Introduction à la logique

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q
q
PARIS 8 UN I V E R S I T É
Vincennes-Saint-Denis
UFR 6 – MITSIC
Mathématiques, Informatique, Technologies, Sciences de l’Information et de la Communication
Introduction à la logique
Philippe Guillot
23 septembre 2016
Licence de Mathématiques
Sommaire
3
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Chapitre I.
Le calcul des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
§ 1. Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2. Propositions simples, propositions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3. Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
Sommaire
Chapitre II.
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
Le langage des formules propositionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Formule bien construite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’arbre syntaxique d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interprétation et évaluation d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notation polonaise préfixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
13
13
14
Chapitre III.
§
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
5.
Tautologies et contradictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Définition des principaux connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthode sémantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthode syntaxique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quelques tautologies usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
17
17
18
19
Chapitre IV.
Raisonnements et inférences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
§ 1. Ensemble consistant de formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2. Inférences et déductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3. Règles d’inférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
22
24
Chapitre V.
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
Formes normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Fonction booléenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forme normale disjonctive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthode des arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Applications de la méthode des arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
25
26
28
Chapitre VI.
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
Déduction naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trois règles de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Traitement des connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
31
31
34
4
Sommaire
Chapitre VII. Prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
§ 1. Les limites du calcul des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2. Prédicat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3. Les prédicats unaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
36
37
Chapitre VIII. Le langage des prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
§ 1. La grammaire du langage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2. Portée, variable libre, variable muette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
40
Chapitre IX.
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
Interprétation, validité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vérité d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formules valides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Équivalences classiques en calcul des prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
43
44
44
Chapitre X.
§
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
5.
Méthode des arbres en calcul des prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Règles de développement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tester la validité d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vérifier la validité d’un raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Complément : une formule qui n’admet aucun modèle fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
48
49
51
51
Chapitre XI.
Déduction naturelle en langage des prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
§ 1. Règle sur ∀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2. Règle sur ∃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
54
55
Index alphabétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Annexe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Annexe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Introduction
Introduction
La logique est l’étude des procédés qui conduisent de façon irréfutable à des énoncés vrais. Elle
a pour objet la recherche de la vérité au moyen de raisonnements et de déductions. On souhaite
éliminer l’intuition, le jugement, l’appréciation, la confusion, l’ambiguïté, de telle sorte que la
conclusion s’impose à tous et que personne ne puisse la réfuter.
Elle est l’un des éléments de l’argumentation. Les autres éléments sont la persuasion – qui fait
appel aux sentiments – et la conviction qui invoque la raison, mais sans utiliser la logique (« Il faut
arrêter de fumer, car cela nuit à la santé »).
La logique est née dans la Grèce antique. Son principal auteur est Aristote (−384, −322), disciple
de Platon, qui en a élaboré les fondements dans les livres III et IV de son ouvrage L’Oragon, dans
le cadre de l’analyse du langage et en opposition à la rhétorique, pour dénoncer les sophismes, ces
raisonnements fallacieux exprimés en termes convaincants.
La logique a besoin de développer son propre langage. La langue naturelle est trop riche. Elle
permet d’exprimer des appréciations et des sentiments. Il a fallu restreindre la langue naturelle et
la rendre formelle, en particulier pour lever les ambiguïtés.
La langue formelle permet d’exprimer clairement la validité d’une déduction de manière irréfutable.
En contre-partie elle est appauvrie. Elle ne permet pas d’exprimer toutes les subtilités de la langue
naturelle. La psychologie est éliminée. De plus, la langue formelle n’est pas réflexive, elle n’est pas
assez riche pour traiter d’elle-même. Les paradoxes sont souvent dus à l’auto référence, c’est-à-dire
un énoncé qui a lui même pour objet. La phrase « Je suis fausse » est-elle vraie ? est-elle fausse ?
La langue naturelle, elle, est réflexive. La linguistique par exemple, est un discours sur la langue
naturelle exprimé dans la langue naturelle.
Mais la langue formelle est lourde et impraticable. On utilise en pratique la langue naturelle dans
son acceptation logique qui permet de concilier élégance et rigueur.
Terminons cette courte introduction en parcourant quelques domaines qui utilisent la logique.
– En mathématiques, la logique s’inscrit dans les fondements et décrit la façon de mener des
déductions rigoureuses.
– En informatique, le calcul binaire manipule les symboles 0 et 1. Il est issu du calcul des
propositions qui manipule également deux valeurs « vrai » et « faux ».
Les bases de données utilisent des énoncés logiques comme clé d’accès.
La logique a été présentée comme l’étude des « lois de la pensée » (Georges Boole, 1815-1864) et
est particulièrement présente en intelligence artificielle. Un langage de programmation, le Prolog
(Programmation logique) est spécialement dédié à la manipulation d’énoncés logiques.
– En linguistique, la logique est utilisée pour extraire le sens du discours et étudier son lien avec
la façon dont les phrases sont construites.
– La logique est une composante à part entière de la philosophie dont un des objets est
construction du vrai.
– Dans le domaine du droit, un jugement est une décision de ce qui est considéré comme une
vérité juridique. La construction de cette vérité s’appuie sur une construction logique. Dans un
jugement comme dans un théorème mathématique, la conclusion doit s’imposer à tous.
– La logique est finalement une arme quotidienne du citoyen qui lui permet de défendre son point
de vue avec rigueur et de démasquer les sophismes que nous assènent les discours démagogiques
et publicitaires.
5
6
Le calcul des propositions
I – LE CALCUL DES PROPOSITIONS
§ I.1
Propositions
La notion de proposition est une notion primitive, qui n’est pas définie de façon formelle.
Définition I.1 [Proposition]
Une proposition est une phrase dont on peut dire sans ambiguïté qu’elle est soit vraie soit
fausse.
La qualité d’être « vraie » ou « fausse » s’appelle la valeur de vérité de la proposition.
Exemples : Les énonces suivants sont des propositions.
– « Il pleut. »
– « 1 + 1 = 3. »
– « Pierre est un imbécile. »
On ne s’intéresse pas à la véritable valeur, qui d’ailleurs est parfois impossible à déterminer. Savoir
si Pierre est ou non un imbécile est une question d’appréciation et de jugement. On s’intéresse
seulement au fait qu’on peut attribuer l’une ou l’autre valeur, même si on ne sait pas exactement
laquelle des deux valeurs attribuer.
Par contre, les phrases suivantes ne sont pas des propositions, car il est impossible de dire si elles
sont vraies ou fausses. Elles sont éliminées du discours de la logique :
– « Va-t’en ! » et en général toutes les injonctions impératives.
– « Aimez-vous Brahms ? » et en général toutes les questions.
– « Je suis une phrase fausse ». Cette phrase auto-référente porte en elle sa propre contradiction.
§ I.2
Propositions simples, propositions composées
Une proposition est dite simple, si on ne peut pas la décomposer, c’est-à-dire si on ne peut pas
trouver une partie stricte qui soit vraie ou fausse.
Par exemple, la proposition « Pierre et Marie s’aiment » comprend deux sous-énoncés :
– « Pierre aime Marie » et
– « Marie aime Pierre »
Ces deux sous-énoncés ne sont plus décomposables en sous-énoncés. Ce sont des propositions
simples.
La valeur de vérité d’une proposition complexe obéit au principe suivant :
Proposition I.2
[Principe de composition]
La valeur de vérité d’une proposition composée ne dépend que des valeurs de vérité des
propositions simples qui la composent.
La proposition « Pierre et Marie s’aiment » est vraie si à la fois Pierre aime effectivement Marie,
et Marie aime effectivement Pierre. Elle est fausse dans tous les autres cas.
Les principes suivant de la logique ont été introduits par Aristote (384 - 322 avant J.C.) et seront
admis dans cette introduction.
– Principe du tiers exclus : une proposition est soit vraie, soit fausse. Il n’y a pas de troisième
choix possible.
– Principe de non-contradiction : une proposition ne peut pas être vraie et fausse à la fois. Si
elle est vraie, alors elle n’est pas fausse et si elle est fausse, alors elle n’est pas vraie.
§ I.3
§ I.3
Connecteurs logiques
Connecteurs logiques
Les connecteurs logiques sont les opérations qui permettent de construire de nouvelles propositions
composées à partir de propositions simples.
Les connecteurs sont définis par une table qui donne la valeur de la proposition composée selon les
valeurs possibles des propositions simples qui la composent. La table qui définit les valeurs d’un
connecteur s’appelle une table de vérité.
I.3.1.
Négation
Ce connecteur unaire échange la valeur de vérité. La négation d’une proposition vraie est fausse,
la négation d’une proposition fausse est vraie. Ce connecteur se note ¬.
p ¬p ¬¬p
v
f
v
f
v
f
r
Le symbole p désigne n’importe quelle proposition simple ou composée. Remarquer que ¬¬p
est une proposition composée qui a la même valeur que la proposition p.
La négation de « il pleut » est « il ne pleut pas ». Dans la langue naturelle, la négation s’exprime
par la forme négative ne . . . pas, ou bien en préfixant l’énoncé par « il est faux que . . . »
I.3.2.
Conjonction
La conjonction est le connecteur « et » et se note ∧. La proposition p ∧ q est vraie lorsque p et
q sont toutes les deux vraies, et fausse dans le cas contraire. La conjonction s’exprime aussi en
langue naturelle par « mais », « bien que ».
« Il est parti malgré le froid mais il a oublié ses gants. »
p q p∧q
v v
v
v f
f
f v
f
f f
f
Commutativité : La proposition p ∧ q a la même valeur que la proposition q ∧ p.
I.3.3.
Disjonction
La disjonction est le connecteur « ou » et se note ∨. La proposition p ∨ q est vraie si l’une ou l’autre
des propositions p ou q est vraie, et est fausse si les deux propositions p et q sont fausses.
p q p∨q
v v
v
v f
v
f v
v
f f
f
Exemple. Vous rencontrez quelqu’un à une soirée et vous savez qu’il déteste marcher sous la pluie.
Le « ou » de la phrase suivante correspond à une disjonction :
« Il ne pleut pas ou il a pris son parapluie. »
7
8
Le calcul des propositions
q
qqAA
Parfois la disjonction s’exprime par un « et » dans la langue naturelle : « Réduction aux
étudiants et aux chômeurs. La réduction s’applique si l’on est un étudiant ou si l’on est
un chômeur.
Commutativité : La proposition p ∨ q a la même valeur que la proposition q ∨ p.
La disjonction est rare en langue naturelle.
Une personne vient d’apprendre que le femme de son ami logicien vient d’accoucher.
« - alors, c’est un garçon ou une fille ? » demande-t-il.
« - oui. » répond son ami logicien.
I.3.4.
Ou exclusif
Le « ou » de la langue naturelle correspond le plus souvent au ou exclusif de la logique. Ce dernier
se note ⊕. La proposition p ⊕ q est vraie si l’une des deux propositions p ou q est vraie, mais pas
les deux : « fromage ou dessert ».
p q p⊕q
v v
f
v f
v
f v
v
f f
f
Dans la langue naturelle, le ou exclusif s’exprime parfois par la locution « soit. . . soit. . . » ou encore
par « . . . sauf si. . . » : soit fromage, soit dessert, fromage sauf si dessert.
Le phrase « Je prendrai mon parapluie, sauf s’il y a du soleil. » est vraie s’il je prend mon parapluie
et qu’il n’y a pas de soleil, ou encore si je ne prends pas mon parapluie et qu’il y a du soleil. Elle
est fausse dans les autres cas.
Commutativité : La proposition p ⊕ q a la même valeur que la proposition q ⊕ p.
I.3.5.
Implication logique
L’implication logique est un connecteur logique, noté ⇒ défini par :
Définition I.3 [implication logique]
la formule p ⇒ q a la même valeur que la formule ¬p ∨ q.
p q ¬p p ⇒ q
v v
f
v f
f
f v
v
f f
v
L’implication logique p ⇒ q s’exprime dans la langue mathématique par :
–
–
–
–
–
« p implique q »
« si p alors q »
« p seulement si q »
« p est suffisant pour q »
« q est nécessaire pour p »
« Être divisible par 6 implique être pair »
« Si un nombre est divisible par 6, alors il est pair »
« Un nombre est divisible par 6 seulement s’il est pair »
« Être divisible par 6 est suffisant être pair »
« Être pair est nécessaire pour être divisible par 6 »
La proposition
« S’il pleut, alors Jean reste à la maison »
§ I.3
Connecteurs logiques
est fausse si Jean sort sous la pluie, et est vraie dans les autres cas, c’est-à-dire
– s’il ne pleut pas
– s’il pleut et si Jean reste à la maison.
q
qqAA
L’implication logique ⇒ est un connecteur entre deux propositions. Il ne signifie pas forcément
un lien de causalité entre les propositions qu’il connecte.
La causalité peut exister :
« S’il pleut alors le sol est mouillé »
La causalité peut s’exprimer par d’autre locutions que si . . . alors . . . .
« Jean boit toujours du vin avec son fromage »
Mais elle peut aussi être inversée :
« Si Thomas a gagné à la loterie, alors c’est qu’il a joué. »
Les deux assertions peuvent avoir une cause commune et sans lien de causalité entre elles :
« Si les feuilles des arbres commencent à tomber, alors je branche mon
chauffage »
Parfois, il peut n’y avoir aucun lien de causalité :
« Si 2 + 2 = 5 alors Paris est la capitale de l’Italie. »
L’implication peut être utilisée pour appuyer un avis :
« Si Michel chante bien, alors je veux être pendu ! »
q
qqAA
Une phrase qui commence par la conjonction si. . . peut ne pas correspondre à une implication.
À quel connecteur correspond-elle dans les énoncés suivants ?
« Si les mathématiques sont une science, elles ne sont ni un art, ni un
jeu »
« Si tu as soif, il y a une bière dans le frigo »
I.3.6.
Contraposée et réciproque
Définition I.4 [contraposée]
La contraposée de l’implication p ⇒ q est l’implication ¬q ⇒ ¬p.
Considérons l’implication suivante :
« Si Pierre vient à la soirée, alors il ne restera pas de vin »
Sa contraposée est :
« S’il reste du vin, alors Pierre n’est pas venu à la soirée »
(*)
9
10
Le calcul des propositions
Définition I.5 [réciproque]
La réciproque de l’implication p ⇒ q est l’implication q ⇒ p.
La réciproque de l’implication (*) ci-dessus est :
« S’il ne reste pas de vin, alors Pierre est venu à la soirée »
p q p ⇒ q ¬p ¬q ¬q ⇒ ¬p q ⇒ p
v v
v f
f v
f f
L’examen de la table ci-dessus permet d’énoncer :
Proposition I.6
[propriété de la contraposée]
Une implication a toujours la même valeur que sa contraposée.
q
qqAA
L’examen de la table montre aussi qu’une implication n’a pas toujours la même valeur que
sa réciproque. L’opérateur ⇒ n’est pas commutatif.
I.3.7.
Équivalence logique
L’équivalence logique se note ⇔.
h
i
Définition I.7 Équivalence logique
La proposition p ⇔ q a la même valeur que la conjonction :
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
En langue naturelle, l’équivalence p ⇔ q correspond à « p équivaut à q ». En langage mathématique,
cela se dit souvent « p si et seulement si q ».
p q p ⇒ q q ⇒ p p ⇔ q p ∨ q p ∧ q (p ∨ q) ⇒ (p ∧ q)
v v
v
v
v
v f
f v
f
v
v
f
f
f
f f
v
v
v
r
L’équivalence p ⇔ q est vraie lorsque p et q ont la même valeur de vérité, et est fausse dans
le cas contraire. Finalement, l’équivalence p ⇔ q a la même valeur que ¬(p ⊕ q).
Commutativité : La proposition p ⇔ q a la même valeur que la proposition q ⇔ p.
§ I.3
I.3.8.
Connecteurs logiques
Barre de Sheffer
La barre de Sheffer (Henry Maurice Sheffer, 1882 - 1964 ) se note ↑. Il correspond au connecteur
« non. . . et. . . », que les électroniciens nomment porte nand. Par définition, p ↑ q a la même valeur
que ¬(p ∧ q).
p q p∧q p↑q
v v
v
f
v f
f
v
f v
f
v
f f
f
v
La proposition p ↑ q est vraie lorsque p et q ne sont pas simultanément vraies, et faux dans le
cas contraire. Ce connecteur exprime que les propositions qu’il connecte sont incompatibles. Pour
cette raison, ce connecteur s’appelle aussi connecteur d’incompatibilité.
r
Tous les autres connecteurs binaires peuvent s’exprimer à l’aide de la barre de Sheffer, par
exemple :
• ¬p a la même valeur que p ↑ p.
• p ∧ q a la même valeur que (p ↑ q) ↑ (p ↑ q).
11
12
Le langage des formules propositionnelles
II – LE LANGAGE DES FORMULES PROPOSITIONNELLES
Dans cette section, on décrit le langage formel du calcul des propositions. Ce formalisme permet
un traitement automatique et élimine toute ambiguïté.
Comme tout langage, celui des formules propositionnelles comprend deux aspects :
– L’aspect syntaxique correspond à la façon de bien construire les formules de ce langage, et de
reconnaître les formules bien construites.
– L’aspect sémantique décrit sa signification. La signification d’une formule renvoie à une
interprétation qui permet d’établir si elle est vraie ou fausse.
§ II.1
Formule bien construite
Le langage des propositions dispose de symboles qui constituent son alphabet. Celui-ci comprend :
– des symboles p, q, r, s, etc. qui représentent des propositions simples.
– des symboles v (ou >) et f (ou ⊥) qui représentent les constantes « vrai » et « faux ».
– les symboles des connecteurs logiques ¬, ∧, ∨, ⊕, ⇒, ⇔, ↑.
– les parenthèses ouvrante « ( » et fermante « ) ».
Cet alphabet constitue l’ensemble des symboles terminaux du langage des propositions.
Une formule du langage des propositions est un mot construit à l’aide de cet alphabet. Mais toutes
les combinaisons ne sont pas permises. Pour décrire ce qu’est une formule bien construite, on utilise
une grammaire qui décrit les règles de construction de formules correctes.
Pour décrire la grammaire, on utilise un symbole non terminal F qui représente une formule en
cours de construction. Les règles de construction d’une formule décrivent comment la construire.
Pour le traitement automatique, les règles se transcrivent facilement en programme de traitement.
Règle 1. Une formule peut être une variable de proposition simple ou une constante v ou f .
Cette règle se note F −→ p | q | r | s | v | f . Cela signifie que la formule en cours de construction
1
F peut être une proposition simple représenté par un symbole p, q, r ou s, ou bien encore une
constante « vrai » ou « faux ».
Règle 2. Une formule peut être la négation d’une formule.
Cette règle se note F −→ ¬F. Elle signifie qu’une formule peut être obtenue à partir d’une autre
2
formule en ajoutant le symbole ¬ pour signifier la négation de la formule F.
La formule ¬p s’obtient en appliquant successivement ces deux règles par la dérivation :
F −→ ¬F −→ ¬p
2
1
La première flèche est une dérivation qui utilise la règle 2, et la deuxième flèche est une dérivation
qui utilise la règle 1.
Voici un autre exemple de dérivation pour la construction de la formule ¬¬p.
F −→ ¬F −→ ¬¬F −→ ¬¬p
2
2
1
Règle 3. Une formule peut être la connexion de deux formules.
Cette règle se note F −→ ( F op F ), où op représente n’importe quel connecteur logique binaire,
3
∧, ∨,⊕, ⇒, ⇔ ou ↑.
Ce langage s’appelle un langage infixe car on note le connecteur entre les deux formules qu’il
connecte. Ces deux formules sont les opérandes du connecteur.
La formule (p ∧ q) s’obtient par la dérivation suivante :
F −→ (F ∧ F) −→ (p ∧ F) −→ (p ∧ q)
3
1
1
§ II.2
L’arbre syntaxique d’une formule
Une formule est bien construite si elle peut s’obtenir à partir du symbole F par une succession
d’applications de ces trois règles de ré-écriture.
La formule (¬(p ∨ q) ⇒ r) est bien construite.
Par contre, la formule p ⇒ q ⇒ r n’est pas bien construite. D’ailleurs elle est ambiguê. Elle
pourrait signifier (p ⇒ q) ⇒ r ou p ⇒ (q ⇒ r) selon qu’on décide d’appliquer l’une ou l’autre des
implications en priorité.
r
Les parenthèses sont nécessaires autour d’un connecteur binaire pour lever toute ambiguïté
concernant l’ordre d’application des connecteurs.
§ II.2
L’arbre syntaxique d’une formule
L’application de chacune des règles de construction d’une formule peut se représenter par un arbre,
appelé arbre syntaxique de la formule. Le point de départ de la construction de l’arbre est l’unique
symbole non terminal F.
Règle 1. La réécriture F −→ p se représente en remplaçant le symbole F, présent dans un arbre
1
en cours de construction, par la feuille
p.
Règle 2. La réécriture F −→ ¬F se représente en remplaçant le symbole F, présent dans un arbre
2
¬
en cours de construction, par la branche
Règle 3. La réécriture F −→ F ⊕ F, par exemple, se représente en remplaçant le symbole F,
3
⊕
présent dans un arbre en cours de construction, par le sous-arbre
@
Une formule bien construite peut ainsi toujours se représenter par un arbre, en remplaçant
successivement le symbole non terminal F par le sous-arbre qui correspond à la règle de dérivation
qui a conduit à cette formule.
La formule :
¬r ∧ (p ⇔ q)
(1)
est construite par la dérivation suivante :
F −→ (F ∧ F) −→ (F ∧ (F ⇔ F)) −→ (¬F ∧ (F ⇔ F))
3
3
2
−→ (¬r ∧ (F ⇔ F)) −→ (¬r ∧ (p ⇔ F)) −→ (¬r ∧ (p ⇔ q))
1
1
1
En appliquant la réécriture par des arbres, en partant de l’unique symbole F, et jusqu’à n’obtenir
que des symboles terminaux, on obtient finalement l’arbre suivant pour cette formule :
∧
@
¬ ⇔
r
p
@
q
Cette représentation montre bien que cette formule est une conjonction, dont les deux termes sont
¬r et p ⇔ q.
§ II.3
Interprétation et évaluation d’une formule
Donner un sens à une formule, c’est donner une signification aux variables qui la composent, et la
signification conduit à leur attribuer une valeur de vérité.
13
14
Le langage des formules propositionnelles
II.3.1.
Interprétation
Une interprétation d’un ensemble de variables est une valeur attribuée à chacune d’elles. Une variable a deux interprétations possibles, « vrai » et « faux ». Deux variables ont quatre interprétations
possibles, trois variables ont huit interprétations possibles, etc.
II.3.2.
Évalutation
Évaluer une formule signifie lui attribuer une valeur « vrai » ou « faux », selon l’interprétation des
variables qui la composent.
Les règles d’évaluation suivent les règles de construction de la formule.
Règle 1. La valeur d’une formule réduite à une proposition simple est celle de la proposition qui
la constitue. La valeur d’une constante est elle-même.
Règle 2. Pour une formule F, la valeur de ¬F est « vrai » si F a pour valeur « faux », et a pour
valeur « faux » si F a pour valeur « vrai ».
Règle 3. La valeur de la formule F1 op F2 est obtenue en appliquant le connecteur op aux valeurs
des formules F1 et F2 .
Exemple. Dans la formule (1), si r a pour valeur v, p a pour valeur v et q a pour valeur f , on
peut attribuer les valeurs suivantes dans son arbre :
∧(f )
@
¬(f )
⇔ (f )
@
r (v) p (v) q (f )
Avec ces valeurs pour r, p et q, la valeur de la formule (1) est « faux ».
Exercice. Faire une représentation arborescente de la formule :
¬p ⇒ r ∨ (p ⇔ q) ∧ ¬r
puis l’évaluer avec p = f , q = v et r = f .
§ II.4
Notation polonaise préfixe
La notation polonaise préfixe a été mise au point en 1920 par le philosophe et mathématicien
polonais Jan Lukasiewiecz (1878-1956).
Elle présente l’avantage de ne pas nécessiter de parenthèse pour établir une écriture non ambiguê.
Elle est facilement utilisable pour un traitement automatique sur ordinateur. Elle est également
intuitive pour un utilisateur humain légèrement entraîné et est encore utilisée sur certaines
calculatrices H.P.
Les règles de dérivation sont les suivantes :
Règle 1. Une formule peut être une variable ou une constante : F −→ p | q | r | v | f | · · ·
1
Règle 2. Une formule peut être une négation : F −→ ¬F.
2
Règle 3. Une formule peut être une formule composée par un connecteur op : F −→ op F F
3
Les deux première règles sont identique à celles l’écriture infixe usuelle, mais pour écrire une formule
composée en notation polonaise préfixe, on note d’abord le connecteur, suivi des deux opérandes
du connecteur. Cette façon de faire permet de se passer des parenthèses.
Considérons la formule en notation polonaise préfixe :
§ II.4
Notation polonaise préfixe
⇔ ¬ ∨ p q ∧ ¬p ¬q
Elle a été obtenue par la succession de règle suivante :
F −→ ⇔ F F −→ ⇔ ¬F F −→ ⇔ ¬ ∨ F F F −→ ⇔ ¬ ∨ F F ∧ F F
3
2
3
3
−→ ⇔ ¬ ∨ F F ∧ ¬F F −→ ⇔ ¬ ∨ F F ∧ ¬F ¬F
2
−→ ⇔ ¬ ∨ p q ∧ ¬p ¬q
2
1
La dernière flèche est une abréviation qui regroupe en fait quatre dérivations de la règle 1 de
réécriture d’une formule en une variable. En appliquant les règle similaires de la notation usuelle
infixe, cette formule se traduit en :
(¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q))
L’arbre de cette formule est :
⇔
HH
¬
∨
p
r
@
q
∧
@
¬ ¬
p
q
L’arbre d’une formule représente la suite des règles qui sont appliquées pour la produire. Il
porte en lui la signification de la formule, indépendamment de la notation utilisée, quelle soit
préfixe ou infixe.
15
16
Tautologies et contradictions
III – TAUTOLOGIES ET CONTRADICTIONS
§ III.1
Définitions
Définition III.1 [Tautologies et contradictions]
Une tautologie est une formule propositionnelle dont la valeur est toujours « vrai », quelles
que soient les valeurs des variables qui la composent.
Une formule dont la valeur est toujours « faux » s’appelle une contradiction.
Exemples. Compléter la table de vérité suivante :
p q p ⇒ q q ⇒ (p ⇒ q) p ⇒ (p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ q)
v v
v f
f v
f f
Si q est vrai, alors tout implique q
Les formules q ⇒ (p ⇒ q) et p ⇒ (p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ q) apparaissent vraies pour toutes les
interprétations des variables qui les composent. Ce sont des tautologies.
Premières tautologies
– Principes d’identité :
– Principe du tiers exclus :
– Principe de non-contradiction :
– Principe de la double négation :
– Idempotence du « et » :
– Idempotence du « ou » :
– v est neutre pour « et » :
– f est neutre pour « ou » :
– v est absorbant pour « ou » :
– f est absorbant pour « et » :
– Commutativité du « et » :
– Commutativité du « ou » :
– Commutativité de l’équivalence :
– Commutativité du « ou exclusif » :
q
qqAA
p ⇒ p et p ⇔ p
p ∨ ¬p
¬(p ∧ ¬p)
p ⇔ ¬¬p
p ⇔ (p ∧ p)
p ⇔ (p ∨ p)
(p ∧ v) ⇔ p
(p ∨ f ) ⇔ p
p∨v
¬(f ∧ p)
(p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)
(p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)
(p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ p)
(p ⊕ q) ⇔ (q ⊕ p)
L’implication n’est pas commutative.
r
La constante v est une tautologie. La constante f est une contradiction. La formule p ⊕ ¬p
est une tautologie. La formule p ∧ ¬p est une contradiction.
Une tautologie est une formule qui est vraie indépendamment des interprétations des variables qui
la composent. Ce sont en quelque sorte des vérités universelles.
Si une formule est toujours vrai alors sa négation est toujours fausse, et réciproquement, ce qui
permet d’énoncer :
§ III.2
Définition des principaux connecteurs
Proposition III.2
Les deux énoncés suivants sont équivalents :
« p est une tautologie »
et
« ¬p est une contradiction »
Par conséquent, toute tautologie permet d’énoncer une contradiction, simplement en la niant. On
ne s’intéressera donc qu’aux tautologies.
q
La proposition III.2 n’est pas un énoncé du langage des proposition, mais un énoncé en langue
qqAA
naturelle qui traite de propriétés du langage des propositions.
§ III.2
Définition des principaux connecteurs
La définition d’un nouveau connecteur énonce une tautologie par équivalence avec une formule
qui ne comprend que des connecteurs définis auparavant. Les propositions ci-après sont donc des
tautologies par définition :
–
–
–
–
Définition
Définition
Définition
Définition
§ III.3
de
de
du
de
l’implication :
l’équivalence
« ou exclusif ».
la barre de Sheffer.
(p ⇒ q) ⇔ (¬p ∨ q)
(p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
(p ⊕ q) ⇔ ¬(p ⇔ q)
(p ↑ q) ⇔ ¬(p ∧ q)
Méthode sémantique
Une première méthode pour montrer qu’une formule est une tautologie est de calculer sa table de
vérité et de vérifier que la valeur est toujours « vrai ».
Cette méthode montre qu’une formule est une tautologie en calculant toutes les valeurs possibles.
Il s’agit d’une méthode sémantique, car elle établit la vérité d’une formule pour toutes les
interprétations possibles des variables.
Par exemple, montrons la première loi de De Morgan qui énonce que
(2)
¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q) est une tautologie
Pour cela, complétons la table de vérité suivante :
p q p ∨ q ¬(p ∨ q) ¬p ¬q ¬p ∧ ¬q
v v
v f
f v
f f
De même, montrons l’associativité de la loi ∨. Pour cela, compléter la table de vérité suivante :
p q r (p ∨ q) (p ∨ q) ∨ r (q ∨ r) p ∨ (q ∨ r)
v v v
v v f
v f v
v f f
f v v
f v f
f f v
f f f
17
18
Tautologies et contradictions
r
Cette méthode peut devenir rapidement impraticable si le nombre de variables devient trop
grand. Ajouter une seule variable multiplie par deux le travail pour effectuer une vérification
complète. Une formule avec n variables de propositions comporte 2n interprétations possibles. 30
variables conduisent à plus d’un milliard d’interprétations. (1 milliard de secondes font environ 31
ans et 8 mois).
Exercices. Montrer, par une méthode sémantique, que les formules
suivantes sont des tautologies
a) associativité de ∧
(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)
b) distributivité de ∨ sur ∧ :
(p ∧ q) ∨ r ⇔ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)
c) distributivité de ∧ sur ∨ :
(p ∨ q) ∧ r ⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)
d) deuxième loi de De Morgan :
¬(p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)
§ III.4
Méthode syntaxique
La vérité d’une tautologie ne dépend pas du contexte ni de l’interprétation des variables qui la
compose. Elle doit apparaître dans la formule elle-même et non pas dans les valeurs particulières
de ses variables.
Par exemple, une formule comme (p ∨ ¬p) est une tautologie du fait même de la définition du
connecteur ∨. Elle est vraie en raison de son écriture même, sans avoir à préjuger d’une signification
pour la variable p.
Les méthodes syntaxiques s’appuient sur l’écriture de la formule pour établir son caractère
tautologique ou contradictoire. Elles reposent sur le principe de substitution, qui est une règle
de ré-écriture.
Proposition III.3 [principe de substitution]
Soient A, B et C trois formules propositionnelles.
Si A ⇔ B est une tautologie et si A apparaît comme une sous-formule de C, alors la formule
obtenue en remplaçant des occurrences de A par B dans la formule C est une formule qui a
la même valeur que C.
Exemple. La définition du connecteur ⇒ stipule que la formule suivante est une tautologie :
(p ⇒ q) ⇔ (¬p ∨ q)
| {z }
| {z }
A
B
La formule ¬(p ⇒ q), est de la forme ¬A. Elle a donc la même valeur que ¬B qui est ¬(¬p ∨ q).
Pour montrer qu’une formule est une tautologie par une méthode syntaxique, on applique le
principe de substitution à cette formule pour en déduire une formule équivalente à « vrai ».
Exemples. 1. Montrons que la formule C, égale à (p∧¬q)∨(¬p∨q) est une tautologie. Remplacer
p par ¬p dans la loi de De Morgan (2) montre que la formule suivante est une tautologie :
(¬p ∨ q) ⇔ ¬(¬¬p ∧ ¬q)
Le principe de double négation ¬¬p ⇔ p permet de remplacer ¬¬p par p dans cette formule et
d’établir que la formule suivante est une tautologie :
(¬p ∨ q) ⇔ ¬(p ∧ ¬q)
Utilisons maintenant la loi de De Morgan pour remplacer (¬p ∨ q) par ¬(p ∧ ¬q) dans la formule
C. Cela montre que C a la même valeur que
(p ∧ ¬q) ∨ ¬(p ∧ ¬q)
§ III.5
Quelques tautologies usuelles
Cette formule est de la forme A ∨ ¬A. Le principe de non contradiction permet de conclure qu’elle
est une tautologie.
2. Montrons que la formule p ⇒ (q ⇒ p) est une tautologie. Pour cela, écrivons des formules
équivalentes par substitution et montons que cette formule vaut v :
– définition de la première implication
¬p ∨ (q ⇒ p)
– définition de la deuxième implication
¬p ∨ (¬q ∨ p)
– commutativité de ∨
¬p ∨ (p ∨ ¬q)
– associativité de ∨
(¬p ∨ p) ∨ ¬q
– principe de non contradiction
(v ∨ ¬q)
– v est absorbant pour ∨
v
3. Montrons le principe de contraposition qui énonce que les formules (p ⇒ q) et (¬q ⇒ ¬p) sont
équivalentes. On procède par substitution à partir de la formule p ⇒ q :
–
–
–
–
(¬p ∨ q)
(q ∨ ¬p)
(¬¬q ∨ ¬p)
(¬q ⇒ ¬p)
définition de l’implication
commutativité du ∨
double négation
définition de l’implication
§ III.5
Quelques tautologies usuelles
Ce paragraphe énonce quelques tautologies classiques. Certaines correspondent aux définitions
des connecteurs et n’ont pas à être démontrées. D’autres peuvent se déduire de tautologies
précédemment établies par une démonstration syntaxique utilisant le principe de substitution.
Un des problèmes de la logique est de définir un ensemble minimal de tautologies admises qui
permet de déduire toutes les autres.
III.5.1.
–
–
–
–
Lois classiques
Double négation
Principes d’identité
Principe du tiers exclus
Principe de non-contradiction
III.5.2.
(p ⇔ p)
Tautologies concernant ∨ et ∧
– Idempotence
– Commutativité
– Associativité
– Distributivité
– Lois de De Morgan
– Élément absorbant
– Élement neutre
III.5.3.
p ⇔ ¬¬p
(p ⇒ p)
(p ∨ ¬p)
¬(p ∧ ¬p)
p ⇔ (p ∧ p)
p ⇔ (p ∨ p)
(p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)
(p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)
(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q)
¬(p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)
(p ∧ q) ⇔ ¬(¬p ∨ ¬q)
(p ∨ q) ⇔ ¬(¬p ∧ ¬q)
(p ∨ v) ⇔ v
(p ∧ f ) ⇔ f
(p ∧ v) ⇔ p
(p ∨ f ) ⇔ p
Définition des principaux connecteurs
– Implication
– Équivalence
– Barre de Sheffer
(p ⇒ q) ⇔ (¬p ∨ q)
(p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
(p ↑ q) ⇔ ¬(p ∧ q)
19
20
Tautologies et contradictions
III.5.4.
–
–
–
–
Tautologies concernant l’implication
Contraposition
Modus ponens
Modus tollens
Réfutation par l’absurde
– Transitivité
III.5.5.
–
–
–
–
(p ⇒ q) ⇔ (¬q
⇒ ¬p)
p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q
¬q ∧ (p ⇒ q) ⇒ ¬p
(p ⇒ ¬p) ⇒ ¬p
(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ ¬q)
⇒ ¬p
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)
Tautologies concernant le ou exclusif
Exclusivité
Commutativité
Associativité
Distributivité de ∧ sur ⊕
¬(p ⊕ p)
(p ⊕ q) ⇔ (q ⊕ p)
(p ⊕ q) ⊕ r ⇔ p ⊕ (q ⊕ r)
p ∧ (q ⊕ r) ⇔ (p ∧ q) ⊕ (p ∧ r)
§ IV.1
Ensemble consistant de formules
IV – RAISONNEMENTS ET INFÉRENCES
Ce paragraphe présente les façons de construire de nouvelles propositions à partir de propositions
qui sont admises. Parmi les objets de la logique, on trouve
– vérifier que les raisonnements sont corrects, sont valides, non fallacieux ;
– proposer un moyen de déduire de nouveaux énoncés vrais à partir d’hypothèses qu’on suppose
vérifiées.
§ IV.1
Ensemble consistant de formules
Considérons les trois témoignages suivants concernant un fait divers au cours duquel un des
protagoniste est coupable d’on ne sait quel méfait :
– Philippe :
– Quentin :
– Roger :
– « Quentin est coupable, Roger n’a rien à voir là dedans. »
– « Si Philippe a fait le coup, alors Roger est innocent. »
– « Je suis innocent, mais l’un des deux autres est coupable. »
Traduisons tout d’abord les trois propositions énoncées dans ces témoignages.
– p : « Philippe est coupable »
– q : « Quentin est coupable »
– r : « Roger est coupable »
Les trois témoignages peuvent s’exprimer à l’aide de formules propositionnelles. Notons P le
témoignage de Philippe, Q celui de Quentin et R celui de Roger. Les informations récoltées
s’expriment par les formules :

 P : q ∧ ¬r
Q : p ⇒ ¬r

R : ¬r ∧ (p ∨ q)
Le problème de l’enquêteur est de trouver un ou plusieurs coupables qui soient compatibles avec
ces trois témoignages.
En d’autres termes, peut-il attribuer une valeur aux trois propositions simples p, q et r de telle
sorte que les trois formules P , Q et R soient vraies ?
Définition IV.1 [Interprétation]
Pour une liste de variables (p1 , . . . pn ) de propositions, une interprétation de ces variables
est une attribution d’une valeur « vrai » ou « faux » à chacune d’elles.
r
La notion d’interprétation permet de reformuler les définitions de tautologie, de contradiction
et de formules équivalentes.
Une tautologie est une formule qui prend la valeur « vrai » pour toute interprétation des variables
qui la composent.
Une contradiction est une formule qui prend la valeur « faux » pour toute interprétation des
variables qui la composent.
Deux formules sont équivalentes si elles prennent la même valeur pour toute interprétation des
variables qui la composent.
Ce que cherche l’enquêteur est finalement une interprétation à ses trois propositions simples qui
désignent un coupable.
Dressons la table de vérité de ces variables :
21
22
Raisonnements et inférences
P
p
q
r
v
v
v
v
v
f
v
f
v
v
f
f
f
v
v
f
v
f
f
f
v
f
f
f
Q
R
q ∧ ¬r p ⇒ ¬r ¬r ∧ (p ∨ q)
On observe que deux des lignes de cette table rendent vrais tous les témoignages. L’inspecteur, s’il
fait confiance aux trois témoignages, ne peut retenir que deux hypothèses :
– Philippe et Quentin sont coupables et Roger est innocent, ou
– Quentin est coupable, Philippe, Roger sont innocents
Cet exemple illustre la définition suivante :
Définition IV.2 [Ensemble consistant de formules]
On dit qu’un ensemble de formules est consistant s’il existe au moins une interprétation qui
donne la valeur « vrai » à toutes les formules ;
Cette définition peut se formuler différemment.
Proposition IV.3
[Propriété caractéristique d’un ensemble consistant de formules]
Dire qu’un ensemble de formule est consistant revient à dire, de manière équivalente, que
leur conjonction n’est pas une contradiction.
Preuve. Dire que leur conjonction n’est pas une contradiction signifie qu’il existe une interprétation
qui ne donne pas la valeur « faux » à cette conjonction, et donc que toutes les formules sont vraies
pour cette interprétation.
Exemple. Considérons les formules (¬p ∧ q) et (p ⇔ q). Compléter la table suivante.
p q (¬p ∧ q) (p ⇔ q) (p ⇔ q) ∧ (¬p ∧ q)
v v
v f
f v
f f
L’ensemble de ces formules est-il consistant ?
§ IV.2
Inférences et déductions
Une inférence est une opération qui consister à tirer une conclusion à partir d’un ensemble de
propositions tenues pour vraies qui sont appelées prémisses.
Une inférence se note ainsi :
§ IV.2
Inférences et déductions
A1 , . . . , A n
| {z }
prémisses
B
|{z}
conclusion
On dit indifféremment :
– B est une conséquence de A1 ,. . . et An
– B se déduit de A1 ,. . . et An ,
– B découle de A1 ,. . . etAn .
– A1 ,. . . et An infèrent B
La question est de savoir quand une telle déduction est valide, et quand elle ne l’est pas.
Définition IV.4 [Inférence valide]
On dit que l’inférence A1 , . . . , An
B est valide si pour toute interprétation qui rend
vraies les prémisses A1 , . . . , An , la formule B est vraie.
On dit également que B est une conséquence valide de A1 ,. . . et An .
Exemples. En reprenant l’exemple de Philippe, Quentin et Roger, on peut affirmer que si les trois
témoignages P , Q et R sont vrais alors Quentin est coupable et Roger est innocent. Les inférences
suivantes sont donc valides :
q
P, Q, R
P, Q, R
¬r
Par contre, l’inférence P, Q, R
p n’est pas valide, car l’interprétation p = faux , q = vrai et
r = faux rend vrai les prémisses, mais fausse la conclusion.
r
Lorsqu’on note A1 , . . . , An
B, sans autre précision, on sous-entend toujours que l’inférence
est valide, et donc que la conclusion B est une conséquence valide des prémisses A1 , . . . , An .
On peut peut étendre la définition des inférences avec un ensemble vide de prémisses.
Définition IV.5 [tautologie]
Dire que l’inférence sans prémisse :
T
est valide signifie que la formule T est une tautologie.
Le théorème qui suit donne une façon simple et générale de vérifier qu’une inférence est valide. Il
permet de vérifier la validité d’un raisonnement à partir d’un calcul sur une formule propositionnelle.
Théorème IV.6 [caractérisation des inférences valides]
Dire que l’inférence A1 , . . . , An
est une tautologie.
B est valide signifie que l’implication (A1 ∧· · ·∧An ) ⇒ B
En d’autres termes, dire qu’une inférence est valide signifie que la conjonction des prémisses
implique toujours la conclusion.
Preuve. Supposons que l’inférence A1 , . . . , An
B est valide et une interprétation quelconque.
Si tous les Ai sont vrais, alors, l’inférence étant valide, B est vrai, et pour la même raison, si l’un
des Ai est faux, alors B est faux. Dans les deux cas, l’implication (A1 ∧ · · · ∧ An ) ⇒ B est vraie.
Réciproquement, si l’implication (A1 ∧ · · · ∧ An ) ⇒ B est une tautologie, alors il n’existe aucune
interprétation qui rend vraie la conjonction A1 ∧ · · · ∧ An et faux B, ce qui signifie par définition
que l’inférence A1 , . . . , An
B est valide.
23
24
Raisonnements et inférences
§ IV.3
Règles d’inférence
IV.3.1.
Modus ponens
Rappelons que la formule suivante est une tautologie :
(p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q.
(3)
On en déduit que l’inférence suivante :
p, (p ⇒ q)
q
est valide.
Cette inférence signifie que si on admet p, et que q découle de p, alors on doit admettre q. Ainsi
la tautologie (3) conduit à une règle d’inférence. Cette règle s’appelle le modus ponens, expression
latine qui signifie le mode qui affirme.
IV.3.2.
Modus tollens
Le formule suivante est également une tautologie :
¬q ∧ (p ⇒ q) ⇒ ¬p
Cette tautologie permet d’établir que l’inférence suivante est valide :
¬q, (p ⇒ q)
¬p.
Cela s’interprète en énonçant que si on réfute q et si q est une conséquence de p, alors on doit
réfuter p. Cela est également intuitif, car en effet, si p était avéré, alors, d’après le modus ponens,
la proposition q le serait aussi, ce qui contredit notre hypothèse. Cette règle d’inférence s’appelle
le modus tollens, expression latine qui signifie le mode qui réfute.
IV.3.3.
Autres inférences
Toute tautologie qui fait intervenir l’implication conduit à une façon de construire une inférence
valide.
Chacune des formules suivante est une tautologie et conduit à une règle d’inférence :
tautologie
(p ⇒ ¬p) ⇒ ¬p
inférence
p ⇒ (q ⇒ p)
¬p ⇒ (p ⇒ q)
(¬p ⇒ p) ⇒ p
(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ ¬q) ⇒ ¬p
(p ⇒ ¬p)
p
¬p
interprétation
¬p
Si p entraîne sa propre négation,
alors il doit être réfuté
(q ⇒ p)
Si p est admis, il découle de tout
(p ⇒ q)
¬p ⇒ p
(p ⇒ q), (p ⇒ ¬q)
Si p est réfuté, il entraîne tout
p
Si p découle de sa propre négation c’est qu’il est vrai.
¬p
Si q et son contraire découlent
de p, alors p doit être réfuté.
§ V.1
Fonction booléenne
V – FORMES NORMALES
§ V.1
Fonction booléenne
Rappelons qu’une variable propositionnelle est une variable qui peut prendre deux valeurs : « vrai »
ou « faux ». En logique, la valeur d’une variable propositionnelle s’appelle une interprétation.
Un ensemble de n variables propositionnelles admet 2n interprétations possibles.
Définition V.1 [Fonction booléenne]
Une fonction booléenne de n variables propositionnelles est un procédé, qui à chacune des
2n interprétations possibles de ces n variables, associe une valeur « vrai » ou « faux ».
Se donner une fonction booléenne de n variables revient à se donner une table de vérité de 2n
valeurs.
Exemple :
p q r ϕ(p, q, r)
v v v
§ V.2
f
v v f
v
v f v
f
v f f
f
f v v
f
f v f
v
f f v
f
f f f
v
Forme normale disjonctive
Étant donnée une formule propositionnelle, on peut dresser sa table de vérité et ainsi définir une
fonction booléenne qui lui correspond. Ce paragraphe répond à la question inverse :
– Existe-t-il une formule propositionnelle qui prend les mêmes valeur qu’une fonction booléenne
donnée ?
– Peut-on réaliser une fonction booléenne avec les connecteurs ∧, ∨ et ¬ ?
La suite du paragraphe répond par l’affirmative à ces deux questions. Cela permet de conclure
tous les calculs numériques peuvent se réaliser avec des fonctions booléennes, et que ces fonctions
peuvent se réaliser à l’aide de circuits logiques.
Définition V.2 [conjonction de variables]
Une conjonction de variables est une formule où n’apparaissent que des variables ou leur
négation, reliées par le connecteur ∧.
Par exemple p ∧ q ∧ ¬r est une conjonction de variables.
r
Noter que, comme le connecteur ∧ est associatif, on peut sans ambiguïté omettre les
parenthèses.
La formule p ∧ q ∧ ¬r n’est vraie que si p = v, q = v et r = f .
Reprenons la fonction booléenne du paragraphe V.1. En considérant toutes les lignes où cette
fonction prend la valeur « vrai », il est possible d’exprimer la valeur de ϕ(p, q, r) comme un ou
entre autant de conjonctions de variables :
25
26
Formes normales
ϕ(p, q, r) = (p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∨ ¬q ∨ ¬r).
Une telle écriture s’appelle une forme normale disjonctive (FND) de la fonction booléenne ϕ.
Notation simplifiée : Un usage est de simplifier les notations. L’opérateur ∧ est omis, comme
le signe × est omis dans un produit, et la négation de p se note p. Ainsi, l’écriture simplifiée de la
forme normale disjonctive de la fonction ϕ est :
ϕ(p, q, r) = p q r ∨ p q r ∨ p q r
Définition V.3 [Forme normale disjonctive]
Une forme normale disjonctive est une formule constituée d’une disjonction de zéro, une ou
plusieurs conjonctions de variables ou de leur négation.
Exemples :
– Les constantes v et f ne comprennent aucune conjonction.
– Les formules p, pq et pqr n’ont qu’une conjonction.
– La formule p ∨ q ∨ pq est constituée de trois conjonctions.
r
Une forme normale disjonctive peut n’être formée que d’une seule conjonction : pqr. De même,
les conjonctions peuvent n’être constituées que d’une seule variable : p ∨ q ∨ r.
La méthode exposée ci-dessus, qui consiste à écrire une formule comme une disjonction de
conjonctions qui correspondent aux lignes de la table de vérité où la formule est vraie, est toujours
applicable, ce qui permet d’énoncer :
Proposition V.4
Toute formule est équivalente à une forme normale disjonctive.
q
qqAA
La forme normale disjonctive n’est pas unique. Par exemple, la forme normale disjonctive
a b ∨ a b se simplifie par distributivité en a ∧ (b ∨ b) = a ∧ v = a, qui est aussi une forme
normale disjonctive.
De manière similaire, on peut vérifier que les deux formules p q ∨ p q ∨ p q et q ∨ p q sont deux formes
normales disjonctives équivalentes.
r
Les formes normales disjonctives les plus intéressantes du point de vue pratique sont les plus
courtes, car elles permettent de réaliser des calculs de manière plus efficace. Le problème de
trouver la forme la plus compacte est un problème difficile et est l’objet de nombreuses recherches.
§ V.3
Méthode des arbres
La méthode des arbres est une méthode graphique pour trouver :
– une forme normale disjonctive d’une formule,
– une interprétation qui rend vraie une formule.
Cette méthode permet donc de décider si une formule donnée est ou non une contradiction. En
appliquant la méthode à la négation d’une formule, elle peut également décider si elle est ou non
une tautologie. Enfin, elle permet de tester la validité d’un raisonnement.
q
Ne pas confondre avec l’arbre syntaxique d’une formule !
qqAA
§ V.3
V.3.1.
Méthode des arbres
Construction graphique d’une forme normale disjonctive
La disjonction A∨B de deux formules se représente par une ramification de deux branches ouvertes :
@
@
B
A
La conjonction A ∧ B de deux formules se représente par une branche unique sur laquelle figurent
les deux formules A et B.
A
B
Exemple. La forme disjonctive F = p q ∨ p q se représente par l’arbre :
@
@
p
q
p
q
La valeur d’une formule se lit sur l’arbre en appliquant la règle suivante :
« Pour qu’une formule soit vraie, il suffit que toutes les variables d’une
branche soient vraies, en tenant compte d’une éventuelle négation. »
Réécriture des connecteurs.
A⇒B
A
@
@
B
¬(A ∨ B) ¬(A ∧ B) ¬(A ⇒ B)
A
B
A
@
@
B
A
B
A⇔B
A
B
@
@
A
B
A⊕B
A
B
@
@
A
B
Exemples. 1. Développer l’arbre de la formule ¬ p ∨ (q ∧ ¬r) .
La méthode consiste à développer successivement toutes les formules conformément au tableau
ci-dessus jusqu’à n’obtenir que des variables ou leur négation.
p
¬(p ∧ ¬r)
@
@
r
q
Les variables qui figurent sur une branche de l’arbre depuis la racine jusqu’à une feuille constituent
les termes d’une conjonction. La forme normale disjonctive correspond à la réunion des branches :
p q ∨ p r.
Les valeurs p vraie et q fausse forment une interprétation qui rend vraie cette formule, de même
pour les valeurs p fausse et r vraie.
2. Développer l’arbre de la formule p ∧ (¬p ∨ q).
p
¬p ∨ q
¬p
×
@
@
q
27
28
Formes normales
Une branche qui contient une variable et sa négation est appelé une branche fermée. Cela correspond
à une contradiction p ∧ ¬p. Elle peut être supprimée de la forme normale disjonctive. On obtient
finalement :
pq
3. Développer la formule ¬ p ∧ (q ⇔ r) ⇒ q ∨ ¬(r ⇒ p) .
XX
XX
p ∧ (q ⇔ r)
q ∨ ¬(r ⇒ p)
p
q⇔r
q
r
q
@
@
¬(r ⇒ p)
@@
q
r
r
p
Cet arbre conduit à la forme normale disjonctive suivante :
pqr ∨ pqr ∨ q ∨ rp
§ V.4
V.4.1.
Applications de la méthode des arbres
Montrer qu’une formule est une contradiction
Si toutes les branches de l’arbre d’une formule sont fermées, alors cette formule est une contradiction. Ainsi, pour vérifier qu’une formule est une contradiction, il suffit de vérifier que son arbre ne
comprend que des branches fermées. Si toutes les branches ne sont pas fermées, c’est qu’il existe
une interprétation des variables qui rend vraie la formule. On dit dans ce cas que la formule est
satisfiable.
Exemple : Développer l’arbre de la formule ¬(p ∨ q) ∧ (¬p ⇒ q).
¬(p ∨ q)
(1)
¬p ⇒ a
(2)
¬p
Ici, développer (1) plutôt que (2),
¬q
car cela n’ouvre pas de branche
@
p
q
Développement de (2)
× ×
Conseil. Traiter en priorité les formules qui n’ouvrent pas de branche.
V.4.2.
Montrer qu’une formule est une tautologie
Pour vérifier qu’une formule est une tautologie, il suffit vérifier que sa négation est une contradiction. Par exemple, pour montrer que la formule p ∧ (p ⇒
q) ⇒ q est une tautologie (modus
ponens), développer l’arbre de sa négation ¬ p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q , puis observer que toutes les
branches sont fermées.
V.4.3.
L’arbre de réfutation
La méthode des arbres peut s’appliquer pour vérifier la validité d’un raisonnement.
Prenons par exemple le raisonnement suivant :
« – Quand un accident survient sur la course, les journalistes en parlent.
– Si il y a un accident sur la course et que les journalistes en parlent, alors les sponsors sont
inquiets.
– Un accident survient.
§ V.4
Applications de la méthode des arbres
– Donc les sponsors sont inquiets. »
Ce raisonnement comprend trois prémisses et une conclusion. Notons les propositions simples de
ce raisonnement :
p : « Un accident survient. »
q : « Les journalistes en parlent. »
r : « les sponsors sont inquiets. »
Les trois prémisses sont :
La conclusion est :
A : p⇒q
D : r.
B : (p ∧ q) ⇒ r
C : p
Le raisonnement s’écrit :
(4)
A, B, C
D.
Pour vérifier sa validité, il faut montrer que la formule :
A∧B∧C ⇒D
(5)
est une tautologie. Cela revient à montrer que la négation de cette formule est une contradiction.
Or la négation de la formule (5) est :
A ∧ B ∧ C ∧ ¬D
(6)
Finalement, pour montrer qu’un raisonnement est valide, il suffit de montrer que la conjonction
des prémisses et de la négation de la conclusion est une contradiction. L’arbre construit à partir
de ces formules s’appelle un arbre de réfutation. Montrer qu’il s’agit d’une contradiction revient à
montrer qu’il n’existe aucune interprétation qui rend les prémisses vraies et qui rend la conclusion
fausse. On ne peut pas réfuter la conclusion. La conclusion s’impose donc.
Construisons cet arbre :
p⇒q
(1)
(p ∧ q) ⇒ r
(2)
p
¬r
Développement de (1)
@
@
¬p
q
Développement de (2)
×
@
@
(3)
¬(p ∧ q)
r
×
Développement de (3)
@
@
¬p
¬q
×
×
Dans cet arbre, toutes les branches sont fermées. La formule (6) est bien une contradiction. Le
raisonnement (4) est valide.
Exercice. Montrer la validité des raisonnements suivants par la méthode des arbres :
s
1. p ⇒ s, q ⇒ s, p ∨ q
2. p ⇒ (p ⇒ q)
p⇒q
p⇒r
3. (p ∧ q) ⇒ r, p ⇒ (q ∨ r)
29
30
Déduction naturelle
VI – DÉDUCTION NATURELLE
§ VI.1
Introduction
B se montre en vérifiant que la formule
Rappelons que la validité d’un raisonnement A1 , . . . , An
(A1 ∧ · · · ∧ An ) ⇒ B est une tautologie. Si le nombre de variables est assez réduit, vérifier qu’une
formule est une tautologie peut se faire en construisant sa table de vérité. On peut aussi chercher à
réfuter sa négation, qui est A1 ∧ · · · ∧ An ∧ ¬B, en montrant par la méthode des arbres qu’il s’agit
d’une contradiction.
Dans les deux cas, on ne peut que valider ou réfuter un raisonnement, et la méthode n’aide pas à
construire le raisonnement.
La déduction naturelle a été introduite simultanément et de manière indépendante en 1934 par
le logicien polonais Stanislaw Jáskowski (1887-1951) et le logicien allemand Gehard Gentzen
(1909-1945). Elle a pour objet de trouver des conclusions à partir d’un ensemble de prémisses, en
suivant le modèle du raisonnement humain.
Le système de la déduction naturelle consiste en un ensemble de règles qui permettent de construire
des déductions valides à partir d’autres déductions valides déjà connues.
Il existe plusieurs systèmes de règles qui permettent de construire des déductions. La déduction
naturelle est un des plus intuitif.
Les propriétés attendues d’un système de règles sont :
– La consistance : les règles permettent de démontrer la validité de tous les raisonnements valides.
– La non-contradiction : il n’est pas possible, à partir de prémisses données, de démontrer à la fois
une conclusion et sa négation.
Lors d’une construction déductive, on dispose au départ d’un certain nombre de propositions
A1 , . . . , An qu’on suppose vraies pour démarrer le raisonnement. Ces propositions s’appellent des
axiomes.
Si à partir de ces axiomes, on a élaboré une conclusion C par une inférence valide :
A1 , . . . An
C,
on dit que la proposition C a été démontrée.
Une formule qui est vraie parce qu’on en a exhibé une preuve s’appelle un théorème.
Cette conclusion peut maintenant servir de prémisse pour élaborer une nouvelle conclusion
A1 , . . . , A n , C
|
{z
}
Γ
C1
Pour abréger, on note Γ l’ensemble des prémisses. Les prémisses consistent en un ensemble de
propositions qui sont vraies, soit parce que ce sont des axiomes qui sont supposés vrais dès le
départ, soit parce que ce sont des théorèmes qui ont été démontrés.
Un raisonnement consiste en une liste d’inférences valides qui permettent de proche en proche
d’élaborer la preuve d’une conclusion visée. Chaque nouvelle inférence du raisonnement est ajoutée
en appliquant une règle.
§ VI.2
§ VI.2
Trois règles de base
Trois règles de base
Trois règles ne sont liées à aucun connecteur particulier.
Règle de répétition. La première règle est la règle de répétition. Elle énonce que toute formule
qui fait partie des prémisses est une conséquence valide de cet ensemble de prémisses.
Pour toute liste de prémisses Γ,
A
Γ, A
est une inférence valide.
Règle d’affaiblissement. Si on a une preuve de B, alors on a aussi une preuve de B si on
ajoute une prémisse. On note :
Γ
B
Γ, A
B
Cette règle exprime que si l’inférence Γ
Γ, A
B est également valide.
B est déjà établie comme valide, alors l’inférence
Règle d’élimination. Si on a une preuve de B avec une formule A et aussi une preuve de B
avec la négation ¬A comme prémisse, alors on peut éliminer la formule A des prémisses. On note :
Γ, A
§ VI.3
B; Γ, ¬A
Γ
B
B
Traitement des connecteurs
Chaque connecteur est défini par une règle d’élimination, qui permet d’obtenir un énoncé où le
connecteur est éliminé, et une règle d’introduction qui permet d’obtenir un énoncé dans lequel est
ajouté le connecteur.
VI.3.1.
Conjonction
Règle d’introduction. Si on a une preuve de la formule A et si on a aussi une preuve de la
formule B, alors cela constitue une preuve de la formule A ∧ B. On note :
Γ
A; Γ
B
Γ
A∧B
Exemple. Montrer la validité du principe d’identité p
p ∧ p.
p
règle de répétition
1. p
2. p
p∧p
règle d’introduction du ∧ appliquée à l’inférence 1
Règle d’élimination. Si une formule A ∧ B est une conséquence valide des prémisses, alors A,
ainsi que B sont aussi des conséquences valides de ces prémisses.
Γ
Γ
A∧B
A
(1)
et
Γ
Γ
A∧B
B
(2)
Exemples. a) Montrons la validité de l’inférence p ∧ p
p.
1. p ∧ p
p∧p
règle de recopie
2. p ∧ p
p
règle d’élimination du ∧ appliquée à l’inférence 1
b) Montrer la commutativité du et : p ∧ q
q ∧ p.
1. p ∧ q
p
élimination du ∧, règle (1)
2. p ∧ q
q
élimination du ∧, règle (2)
3. p ∧ q
q∧p
introduction du ∧ avec 1 et 2.
31
32
Déduction naturelle
VI.3.2.
Implication
Règle d’élimination La règle d’élimination est le modus ponens. Si on a une preuve de A et une
preuve de A ⇒ B, alors cela constitue une preuve de B.
Γ
A; Γ
Γ
A⇒B
B
Règle d’introduction. L’implication A ⇒ B est établie si, en ajoutant la formule A aux
prémisses, on peut en déduire la formule B.
B
Γ, A
Γ
A⇒B
Pour montrer l’implication A ⇒ B, on suppose que la formule A est vraie, et on démontre que la
formule B peut s’en déduire.
q
qqAA
La formule A n’est pas forcément vraie. Elle est une hypothèse d’un raisonnement qui cherche
à démontrer B.
Exemples. 1. Montrer que la formule p ⇒ p est une tautologie. Rappelons qu’une tautologie est
une formule qui se déduit d’un ensemble vide de prémisses. Il faut donc montrer que la déduction
p ⇒ p est valide.
1. p
2.
p
p⇒p
règle de recopie
règle d’introduction de ⇒ avec l’inférence 1.
2. Montrer la transitivité de l’implication, c’est-à- dire montrer la validité de l’inférence
p ⇒ q, q ⇒ r
p ⇒ r.
|
{z
}
Γ
Le principe est de supposer p vrai et démontrer r, puis de conclure avec la règle d’introduction de
l’implication.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
VI.3.3.
Γ,
Γ,
Γ,
Γ,
Γ,
Γ
p
p
p
p
p
p⇒q
p
q
q⇒r
r
p⇒r
répétition, p ⇒ q fait partie des prémisses Γ.
répétition.
modus ponens avec 1 et 2.
répétition
modus ponens avec 3 et 4.
introduction de ⇒ avec 5.
Négation
Règles d’élimination. Le règle d’élimination repose sur le principe de double négation : que ce
qui n’est pas vrai est faux et ce qui n’est pas faux est vrai.
Γ
Γ
¬¬A
A
Règle d’introduction. Si une formule et son contraire se déduisent de A, alors A doit être
réfutée.
Γ, A
B;
Γ
Γ, A
¬A
¬B
La règle d’introduction de ¬ correspond au raisonnement par l’absurde. Pour réfuter la conclusion,
on la suppose vraie et on cherche une contradiction.
§ VI.3
Traitement des connecteurs
Exemples. a) Montrer la validité de l’inférence p
¬¬p. Pour cela, supposer la négation de
la conclusion.
p
répétition
1. p, ¬p
2. p, ¬p
¬p
répétition
¬¬q
introduction du ¬ avec 1. et 2.
3. p
Cette inférence, associée à la règle d’élimination de ¬ montre le principe de la double négation qui
énonce que la formule A est équivalente à ¬¬A.
b) Montrer la validité de l’inférence p, ¬p
q. « Tout se déduit d’une chose et son contraire ».
| {z }
Γ
1. Γ, ¬q
p
répétition
¬p
répétition
2. Γ, ¬q
3. Γ
¬¬q
introduction du ¬ avec 1. et 2.
4. Γ
q
élimination du ¬ avec 3.
Cette inférence exprime que si un système d’axiomes porte en lui une contradiction, alors il permet
de démontrer n’importe quel énoncé. On peut tout démontrer à partir d’hypothèses contradictoires.
VI.3.4.
Disjonction
Règle d’introduction. Si on a une preuve de la formule A, alors cela constitue une preuve de
A ∨ B, ainsi que de B ∨ A, pour n’importe quelle formule B :
Γ
Γ
A
A∨B
Γ
(1)
A
B∨A
Γ
(2)
Exemple a) Montrer la validité de l’inférence ¬(p ∨ q)
¬p.
| {z }
Γ
1. Γ, p
p
répétition
2. Γ, p
p∨q
introduction du ∨ avec 1
3. Γ, p
¬(p ∨ q)
répétition
4. Γ
¬p
introduction du ¬ avec 2 et 3.
b) En déduire le principe du tiers exclu. C’est-à-dire montrer que l’inférence sans prémisse
p ∨ ¬p est valide. Pour cela, essayons de trouver une contradiction en supposant sa négation.
1. ¬(p ∨ ¬p)
¬(p ∨ ¬p)
répétition
2. ¬(p ∨ ¬p)
¬p
d’après le a) avec q = ¬p
3. ¬(p ∨ ¬p)
p ∨ ¬p
introduction du ∨ avec 2
4.
¬¬(p ∨ ¬p)
introduction du ¬ avec 1 et 3
5.
p ∨ ¬p
élimination du ¬ dans 4
Règle d’élimination. Si la formule C se déduit de A comme de B et si de plus a une preuve de
A ∨ B, alors cela établit une preuve de la formule C.
Cette règle d’élimination s’écrit :
Γ
A ∨ B; Γ, A
Γ
C; Γ, B
C
C
Exemple. a) (une application directe de l’élimination du ∨) Montrer la validité de l’inférence :
p ⇒ r, q ⇒ r, p ∨ q
|
{z
}
Γ
1. Γ, p
p⇒r
répétition
r.
33
34
Déduction naturelle
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Γ, p
Γ, p
Γ, q
Γ, q
Γ, q
Γ
Γ
p
r
q⇒r
q
r
p∨q
r
répétition
modus ponens avec 1 et 2
recopie
répétition
modus ponens avec 4 et 5
répétition
élimination du ∨ avec 3, 6 et 7
b) Montrer la commutativité de l’opérateur ou : p ∨ q
q ∨ p.
| {z }
Γ
p∨q
répétition
1. Γ
2. Γ, p
p
on suppose p pour appliquer l’introduction du ∨ – répétition
q∨p
introduction du ∨ (1)
3. Γ, p
4. Γ, q
p
on suppose q pour appliquer l’introduction du ∨ – répétition
q∨p
introduction du ∨ (2)
5. Γ, q
6. Γ
q∨p
élimination du ∨ avec 1, 3 et 5.
§ VI.4
Exemples
Tout comme pour l’apprentissage des démonstrations, la pratique des déductions naturelles est
nécessaire à leur maîtrise.
1. Montrer la validité de l’inférence p, q ⇒ (p ⇒ r)
q ⇒ r. Pour montrer l’implication q ⇒ r,
{z
}
|
Γ
on suppose q et on montre r.
p
répétition
1. Γ
2. Γ
q ⇒ (p ⇒ r)
répétition
3. Γ, q
q
répétition
4. Γ, q
p⇒r
modus ponens avec 2 et 3.
5. Γ, q
r
modus ponens avec 1 et 4.
q⇒r
introduction de l’implication avec 5
6. Γ
2. Montrer la validité de l’inférence p ∧ q, p ⇒ (q ⇒ r)
r.
|
{z
}
Γ
1. Γ
p∧q
répétition
2. Γ
p
élimination du ∧
3. Γ
q
élimination du ∧
4. Γ
p ⇒ (q ⇒ r)
répétition
5. Γ
q⇒r
modus ponens avec 2 et 4.
6. Γ
r
modus ponens avec 3 et 5.
3. Montrer la validité de l’inférence p ⇒ ¬q
¬(p ∧ q).
| {z }
Γ
Si la conclusion comprend une négation, on peut chercher une contradiction en ajoutant sa négation
aux prémisses.
1. Γ, p ∧ q
p∧q
répétition.
2. Γ, p ∧ q
p
élimination du ∧ dans 1.
3. Γ, p ∧ q
p ⇒ ¬q répétition
4. Γ, p ∧ q
¬q
modus ponens avec 2 et 3
q
élimination du ∧ dans 1
5. Γ, p ∧ q
6. Γ
¬(p ∧ q)
introduction du ¬ avec 4 et 5
§ VI.4
Exemples
4. Montrer la validité de l’inférence p ∨ q, ¬q
p.
| {z }
Γ
1. Γ
p∨q
répétition.
p
on suppose p pour éliminer le ∨ – répétition.
2. Γ, p
3. Γ, q, ¬p
q
de même on suppose q, et on suppose ¬p pour une contradiction
4. Γ, q, ¬p
¬q
répétition
5. Γ, q
¬¬p
introduction du ¬ avec 3 et 4.
p
élimination du ¬ dans 5.
6. Γ, q
7. Γ
p
élimination du ∨ avec 1, 2 et 6
r
Cette inférence exprime que si la disjonction p ∨ q est établie et si q est réfuté, alors c’est que
p est vrai. Elle exprime une règle plus faible d’élimination du ∨, mais parfois plus facile à
appliquer.
Exercices.
1. Montrer l’équivalence des deux formules (p ∧ q) ⇒ r et p ⇒ (q ⇒ r). L’équivalence de deux
formules s’exprime par le fait que l’une est une conséquence valide de l’autre et vice-versa, c’est-àdire :
p ⇒ (q ⇒ r)
(p ∧ q) ⇒ r
et
p ⇒ (q ⇒ r)
(p ∧ q) ⇒ r
On note cette équivalence par le symbole
:
(p ∧ q) ⇒ r
p ⇒ (q ⇒ r)
2. On considère une deuxième règle pour l’élimination du ∨, qui exprime que si A ∨ B est vrai et
si B est faux, alors c’est que A est vrai :
(7)
Γ
(A ∨ B); Γ
Γ
A
¬B
a) Montrer que cette règle est équivalente à la règle d’élimination du ∨, c’est-à-dire qu’on peut
déduire cette règle à partir de la règle d’élimination du ∨ et que la règle ((7)) se déduit de cette
règle.
b) Montrer la commutativité du ∨ en supposant cette deuxième règle d’élimination du ∨.
35
36
Prédicats
VII – PRÉDICATS
§ VII.1
Les limites du calcul des propositions
Considérons les raisonnements suivants exprimés en langue naturelle.
« Tous les humains sont mortels, or Socrate est un humain, donc
Socrate est mortel. »
« Si les riches ne payent pas assez d’impôts, comme les fils de riches sont
riches, les fils de riches ne payent pas assez d’impôts. »
Ces raisonnements sont intuitivement valides, mais si on veut les exprimer dans le langage des
propositions, on ne peut écrire que des implications de la forme
(A ∧ B) ⇒ C,
(8)
avec par exemple A : « Tous les humains sont mortels », B : « Socrate est un humain » et C :
« Socrate est mortel ». Mais la formule (8) ne correspond à aucune tautologie.
La validité de ces raisonnements est liée à des expressions comme « tous les. . . », qui font référence
à des classes d’objets, comme la classe des mortels, ou la classe de ceux qui ne payent pas assez
d’impôts.
Ils utilisent également des relations entre les objets, comme « . . . est le fils de . . . », et ce type
d’énoncé ne fait pas partie du langage des propositions.
Pour étudier ces raisonnements, le langage des propositions doit être enrichi, et c’est précisément
cela l’objet du langage des prédicats.
§ VII.2
Prédicat
Définition VII.1 [prédicat]
Un prédicat est un énoncé qui peut contenir un ou plusieurs symboles, appelés « symbole de
variable », et tels que si on remplace ces symboles par des objets convenables, on obtient une
proposition, c’est-à-dire un énoncé dont on peut dire qu’il est vrai ou faux.
Exemples.
– x est un nombre premier
– x est compris entre y et z
– x est le père de y
– a tourne autour de b
– u aime v
– a est à l’est de b
Un prédicat devient une proposition lorsqu’on remplace les symboles de variable par les objets
appropriés.
– 12 est un nombre premier
– La terre tourne autour du soleil
– Jean aime le chou
q
qqAA
On ne peut pas dissocier un prédicat du ou des domaines dans lesquels il faut choisir les
objets qui vont remplacer les variables, afin que l’énoncé ait un sens.
§ VII.3
Les prédicats unaires
Définition VII.2 [domaine d’interprétation]
Le domaine d’interprétation d’un prédicat est l’ensemble des valeurs possibles pour les
symboles de variable qui donnent un sens à l’énoncé.
Par exemple, le domaine d’interprétation du prédicat « x est pair » est l’ensemble des nombres
entiers.
Définition VII.3 [arité]
L’arité d’un prédicat est le nombre de symboles de variables distincts qu’il comprend.
Par exemple :
prédicat
unaire
arité 1
binaire
arité 2
ternaire
arité 3
« p est mûre »
« h est mortel »
« x mesure 1,80 m. »
« x est le double de y »
« x mange y »
«a + b = x»
« x est compris entre y et z »
etc.
r
Il n’y a pas le limite à l’arité d’un prédicat. Une proposition est un prédicat qui ne comprend
aucune variable, c’est-à-dire un prédicat d’arité zéro. Les prédicats étendent les propositions.
§ VII.3
Les prédicats unaires
Les prédicats qui n’ont qu’une seule variable sont simples à décrire.
Considérons un prédicat p(x). Son domaine d’interprétation E peut se partager en deux sousensembles :
– le sous-ensemble de E où p(x) est vrai,
– le sous-ensemble de E où p(x) est faux.
Par exemple p(x) est le prédicat « x est pair », dont le domaine d’interprétation est l’ensemble N
des entiers naturels, partage l’ensemble N en deux sous-ensembles :
– le sous-ensemble des entiers pairs, où p(x) est vrai,
– le sous-ensemble des entiers impairs, où p(x) est faux.
Entiers pairs,
p(x) est vrai
N
Entiers impairs,
p(x) est faux
r
Il est équivalent de se donner un sous-ensemble du domaine d’interprétation et un prédicat
unaire défini sur ce domaine.
Pour un prédicat p(x) défini sur le domaine E, notons Ap le sous-ensemble de E constitué des
éléments x de E pour lesquels le prédicat p(x) prend la valeur « vrai ».
37
38
Prédicats
Définition VII.4 [Prédicat satisfiable, quantificateur existentiel]
On dit que le prédicat p(x), défini sur E est satisfiable, si le sous-ensemble Ap de E où p(x)
est vrai et non vide, c’est-à-dire Ap 6= ∅. Dans ce cas, on écrit :
∃x p(x).
On dit dit « il existe au moins un x vérifiant p(x).
Le symbole ∃ s’appelle le quantificateur existentiel. Cela vient de l’allemand Ein qui signifie un.
Un prédicat qui n’est pas satisfiable s’appelle un prédicat inconsistant.
Définition VII.5 [Quantificateur universel]
Avec les même notation que dans la définition VII.4 ci-dessus, si le sous ensemble Ap est
l’ensemble E tout entier, c’est-à-dire Ap = E. Dans ce cas, on écrit :
∀x p(x).
Cela signifie que tous les éléments de l’ensemble E, c’est-à-dire tous les objets du domaine
d’interprétation, satisfont le prédicat p(x).
On dit « tous les x satisfont le prédicat p(x) », ou « quel que soit x, le prédicat p(x) est satisfait. »
Le symbole ∀ s’appelle le quantificateur universel. Il vient de l’allemand Alle qui signifie tous.
Donnons quelques exemples de phrases de la langue naturelle qu’on peut traduire dans le langage
des prédicats.
« Tous les hommes sont mortels »
∀x h(x) ⇒ m(x) ,
avec pour domaine domaine d’interprétation l’ensemble E des êtres, h(x) qui signifie « x est un
homme » et m(x) qui signifie « x est mortel »
« Un homme est sage »
∃x h(x) ∧ s(x) ,
avec s(x) qui signifie « x est sage »
« Aucun paresseux n’a réussi l’examen de logique »
∀x p(x) ⇒ ¬r(x) ,
avec p(x) qui signifie « x est paresseux » et r(x) qui signifie « x réussit l’examen de logique »
« Il n’y a que les imbéciles qui ne changent pas d’avis »
∀x ¬c(x) ⇒ i(x) ,
avec c(x) qui signifie « x change d’avis » et i(x) qui signifie « x est un imbécile »
r
Le langage des prédicats présenté dans cette introduction est appelé language des prédicats
du premier ordre. Dans ce language, les quantificateurs ne s’appliquent qu’aux variables qui
désignent des objets du domaine d’interprétation. Il existe un language des prédicats du deuxième
ordre qui autorise les quantificateurs à s’appliquer aux prédicats eux-mêmes.
§ VIII.1
La grammaire du langage
VIII – LE LANGAGE DES PRÉDICATS
Dans cette section, nous définissons le langage des prédicats de manière formelle, comme le langage
des propositions a été défini dans la section II, page 12. Le langage des prédicats étant plus riche,
la définition formelle est un peu plus complexe.
§ VIII.1
La grammaire du langage
Alphabet. L’alphabet terminal du langage des prédicats est constitué de six types de symboles :
– les signes de ponctuation ( , ) et ,.
– les symboles de variable x, y, z, u, v. Ces symboles de variable désignent un élément général du
domaine d’interprétation, par exemple « une personne ».
– les symboles de constante a, b, c, d, e. Ces symboles de constante désignent un élément particulier
du domaine d’interprétation, par exemple « Marie ».
– les symboles de prédicat n–aires p, q, r, s. Par exemple p(x) =« x est pair », ou q(x, y) =« x
aime y ».
– les connecteurs logiques ¬, ∧, ∨, ⇒, etc.
– le signe égal =.
– les symboles de quantificateur ∀ et ∃.
Élements du langage et règles de formation. Une formule est bien formée si elle a été
produite en suivant les règles de formation qui définissent la grammaire du langage des prédicats.
Une formule du langage des prédicats peut être simple, composée ou générale.
Chaque élément est défini par un symbole non terminal, noté en majuscule et d’une règle de
réécriture pour le générer. Il y a deux symboles non terminaux dans la grammaire du langage des
prédicats : le symbole T pour désigner un terme, et le symbole F pour désigner une formule.
– Un terme T peut être :
1. un symbole de variable : T −→ x.
1
2. un symbole de constante : T −→ a.
2
– Une formule simple simple peut être :
3. un symbole de prédicat 0–aire : F −→ p
3
4. un symbole de prédicat n–aire suivi de ses paramètres : F −→ q(T1 , . . . , Tn ), où T1 , . . . , Tn
4
sont des termes.
5. une égalité de deux termes : F −→ (T1 = T2 ), où T1 et T2 sont des termes.
5
– Une formule composée consiste en des formules connectées par un connecteur logique.
6. F −→ ¬F1 | (F1 ∧ F2 ) | (F1 ∨ F2 ) | (F1 ⇒ F2 ), ainsi de suite avec tous les connecteurs
6
logiques, où F1 et F2 sont des formules du langage des prédicats.
– Une formule générale est une formule avec quantificateur :
7. F −→ ∀x F1 | ∃x F1 , où x est un symbole de variable, et F1 est une formule.
7
Deux exemples.
1. Considérons la formule :
∃x ∀y p(y) ⇒ (x = y) .
r
Cette formule signifie « il existe au plus un x qui satisfait le prédicat p(x) ». En effet, la formule
énonce que tout élément y qui satisfait p(y) est égal à x.
Cette formule est produite par une application successive de règles de la grammaire. L’ensemble des
règles qui conduisent à cette formule peut directement se représenter par un arbre de dérivation,
appelé aussi arbre syntaxique de la formule :
39
40
Le langage des prédicats
F
?règle 7
∃x F1
?règle 7
∀y F1
règle 6
?
F1 ⇒ F2
règle 4 ? @
R règle 6
@
p(T1 )
règle 1 ?
y
(T1 = T2 )
? ?
x y
2. Soit la formule :
∃x p(x) ∧ ∀y p(y) ⇒ (x = y) .
r
Cette formule signifie « Il existe exactement un élément x qui satisfait le prédicat p(x) ». En effet,
un tel élément existe, et tout autre élément y qui satisfait également p(y) est égal à x.
L’arbre syntaxique de cette formule est :
F
?règle 7
∃x F1
?règle 6
F1 ∧ F2
règle 4
AAU règle 7
∀y F1
p(T1 )
règle 1 ?
?
x
F1 ⇒ F2
règle 4 ? @
R règle 6
@
p(T )
règle 1 ?
y
§ VIII.2
(T1 = T2 )
? ?
x y
Portée, variable libre, variable muette
Portée d’un quantificateur. La portée d’un quantificateur désigne la partie d’une formule où
ce quantificateur a un effet.
Dans un énoncé général ∀ x F1 , la portée du quantificateur ∀ est x F1 .
|{z}
De même, dans un énoncé général ∃ x F1 , la portée du quantificateur ∃ est x F1 .
|{z}
Par exemple, dans la formule :
∀ x p(x, y) ∧ q(x) ,
|
{z
}
la portée du quantificateur ∀ est la partie soulignée par une accolade qui est x p(x, y) ∧ q(x) .
De même, dans la formule :
∀ x p(x, y) ∧ ∀ x q(x),
| {z }
| {z }
la portée du premier quantificateur ∀ est x p(x, y) et la portée du second quantificateur ∀ est x q(x).
§ VIII.2
Portée, variable libre, variable muette
Occurrence d’une variable. On dit que la variable x a une occurrence dans une formule bien
formée A si la lettre symbolisant la variable apparaît dans l’écriture de la formule A.
Par exemple, dans la formule suivante, la variable x a trois occurrences et la variable y a deux
occurrences :
p(y) ∧ q(x) ⇒ ∀x x = y
Définition VIII.1 [variable muette, variable libre]
– Une occurrence de la variable x est muette lorsque x est dans la portée d’un quantificateur.
– Une occurrence de la variable x est libre lorsque x n’est dans la portée d’aucun quantificateur.
Exemples. Dans les formules suivantes :
∀ x p( x , y ) ∧ q(x )
↑
↑ ↑
↑
`
m m `
y
∀x p( x , ) ∧ q( x )
↑ ↑
↑
m `
m
(9)
(10)
Les variables indiquées m sont muettes, celles indiquées ` sont libres.
r
Lorsqu’une variable est muette, le quantificateur par lequel est elle est liée est le quantificateur
le plus proche dans l’écriture de cette variable. Par exemple, dans la formule suivante, les deux
occurrences de la variable x sont muettes, et la flèche indique le quantificateur par lequel la variable
x est liée.
∀x ∀x q(x) ∧ p(x, y)
6 6
Par contre, la variable y est libre.
Définition VIII.2 [formule close]
Une formule est close si toutes ses variables sont muettes.
Exemples.
– La formule ∀x ∃y p(x, y) ∧ q(x) est une formule close.
– La formule ∀x ∃y p(x, y) ∧ q(x) n’est pas close, car la dernière occurrence de la variable x est
libre.
Définition VIII.3 [arité d’une formule]
L’arité d’une formule est le nombre de variables libres qu’elle contient.
Par exemple, la formule (9) est d’arité 2, car les variables x et y sont libres. La formule (10) est
d’arité 1, car seule la variable y est libre.
Une formule d’arité 0 est une formule close. Il s’agit d’une proposition.
q
Dans la formule ∀x p(x, y)∧q(y), il y a une seule variable libre qui est y mais deux occurrences
qqAA
de cette variable. L’arité de cette formule est 1.
Exemples. Dans l’univers des personnes, c(x, y) signifie « x connaît y ».
– Dans la formule ∀x c(x, y), la variable x est muette, la variable y est libre. La formule signifie
« Tout le monde connaît y ».
– Dans la formule ∃x c(t, x), la variable t est libre et la variable x est muette. La formule signifie
« t connaît quelqu’un ».
41
42
Interprétation, validité
IX – INTERPRÉTATION, VALIDITÉ
Dans cette section, on s’intéresse à la manière dont un énoncé du calcul des prédicat peut être
qualifiée de « vrai » ou « faux ».
r
Savoir si une formule est vraie ou fausse n’a de sens que si la formule est close. On supposera
donc dans ce paragraphe que toutes les formules sont closes, c’est-à-dire que toutes les
occurrences de symboles de variable sont muettes.
§ IX.1
Interprétation
L’objet d’une interprétation est de donner un sens aux symboles de constantes, de variables et
de prédicat. Une interprétation d’une formule, ou d’un ensemble de formule est constituée de la
donnée des éléments suivants :
1. Un domaine non vide du discours D auquel appartiennent les constantes et les variables, par
exemple :
– Les nombres entiers N,
– Les humains,
– Les objets,
– Un groupe de personnes {Pierre, Marie, Gérard}.
2. Une attribution d’un élément du domaine D à chaque symbole de constante, par exemple
a est Pierre,
b est Marie,
c est Gérard.
3. Une attribution à chaque symbole de prédicat d’une manière d’en décider la vérité. Cela dépend
de l’arité du prédicat.
– pour les prédicat 0–aires p, qui sont les propositions, il s’agit simplement d’une valeur « vrai »
ou « faux ».
– Pour les prédicats unaires p(x), il s’agit d’un sous-ensemble du domaine d’interprétation qui
contient tous les éléments x pour lesquels p(x) est vrai. Par exemple si D = N et p(x) est le
prédicat « x est pair », le sous-ensemble de D qui décrit le prédicat p(x) est le sous ensemble
Ap des entiers pairs, Ap = {0, 2, 4, 6 . . .}.
– Pour les prédicats binaires q(x, y), il s’agit d’un ensemble de couples ordonnés (x, y), où x
et y sont des éléments du domaine D tels que q(x, y) est vrai.
Par exemple, considérons le domaine
D = {a = Pierre, b = Marie, c = Gérard}.
On cherche à décrire le prédicat binaire q(x, y) qui signifie « x apprécie y ». On sait que Pierre et
Marie s’aiment l’un l’autre, que Marie est contente d’elle-même, que Pierre apprécie Gérard
et que Gérard apprécie Marie. L’ensemble des couples qui décrit cette situation est :
(a, b), (b, a), (b, b), (a, c), (c, b) .
Une représentation graphique de cette situation est donnée par le schéma suivant qu’on appelle un
graphe :
q
a ZZ
?
-q
>
b
ZZ
~ q
c
§ IX.2
§ IX.2
Vérité d’une formule
Vérité d’une formule
La vérité d’une formule du calcul des prédicats dépend d’une interprétation et des valeurs qu’on
attribue aux variables.
Considérons par exemple l’interprétation donnée par le domaine D = {1, 2, 3} avec le prédicat
p(x, y) qui signifie x ≤ y. Ce prédicat est schématisé par le graphe suivant :
?
q
1 ZZ
?
-q
>3
ZZ
~ 2q 6
Ce diagramme permet d’attribuer une valeur lorsque toutes les variables du prédicat p(x, y) sont
attribuées. Ainsi par exemple, la valeur de p(1, 1) est « vrai » et la valeur de p(2, 1) est « faux ».
Vérité d’une formule existentielle. La formule ∃x A est vraie s’il y a une attribution de x
qui rend vraie la formule A. Elles est fausse dans le cas contraire, c’est-à-dire si aucune attribution
de x ne rend vraie la formule A.
Par exemple, dans l’interprétation ci-dessus, la formule ∃x p(x, 2) est satisfaite lorsque la valeur 1
est attribuée à x. La formule ∃x p(x, 2) est donc vraie.
Considérons sur le même domaine D = {1, 2, 3} le prédicat q(x, y) qui signifie x < y. La formule
∃x q(x, 1) est fausse, car q(1, 1), q(2, 1) et q(3, 1) sont tous faux. Aucune attribution de x ne rend
vraie la formule q(x, 1).
Vérité d’une formule universelle. Une formule ∀x A est vraie lorsque toutes les attributions
de la variable x rendent vraie la formule A. Elle est fausse dans le cas contraire, c’est-à-dire
lorsqu’une attribution de x rend fausse la formule A.
Par exemple, la formule ∀x p(x, 3) est satisfaite pour toutes les attributions de x, pour x = 1, pour
x = 2 et pour x = 3. La formule ∀x p(x, 3) est donc vraie.
Par contre, la formule ∀x p(x, 2) est fausse, car l’attribution x = 3 ne rend pas vraie cette formule.
Exemples.
1. La formule ∀x ∃y p(x, y) est vraie, car pour toutes les attributions de x, la formule ∃y p(x, y)
est vraie. En effet :
– pour x = 1, la formule ∃y p(1, y) est vraie, par exemple pour y = 2,
– pour x = 2, la formule ∃y p(1, y) est vraie, par exemple pour y = 2,
– pour x = 3, la formule ∃y p(1, y) est vraie, par exemple pour y = 3,
2. La formule ∀x ∀y p(x, y) est fausse, car p(2, 1) est fausse.
3. La formule ∃x ∃y p(x, y) est vraie, par exemple pour les attribution x = 1 et y = 2.
Définition IX.1 [modèle]
Un modèle pour une formule close est une interprétation qui la rend vraie.
Considérons par exemple la formule :
∀x ∀y
p(x, y) ∧ p(y, x) ⇒ (x = y)
Cette formule est vraie pour le modèle suivant :
– Le domaine D est l’ensemble N des entiers naturels.
– Le prédicat p(x, y) a l’interprétation x ≤ y.
r
Noter qu’une formule peut-être vraie pour une interprétation et fausse pour une autre
interprétation. La vérité d’une formule dépend de l’interprétation.
43
44
Interprétation, validité
§ IX.3
Formules valides
Les formules valides du calcul des prédicats sont l’équivalent des tautologies du calcul des
propositions. Ce sont des vérités universelles, indépendamment de toute interprétation.
Définition IX.2 [formule valide]
Une formule du calcul des prédicats est dite valide si elle est vraie pour toute interprétation.
En d’autres termes, toute interprétation est un modèle pour une formule valide.
Exemples intuitifs. Les formules suivantes sont vraie pour toutes les interprétations :
∀x p(x, a) ⇒ p(a, a)
1)
Une interprétation est par exemple donnée par « Si tout le monde aime Marie, alors Marie
s’aime ».
2)
∀x p(x) ⇒ q(x) ∧ p(a) ⇒ q(a)
Si pour tout x, la vérité de q(x) découle de celle de p(x) est si le prédicat p(x) est vrai pour a,
alors on doit admettre que q(x) est vrai pour a.
q
Contrairement au calcul des propositions, il n’existe pas de méthode générale pour déterminer
qqAA
la validité d’une formule. Il existe cependant :
– des méthodes qui fonctionnent dans certains cas seulement :
– la méthode des arbres (chapitre V.3 page 26),
– la déduction naturelle (chapitre XI page 53) ;
– des méthodes qui fonctionnent toujours, mais à condition que tous les prédicats soient unaires.
§ IX.4
Équivalences classiques en calcul des prédicats
Proposition IX.3
[négation d’une formule]
Les formules suivantes sont valides :
(11)
¬∀x p(x) ⇔ ∃x ¬p(x)
¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x)
Ces équivalences montrent que la distribution de la négation nécessite d’inverser le quantificateur.
q
Selon l’équivalence (11), l’énoncé « toutes les licornes sont bleues » n’est faux que si « il existe
qqAA
une licorne non bleue ».
Preuve. Montrons la première équivalence. Pour cela, montrons que les deux formules à gauche et
à droite de l’équivalence ont la même valeur de vérité.
On considère une interprétation quelconque. Si la formule ¬∀x p(x) est vraie, c’est que ∀x p(x)
est faux. Le prédicat p(x) n’est donc pas satisfait pour une attribution de x. Cela signifie que la
formule ∃x ¬p(x) est vraie.
Supposons maintenant que la formule ¬∀x p(x) est fausse. La formule ∀x p(x) est donc vraie.
Pour toute attribution de x, le prédicat p(x) a la valeur « vrai », donc ¬p(x) a la valeur « faux ». Il
n’existe aucune attribution de x qui rend vrai le prédicat p(x). Cela signifie que la formule ∃x ¬p(x)
est fausse.
§ IX.4
Équivalences classiques en calcul des prédicats
La deuxième équivalence se prouve de façon tout à fait similaire. Si la formule ¬∃x p(x) est vraie,
c’est que la formule ∃x p(x) est fausse. Il n’existe aucune attribution de x qui rend vrai le prédicat
p(x), donc pour toute attribution de x, la valeur de p(x) est « faux », ce qui signifie que la formule
∀x ¬p(x) est vraie.
Si maintenant la formule ¬∃x p(x) est fausse, alors la formule ∃x p(x) est vraie. Il existe une
attribution de x qui rend p(x) vrai. Il est donc faux que toute attribution de x rend p(x) faux, ce
qui signifie que la formule ∀x ¬p(x) est fausse.
Exemple : À quelle forme la négation de la formule ∀x ∃y p(x, y) est-elle équivalente ?
¬∀x ∃y p(x, y) est équivalent à ∃x ¬∃y p(x, y)
à ∃x ∀y ¬p(x, y)
Les propositions qui suivent peuvent se démontrer comme la proposition IX.3, mais nous verrons
au chapitre suivant une méthode graphique qui permettra d’établir la validité des formules.
Proposition IX.4
[Distribution des quantificateurs]
Les équivalences suivantes sont valides :
∀x p(x) ∧ q(x) ⇔ ∀x p(x) ∧ ∀x q(x)
∃x p(x) ∨ q(x) ⇔ ∃x p(x) ∨ ∃x q(x)
Ces équivalences expriment que le quantificateur universel se distribue sur le et et le quantificateur
existentiel se distribue sur le ou.
q
Le quantificateur universel ne se distribue pas sur le ou et le quantificateur existentiel ne se
qqAA
distribue pas sur le et. On a seulement une implication dans un sens :
Proposition IX.5
[Distribution des quantificateurs]
Les implications suivantes sont valides
∃x p(x) ∧ q(x) ⇒ ∃x p(x) ∧ ∃x q(x)
∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ⇒ ∀x p(x) ∨ q(x)
Noter que la contraposée de la première implication est la deuxième implication, appliquée aux
négations des prédicats p et q.
q
Les réciproques ne sont pas valides. La valeur à attribuer à x pour rendre p(x) vrai dans la
qqAA
première implication peut ne pas être la même que celle qui rend q(x) vrai.
Un contre exemple pour la réciproque de la première implication est donné par le domaine
D = {1, 2, 3} et les prédicats p(x) : « x est pair » et q(x) :« x est multiple de 3 ».
Un contre exemple pour la réciproque de la seconde implication est donné par le domaine D = N
et par les prédicats p(x) : « x est pair » et q(x) :« x est impair »
Proposition IX.6
[Permutation des quantificateurs identiques]
Les équivalences suivantes sont valides :
∀x ∀y p(x, y) ⇔ ∀y ∀x p(x, y)
∃x ∃y p(x, y) ⇔ ∃y ∃x p(x, y)
45
46
Interprétation, validité
q
qqAA
Les quantificateurs non identiques ne commutent pas ! Avec des quantificateurs différents, il
existe seulement une implication :
Proposition IX.7
[Permutation des quantificateurs]
La formule suivante est valide
∃x ∀y p(x, y) ⇒ ∀y ∃x p(x, y)
La validité de cette formule sera démontrée par la méthode des arbres dans la section suivante.
q
La réciproque est fausse, car la valeur à attribuer à x pour rendre la valeur de p(x, y) vraie
qqAA
peut dépendre de y. Considérons par exemple l’interprétation où le domaine est l’ensemble N
des entiers naturels, et où p(x, y) signifie x ≥ y. La formule :
∀y ∃x p(x, y)
signifie que tout entier en admet un qui lui est supérieur, ce qui est vrai. Il suffit par exemple de
considérer l’entier suivant. Par contre, la formule :
∃x ∀y p(x, y)
signifie qu’il existe un entier qui est supérieur à tous les autres, et cette affirmation est fausse.
§ X.1
Règles de développement
X – MÉTHODE DES ARBRES EN CALCUL DES PRÉDICATS
La méthode des arbres est une méthode graphique qui permet de trouver, lorsqu’elle existe, une
interprétation qui satisfait une formule close donnée.
Elle permet aussi de montrer qu’il n’existe aucun modèle pour la formule.
r
L’algorithme peut ne jamais s’arrêter. Il s’arrête lorsqu’un modèle avec un domaine
d’interprétation fini existe pour la formule donnée.
Cela permet ainsi
– de montrer qu’une formule est valide, lorsque sa négation n’admet aucun modèle,
– de montrer la validité d’un raisonnement en construisant son arbre de réfutation.
§ X.1
Règles de développement
Le principe est le même que celui présenté en calcul des propositions dans la section V.3, page 26.
L’arbre d’une formule est développé en suivant les deux principes suivants :
1. Le long de chaque branche, toutes les énoncés sont vrais. Leur conjonction est vraie.
2. L’ouverture, la ramification d’une branche exprime que un des énoncés au moins de l’une des
branche qui suit est vrai. Leur disjonction est vraie
Le développement des formules composées avec des connecteurs est le même que pour le calcul des
propositions.
Le développement des formules générales, contenant des quantificateurs, se fait en même temps
que la construction d’un domaine d’interprétation par adjonction successive d’éléments. On
suppose qu’un domaine D, nécessairement non vide, est provisoirement composé d’éléments rendus
nécessaires pour constituer un modèle pour la formule. Le développement des formules peut ajouter
des éléments à D.
Règle pour ∀ : La formule ∀x p(x) est vraie lorsque tous les éléments du domaine D satisfont le
prédicat p(x).
En raison de la règle de négation d’un prédicat, la règle de développement est la même pour la
formule ¬∃x p(x), qui est équivalente à ∀x ¬p(x).
∀x p(x)
¬∃x p(x)
p(a)
p(b)
..
.
¬p(a)
¬p(b)
..
.
où les éléments a, b, · · · sont les éléments déjà constitués du domaine D = {a, b, · · ·}.
r
Un domaine d’interprétation n’est jamais vide. Lorsque le domaine D est initialement vide,
il faut lui adjoindre un premier élément a.
Règle pour ∃ : La formule ∃x p(x) est vraie si le prédicat p(x) est vrai pour au moins un des
éléments du domaine D. Il peut être vrai pour l’un des termes déjà existant dans D, mais pas
forcément pour ceux-là. Il faut toujours adjoindre un autre élément pour signifier que l’élément
qui existe peut-être ce nouvel élément.
Soit D = {a, b, . . .} le domaine construit au moment du développement de la formule.
∃x p(x)
X
XXXX
p(a) p(b) · · ·
p(d)
|
{z
}
I
@
éléments initialement dans D @
nouvel élément à ajouter à D
47
48
Méthode des arbres en calcul des prédicats
Après le développement de cette formule, le nouveau domaine d’interprétation est D = {a, b, . . . , d}.
r
En raison de l’équivalence entre les formules ¬∀x p(x) et ∃x ¬p(x), le développement de cette
formule est similaire :
¬∀x p(x)
X
XXXX
¬p(a) ¬p(b) · · ·
¬p(d)
|
{z
}
I
@ nouvel élément à ajouter à D
éléments initialement dans D @
Un modèle est obtenu lorsqu’une branche de l’arbre est complètement développée.
q
Avant de conclure qu’une branche de l’arbre décrit un modèle, il faut s’assurer que toutes les
qqAA
formules universelles ∀x A ont été développées avec toutes les constantes. Lorsqu’on ajoute
une constante lors du développement d’une formule existentielle ∃x A, il faut revenir en arrière
pour développer les formules universelles antérieures avec cette nouvelle constante.
C’est ce retour arrière qui peut empêcher l’algorithme de se terminer.
§ X.2
Exemples
1. Trouver un modèle pour la formule ∃x ∀y p(x, y) ∧ ∃x ∀y ¬p(x, y). « Il existe quelqu’un qui aime
tout le monde et il existe quelqu’un qui n’aime personne ».
∃x ∀y p(x, y) ∧ ∃x ∀y ¬p(x, y)
Cette formule se développe
comme une conjonction
∃x ∀y p(x, y)
∃x ∀y ¬p(x, y)
(1)
(2)
∀y p(a, y)
!aa
!
aa
!!
∀y ¬p(a, y)
∀y ¬p(b, y)
p(a, a)
¬p(a, a)
×
p(a, a)
p(a, b)
¬p(b, a)
¬p(b, b)
a est un nouveau terme pour (1)
b est un nouveau terme pour (2)



développement de ∀ pour tous

 les termes existants
La branche gauche est fermée, car elle contient les deux propositions contradictoires p(a, a) et
¬p(a, a).
Le domaine d’interprétation contient deux éléments : D = {a, b}.
Le prédicat p est défini par l’ensemble des couples pour lesquels il est vrai, qui est {(a, a), (a, b)}.
Cela est illustré par le graphe :
?
q
a
- qb
2. Trouver un modèle pour la formule ∀x ∃y p(x, y) ∧ ∃x¬p(x, x).
q
Ne pas oublier de traiter les formules ∀x A lors de l’ajout d’une nouvelle constante lors du
qqAA
développement d’une formule existentielle.
§ X.3
Tester la validité d’une formule
∀x ∃y p(x, y) ∧ ∃x¬p(x, x)
∃x ¬p(x, x)
∀x ∃y p(x, y)
(1)
¬p(a, a)
∃y p(a, y)
HH
H
p(a, a)
p(a, b)
×
∃y p(b, y)
@
@
p(b, b) . . .
a, nouveau terme pour (1)
(2)
nouveau terme pour (2)
Ré-appliquer la règle ∀
avec la nouvelle constante b
Quand l’objectif est de trouver un modèle, une fois qu’une branche non fermée est obtenue pour
décrire le modèle, il est inutile de poursuivre le développement.
Le domaine d’interprétation est D = {a, b} et le prédicat p(x, y) défini par l’ensemble de couples
{(a, b), (b, b)}, illustré par le graphe :
?
-q
b
q
a
§ X.3
Tester la validité d’une formule
Une formule est valide si toutes les interprétations sont des modèles pour cette formule, ou, ce qui
est équivalent, qu’aucun modèle ne convient pour sa négation. Pour tester la validité d’une formule,
on peut donc procéder comme pour montrer qu’une formule propositionnelle est une tautologie.
Cela consiste à développer l’arbre de la négation de la formule à tester et à vérifier qu’il ne contient
que des branches fermées.
Exemples : 1. Montrons la validité de la formule suivante ∀x p(x, x) ⇒ ∃y p(y, x) . « si quelqu’un
s’aime, alors il aime quelqu’un ». Pour cela, développons l’arbre de sa négation.
∃x p(x, x) ∧ ∀y¬p(x, y)
p(a, a)
∀y ¬p(a, y)
¬p(a, a)
×
(1)
nouveau terme pour ∃
et développement direct de la conjonction (1)
application de ∀ de (1) avec y = a
2. Montrons la proposition IX.7 page 46 qui énonce validité de l’implication ∃x ∀y p(x, y) ⇒
∀y ∃x p(x, y). « si une personne aime tout le monde, alors chacun est aimé par quelqu’un ». Pour
cela, développons l’arbre de la négation qui est la conjonction ∃x ∀y p(x, y) ∧ ∃y ∀x ¬p(x, y) :
49
50
Méthode des arbres en calcul des prédicats
∃x ∀y p(x, y)
∃y ∀x ¬p(x, y)
∀y p(a, y)
@
@
∀x ¬p(x, a) ∀x ¬p(x, b)
p(a, a)
¬p(a, a)
×
q
qqAA
p(a, a)
p(a, b)
¬p(a, b)
¬p(b, b)
×
(1)
(2)
nouveau terme pour (1)
développement de (2) avec un nouveau terme


 développement des ∀
avec les termes existants


La réciproque est fausse. Si chacun est aimé par une personne, ce n’est pas forcément la même
qui aime tout le monde.
r
Simplification de la méthode. On peut remarquer que la branche de gauche est identique
à la branche de droite en remplaçant b par a. Le développement de la branche gauche est
similaire à celui de la branche droite. Si la branche droite est fermée, alors la branche gauche l’est
aussi. Cela suggère une simplification pour tester si toutes les branches sont fermées. Il suffit de ne
développer les formules existentielles du type ∃x A qu’avec un nouveau symbole de constante.
Exemple : Montrer la validité de la formule ∃x p(x) ⇒ ∀y p(y) . Pour cela, développer l’arbre de
la négation :
∀x p(x) ∧ ∃y ¬p(y)
(1)
p(a)
∃y ¬p(y)
¬p(b)
p(b)
∃y ¬p(y)
×
q
qqAA
nouvel élément a pour ∀
développement du ∃ avec seulement un nouvel élément b
développement de (1) avec le nouvel élément b
Cette méthode simplifiée n’est applicable que pour montrer que toutes les branches sont
fermées, et ne doit pas être appliquée pour trouver un modèle.
3. Montrons la proposition IX.5 page45 qui énonce la distributivité
de ∃ sur le ∧, c’est-à-dire la
validité de la formule ∃x p(x) ∧ q(x) ⇒ ∃x p(x)∧ ∃x q(x) . Cette formule
est une implication
dont la négation est la conjonction ∃x p(x) ∧ q(x) ∧ ∀x ¬p(x) ∨ ∀x ¬q(x) .
∃x p(x) ∧ q(x)
∀x ¬p(x) ∨ ∀x ¬q(x)
p(a)
q(a)
@
@
¬p(a)
¬q(a)
×
×
Exercice. Montrer la validité des équivalences des propositions IX.4 et IX.6, page 45.
§ X.4
§ X.4
Vérifier la validité d’un raisonnement
Vérifier la validité d’un raisonnement
Rappelons qu’un raisonnement, ou une inférence, est une succession d’énoncés de la forme :
A1 , . . . , A n
B,
où les Ai constituent les prémisses et B est la conclusion. Dire que cette inférence est valide signifie
que l’implication :
A1 ∧ · · · ∧ An ⇒ B
est une formule valide du calcul des prédicats, et donc que sa négation :
A1 ∧ · · · ∧ An ∧ ¬B
n’admet aucun modèle. Ceci suggère la méthode de l’arbre de réfutation pour vérifier la validité
d’une inférence.
Proposition X.1
[Validation d’une inférence]
Pour vérifier la validité d’une inférence, il suffit de vérifier que la formule construite avec la
conjonction des prémisses et la négation de la conclusion n’admet aucun modèle.
En d’autres termes, l’arbre de la conjonction des prémisses et de la négation de la conclusion n’a
que des branches fermées.
À titre d’exemple, vérifions le raisonnement d’Aristote :
donc
∀x h(x) ⇒ m(x)
h(s)
m(s)
Tous les hommes sont mortels
Socrate est un homme
Socrate est mortel
Il s’agit donc de vérifier que la formule
∀x h(x) ⇒ m(x) ∧ h(s) ⇒ m(s)
est valide. Pour cela, vérifions que sa négation n’admet aucun modèle. Dans le processus de
réfutation de la négation, le domaine contient une constante : D = {s}.
§ X.5
∀x h(x) ⇒ m(x)
h(s)
¬m(s)
(1)
h(s) ⇒ m(s)
@
@
¬h(s)
m(s)
×
×
développement de (1) avec s
Complément : une formule qui n’admet aucun modèle fini
La méthode des arbres ne permet de trouver de modèle que s’il en existe sur des domaines finis.
Dans le cas contraire, l’algorithme boucle. Dans ce paragraphe, on donne un exemple d’une formule
pour laquelle la méthode ne s’arrête jamais. Considérons la formule :
∀x ∀y ∀z p(x, y) ∧ p(y, z) ⇒ p(x, z) ∧ ∀x ∀y p(x, y) ⇒ ¬p(y, x) ∧ ∀x ∃y p(x, y)
{z
}
|
{z
} |
{z
} |
(c)
(a)
(b)
51
52
Méthode des arbres en calcul des prédicats
Cette formule est la conjonction de trois formules.
– La première formule (a) signifie que le prédicat p(x, y) définit une relation transitive.
– La deuxième formule (b) signifie que la relation définie par le prédicat p(x, y) n’opère que « dans
un sens », interdisant tout retour en arrière dans le graphe qui la représente.
– Si on appelle le prédicat p(x, y) « x suit y », la troisième formule (c) signifie que tout élément du
domaine est suivi par un autre.
Lors du développement de l’arbre, si on ajoute les constantes dans le domaine dans l’ordre
alphabétique, le prédicat p(x, y) sera toujours vrai si x est avant y dans l’alphabet et faux dans le
cas contraire.
Le développement complet de l’arbre prendrait trop de place. On opère ici des simplifications aidées
par les significations des formules énoncée dessus.
.
∀x ∀y ∀z p(x, y) ∧ p(y, z) ⇒ p(x,
y)
∀x ∀y p(x, y) ⇒ ¬p(y, z)
∀x ∃y p(x, y)
(1)
∃y p(a, y)
(2) nouveau terme pour (1)
@
@
p(a, a)
p(a, b)
nouveau terme pour (2)
..
.
¬p(a, a)†
∃y p(b, y)
(3) re-développent du ∀ de (1) avec b
H
×
H
H
p(b, c)
nouveau terme pour (3)
p(b, a) p(b, b)
..
. . ..
.
.
.
.
.
...
¬p(a, b) ¬p(b, a)† ¬p(b, b)† ∃y p(c, y) re-développement du ∀ avec c‡
..
×
×
×
.@
@
× p(c, d)
..
.
† Le développement de la formule (b) conduit à une ramification contenant les négations qui
ferment les branches.
‡ Dans cette branche, on a p(a, b) et p(b, c). Le développement de la formule (a) conduit à la
présence de p(a, c), ce qui fermera toutes les branches où apparait p(c, a), du au développement
de la formule (b). Dans cette branche, la seule ouverture sera toujours l’introduction d’une
nouvelle variable d, e, etc.
On voit qu’à chaque étape, on doit ajouter un élément dans le domaine et que cet élément ne
convient pas pour achever le modèle, ce qui oblige à en ajouter encore un. . .
Une interprétation en langue naturelle de la formule est « tout élément a un successeur ». Le graphe
qui a commencé à être construit est la fermeture transitive du graphe suivant :
a
q
- bq
- cq
- ...
§ XI.1
Règle sur ∀
XI – DÉDUCTION NATURELLE EN LANGAGE DES PRÉDICATS
Le calcul des prédicats est une extension du calcul des propositions. On reprend les mêmes notations
et le même principe que celles présentées dans la section VI, page 30 qui traite de la déduction
naturelle en calcul des propositions.
Les règles du calcul des propositions – les trois règles de base (répétition, affaiblissement et
élimination), ainsi que les règles d’introduction et d’élimination des connecteurs – s’appliquent aux
formules des prédicats qui peuvent ou non être des formules closes. On ajoute dans cette section
les règles pour les énoncés généraux du calcul des prédicats qui contiennent des quantificateurs.
Les symboles de variables désignent des objets quelconques du domaine, mais si une occurrence
d’une variable est libre dans une formule de la liste des prémisses, par exemple (A(x), alors il faut
comprendre que ce symbole de variable ne désigne pas un objet quelconque du domaine, mais un
objet qui satisfait la formule A(x).
Comme les autres connecteurs, les quantificateurs ont chacun une règle d’introduction et une règle
d’élimination. Le principe générale des règles est le suivant :
Dans le domaine est D = {a1 , a2 , a3 , . . .}, la formule universelle ∀x p(x) exprime que le prédicat
est satisfait pour tous les éléments du domaine, c’est-à-dire que les propositions p(a1 ), et p(a2 ), et
p(a2 ). . . sont vraies.
De même, la formule existentielle ∃x p(x) exprime que le prédicat est satisfait pour l’un au moins
l’un des éléments du domaine, c’est-à-dire que la proposition p(a1 ), ou p(a2 ), ou p(a3 ) . . . est vraie.
Le quantificateur universel signifie en quelque sorte une conjonction sur tous les objets du domaine
et un quantificateur existentiel signifie une disjonction. Les règles d’introduction et d’élimination
des quantificateurs sont construites sur cette idée.
§ XI.1
Règle sur ∀
Les règles d’introduction et d’élimination du quantificateur ∀ s’inspirent des règles d’élimination
et d’introduction du ∧.
Règle d’élimination du ∀. Si la formule ∀x A(x) est démontrée, alors la proposition A(x) est
démontrée pour n’importe quel objet du domaine.
Γ
Γ
∀x A(x)
,
A(t)
où t est un symbole quelconque de variable ou de constante qui n’apparaît pas comme variable
muette dans A.
Exemples : Les inférences : ∀x A(x)
A(x) et ∀x A(x)
A(a) sont valides. Mais l’inférence
∀x ∃t p(x, t)
∃t p(t, t) n’est pas valide, car la variable t est muette dans ∃t p(x, t), on ne peut
donc pas utiliser le symbole t pour le substituer à x.
Règle d’introduction du ∀. Si une formule est démontrée pour un objet quelconque du
domaine, alors elle est démontrée pour tous ses éléments. Si x désigne un objet quelconque du
domaine, alors :
A(x)
Γ
Γ, ∀x A(x)
q
le symbole x doit désigner un objet quelconque du domaine. Si la formule A(x) fait partie
qqAA
des prémisses, le symbole x ne désigne pas un objet quelconque, mais un objet pour lequel la
formule A(x) est vraie. Un symbole x désigne un objet quelconque si aucune occurrence de x n’est
libre dans les prémisses.
Exemple Montrons la validité de la formule ∀x p(x) ∧ q(x)
∀x p(x) ∧ ∀x q(x) qui énonce
|
{z
}
Γ
la distributivité du ∀ sur le ∧.
53
54
Déduction naturelle en langage des prédicats
1. Γ
p(x) ∧ q(x)
élimination de ∀.
2. Γ
p(x)
élimination du ∧ dans 1.
∀x p(x)
introduction du ∀.
3. Γ
4. Γ
q(x)
élimination du ∧ dans 1.
5. Γ
∀x q(x)
introduction du ∀.
6. Γ
∀x p(x) ∧ ∀x q(x)
introduction de ∧ avec 3 et 5
r
Il faut remarquer que dans les inférences 2 et 4, la variable x n’est libre dans aucune prémisse.
Elle désigne bien un objet quelconque, ce qui autorise l’application de la règle d’introduction
de ∀.
q
On ne peut pas montrer la validité d’une inférence semblable avec ∨ au lien de ∧. Tentons de
qqAA
le faire :
p(x) ∨ q(x)
élimination de ∀.
1. Γ
Pour éliminer ∨, on doit supposer p(x) et q(x) et monter la conclusion.
p(x)
répétition.
2. Γ, p(x)
3. Γ, p(x)
p(x) ∨ q(x)
introduction du ∨.
Mais maintenant, on ne peut appliquer la règle d’introduction du ∀, car x n’est pas libre dans la
prémisse p(x) et ne désigne pas un objet quelconque.
Exercices : a) Montrer la réciproque : ∀x p(x) ∧ ∀x q(x)
∀x p(x) ∧ q(x) .
∀x p(x) ∨ q(x) .
b) Montrer la validité de : ∀x p(x) ∨ ∀x q(x)
Règle sur ∃
§ XI.2
Les règles d’introduction et d’élimination du symbole ∃ s’inspirent des règles d’introduction et
d’élimination du ∨.
Règle d’introduction du ∃. Si une formule est montrée pour un objet x du domaine, alors cela
démontre la formule ∃x A(x).
Γ
A(x)
Γ
∃x A(x)
r
Contrairement à la règle d’introduction du ∀, le symbole x peut apparaître comme variable
libre dans les prémisses. Il peut représenter n’importe quel objet du domaine. Mais bien sûr,
il ne doit entrer en conflit avec une variable muette de la formule A.
Exemples. a) Montrer la validité de la formule ∀x p(x)
| {z }
Γ
1. Γ
2. Γ
p(x)
∃x p(x)
∃x p(x).
élimination de ∀.
introduction de ∃.
b) Montrer la validité de l’inférence : ¬∀x p(x)
∃x ¬p(x). Cet exemple montre comment éliminer
| {z }
Γ
un quantificateur universel sous une négation. On introduit la négation de la conclusion pour une
contradiction. Introduisons également l’hypothèse ¬p(x) pour un élément x général, de manière à
trouver la contradiction avec la prémisse.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Γ,
Γ,
Γ,
Γ,
Γ,
Γ,
Γ,
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
∃x
∃x
∃x
∃x
∃x
∃x
∃x
¬p(x)
¬p(x), ¬p(x)
¬p(x), ¬p(x)
∃x ¬p(x)
¬p(x), ¬p(x)
¬ ∃x ¬p(x)
¬¬p(x)
¬p(x)
¬p(x)
p(x)
¬p(x)
∀x p(x)
¬p(x)
¬ ∀x p(x)
recopie.
introduction du ∃.
recopie.
introduction du ¬ avec 2 et 3.
élimination du ¬.
introduction du ∀ dans 5.
recopie.
§ XI.3
Exemples
8. Γ
9. Γ
¬¬∃x ¬p(x)
∃x ¬p(x)
introduction du ¬ avec 6 et 7.
élimination du ¬.
Exercice. Montrer la validité de l’inférence p(a) ∨ p(b)
de constante.
∃x p(x), où a et b sont des symboles
Règle d’élimination du ∃. Si une formule B est démontrée en supposant A(x) pour un élément
quelconque du domaine, et si la formule ∃x A(x) est démontrée, alors cela constitue une preuve de
B. Cette règle est directement inspirée de la règle d’élimination du ∨.
Γ, A(x)
B;
Γ
Γ
B
∃x A(x)
, où, dans A(x), le symbole x désigne un élément quelconque.
Exemple. Montrer la validité de l’inférence ∃x ¬p(x)
¬∀x p(x).
| {z }
Γ
1. Γ
∃x ¬p(x)
répétition. Supposer ∀x p(x) pour une contradiction
Supposer aussi ¬p(x) pour appliquer l’élimination de ∃.
∀x p(x) répétition
2. Γ, ¬p(x), ∀x p(x)
¬p(x) répétition
3. Γ, ¬p(x), ∀x p(x)
4. Γ, ¬p(x), ∀x p(x)
p(x)
élimination du ∀ dans 2.
5. Γ, ¬p(x)
¬∀x p(x)
introduction du ¬ avec 3 et 4.
6. Γ
¬∀x p(x)
élimination du ∃ avec 1 et 5.
q
Il est entendu que dans la règle d’élimination du ∃, le symbole x dans la formule A(x) désigne
qqAA
un élément quelconque du domaine, en particulier, il ne peut pas être une occurrence libre de
x dans l’une des formules des prémisses.
Par exemple, cherchons à montrer la validité de l’inférence
∃x p(x) ∧ ∃x q(x)
∃x p(x) ∧ q(x) . La règle d’élimination du ∧ permet de déduire ∃x p(x) :
∃x p(x) ∧ ∃x q(x)
recopie
1. ∃x p(x) ∧ ∃x q(x)
2. ∃x p(x) ∧ ∃x q(x)
∃x p(x)
élimination du ∧
D’autre part, montrer p(x) ∧ q(x) nécessite de supposer p(x) et q(x) :
3. ∃x p(x) ∧ ∃x q(x), p(x), q(x)
p(x)
recopie
4. ∃x p(x) ∧ ∃x q(x), p(x), q(x)
q(x)
recopie
5. ∃x p(x) ∧ ∃x q(x), p(x), q(x)
p(x) ∧ q(x)
introduction du ∧
Maintenant, pour se passer des prémisses supplémentaires et montrer la conclusion par introduction
du ∃, on souhaiterait appliquer la règle d’élimination de ∃ avec 2 et 5, mais ce n’est pas possible, car
le symbole x dans p(x) est libre dans la prémisse q(x). Dans l’inférence 5, symbole x ne représente
pas un objet quelconque, mais un objet qui vérifie le prédicat q(x).
§ XI.3
Exemples
1. Montrer la validité de ∃x p(x) ∧ q(x)
∃x p(x)∧∃x q(x). Pour cela, montrer les deux termes
|
{z
}
Γ
de la conclusion.
1. Γ
∃x p(x) ∧ q(x)
répétition, supposer p(x) ∧ q(x) pour éliminer le ∃
2. Γ, p(x) ∧ q(x)
p(x) ∧ q(x)
répétition
3. Γ, p(x) ∧ q(x)
p(x)
élimination du ∧
4. Γ, p(x) ∧ q(x)
∃x p(x)
introduction de ∃
5. Γ, p(x) ∧ q(x)
∃x q(x)
idem pour q(x)
6. Γ, p(x) ∧ q(x)
∃x p(x) ∧ ∃x q(x)
introduction de ∧
7. Γ
∃x p(x) ∧ ∃x q(x)
élimination de ∃ avec 1 et 6.
2. Permutation de ∃ et de ∀.
55
56
Déduction naturelle en langage des prédicats
Montrer la validité de l’inférence ∃x ∀y p(x, y)
∀y ∃x p(x, y).
|
{z
}
Γ
La stratégie est d’éliminer les quantificateurs et de les introduire dans l’ordre inverse. Il sera
nécessaire d’appliquer la règle d’élimination du ∃.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Γ
Γ,
Γ,
Γ,
Γ,
Γ
∀y
∀y
∀y
∀y
∃x ∀y p(x, y)
p(x, y)
∀y p(x, y)
p(x, y)
p(x, y)
p(a, y)
∃x p(x, y)
∀y ∃x p(x, y)
p(a, y)
∀y ∃x p(x, y)
recopie. On cherche à éliminer ∃
recopie
élimination de ∀ dans 2.
introduction de ∃.
introduction de ∀ dans 4.
élimination de ∃ avec 1 et 6.
q
qqAA
L’inférence réciproque n’est pas valide. Par exemple, si le domaine d’interprétation est
l’ensemble N des entiers naturels et le prédicat p(x, y) signifie x ≤ y, la formule ∀y ∃x x ≤ y
est vraie. Elle signifie que tout entier admet un entier qui lui est supérieur. Par contre la formule
∃x ∀y p(x, y) est fausse. Elle signifierait qu’il existe un entier supérieur à tous les autres.
Exercice. Chercher à démontrer l’inférence réciproque et voir ce qui empêche d’aboutir.
3. Montrer l’équivalence des deux formules ∃x p(x) ⇒ q(x) et ∀x p(x) ⇒ ∃x q(x). Cette
équivalence exprime une règle de distributivité de ∃ sur l’implication.
Montrer cette équivalence revient à montrer que l’une est conséquence de l’autre et vice versa. Il
faut donc montrer la validité de ces deux inférences :
(12)
∀x p(x) ⇒ ∃x q(x)
∃x p(x) ⇒ q(x)
(13)
∀x p(x) ⇒ ∃x q(x)
∃x p(x) ⇒ q(x)
Montrons tout d’abord la première inférence (12) et notons Γ ses prémisses. On rappelle que pour
montrer une implication A ⇒ B, une méthode est d’ajouter A aux prémisses et d’établir B comme
conséquence valide.
1. Γ, ∀x p(x)
∃x p(x) ⇒ q(x)
répétition. Supposer p(x) ⇒ q(x) pour éliminer ∃
2. Γ, ∀x p(x), p(x) ⇒ q(x)
∀x p(x)
répétition.
3. Γ, ∀x p(x), p(x) ⇒ q(x)
p(x)
élimination de ∀.
p(x) ⇒ p(x) répétition.
4. Γ, ∀x p(x), p(x) ⇒ q(x)
5. Γ, ∀x p(x), p(x) ⇒ q(x)
q(x)
modus ponens
∃x q(x)
introduction de ∃
6. Γ, ∀x p(x), p(x) ⇒ q(x)
7. Γ, ∀x p(x)
∃x q(x)
élimination de ∃ avec 1 et 6.
8. Γ
∀x p(x) ⇒ ∃x q(x)
introduction de ⇒ avec 7
Montrons maintenant la validité de la second inférence (13), et notons Γ ses prémisses. Une manière
de procéder est de supposer la négation de la conclusion et chercher une contradiction.
Notons que, en raison des résultats
déjà démontrés, la négation de la conclusion est une formule
équivalente à ∀x p(x) ∧ ¬q(x) .
1. Γ, ∀x p(x) ∧ ¬q(x)
∀x p(x)
voir exemple page 53
2. Γ, ∀x p(x) ∧ ¬q(x)
∀x ¬q(x)
idem.
3. Γ, ∀x p(x) ∧ ¬q(x)
∀x p(x) ⇒ ∃x q(x)
répétition
4. Γ, ∀x p(x) ∧ ¬q(x)
∃x q(x)
modus ponens avec 3 et 1.
En conséquence des exemples sur les règles du quantificateur ∃ page 55, les conclusions des
inférences 2 et 4 sont contradictoires.
La règle d’introduction du ¬ s’applique pour conclure à
la négation de ∀x p(x) ∧ ¬q(x) .
Exercices. Montrer les équivalences
remarquables suivantes :
∀x p(x) ⇒ q a) ∃x p(x) ⇒ q
b) ∀x p(x) ⇒ q
∃x p(x) ⇒ q
Index alphabétique
Index alphabétique
–A–
absorbant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
affaiblissement
règle d’— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
arbre
— syntaxique d’une formule . . . . 13,
— de réfutation . . . . . . . . . . . . . . . .
méthode des —s . . . . . . . . . . . . . 26,
Aristote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6,
arité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
— d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . .
axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.
31.
39.
28.
47.
51.
37.
41.
30.
–B–
barre de Sheffer . . . . . . . . . . . 11, 17, 19.
binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.
branche fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.
–C–
close
formule — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.
composée
proposition — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.
conjonction . . . . . . . . . . . . . . 7, 25, 27, 31.
consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.
consistant
ensemble — de formules . . . . . . . . . . 21.
contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 21.
contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 19.
–D–
déduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
— naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . 30,
De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . 17, 18,
disjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 27,
domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37,
double négation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
principe de la — . . . . . . . . . . . . . . . .
22.
53.
19.
33.
42.
19.
16.
–E–
écriture simplifiée . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.
élimination
règle d’— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
règle d’— de ∧ . . . . . . . . . . . . . . . . .
règle d’— de ∨ . . . . . . . . . . . . . . . . .
règle d’— de ⇒ . . . . . . . . . . . . . . . .
règle d’— de ∨ . . . . . . . . . . . . . . . . .
règle d’— de ∀ . . . . . . . . . . . . . . . . .
règle d’— de ∃ . . . . . . . . . . . . . . . . .
équivalence logique . . . . . . . . . . . . . . . .
évaluation d’une formule . . . . . . . . . . .
–F–
fonction booléenne . . . . . . . . . . . . . . . .
forme
— normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
— normale disjonctive . . . . . . . . . . .
formule
— bien construite . . . . . . . . . . . . . . .
évaluation d’une — . . . . . . . . . . . . . .
ensemble consistant de — . . . . . . . . .
—s équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . .
— valide
31.
31.
33.
32.
33.
53.
55.
10.
13.
25.
25.
25.
12.
13.
21.
21.
–G–
Gentzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.
–I–
identité
principe d’— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.
implication . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 19, 32.
— logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.
incompatibilité
opérateur d’— . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.
inconsistant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38.
inférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 22.
— valide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.
interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 42.
introduction
règle d’— de ∧ . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.
règle d’— de ¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.
règle d’— de ⇒ . . . . . . . . . . . . . . . . 32.
règle d’— de ∨ . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.
règle d’— de ∀ . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.
règle d’— de ∃ . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.
57
58
Index alphabétique
Jáskowski
–J–
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.
–L–
langage
— des propositions . . . . . . . . . . . . . . 12.
— des prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . 39.
–M–
méthode des arbres . . . . . . . . . . . . 26,
modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
modus ponens . . . . . . . . . . . . . . . 20, 24,
modus tollens . . . . . . . . . . . . . . . . . 20,
47.
43.
32.
24.
–N–
nand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7,
neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16,
non-contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . .
principe de — . . . . . . . . . . . . . . . . 6,
notation polonaise . . . . . . . . . . . . . . . .
11.
32.
19.
30.
16.
14.
occurrence
ou exclusif
–O–
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 17.
–P–
polonaise
notation — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.
portée
— d’un quantificateur . . . . . . . . . . . . 40.
prédicat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.
prémisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.
principe
— de composition . . . . . . . . . . . . . . . . 6.
proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.
–Q–
quantificateur
distribution des —s . . . . . . . . . . . . . .
— existentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
permutation des —s . . . . . . . . . . . . .
portée d’un — . . . . . . . . . . . . . . . . .
— universel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45.
38.
46.
40.
38.
–R–
raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 51.
réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.
réfutation par l’absurde . . . . . . . . . . . . 20.
règle d’inférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.
–S–
satisfiable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28, 38.
sémantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.
Sheffer
barre de — . . . . . . . . . . . . . . . 11, 17, 19.
simple
proposition — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.
Socrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.
substitution
principe de — . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.
syntaxique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.
–T–
tautologie . . . . . . . . . . . . . . . 16, 19, 21,
théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
tiers exclus
principe du — . . . . . . . . . . . . . . . 6,
transitivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20,
23.
30.
16.
32.
–U–
unaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37, 42.
–V–
validation d’une inférence . . . . . . . . . . . 51.
validité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.
variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.
— libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.
— muette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.
vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 43.
table de — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.
Bibliographie
Bibliographie
[1]
Jean-Pierre Desclés, Brahim Djioua, Florence Le Priol, Logique et langage :
déduction naturelle, Hermann, 2010.
[2]
Jean-Yves Girard, Le point aveugle I, cours de logique, vers la perfection, Hermann, 2006.
[3]
Jean Largeault, La logique, Presses universitaires de France, collection « Que sais-je ? »,
1993.
[4]
François Lepage, Élements de logique contemporaine,
Montréal, 2001.
Les presses de l’Université de
59
60
Annexe 1
Annexe 1
Ce que se dirent Achille et la tortue
Lewiss Caroll 1895
Achille avait rattrapé la tortue et s’était installé sur son dos, bien à l’aise.
– Vous avez donc, dit la tortue, réussi à terminer cette course. Elle se compose pourtant bien d’une
série infinie de distances ? Il me semblait qu’un savant - je ne me rappelle plus son nom - avait
prouvé que c’était impossible ?
– C’est tout à fait possible, répondit Achille. C’est même chose faite ! Solvitur ambulando. Les
distances, voyez-vous, diminuaient constamment, si bien que... La tortue l’interrompit :
– Mais si, au contraire, elles avaient augmenté constamment ? Que se serait-il passé ?
– En ce cas, je ne serais pas ici, répondit Achille avec modestie, et quant à vous, vous auriez fait
plusieurs fois le tour du monde.
– Vous me faites rougir, rugir, veux-je dire, déclara la tortue ; car vous pesez un rude poids, je vous
l’assure ! Cela dit, voulez-vous que je vous raconte une course que la plupart des gens s’imaginent
pouvoir terminer en deux ou trois pas, et qui, en réalité, se compose d’un nombre infini de distances,
dont chacune est supérieure à la précédente ?
– Volontiers ! dit le guerrier grec, tirant de son casque (rares étaient, en ce temps-là, les guerriers
grecs munis de poches) un énorme carnet ainsi qu’un crayon. Vous pouvez commencer ! Et parlez
lentement, je vous en prie ! On n’a pas encore inventé la sténographie.
– Ah ! murmura la tortue, l’air rêveur, je pense à cette grandiose première proposition d’Euclide !
Aimez vous Euclide ?
– À la folie ! C’est-à-dire, autant qu’on puisse aimer un homme dont le traité ne sera publié que
d’ici plusieurs siècles !
– Bien ; en ce cas, considérons une toute petite partie du raisonnement que contient cette première
proposition, deux étapes, sans plus, ainsi que la conclusion qu’il en tire. Ayez la bonté de les inscrire
sur votre carnet. Et, pour la commodité, appelons-les A, B et Z :
A. Deux choses égales à une même troisième sont égales entre elles.
B. Les deux côtés de ce triangle sont égaux à un même troisième.
Z. Les deux côtés de ce triangle sont égaux entre eux.
Tout lecteur d’Euclide admettra, du moins je le présume, que Z découle logiquement de A et B,
et que, si l’on admet la vérité de A et de B, on est contraint d’admettre celle de Z ?
– Sans aucun doute ! Le moindre élève de lycée - dès que les lycées seront inventés, c’est-à-dire
dans quelque deux mille ans - admettra cela.
– Et si un lecteur n’avait pas encore admis la vérité de A et de B, il pourrait cependant, du moins
je le présume, admettre la validité de la suite des propositions ?
– On pourrait probablement rencontrer un lecteur de ce genre. il dirait sans doute : « J’accepte
pour vraie la proposition hypothétique suivante : si A et B sont vrais, Z est nécessairement vrai,
mais je ne reconnais pas la vérité de A et de B ». Ce lecteur aurait fort intérêt à renoncer à
Euclide, et à s’orienter vers le football.
– Ne pourrait-on également rencontrer un lecteur pour affirmer : « J’accepte pour vrais A et B,
mais je n’admets pas l’hypothétique ? »
Annexe 1
– Cela est évidemment possible. En ce cas, lui aussi ferait mieux de s’orienter vers le football. La
tortue poursuivit : « Mais aucun de ces deux lecteurs n’est jusqu’à présent contraint logiquement
d’accepter Z pour vrai ? »
– Exactement, reconnut Achille.
– Bien. En ce cas, j’aimerais que vous me considériez comme appartenant à la deuxième catégorie,
et que vous m’obligiez logiquement à accepter la vérité de Z.
– Une tortue jouant au football, commença Achille.
– Serait une anomalie, bien entendu, se hâta d’interposer la tortue. Ne vous écartez pas du sujet.
Z d’abord, le football ensuite !
– Donc, si je comprends bien, je dois vous contraindre à accepter Z ?, dit Achille d’un ton rêveur. Et
votre position, pour l’instant, c’est que vous admettez A et B, mais sans admettre l’hypothétique.
– Appelons-la C, dit la tortue.
– Mais sans admettre la proposition C que voici : si A et B sont vrais, Z est nécessairement vrai.
– C’est effectivement là ma position actuelle, déclara la tortue.
– il faut donc que je vous demande d’admettre C.
– Je le ferai, dit la tortue, dès que vous l’aurez inscrite sur votre carnet. Que contient-il d’autre ?
– Rien que de petits comptes rendus, dit Achille en tournant les pages avec agitation ; de petits
comptes rendus des combats dans lesquels je me suis particulièrement distingué !
– Quelle foule de pages vierges !, fit observer la tortue avec entrain. Nous en aurons bien besoin !
(Achille sentit un frisson le parcourir). Écrivez donc ce que je vais vous dicter :
A. Deux choses égales à une même troisième sont égales entre elles.
B. Les deux côtés de ce triangle sont égaux à un même troisième.
C. A et B sont vrais, Z est nécessairement vrai.
Z. Les deux côtés de ce triangle sont égaux entre eux.
– Vous devriez dire D, et non Z, dit Achille. C’est une proposition qui vient immédiatement après
les précédentes. Si l’on accepte A, B, et C, on doit nécessairement accepter Z.
– Pourquoi nécessairement ?
– Parce qu’elle en découle logiquement. Si A, B et C sont vrais, Z est nécessairement vrai. Vous
n’allez pas contester ce point ? La tortue répéta la phrase d’un ton pensif : « Si A, B et C sont
vrais, Z est nécessairement vrai. Nous avons là, n’est-ce pas vrai ? une nouvelle hypothétique. Et
si je ne réussissais pas à en apercevoir la vérité, il me serait toujours loisible d’admettre A, B et
C, et pourtant de ne pas admettre Z ? »
– Ce serait possible, reconnut avec franchise notre héros ; cela dit, un esprit aussi obtus serait
proprement phénoménal. Enfin, c’est une attitude possible. Je dois donc vous demander d’admettre
une nouvelle hypothétique.
– Très bien. Je suis toute prête à l’admettre, dès que vous l’aurez inscrite sur votre carnet. Nous
l’appellerons D. Si A, B et C sont vrais, Z est nécessairement vrai. Avez-vous enregistré cela sur
votre carnet ?
– Voilà qui est fait ! s’écria gaiement Achille en replaçant le crayon dans sa gaine. Nous voici donc
parvenus au terme de cette course imaginaire ! Puisqu’à présent vous admettez A, B, C et D, il va
sans dire que vous acceptez Z ?
– Ah ! vraiment ? fit la tortue d’un ton innocent. Entendons-nous bien : j’admets A, B, C et D.
Mais si je refusais toujours d’admettre Z ?
– En ce cas, la logique vous prendrait à la gorge et vous y contraindrait ! répliqua Achille
triomphalement. La logique vous dirait : « Vous ne pouvez pas faire autrement, Puisque vous avez
admis A, B, C et D, vous devez nécessairement admettre Z ! Vous voyez bien que vous n’avez pas
le choix »,
– Toute parole tombée des lèvres de la logique mérite d’être notée, dit la tortue. Soyez donc assez
bon pour l’écrire sur votre carnet, Nous dirons :
E. Si A, B, C et D sont vrais, Z est nécessairement vrai.
61
62
Annexe 1
Tant que je n’ai pas admis cette proposition, il est bien entendu, n’est-ce pas ? que je ne suis pas
obligée d’admettre Z ? Vous voyez donc bien qu’il s’agit là d’une étape nécessaire ?
– Je vois, dit Achille. Sa voix était chargée de tristesse. À ce point de la discussion, le narrateur,
contraint de se rendre de toute urgence à sa banque, dut abandonner nos deux amis, et ne put
repasser par là que plusieurs mois plus tard, Il s’aperçut alors qu’Achille était toujours juché sur le
dos de la patiente tortue, et écrivait quelque chose sur son carnet – lequel paraissait presque rempli
de notes. La tortue était en train de demander : « Avez-vous enregistré cette dernière étape ? Si je
ne me trompe, nous en sommes au numéro mille et un. Il nous en reste encore plusieurs milliers
à voir. Je me permets de vous demander une faveur, à titre tout à fait personnel : eu égard à
l’enrichissement considérable que notre entretien représentera pour les logiciens du XIXe siècle,
verriez-vous un inconvénient à faire vôtre un calembour que, vers cette époque, pourrait faire ma
cousine la Fausse Tortue, et à vous laisser rebaptiser habile » ?
– Comme vous voulez ! répondit le lutteur lassé, et dans sa voix retentissaient les sombres sonorités
du désespoir, tandis qu’il ensevelissait son visage entre ses mains. À condition cependant que, en
ce qui vous concerne, vous fassiez vôtre un calembour que la Fausse Tortue a effectivement fait, et
que vous vous laissiez rebaptiser torture,
Annexe 2
Annexe 2
« J’ai menti à mon ami, je n’ai cessé de mentir à Bob Arctor. Je lui ai même dit une fois de ne pas
croire un mot à ce que racontais, et naturellement il a cru que je plaisantais ; il ne ma pas écoutée.
Mais du moment que je lui ai dit, c’est sa responsabilité, de me croire ou de pas me croire. Je l’ai
prévenu, seulement il a oublié aussitôt et il a continué de m’écouter. Il a continué sur sa lancée. »
Philip K. Dick, Substance mort, Folio SF, 2007, p. 368
« Ce mec, disait Luckman, maintenant occupé à remplir une boîte avec l’herbe triée, est venu
raconter à la télé qu’il était un imposteur de renommée mondiale. À un moment ou à un autre –
c’est ce qu’il expliquait au journaliste –, il s’était fait passer pour un grand chirurgien de la faculté
John Hopkins, pour un physicien, boursier fédéral de Harvard et spécialisé dans les particules
étranges, pour un romancier finlandais couronné par le Nobel, pour un président de la république
argentine destitué et marié à. . .
– Il s’est tiré de tout ça ? Demanda Arctor. Il n’a jamais été pris ?
– Le type n’avait tenu aucun de ces rôles. Il s’était seulement fait passer pour un imposteur
de renommée mondiale. L’histoire a paru plus tard dans L.A. Times. Le mec passait le balai à
Disneyland, jusqu’au jour où il a vu l’autobiographie d’un imposteur célèbre – un vrai. Alors il
s’est dit : merde, je peux me faire passer pour tous ces types folklo et personne n’y verra que du
feu, et puis il a encore réfléchi et s’est dit : pourquoi se donner tout ce mal ? Je me ferai passer
pour un imposteur. Il s’est fait un blé monstre avec ça, d’après le L.A. Times. Presque autant que
le véritable imposteur. Et c’était vachement plus facile selon lui. »
Philip K. Dick, Substance mort, Folio SF, 2007, pp 283,284
Ce qui était introduit dans le Mégavac 6-v sous forme de simples éléments linguistiques émergait
comme une allocution, qu’enregistreraient les caméras de télévision et les micros, un exposé définitif
dont nul individu lucide – surtout après avoir passé quinze années de sa vie bloqué sous terre –
ne mettrait en doute la véracité. Mais. . . cela aboutirait à un paradoxe, puisque c’était Yancy
lui-même qui avec emphase prononcerait le discours ; et on serait comme dans le vieux syllogisme :
« Tout ce que je dis est un mensonge. Donc je mens en prétendant mentir. Donc rien de ce que je
dis n’est un mensonge. Donc je dis bien la vérité en affirmant que je mens. Donc. . . » etc. Ce serait
le serpent se mordant la queue, le vrai et le factice inextricablement liés.
Philip K. Dick, La vérité avant dernière, J’ai lu, 1964, pp 45, 46
63