1. Variables aléatoires réelles discrètes

S3 Maths 2013-2014 Statistique Rappels sur les variables aléatoires réelles
Université de Picardie Jules Verne 2013-2014
UFR des Sciences
Licence mention Mathématiques -Semestre 3
Statistique
Rappels sur les variables aléatoires réelles discrètes et à densité
1.Variables aléatoires réelles discrètes
Considérons une population sur laquelle on définit un caractère quantitatif X.
Xest une application de dans qui, à tout individu , associe un réel xXX X
ensemble des valeurs du caractère.
Cette application modélise le caractère de façon déterministe en ce sens que, si on connaît l’individu , on
connaît aussitôt la valeur x. Son étude relève de la statistique descriptive qui conduit, par exemple, au tableau
des couples xi,fioù xiest une valeur observée et fisa fréquence.
Exemple : le nombre d’enfants Xd’une famille d’une population de 1000 familles amiénoises a donné :
Nombre d’enfants xi012345678
Nombre de familles ni162 240 297 208 62 16 8 5 2
Fréquence fi0.162 0.240 0.297 0.208 0.062 0.016 0.008 0.005 0.002
Supposons maintenant que l’on tire au hasard un individu dans cette population pour consigner la
valeur xdu caractère. Ne pouvant pas prévoir quel individu précis sera tiré, on ne peut pas prévoir non plus la
valeur précise de xqui sera consigner. On aimerait donc disposer d’un moyen d’attribuer une probabilité aux
éléments de X, ce qui conduit au tableau des couples xi,pioù xiest une valeur observée et pisa
probabilité.
Prenant APet Pl’équiprobabilité sur ,A, on écrira par exemple PX0162
1000 0.162.
De même qu’un caractère quantitatif peut être discret ou continu, on parlera de variable aléatoire discrète
ou continue (dans le deuxième cas, on parlera de variable aléatoire à densité).
1.1.Cas d’un nombre fini de valeurs
Exemple introductif.
Un joueur lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6, et on observe le numéro obtenu. Si le
joueur obtient 1, 3 ou 5, il gagne 1 euro ; s’il obtient 2 ou 4, il gagne 5 euros ; s’il obtient 6, il perd 10 euros.
Prenons   1,2,3,4,5,6,APet Pl’équiprobabilité sur ,A
Soit Xl’application de dans qui à tout associe le gain correspondant.
On a X1X3X51, X2X45 et X610. Ainsi, X1,5,10.
On peut s’intéresser à la probabilité de gagner 1 euro, c’est-à-dire d’avoir X1, ce qui se réalise si et
seulement si 1,3,5. La probabilité cherchée est donc égale à P1,3,5 3/6 1/2. On pourra alors
considérer l’événement X11,3,5et écrire PX11/2.
On aura de même PX51/3 et PX101/6.
Définitions.Notations.
On considère une expérience aléatoire et ,A,Pest un espace probabilisé fini adapté.
On appelle variable aléatoire réelle (v.a.r.) toute application Xde dans .
L’ensemble XXdes valeurs prises par Xest appelé univers-image. Xest alors fini.
Les événements /Xx,/Xxet /aXxsont notés
respectivement Xx,Xxet aXx.
Loi de probabilité.
Si Xest une v.a.r. dont l’univers-image fini est Xx1,...,xn, alors Xest appelée v.a.r. discrète finie
et on appelle loi de probabilité de Xla donnée des couples xi,pi, avec piPXxi.
On pourra toujours s’assurer que l’on a bien pi0 et
i
1
npip1p2pn1.
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Exemple.
Reprenons l’exemple introductif. La loi de probabilité de Xest donnée par xi-10 1 5
pi1/6 1/2 1/3 1
Fonction de répartition.
Si Xest une v.a.r., alors on appelle fonction de répartition de Xla fonction FXde dans 0,1définie par,
pour tout réel x,FXxPXx.
Si Xest discrète finie, alors FXest une fonction en escalier dont les sauts se présentent aux points xide
X, chaque saut étant égal à piPXxi.
Exemple. Reprenons l’exemple introductif. On a :
- pour tout x10, FXxPXxP0 ;
- pour tout 10 x1, FXxPXxPX101/6 ;
- pour tout 1 x5,
FXxPXxPX10X1 PX10PX11/6 1/2 2/3 ;
- pour tout x5, FXxPXxP1.
Remarque. On a donc FxiPXxi
k1
ipkp1p2pi, probabilité que Xprenne une
valeur inférieure ou égale à xi.
En statistique descriptive des variables quantitatives discrètes, les fréquences cumulées étaient données
par : Fi
k1
ifkf1f2fi, et représentaient la fréquence des valeurs inférieures ou égales à xi.
Interprétant les probabilités picomme les limites des fréquences fisur un échantillon, on observe que les
formules et leur interprétation sont analogues.
Espérance mathématique.Variance.Ecart-type.
Soit Xune v.a.r. discrète dont l’univers-image fini est Xx1,...,xn.
On appelle espérance mathématique de Xle réel EX
i1
npixip1x1p2x2pnxn. Ce nombre
représente la valeur moyenne de X.
On appelle variance de Xle réel VX
i1
npixiEX2.
On a VXEX2EX2
i1
npixi
2EX2.
On appelle écart-type de Xle réel XVX.
On appelle intervalle moyen de Xl’intervalle EXX,EXX.
Exemple. Reprenons l’exemple introductif.
On a EX1
6101 211 353 61 2.
On a EX21
61021 2121 352153 651 2,
d’où VXEX2EX251
21 2
2101
4et XVX101 25,025.
Remarque.
En statistique descriptive des variables quantitatives discrètes, nous avions les formules suivantes.
Moyenne : x1
n
nixi
ni
nxi
fixi
Variance : sx
21
n
nixi
2x2
fixi
2x2. Ecart-type : sxsx
2.
Interprétant les picomme les limites des fi, les formules et leur interprétation sont analogues.
Changement d’origine et d’échelle
Il arrive souvent que l’on effectue une transformation affine XaX bsur une variable aléatoire X,a
étant le paramètre de changement d’échelle, et ble paramètre de changement d’origine. On a :
EaX baEXb;VaraX ba2VarX;aX b|a|X.
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Lois classiques :Binomiale et Hypergéométrique.
Répétition d’expériences.
On répète nfois dans les mêmes conditions une même expérience aléatoire (les répétitions étant
indépendantes entre elles) au cours de laquelle un événement Aa une probabilité pd’être réalisé.
La variable aléatoire X, égale au nombre de fois où l’événement Aest réalisé, suit la loi Binomiale
Bn,p, ce qui signifie que :
Xest à valeurs dans X0,1,...,net, pour tout k0,1,...,n,PXkCn
kpk1pnk.
On a de plus : EXnp et VXnp1p.
Tirages dans une population à 2 catégories.
On considère une population de Nindividus à deux catégories, avec N1individus de catégorie 1 et N2
individus de catégorie 2 (on a N1N2N).
On effectue ntirages d’un individu dans la population et on désigne par Xla variable aléatoire égale au
nombre d’individus de catégorie 1 obtenus.
Si on effectue les tirages avec remise, alors Xsuit la loi Binomiale Bn,N1
N.
Si on effectue les tirages sans remise ou simultanés (dans ce cas, on doit avoir nN), alors Xsuit la loi
Hypergéométrique HN,n,N1
N, ce qui signifie que
Xest à valeurs dans Xmax0,nNN1,minN1,n
et pour tout k0,1,...,n,PXkCN
1
kCNN
1
nk
CN
n.
On a de plus : EXnp et VXnp1pNn
N1en posant pN1
N.
Exemples.
1) On lance 10 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 fois
(exactement) Pile ?
On peut considérer que l’on répète n10 fois dans les mêmes conditions l’expérience aléatoire
"lancer la pièce" (les répétitions étant indépendantes entre elles) au cours de laquelle l’événement A"obtenir
Pile" a la probabilité p1
2d’être réalisé. La variable aléatoire X, égale au nombre de fois où l’événement A
est réalisé, i.e. au nombre de Pile obtenus, suit la loi Binomiale Bn,pB10, 1
2, ce qui signifie que :
-Xest à valeurs dans X0,1,...,n0,1,...,10;
- pour tout k0,1,...,10,PXkCn
kpk1pnkC10
k1
2
k1
2
10kC10
k1
2
10.
On en déduit que la probabilité d’obtenir 3 fois Pile est PX3C10
31
2
10 0,1172.
2) On tire successivement 4 boules d’une urne contenant 3 boules blanches et 7 boules noires. Quelle est
la probabilité d’obtenir (exactement) 2 boules blanches ?
On peut considérer que l’on effectue n4 tirages d’un individu dans la population des N10 boules,
avec N13 boules blanches et N27 boules noires (on a N1N2N). Si on désigne par Xla variable
aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues, alors :
- dans le cas de tirages avec remise, Xsuit la loi Binomiale Bn,N1
NB4, 3
10 ; ainsi, Xest à
valeurs dans X0,1,...,n0,1,...,4et pour tout k0,1,...,4,
PXkCn
kpk1pnkC4
k3
10
k7
10
4k; on a donc PX2C4
23
10
27
10
20,2646.
- dans le cas de tirages sans remise, Xsuit la loi Hypergéométrique HN,n,N1
NH10,4, 3
10 ;
ainsi, Xest à valeurs dans Xmax0,nNN1,minN1,n 0,1,2,3et pour tout
k0,1,2,3,PXkCN
1
kCNN
1
nk
CN
nC3
kC7 4k
C10
4; on a donc PX2C3
2C7 2
C10
40,3.
Remarque.
Lorsque Nest très grand devant n(en pratique N10n), on peut approcher la loi Hypergéométrique
HN,n,N1
Npar la loi Binomiale Bn,N1 N. Cela signifie que CN
1
kCNN
1
nk
CN
nCn
kN1
N
k1N1
N
nk.
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1.2.Cas d’un nombre infini de valeurs
Définitions.
On appelle variable aléatoire réelle discrète infinie toute v.a.r. dont l’univers-image X(ensemble des
valeurs prises par X) est infini dénombrable. Dans ce cours, on se limitera à Xk/kou
X.
On appelle loi de probabilité de Xla donnée des couples k,pk, avec pkPXk, pour kX.
On pourra toujours s’assurer que l’on a bien pk0 et
k
X
pk1.
Attention ! Cette dernière somme contient une infinité de termes ! Il s’agit de la somme d’une série
numérique, qui peut être infinie ou ne pas exister. Nous n’aborderons pas dans ce cours les problèmes liés à
cette notion.
Espérance mathématique.Variance.Ecart-type.
Soit Xune v.a.r. discrète dont l’univers-image infini est X. Sous reserve d’existence des sommes
indiquées ci-dessous, on a :
- espérance mathématique de X:EX
k
X
kpk.
- variance de X:VX
k
X
kEX2pket VXEX2EX2
k
X
k2pkEX2.
- écart-type de X:XVX- intervalle moyen de X:EXX,EXX.
Lois classiques :Poisson et Géométrique.
Loi de Poisson.
Une variable aléatoire Xsuit la loi de Poisson Pde paramètre 0 si et seulement si :
Xest à valeurs dans Xet, pour tout k,PXkek
k!.
On a de plus : EXet VX.
Loi Géométrique.
On répète dans les mêmes conditions une même expérience aléatoire (les répétitions étant indépendantes
entre elles) au cours de laquelle un événement Aa une probabilité pd’être réalisé.
La variable aléatoire X, égale au nombre d’expériences nécessaires pour avoir la première réalisation de A
(i.e. au temps d’attente de l’événement A), suit la loi Géométrique Gp, ce qui signifie que :
Xest à valeurs dans Xet, pour tout k,PXkp1pk1.
On a de plus : EX1
pet VX1p
p2.
Remarque.
Lorsque nest grand et passez petit (en pratique n30, p0,1 et np 10), on peut approcher la loi
Binomiale Bn,ppar la loi de Poisson Pnp. Cela signifie que Cn
kpk1pnkenp npk
k!.
2.Variables aléatoires réelles à densité
2.1.Généralités et premiers exemples
On considère une expérience aléatoire, ,A,Pun espace probabilisé adapté et Xune variable aléatoire
réelle.
On a traité dans le paragraphe 1 le cas où l’univers-image X(et donc l’univers ) était fini ou infini
dénombrable. La loi de probabilité de Xétait alors donnée par les quantités PXxipour tout xide X.
Lorsque X(et donc ) est infini non-dénombrable (par exemple Xa,bou ), la théorie montre
que PXx0 pour tout xde . On est alors amené à donner la loi de probabilité de Xpar sa fonction de
répartition FXdéfinie sur par FXxPXx.
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Définition.
On appelle densité ou densité de probabilité sur toute fonction fde dans vérifiant :
-fest positive ;
-fest continue sur sauf éventuellement en un nombre fini ou dénombrable de points ;
- l’intégrale
fxdx est convergente et fxdx 1.
Définition.
Une variable aléatoire Xest dite continue s’il existe une densité fXtelle que pour tout x,
FXx
xfXtdt.
fXest alors appelée densité de X. On dit aussi que Xest une variable aléatoire réelle à densité.
Propriétés.
Soit Xune variable aléatoire continue dont fXest une densité, et soit FXsa fonction de répartition.
Alors FXest une fonction de dans 0,1, continue et croissante sur , dérivable sur , sauf
éventuellement en un nombre fini ou dénombrable de points, de dérivée fX, et telle que lim
x Fx0 et
lim
xFx1. De plus, pour tous réels x,aet btels que ab, on a :
PXx0 ; PXxPXx;PaXbPaXbFXbFXa
a
bfXtdt.
Espérance mathématique.Variance.Ecart-type.
Sous les mêmes hypothèses que ci-dessus, et sous réserve que les intégrales suivantes existent, on a :
-EX
xfXxdx (ce nombre représente la valeur moyenne de X) ;
-VX
xEX2fXxdx ;VXEX2EX2 x2fXxdx EX2;
-XVX; intervalle moyen de X:EXX,EXX.
Lois classiques :Uniforme,Exponentielle et Normale
Loi Uniforme sur a,b.Xa,b,fXx1
basi xa,b
0 si xa,bFXx
0 si xa
xa
basi xa,b
1 si xb
EXab
2et VXba2 12 .
Loi Exponentielle de paramètre ,avec 0.
X0,,fXxexsi x0
0 si x0,FXx1exsi x0 0 si x0,EX1
et VX1
2.
Loi Normale de paramètres et ,avec et 0. Voir le paragraphe suivant.
2.2.Loi Normale N,.
2.2.1.Cas de la loi N0,1(loi normale centrée réduite).
On a Xet fXx1
2e
x2
2
pour tout x. On a de plus EX0 et VX1.
La fonction de répartition de Xest donnée par xFXx
xfXtdt  x1
2e
t2
2
dt pour tout
x. Cette fonction n’étant pas exprimable par des fonctions usuelles, on utilise généralement une valeur
approchée de cette fonction. Ses valeurs sont tabulées pour les x0 (table 1). Pour les x0, on peut utiliser
la formule x1x(formule valable pour tout réel x)
La table ne donne des valeurs approchées de xque pour des xcompris entre 0 et 3. On pourra admettre
que x1 pour tout x3.
On peut démontrer que est une bijection strictement croissante de sur 0;1. Ainsi, pour tous réels xet
y, on a : xyxyet xyxy.
Stéphane Ducay 5