DS N°2 corrigé

2005/2006 22/11/2005
DevoirsurveilléN°2TerminaleS(Spé)(2heures).
Exercice1:
Étantdonnéunentiernaturel n nonnul,onconsidèrelesdeuxnombres a et b telsque:
a =2 n
2 et
b = n (2 n +1).
Ondésignepar d  lePGCDde a et b ,par m leurPPCM.
Montrerque:  b - a = d  et  b
2 -
a
2 =
m - d
2
.
Exercice2:
1.L'entier n étantsupérieurà1,montrerque n ( n
4 -1) estunmultiplede5.
2.Endéduirequelesnombres n
p et
n
p +4 ontlemêmechiffredesunitéspourtoutentiern
supérieurà1ettoutentierpnonnul.
Exercice3:
1.Prouverquepourtoutentierrelatifn,lenombren
3 –nestunmultiplede3.
2.Démontrerquesitroisnombresrelatifs x , y et z sonttelsquelasomme x
3 +
y
3 +
z
3est
divisiblepar3,alorslasomme x + y + z estaussidivisiblepar3.
3.Démontrerquesi x
3 +
y
3+
z
3 estdivisiblepar9alorsl'unaumoinsdestroisnombres
x , y , z
estdivisiblepar3.
Exercice4:
1.Décomposer319enfacteurspremiers.
2.Démontrerquesi x et y sontdeuxentiersnaturelspremiersentreeux,ilenestdemême
pour3 x +5 y et x +2 y .
3.Trouverdeuxentiersnaturelsaetbsolutionsdusystème: î
í
ì
=
= + +
mab
baba
2
1276)2)(5(3
où m désignelePPCMde a et b .
Exercice5:Quelestlepluspetitentiernaturelayantexactement28diviseurspositifs?

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Enoncésetcorrigésconsultablessur http://sites.estvideo.net/evariste/ ousur http://didierroth.free.fr/
CORRIGE
Exercice1:
Toutdiviseurcommunauxdeuxnombres a =2 n
2 et
b = n (2 n +1)estaussiundiviseurde
leurdifférence b - a = n .Réciproquement,toutdiviseurde n divise a et b .L'ensembledes
diviseurscommunsà a et b estdoncl'ensembledesdiviseursde n .
n ainsiestlePGCD, d ,de a et b etnousavons: b - a = d = n .
Si m estlePPCMde a et b ,alorsnousavons ab = md .
D'où m =2 n
2
(2 n +1).
Or b
2 -
a
2 =
n
2
[(2 n +1)
2 -4
n
2
]soit b
2 -
a
2=
n
2
(4 n +1).
Mais m - d 2 =4 n
3+2
n
2 -
n
2=
n
2
(4 n +1)etnousavons:  b
2 -
a
2 =
m - d
2
.
Exercice2:
LenombredonnéN= n ( n
4 -1)s'écritN=
n ( n
2 +1)(
n
2 -1)=
n ( n
2+1)(
n -1)( n + 1)
Enconséquence:(onraisonnepardisjonctiondecas)
si n estmultiplede5alorsilenestdemêmepourN;
si n º1(5)alors( n -1) º0(5)etN º0(5)
si n º4(5)alors( n +1) º0(5)etN º0(5)
si n º2 (5)alors( n² +1) º5º0 (5)etN º0(5)
si n º3(5)alors( n² +1) º10 º0(5)etN º0(5)
Danstouslescas,l'undesfacteursde n ( n
2 +1)(
n
2 -1)estunmultiplede5,donc Nestun
multiplede5.
2.Montronsqueladifférence n
p -
n
p +4estunmultiplede10.
Nousavons: n
p -
n
p +4 =
n
p
( n
4 -1)soit
n
p -
n
p +4 =
n
p -1N.
Orlesentiers n et n
2 +1sontdeparitédifférente.
DoncN,quirenfermeunfacteurpair,estluimêmepair.
LenombreNestdivisiblepar5etpar2,doncdivisiblepar10.
n
p -
n
p +4estaussidivisiblepar10.
Ilenrésulteque n
p et
n
p +4 seterminentparlemêmechiffredesunités.
Exercice3:
1.Nousavonsd'abord a
3 -
a = a ( a +1)( a -1)etdonc a
3 -
a estleproduitdetroisentiers
consécutifs. Donc,parmieux,ilyatoujoursunmultiplede3.
2.Donc,quelsquesoient x , y et z : x
3 -
x ; y
3
- y et z
3 -
z sontdivisiblespar3et,par
conséquent: ( x
3 -
x )+( y
3 -
y )+( z
3 -
z) estdivisiblepar3.Maislasommedecestrois
nombress'écritaussi ( x
3 +
y
3 +
z
3
)-( x + y + z ).
Pourtous x , y et z ,nousavons( x
3 +
y
3 +
z
3
) - ( x + y + z )divisiblepar3.
Doncsi( x
3 +
y
3+
z
3
)estdivisiblepar3alors x + y + z estdivisiblepar3.
3.Raisonnonsparl'absurdeensupposantque( x
3 +
y
3 +
z
3
)soitdivisiblepar9,doncpar3,et
qu'aucundesnombres x , y et z nesoitdivisiblepar3.
Nousavonsalors:
x =3 k +1ou x =3 k +2avec k entierrelatif,
y =3 h +1ou y =3 h +2avec h entierrelatif,

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z= 3 m +1ou z =3 m +2avec m entierrelatif.
Cecitraduitlefaitque,parexemple,si x n'estpasdivisiblepar3,lesrestespossiblesdela
divisionde x par3sont1ou2,demêmepour y et z .
Alors:
x
3 =27
k
3 +27
k
2+9
k +1ou x
3 =27
k
3+54
k
2 +36
k +8
y
3 =27
h
3 +27
h
2+9
h +1ou x
3 =27
h
3+54
h
2+36
h +8
z
3 =27
m
3 +27
m
2 +9
m +1ou x
3 =27
m
3 +54
m
2 +36
m +8.
x
3 +
y
3 +
z
3n'estpasunmultiplede9danschacundescaspossibles,cequiestcontradictoire
avecl'hypothèse.
Exercice4:
1.319estdivisiblepar11et 319=11 ´29avec29nombrepremier.
2.Soit d undiviseurcommunà3 x +5 y et x +2 y .Nouspouvonsécrire:
x =2(3 x +5 y ) - 5( x +2 y )et y =3( x +2 y )-(3 x +5 y ).
Cequimontreque d diviseaussi x et y .
Puisquecesdeuxnombressontpremiersentreeux, d =1ou d = - 1,cequ'ilfallait
démontrer.
3.Soit d lePGCDde a et b .Or a et b sontpositifs,nousavons ab = md etparsuite d =2.
Soit a' telque a =2 a' et b' telque b =2 b' .Lapremièreconditions'écritalors:
(3 a' +5 b' )( a' +2 b' )=319.Comme a’ et b’ sontpremiersentreeux,ilenestdemêmepour
3 a' +5 b' et a' +2 b' .Comme3 a' +5 b' > a' +2 b' >1,
nousendéduisons,àl'aidede1.,que î
í
ì
= +
= +
11.'2'
29'5'3
ba
ba
Cesystèmeadmetpoursolutions a' =3et b' =4.
Lecouple(6;8)convient.

2005/2006 22/11/2005
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Exercice5: