre entier est divisible par 2 si :
son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ou 0.
* Un nombre entier est divisible par 5 si
son chiffre des unités est 0 ou 5.
* Un nombre entier est divisible par 10 si
son chiffre des unités est 0.
* Un nombre entier est divisible par 3 si
la somme de ses chiffres est divisible par 3.
* Un nombre entier est divisible par 9 si
la somme de ses chiffres est divisible par 9.
7 4 6
1 4
2 12
3ème
Propriété : Un nombre entier strictement supérieur à 1 admet au moins deux diviseurs : 1 et lui-même.
Ex :
Les diviseurs de 10 sont: 1, 2, 5, 10
Définition : Un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs (1 et lui-même) est appelé : un
nombre premier.
Remarques :
* 1 n’est pas un nombre premier car il n’a qu’un seul diviseur : 1
* 2 est le seul nombre premier pair !
Ex :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ….. sont les premiers nombres premiers.
Il existe une méthode pour trouver les nombres premiers inférieurs à
n
donné :
Le crible d’ d’Erathosthène
(voir le lien : http://fr.wikipedia.org/wiki/Crible_d%27%C3%89ratosth%C3%A8ne )
3°) PGCD, Nombres premiers entre eux.
1 est un diviseur de tous les nombres entiers.
Donc deux nombres entiers positifs ont au moins un diviseur commun : le nombre 1.
Définition :
a
et
b
désignent deux nombres entiers strictement positifs.
Le plus grand des diviseurs communs à
a
et
b
s’appelle : le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur). On le note
PGCD (
a
;
b
)
Méthode 1 : Déterminer le PGCD à partir de la liste des diviseurs
Ex : Déterminer le PGCD (30 ; 24)
Il faut trouver les diviseurs communs aux deux nombres
Donc : les diviseurs communs à 30 et à 24 sont : 1,2,3,6
Donc : PGCD (30 ;24) = 6
Méthode 2 : Déterminer le PGCD par la méthode des soustractions successives :
Ex:
Déterminer le PGCD (108 ; 92) :
On prend les 2 nombres et on calcule la
différence :
« grand − petit »
108 92 = 16
On prend les 2 plus petits et on recommence :
« grand − petit »
92 16 = 76
76 16 = 60
60 16 = 44
44 16 = 28
28 16 = 12
16 12 = 4
12 4 = 8
8 4 = 4
4 4 = 0
On s’arrête lorsque l’on obtient un reste nul
Le PGCD est le dernier reste non nul
Donc : PGCD (108, 92) = 4
Méthode 3: Déterminer le PGCD par l’Algorithme d’Euclide :
Ex:
Déterminer le PGCD (108 ; 92) :
On effectue la division euclidienne du plus grand nombre par le plus
petit :
108 ÷R 92 : Q=1 / R = 16
On prend le diviseur et le reste de la division précédente et on
recommence :
92 ÷R 16 : Q = 5 / R = 12
16 ÷R 12 : Q = 1 / R= 4
12 ÷R 4 : Q = 3 / R = 0
On s’arrête lorsque le reste est nul.
Le PGCD est le dernier reste non nul :
Donc : PGCD (108 ; 92) = 4
Remarque : La rapidité de cette méthode !!!
3°) Nombres premiers entre eux.
Définition : On dit que deux nombres entiers non nuls sont premiers entre eux lorsque :leur PGCD est égal
à 1.
Ex : PGCD (10 ; 9) = 1. Donc 10 et 9 sont premiers entre eux.
PGCD (195 ; 91) = 13. Donc 117 et 91 ne sont pas premiers entre eux.
ATTENTION !!! à ne pas confondre :
Deux nombres premiers (ex : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 )
Deux nombres premiers entre eux (ils ont leur PGCD = 1, pas dautre diviseur commun autre que 1)
III. Fractions irréductibles :
Définition : On dit qu’une fraction est irréductible lorsqu’elle ne peut plus être simplifiée.
Reconnaître une fraction irréductible.
Propriété: Si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont premiers entre eux, alors cette fraction
est irréductible.
Ex :
*
195
91
n’est pas une fraction irréductible car PGCD (195 ; 91) = 13 ≠ 1 (Remarque :
91
195
non plus)
* 9
10 est une fraction irréductible car PGCD (10 ;9) = 1 (ou 10
9)
Remarque : On n’est pas obligé de calculer le PGCD, on applique le plus souvent les critères de
divisibilité !!!!!
*
96
102
n’est pas irréductible car le numérateur et le dénominateur sont tous les deux pairs (donc multiples
de 2 !)
Rendre une fraction irréductible.
Propriété: Si on divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par leur PGCD,
alors la fraction obtenue est irréductible.
Ex: Rendre irréductible la fraction : 221
323
1/ calcul du PGCD (221 ;323) = 17
2/ simplification de la fraction :
221
323 = 221÷17
323÷17 = 13
19
Donc :
13
19 est la fraction irréductible
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