DS N°2 corrigé

2005/2006 22/11/2005 Devoir sur veillé N°2 Ter minale S (Spé) (2 heur es ). Exer cice 1 : Étant donné un entier naturel n non nul, on considère les deux nombres a et b tels que : a = 2n2 et b = n(2n + 1). On désigne par d le PGCD de a et b, par m leur PPCM. Montrer que : b - a = d et b2 - a 2 = m - d2 . Exer cice 2 : 1. L'entier n étant supérieur à 1, montrer que n(n4 - 1) est un multiple de 5. 2. En déduire que les nombres n p et n p + 4 ont le même chiffre des unités pour tout entier n supérieur à 1 et tout entier p non nul. Exer cice 3 : 1. Prouver que pour tout entier relatif n, le nombre n 3 – n est un multiple de 3. 2. Démontrer que si trois nombres relatifs x, y et z sont tels que la somme x3 + y3 + z3 est divisible par 3, alors la somme x + y + z est aussi divisible par 3. 3. Démontrer que si x3 + y3 + z3 est divisible par 9 alors l'un au moins des trois nombres x, y, z est divisible par 3. Exer cice 4 : 1. Décomposer 319 en facteurs premiers. 2. Démontrer que si x et y sont deux entiers naturels premiers entre eux, il en est de même pour 3x + 5y et x + 2y. ì(3 a + 5 b )( a + 2 b ) = 1276 3. Trouver deux entiers naturels a et b solutions du système : í
î ab = 2 m où m désigne le PPCM de a et b. Exer cice 5 : Quel est le plus petit entier naturel ayant exactement 28 diviseurs positifs ?
2005/2006 22/11/2005 CORRIGE Exer cice 1: Tout diviseur commun aux deux nombres a = 2n2 et b = n(2n + 1) est aussi un diviseur de leur différence b - a = n. Réciproquement, tout diviseur de n divise a et b. L'ensemble des diviseurs communs à a et b est donc l'ensemble des diviseurs de n. n ainsi est le PGCD, d, de a et b et nous avons : b - a = d = n . Si m est le PPCM de a et b, alors nous avons ab = md. D'où m = 2n2 (2n + 1). Or b2 - a 2 = n2 [(2n + 1) 2 - 4n2 ] soit b2 - a 2 = n2 (4n + 1). Mais m - d 2 = 4n3 + 2n2 - n2 = n2 (4n + 1) et nous avons : b2 - a 2 = m - d2 . Exer cice 2: Le nombre donné N = n(n4 - 1) s'écrit N = n(n2 + 1)(n2 - 1) = n(n2 + 1)(n- 1)(n + 1) En conséquence : (on raisonne par disjonction de cas) si n est multiple de 5 alors il en est de même pour N ; si n º 1 (5) alors (n- 1) º 0 (5) et N º 0 (5) si n º 4 (5) alors (n+ 1) º 0 (5) et N º 0 (5) si n º 2 (5) alors (n²+ 1) º 5 º 0 (5) et N º 0 (5) si n º 3 (5) alors (n²+ 1) º 10 º 0 (5) et N º 0 (5) Dans tous les cas, l'un des facteurs de n(n2 + 1)(n2 - 1) est un multiple de 5, donc N est un multiple de 5. 2. Montrons que la différence n p - n p + 4 est un multiple de 10. Nous avons : n p - n p + 4 = n p (n4 - 1) soit n p - n p + 4 = n p -1 N. Or les entiers n et n2 + 1 sont de parité différente. Donc N, qui renferme un facteur pair, est lui­même pair. Le nombre N est divisible par 5 et par 2, donc divisible par 10. n p - n p + 4 est aussi divisible par 10. Il en résulte que n p et n p + 4 se ter minent par le même chiffr e des unités. Exer cice 3: 1. Nous avons d'abord a 3 - a = a (a + 1)(a - 1) et donc a 3 - a est le produit de trois entiers consécutifs. Donc, parmi eux, il y a toujours un multiple de 3. 2. Donc, quels que soient x, y et z : x3 - x ; y3 - y et z3 - z sont divisibles par 3 et, par conséquent : (x3 -x) + (y3 - y) + (z3 - z) est divisible par 3. Mais la somme de ces trois nombres s'écrit aussi (x3 + y3 + z3 ) - (x + y + z). Pour tous x, y et z, nous avons (x3 + y3 + z3 ) - (x + y + z) divisible par 3. Donc si (x3 + y3 + z3 ) est divisible par 3 alor s x + y + z est divisible par 3. 3. Raisonnons par l'absurde en supposant que (x3 + y3 + z3 ) soit divisible par 9, donc par 3, et qu'aucun des nombres x, y et z ne soit divisible par 3. Nous avons alors : x = 3k + 1 ou x = 3k + 2 avec k entier relatif, y = 3h + 1 ou y = 3h + 2 avec h entier relatif,
Enoncés et corrigés consultables sur http://sites.estvideo.net/evariste/ ou sur http://didierroth.free.fr/ 2005/2006 22/11/2005 z = 3m + 1 ou z = 3m + 2 avec m entier relatif. Ceci traduit le fait que, par exemple, si x n'est pas divisible par 3, les restes possibles de la division de x par 3 sont 1 ou 2, de même pour y et z. Alors : x3 = 27k3 + 27k2 + 9k + 1 ou x3 = 27k3 + 54k2 + 36k + 8 y3 = 27h3 + 27h2 + 9h + 1 ou x3 = 27h3 + 54h2 + 36h + 8 z3 = 27m3 + 27m2 + 9m + 1 ou x3 = 27m3 + 54m2 + 36m + 8. x3 + y3 + z3 n'est pas un multiple de 9 dans chacun des cas possibles, ce qui est contradictoire avec l'hypothèse. Exer cice 4: 1. 319 est divisible par 11 et 319 = 11
´ 29 avec 29 nombre premier. 2. Soit d un diviseur commun à 3x + 5y et x + 2y. Nous pouvons écrire : x = 2(3x + 5y) - 5(x + 2y) et y = 3(x + 2y) - (3x + 5y). Ce qui montre que d divise aussi x et y. Puisque ces deux nombres sont premiers entre eux, d = 1 ou d = - 1, ce qu'il fallait démontrer. 3. Soit d le PGCD de a et b. Or a et b sont positifs, nous avons ab = md et par suite d = 2. Soit a' tel que a = 2a' et b' tel que b = 2b' . La première condition s'écrit alors : (3a' + 5b' )(a' + 2b' ) = 319. Comme a’ et b’ sont premiers entre eux, il en est de même pour 3a' + 5b' et a' + 2b' . Comme 3a' + 5b' > a' + 2b' > 1, ì3a ' + 5 b ' = 29 nous en déduisons, à l'aide de 1., que
í
î a ' + 2 b ' = 11. Ce système admet pour solutions a' = 3 et b' = 4. Le couple (6 ; 8) convient.
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