S.G.A. 4

M.ARTIN–P.DELIGNE–A.GROTHENDIECK–J.L.VERDIER
aveclacollaborationde
N.BOURBAKI–B.SAINT‐DONAT
THEORIEDESTOPOSET
COHOMOLOGIEETALEDESSCHEMAS
II
S.G.A.4
SEMINAIREDEGEOMETRIEALGEBRIQUEDUBOIS‐MARIE
1963/64

TABLE DES MATIÈRES
Exposé v cohomologie dans les topos par J.L. Verdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Introduction ................................................................ 1
0. Généralités sur les catégories abéliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1. Modules plats ............................................................ 5
2. Cohomologie de ˇ Cech. Notation cohomologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. La suite spectrale de Cartan-Leray relative à un recouvrement . . . . . . . . . . . . 19
4. Faisceaux acycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5. Les Rqu∗et la suite spectrale de Cartan-Leray relative à un morphisme de
topos ........................................................................ 27
6. Ext locaux et cohomologie à supports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7. Appendice : Cohomologie de Čech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8. Appendice. Limites inductives locales (par P. Deligne) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Exposé vbis techniques de descente cohomologique par B. Saint-Donat . . . . . . . . . . 63
Introduction ................................................................ 63
1. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2. La méthode de la descente cohomologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3. Critères de descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4. Exemples ................................................................102
5. Applications ..............................................................107
Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Exposé vi conditions de finitude. topos et sites fibres. applications aux techniques
de passage a la limite par A. Grothendieck et J. -L. Verdier . . . . . . . . . . . . 119
0. Introduction ..............................................................119
1. Conditions de finitude pour les objets et flèches d’un topos . . . . . . . . . . . . . . 121
2. Conditions de finitude pour un topos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3. Conditions de finitude pour un morphisme de topos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4. Conditions de finitude dans un topos obtenu par recollement . . . . . . . . . . . . 155
5. Commutation des foncteurs Hi(X,−)aux limites inductives filtrantes . . 167
6. Limites inductive et projective d’une catégorie fibrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

vi TABLE DES MATIÈRES
7. Topos et sites fibrés ......................................................178
8. Limites projectives de topos fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9. Appendice. Critère d’existence de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Exposé vii site et topos étales d’un schéma par A. Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . 231
1. La topologie étale ........................................................231
2. Exemples de faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
3. Générateurs du Topos étale. Cohomologie d’une lim
−→ de faisceaux . . . . . . . . 236
4. Comparaison avec d’autres topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5. Cohomologie d’une limite projective de schémas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Exposé viii foncteurs fibres, supports, étude cohomologique des morphismes
finis par A. Grothendieck ..................................................247
1. Invariance topologique du topos étale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
2. Faisceaux sur le spectre d’un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
3. Foncteurs fibres relatifs aux points géométriques d’un schéma . . . . . . . . . . . . 250
4. Anneaux et schémas strictement locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
5. Application au calcul des fibres des Rqf∗................................258
6. Supports ..................................................................261
7. Morphismes de spécialisation des foncteurs fibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8. Deux suites spectrales pour les morphismes entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9. Descente de faisceaux étales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
Index terminologique ......................................................277
Index des notations ........................................................281

SGA 4, Exposé v
COHOMOLOGIE DANS LES TOPOS
par J.L. Verdier
Table des matières
Exposé v cohomologie dans les topos par J.L. Verdier . . . . . . . . . . 1
Introduction ...................................................... 1
0. Généralités sur les catégories abéliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1. Modules plats .................................................. 5
2. Cohomologie de ˇ Cech. Notation cohomologique . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. La suite spectrale de Cartan-Leray relative à un recouvrement . . 19
4. Faisceaux acycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5. Les Rqu∗et la suite spectrale de Cartan-Leray relative à un
morphisme de topos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6. Ext locaux et cohomologie à supports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7. Appendice : Cohomologie de Čech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8. Appendice. Limites inductives locales (par P. Deligne) . . . . . . . . 49
Références ........................................................ 63
Introduction
On présente dans cet exposé les invariants cohomologiques commutatifs et élémen- 2
taires des topos. Dans le n◦1, on étudie les modules plats et les morphismes plats
de topos annelés. Les démonstrations sont faites en utilisant l’hypothèse, le plus sou-
vent vérifiée dans la pratique, que les topos ont suffisamment de points (IV 6). Ces
démonstrations sont reprises dans le cas général dans l’appendice n◦8 où Deligne,
à l’aide de la technique des limites inductives locales, généralise en outre au cas des
topos, le théorème de D. Lazard sur la structure des modules plats. Les théorèmes
de cet exposé, sont des théorèmes d’existence de suites spectrales reliant les différents
invariants cohomologiques (N◦3, 5, 6). On sait que, même pour les espaces topolo-
giques, la cohomologie de Cech ne coïncide pas en général avec la cohomologie des