Théories et modèles en logique du premier ordre. Exemples II

Théories et modèles en logique du premier ordre.
Exemples II
0. Résumé des épisodes précédents
Une fusée à deux étages :
logique (⇒, ∀, ...)
théorie (=, +, ×, ∈, ...)
Cohérence / contradiction
Complétude / incomplétude
Décidabilité / indécidabilité
Exemples de théories : =, PA, ...
Aujourd’hui : PA indécidable, incomplète, des théories décidables
I. Indécidabilité de l’arithmétique
Il n’existe pas d’algorithme qui décide si une proposition est
démontrable dans l’arithmétique
L’idée
Par l’absurde : un tel algorithme existait...
il permettrait de décider la démontrabilité des propositions de la
forme
« Le programme f termine en n »
Contradiction
Qu’est-ce que la proposition Le programme f termine en n ?
Une proposition qui est démontrable si et seulement si le
programme f termine en n
La fonction qui associe A à (f , n) doit être calculable
(f,n)
A
0
G
F
1
GoF
On construit F calculable telle que G ◦ F ne soit pas calculable
Si G était calculable... donc G n’est pas calculable
Construire un algorithme pour montrer qu’une fonction n’est pas
calculable
La représentation des programmes
f programme : on construit une proposition A telle que
q = f (p1 , ..., pn ) si et seulement si (p1 /x1 , ..., pn /xn , q/y )A
démontrable dans PA
p
Notation A[p1 , ..., pn , q] pour (p1 /x1 , ..., pn /xn , q/y )A
Les programmes
Zn
S
πin
+
×
χ≤
◦nm
µn
Sept d’un coup
f = Zn ?
f =S?
f = πin ?
f = +?
f = ×?
f = χ≤ ?
f = ◦nm (g , h1 , ..., hm ) ?
La minimisation
f construite par minimisation de g
B représente g
A = (∀z (z < y ⇒ ∃w (¬w = 0∧B[x1 , ..., xn , z, w ])))∧B[x1 , ..., xn , y , 0]
où x < y est ∃z (¬z = 0 ∧ y = x + z)
Le théorème de représentation
q = f (p1 , ..., pn )
A[p1 , ..., pn , q] démontrable dans l’arithmétique
A[p1 , ..., pn , q] valide dans N
(i) ⇒ (ii) : récurrence sur la construction de f
(ii) ⇒ (iii) : trivial
(iii) ⇒ (i) : si valide dans N alors il existe des entiers qui...
La proposition le programme f termine en p1 , ..., pn
∃y (A[p1 , ..., pn , y ])
f termine en p1 , ..., pn
∃yA[p1 , ..., pn , y ] démontrable dans l’arithmétique
∃yA[p1 , ..., pn , y ] valide dans N
Corollaire du théorème de représentation
La fonction T qui associe le numéro de la proposition Le
programme f termine en p1 , ..., pn au numéro de f et à p1 , ..., pn
est calculable
L’ensemble des propositions démontrables dans l’arithmétique n’est
pas décidable (CQFD)
Les propositions existentielles
La proposition de l’arithmétique Le programme f termine en n
peut prendre la forme ∃x1 ... ∃xn (t = u)
La démontrabilité dans l’arithmétique des propositions de cette
forme est indécidable
Termes t et u polynômes en x1 , ..., xn
∃x1 ... ∃xn (t = u) démontrable si et seulement si t = u a une
solution
Pas d’algorithme pour décider l’existence de solutions des équations
entières polynomiales multivariées (Matiyasevich, 1970)
Le dixième problème de Hilbert
Équation polynomiale
Exemple : X 7 + X 5 − 2 = 0 ou X 2 − 2 = 0
Peut-on décider si une telle équation a une solution dans N ?
an X n + an−1 X n−1 + ... + a0 = 0
1 + (an−1 /an )1/X + ... + (a0 /an )1/X n = 0
Pour X assez grand, chaque terme < 1/n en valeur absolue :
somme non nulle
On énumère et teste tous les entiers inférieurs
Généraliser cet algorithme aux équations polynomiales
multivariées... ben non
II. Après la pluie, le beau temps : La semi-décidabilité
Énumérer et tester
f (x, y ) = 1 si x est le numéro d’une dérivation et et la racine de
cette dérivation est y
Plus petit entier x tel que f (x, pAq) = 1
On énumère tous les entiers, jusqu’à trouver un entier qui soit le
numéro d’une démonstration de A
Si A est démontrable, ce numéro finira bien par sortir
Sinon la recherche se poursuit à l’infini
III. Le théorème de Gödel
Chercher simultanément une démonstration de A et de ¬A
Plus petit entier x tel que f (x, pAq) = 1
Plus petit entier x tel que f (x, pAq) = 1 ou f (x, p¬Aq) = 1
Les 4 possibilités
1. Si A est démontrable et ¬A n’est pas démontrable
g termine et retourne une démonstration de A
2. Si ¬A est démontrable et A n’est pas démontrable
g termine et retourne une démonstration de ¬A
3. Si ni A ni ¬A ne sont démontrables
g ne termine pas
4. Si A et ¬A sont tous les deux démontrables
Les 4 possibilités
1. Si A est démontrable et ¬A n’est pas démontrable
g termine et retourne une démonstration de A
2. Si ¬A est démontrable et A n’est pas démontrable
g termine et retourne une démonstration de ¬A
3. Si ni A ni ¬A ne sont démontrables
g ne termine pas
4. Si A et ¬A sont tous les deux démontrables
Les 4 possibilités
1. Si A est démontrable et ¬A n’est pas démontrable
g termine et retourne une démonstration de A
2. Si ¬A est démontrable et A n’est pas démontrable
g termine et retourne une démonstration de ¬A
3. Si ni A ni ¬A ne sont démontrables
g ne termine pas
4. Si A et ¬A sont tous les deux démontrables
Les 4 possibilités
1. Si A est démontrable et ¬A n’est pas démontrable
g termine et retourne une démonstration de A
2. Si ¬A est démontrable et A n’est pas démontrable
g termine et retourne une démonstration de ¬A
3. Si ni A ni ¬A ne sont démontrables
g ne termine pas
Si 3. vide... donc 3. non vide
Le théorème de Gödel
Il existe une proposition A telle que ni A ni ¬A ne soit démontrable
dans l’arithmétique
IV. Conséquences de l’incomplétude de l’arithmétique
Exercice
Montrer qu’il existe une proposition A valide dans N mais non
démontrable dans l’arithmétique
Montrer PA, ¬A cohérente
Montrer PA, ¬A a un modèle M
Montrer que M et N valident des propositions différentes
Modèle non standard de l’arithmétique
Typiquement
A = ¬∃x1 ...∃xn (t = u)
L’équation polynomiale t = u n’a pas de solution dans N mais cela
ne peut pas se démontrer dans PA
M contient des objets qui sont solution de l’équation polynomiale :
ce ne sont pas des entiers
Où est le bug ?
Que disent exactement l’axiome 5 et l’axiome de compréhension ?
La faiblesse du schéma de compréhension
∀ ∃c∀z (z c ⇔ A)
N’énonce que l’existence des classes définissables
∀c (0 c ⇒ ∀x (x c ⇒ S(x) c) ⇒ ∀y y c)
0 1 2 3 4 5 6 ...
ω
Les classes qui contiennent 0, 1, 2... mais par ω ne sont pas
définissables
Deux cas particuliers
∃x1 ...∃xn (t = u)
Dans le modèle : des solutions de cette équation
∃x prf (x, p⊥q)
Dans le modèle : une démonstration de ⊥ dans PA
Un entier infini
Lowenheim-Skolem : PA a un modèle non dénombrable
Démonstration : ensemble non dénombrable de constantes
PA ∪ {c 6= c 0 | c 6= c 0 } a un modèle
Exercice :
Une constante ω
Montrer PA ∪ {ω 6= 0, ω 6= 1, ω 6= 2, ...} a un modèle
Montrer que l’interprétation ω de ω n’est pas un entier
idem PA ∪ {ω ≥ 0, ω ≥ 1, ω ≥ 2, ...}
La résurrection des infinitésimaux
Exercice :
Une constante ε
Un théorie cohérente T où l’on parle des réels (par exemple ZF )
Montrer T ∪ {ε ∈ R, ε > 0, ε ≤ 1, ε ≤ 1/2, ε ≤ 1/3, ...} a un
modèle
Analyse non standard
Une construction de ε
µ fonction de P(N) dans {0, 1} t.q.
µ(N) = 1
µ(X ) = 0 si X fini
si X et Y disjoints, alors µ(X ∪ Y ) = µ(X ) + µ(Y )
Relation d’équivalence sur les suites de réels
u ∼ v ssi µ({i | ui = vi }) = 1
∗ R : (N → R)/ ∼
injection de R dans ∗ R : r , r , r , r , r , ...
mais ε = (1/n)n / ∼
Même propriétés (exprimables) que les réels
Le paradoxe de Skolem
Exercice :
M modèle dénombrable de ZF (Lowenheim-Skolem)
Combien d’éléments dans le sous-ensemble de M des ρ tels que
Jx ∈ RKx=ρ = 1?
Combien d’éléments dans le sous-ensemble de M des ρ tels que
Jx ∈ NKx=ρ = 1?
Montrer que ces deux ensembles sont en bijection
La proposition « il n’y a pas de bijection entre N et R » est-elle
valide dans M ?
Encore une fois : faiblesse du schéma de compréhension
V. Des théories à définir des modèles
+, e, I , =
Axiomes de l’égalité
∀x∀y ∀z ((x + y ) + z = x + (y + z))
∀x (x + e = x)
∀x (e + x = x)
∀x (x + I (x) = e)
∀x (I (x) + x = e)
Exercice : que sont les modèles (égalitaires) de cette théorie ?
Raisonner dans cette théorie
Exercice : démontrer la proposition
∀x ((∀y (x + y = y )) ⇒ x = e)
Les termes expriment les éléments d’un groupe
Théorèmes : propositions vraies dans tous les groupes
Bof : très différent de « la théorie des groupes » : les termes
expriment des groupes, des morphismes, etc.
En revanche ...
Les modèles de cette théorie sont les groupes
Utile pour démontrer des résultats sur les groupes
Exercice :
Montrer que tout ensemble infini peut être muni d’une structure de
groupe
Donner un exemple d’ensemble qui ne peut pas être muni d’une
structure de groupe
Pourquoi cet argument ne marche pas pour les corps totalement
ordonnés archimédiens et complets ?
La prochaine fois
Plans et développements