Introduction à la logique

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Vincennes-Saint-Denis UFR 6 – MITSIC
Mathématiques, Informatique, Technologies, Sciences de l’Information et de la Communication
Introduction à la logique
Philippe Guillot
23 septembre 2016
Licence de Mathématiques

Sommaire 3
Sommaire
Introduction ............................................................... 5
Chapitre I. Le calcul des propositions ..................................... 6
§1.Propositions ........................................................ 6
§2. Propositions simples, propositions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§3.Connecteurslogiques ................................................. 7
Chapitre II. Le langage des formules propositionnelles ....................... 12
§1. Formule bien construite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§2. L’arbre syntaxique d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
§3. Interprétation et évaluation d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
§4. Notation polonaise pr´efixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chapitre III. Tautologies et contradictions .................................. 16
§1.Définitions ......................................................... 16
§2. Définition des principaux connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§3.Méthodesémantique .................................................. 17
§4.Méthodesyntaxique .................................................. 18
§5. Quelques tautologies usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chapitre IV. Raisonnements et inférences ................................... 21
§1. Ensemble consistant de formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
§2. Inférences et déductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
§3.Règlesd’inférence .................................................... 24
Chapitre V. Formes normales ............................................. 25
§1.Fonctionbooléenne ................................................... 25
§2. Forme normale disjonctive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§3.Méthodedesarbres ................................................... 26
§4. Applications de la méthode des arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Chapitre VI. Déduction naturelle .......................................... 30
§1.Introduction ........................................................ 30
§2.Troisrèglesdebase ................................................... 31
§3. Traitement des connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
§4.Exemples .......................................................... 34

4Sommaire
Chapitre VII. Prédicats ................................................... 36
§1. Les limites du calcul des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
§2.Prédicat ........................................................... 36
§3. Les prédicats unaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Chapitre VIII. Le langage des prédicats ...................................... 39
§1. La grammaire du langage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
§2. Portée, variable libre, variable muette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Chapitre IX. Interprétation, validité ........................................ 42
§1.Interprétation ....................................................... 42
§2. Vérité d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
§3.Formulesvalides ..................................................... 44
§4. Équivalences classiques en calcul des prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Chapitre X. Méthode des arbres en calcul des prédicats ...................... 47
§1. Règles de développement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
§2.Exemples .......................................................... 48
§3. Tester la validité d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§4. Vérifier la validité d’un raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§5. Complément : une formule qui n’admet aucun modèle fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Chapitre XI. Déduction naturelle en langage des prédicats .................... 53
§1. Règle sur ∀......................................................... 53
§2. Règle sur ∃......................................................... 54
§3.Exemples .......................................................... 55
Index alphabétique ......................................................... 57
Bibliographie .............................................................. 59
Annexe 1 ................................................................. 60
Annexe 2 ................................................................. 63

Introduction 5
Introduction
La logique est l’étude des procédés qui conduisent de façon irréfutable à des énoncés vrais. Elle
a pour objet la recherche de la vérité au moyen de raisonnements et de déductions. On souhaite
éliminer l’intuition, le jugement, l’appréciation, la confusion, l’ambiguïté, de telle sorte que la
conclusion s’impose à tous et que personne ne puisse la réfuter.
Elle est l’un des éléments de l’argumentation. Les autres éléments sont la persuasion – qui fait
appel aux sentiments – et la conviction qui invoque la raison, mais sans utiliser la logique (« Il faut
arrêter de fumer, car cela nuit à la santé »).
La logique est née dans la Grèce antique. Son principal auteur est Aristote (−384,−322), disciple
de Platon, qui en a élaboré les fondements dans les livres III et IV de son ouvrage L’Oragon, dans
le cadre de l’analyse du langage et en opposition à la rhétorique, pour dénoncer les sophismes, ces
raisonnements fallacieux exprimés en termes convaincants.
La logique a besoin de développer son propre langage. La langue naturelle est trop riche. Elle
permet d’exprimer des appréciations et des sentiments. Il a fallu restreindre la langue naturelle et
la rendre formelle, en particulier pour lever les ambiguïtés.
La langue formelle permet d’exprimer clairement la validité d’une déduction de manière irréfutable.
En contre-partie elle est appauvrie. Elle ne permet pas d’exprimer toutes les subtilités de la langue
naturelle. La psychologie est éliminée. De plus, la langue formelle n’est pas réflexive, elle n’est pas
assez riche pour traiter d’elle-même. Les paradoxes sont souvent dus à l’auto référence, c’est-à-dire
un énoncé qui a lui même pour objet. La phrase « Je suis fausse » est-elle vraie? est-elle fausse ?
La langue naturelle, elle, est réflexive. La linguistique par exemple, est un discours sur la langue
naturelle exprimé dans la langue naturelle.
Mais la langue formelle est lourde et impraticable. On utilise en pratique la langue naturelle dans
son acceptation logique qui permet de concilier élégance et rigueur.
Terminons cette courte introduction en parcourant quelques domaines qui utilisent la logique.
– En mathématiques, la logique s’inscrit dans les fondements et décrit la façon de mener des
déductions rigoureuses.
– En informatique, le calcul binaire manipule les symboles 0 et 1. Il est issu du calcul des
propositions qui manipule également deux valeurs « vrai » et « faux ».
Les bases de données utilisent des énoncés logiques comme clé d’accès.
La logique a été présentée comme l’étude des « lois de la pensée » (Georges Boole,1815-1864) et
est particulièrement présente en intelligence artificielle. Un langage de programmation, le Prolog
(Programmation logique) est spécialement dédié à la manipulation d’énoncés logiques.
– En linguistique, la logique est utilisée pour extraire le sens du discours et étudier son lien avec
la façon dont les phrases sont construites.
– La logique est une composante à part entière de la philosophie dont un des objets est
construction du vrai.
– Dans le domaine du droit, un jugement est une décision de ce qui est considéré comme une
vérité juridique. La construction de cette vérité s’appuie sur une construction logique. Dans un
jugement comme dans un théorème mathématique, la conclusion doit s’imposer à tous.
– La logique est finalement une arme quotidienne du citoyen qui lui permet de défendre son point
de vue avec rigueur et de démasquer les sophismes que nous assènent les discours démagogiques
et publicitaires.

6Le calcul des propositions
I – LE CALCUL DES PROPOSITIONS
§ I.1 Propositions
La notion de proposition est une notion primitive, qui n’est pas définie de façon formelle.
Définition I.1 [Proposition]
Une proposition est une phrase dont on peut dire sans ambiguïté qu’elle est soit vraie soit
fausse.
La qualité d’être « vraie » ou « fausse » s’appelle la valeur de vérité de la proposition.
Exemples : Les énonces suivants sont des propositions.
– « Il pleut. »
– « 1 + 1 = 3. »
– « Pierre est un imbécile. »
On ne s’intéresse pas à la véritable valeur, qui d’ailleurs est parfois impossible à déterminer. Savoir
si Pierre est ou non un imbécile est une question d’appréciation et de jugement. On s’intéresse
seulement au fait qu’on peut attribuer l’une ou l’autre valeur, même si on ne sait pas exactement
laquelle des deux valeurs attribuer.
Par contre, les phrases suivantes ne sont pas des propositions, car il est impossible de dire si elles
sont vraies ou fausses. Elles sont éliminées du discours de la logique:
– « Va-t’en ! » et en général toutes les injonctions impératives.
– « Aimez-vous Brahms ? » et en général toutes les questions.
– « Je suis une phrase fausse ». Cette phrase auto-référente porte en elle sa propre contradiction.
§ I.2 Propositions simples, propositions composées
Une proposition est dite simple, si on ne peut pas la décomposer, c’est-à-dire si on ne peut pas
trouver une partie stricte qui soit vraie ou fausse.
Par exemple, la proposition « Pierre et Marie s’aiment » comprend deux sous-énoncés :
– « Pierre aime Marie » et
– « Marie aime Pierre »
Ces deux sous-énoncés ne sont plus décomposables en sous-énoncés. Ce sont des propositions
simples.
La valeur de vérité d’une proposition complexe obéit au principe suivant :
Proposition I.2 [Principe de composition]
La valeur de vérité d’une proposition composée ne dépend que des valeurs de vérité des
propositions simples qui la composent.
La proposition « Pierre et Marie s’aiment » est vraie si à la fois Pierre aime effectivement Marie,
et Marie aime effectivement Pierre. Elle est fausse dans tous les autres cas.
Les principes suivant de la logique ont été introduits par Aristote (384 -322 avant J.C.) et seront
admis dans cette introduction.
–Principe du tiers exclus : une proposition est soit vraie, soit fausse. Il n’y a pas de troisième
choix possible.
–Principe de non-contradiction : une proposition ne peut pas être vraie et fausse à la fois. Si
elle est vraie, alors elle n’est pas fausse et si elle est fausse, alors elle n’est pas vraie.