MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

1-23
Chapitre 5




23-43
pas au
programme
mais …
concepts
importants
pour un
ingénieur
Bernard CLÉMENT, PhD
distributions discrètes
distribution Bernoulli / binomiale
processus / distribution de Poisson
distribution géométrique
distribution hypergéométrique
APPLICATIONS
2 méthodes contrôle statistique de la qualité
 Statistical Process Control (SPC)
cartes : np - carte p - carte c - carte u
 « Acceptance Sampling »
plans d’échantillonnage pour
accepter ou rejeter des produits regroupés en lots
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
1
distribution constante : c’est une distribution sans variabilité!
prob
X=c
avec probabilité = 1
1
E(X) = c
X
Var(X) = 0
c
phénomène à 2 résultats
distribution Bernoulli
prob
résultat «Succès» «Echec»
noté
S
E
X
0
1
prob 1 - p
p
p
1-p
1
0 ≤p≤ 1
X
0
E(X) = 0*(1- p) + 1*p = p
autre notation
θ au lieu de p
Var(X) = p *( 1 – p) ≤ 1/4
base pour distribution binomiale
2
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
distribution BINOMIALE : distribution résultant de l’échantillonnage
(l’observation) d’une distribution Bernoulli
Définition
X=
nombre de succès dans une suite de n essais (échantillonnage)
de Bernoulli indépendants avec une probabilité commune de
succès θ
X i la v.a de Bernoulli associée au i ème essai i = 1, 2, …, n
X i = 1 avec probabilité θ ou X i = 0 avec probabilité 1 - θ
X1, X2,…, X n sont indépendantes,
X= ∑Xi
est appelée une variable aléatoire binomiale
notation : X ~ b(n, θ)
:
X suit distribution binomiale paramètres (n, θ)
Statistica : BINOM(x ; θ ; n)
fonction de masse
p (x) = P(X = x) = Cnx θ x (1- θ ) n – x
fonction de répartition
x
F(x) = P(X ≤ x) =
moyenne = E(X)
E[X] = n θ
Bernard CLÉMENT, PhD
∑
x = 0 , 1 , …., n
Statistica :
Cnk θ k ( 1- θ ) n - k
k=0
variance = Var(X)
Var[X] = n θ ( 1 - θ )
IBINOM(x ; θ ;n)
besoin table
écart type = ET(X)
ET[X] = [n θ ( 1 - θ )] 0,5
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
3
Distribution
Binomiale
Table
Fonction
Répartition
FX(x)
4
Bernard CLÉMENT, PhD
distribution
BI NOMIALE
n : taille de l’échantillon = nombre d’observations
paramètre contrôlable connu ou à déterminer
θ : paramètre généralement inconnu
comment estimer
θ ?
choix de n ?
réponse : l’estimation de θ est
θ =X/n
c’est un moyenne
où X = nombre succès en n essais de Bernoulli
remarque : le symbole
au dessus d’un
paramètre indique une estimation
propriétés
a) erreur systématique
= écart entre θ et
^
E(θ )
= E ( θ ) - θ = E ( X / n ) – θ = ( E(X) / n ) - θ = ( n θ / n) - θ = 0
b) erreur aléatoire = Var ( θ )
= Var( θ ) = θ ( 1 – θ ) / n
≤ 0,25 / n
pour tout θ
remarque : l’estimation statistique vue au chapitre 10
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
5
distribution
BI NOMIALE
n = 30 θ = 0,3
Bar/Column Plot (ch3.sta 10v*31c)
n = 30 θ = 0,9
θ = 0,5
n = 30
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)
0,18
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)
0,16
0,16
0,20
0,18
0,14
0,14
0,16
0,12
0,14
0,12
0,10
0,12
0,10
0,08
0,10
0,06
0,08
0,08
0,06
0,06
0,04
0,04
0,04
0,02
0,02
0,02
0,00
0,00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
0,00
1
30
3
5
n = 100 θ = 0,3
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
1
3
5
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)
11
13
15
17
19
21
23
25
27
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)
0,10
0,09
0,16
0,09
0,08
0,14
0,08
9
n = 100 θ = 0.9
n = 100 θ = 0,5
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)
7
0,07
0,12
0,07
0,06
0,10
0,06
0,05
0,05
0,08
0,04
0,04
0,06
0,03
0,03
0,02
0,02
0,01
0,01
0,00
1
8
15
22
29
36
43
50
57
64
71
78
85
92
99
0,04
0,02
0,00
0,00
1
Bernard CLÉMENT, PhD
9
17
25
33
41
49
57
65
73
81
89
97
1
9
17
25
33
41
49
57
65
73
81
89
97
6
29
distribution
BI NOMIALE
X ~ b(n, θ)
Logiciel Statistica
binom(x;0,5;30)
n = 30 θ = 0,5
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
Exemple
Prob (X = 3) = ?
= 30!
(0,53) (0,527)
3! *27!
= 0,00000378116965
Bernard CLÉMENT, PhD
7
Processus de Poisson
-
Distribution de Poisson
Épreuve consiste à recenser le nombre d’apparitions
relatifs à des événements répartis dans le temps ou l’espace. (fenêtre obs.)
Nombre d’essais n’est pas fixé à l’avance comme dans les essais de Bernoulli
Événements étudiés en tant que « présence » (ou ‘’apparition’’) sur un intervalle
continu: on compte X le nombre d’apparitions d’un événement spécifique.
Exemple: la présence d’un défaut sur une pièce fabriquée
Processus de Poisson : si conditions suivantes satisfaites
1. Stationarité : la probabilité d’une occurrence sur une unité d’épreuve
est la même pour toutes les unités;
2. Indépendance : le nombre d’occurrence sur une unité est indépendant
du nombre d’occurrence sur les autres unités
X = nombre d’occurrence est soumise à une loi de Poisson de paramètre λ
On écrit
Fonction de masse
pX ( x ) = e –
Bernard CLÉMENT, PhD
λ
X ~ Poi (λ )
λx/
x!
x = 0, 1, 2, ….
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
8
Distribution
de P O I S S O N
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 15v*101c)
0.20
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 15v*101c)
0.40
0.18
0.16
λ=5
0.35
0.14
0.12
λ=1
0.30
0.25
0.10
0.08
0.06
0.20
0.04
0.15
0.02
POI-5
0.00
0.10
1
0.05
0.10
3
5
7
9
11
13
15
17
19
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 15v*101c)
λ = 20
0.09
POI-1
0.00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
POI-20
0.00
1
Bernard CLÉMENT, PhD
4
7
10
13
16
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
19
22
25
28
31
34
37
40
9
Distribution
de P O I S S O N
Fonction de répartition
k=x
F (x ) =∑ e – λ λ k / k !
Table
k=0
Moyenne - variance - écart type
moyenne = E (X ) = λ
critère essentiel
Var ( X ) = λ
ET ( X ) = λ 0,5
pour une distribution Poisson
moyenne = variance
critère pas suffisant pour caractériser la distribution Poisson.
Les conditions (page 8) doivent être vérifiées mais cela n’est pas
facile de voir en pratique.
méthode 1 : observation du phénomène - collecte de données
méthode 2 : tests d’ajustement à une distribution (Poisson et autres)
vus dans le chapitre des tests
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
10
Fonction
de répartition
Poisson
k=x
F (x ) = ∑ e – λ λ k / k !
k=0
HMGB p.473
11
Bernard CLÉMENT, PhD
Fonction
de répartition
Poisson
k=x
F (x ) = ∑ e – λ λ k / k !
k=0
HMGB p.473
12
Bernard CLÉMENT, PhD
Distribution
de P O I S S O N
Exemples
• nombre d’appels téléphoniques que reçoit un relai de transmission
durant une période de temps (durant une heure par exemple)
• nombre d’accidents qui surviennent pendant l’heure de pointe
à une intersection
• nombre de défauts dans un rouleau de papier, rouleau de tissus, une
plaque de métal …. (la surface est constante d’un échantillon à l’autre)
Important
- conditions d’observation constituent une
« fenêtre »
- définir précisément cette fenêtre et maintenir constante
- nombre d’occurrences proportionnel taille fenêtre
Bernard CLÉMENT, PhD
13
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
Distribution
Exemple 1
de P O I S S O N
tissus viennent en longueur de 50 mètres de longueur
rouleaux contiennent (en moyenne) 2 zones inutilisables.
On veut des longueurs de 10 mètres sans défauts.
question : achèteriez vos tissus de ce fabricant?
Solution hypothèses d’indépendance + probabilité proportionnelle surface
+ unité surface assez petite alors une seule occurrence
Si oui, processus est Poissonnien avec λ = 2 sur 50 mètres
Sur 10 mètres, processus Poissonnien avec λ = 2 * (10/50) = 0,4
On cherche
P ( X = 0 ) = e – 0,4 (0,4) 0/ 0! = 0,67
Quelle votre décision ? ………
14
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
Distribution
Exemple 2
de P O I S S O N
un composant critique d’une machine se brise, en moyenne,
λ fois par période de temps. Combien ( k = ? ) de composants devraient-on
stocker afin de s’assurer, avec une probabilité d’au moins de 1 – α
(α = 0,05 et 0,01) de pouvoir faire les remplacements nécessaires en
cas
de bris
Solution
sans attendre la livraison
de nouveaux composants ?
X nombre total de bris du composant
On suppose que X suit une loi de Poisson avec paramètre λ
à résoudre :
k
k=?
P( X ≤ k ) = ∑ e – λ λx / x ! = 1 - α
x=0
Quelques valeurs (λ , α ) - utilisation de la table de la fonction
de répartition
λ
α
k
0.5
0,05 0,01
3
4
Bernard CLÉMENT, PhD
1
0,05 0,01
4
5
2
0,05
5
5
0,01
6
0,05
10
0,01
12
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
100
0,05 0,01
117
123
15
Distribution
Résultat
Soit
addition de
de P O I S S O N
variables
X 1, X 2, …, X k
Poisson
variables aléatoires indépendantes
avec distribution Poisson de paramètres λ 1,, λ
alors
Résultat
Si
Y = ∑ Xi
distribution de Poisson avec
paramètre
λ
où
λ = ∑ λ
2
, …, λ k
i
approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson
n ≥ 100
et θ ≤ 0.10
et
n θ ≤ 10
alors
on peut approximer distribution binomiale ( n, θ )
par une distribution de Poisson de paramètre
λ = nθ
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
16
Distribution
Exemple 3
de P O I S S O N
confection de vêtements plein air : V = R + P + D
- Revêtement extérieur (R) + Pellicule imper (P) + Doublure iso (D)
- 2 fournisseurs : fournisseur A et
fournisseur B
- vêtement = pantalon + anorak
- pantalon exige 3 mètres
Anorak exige 2 mètres
Questions 1. variables suivent-elles une loi Poisson ?
2 . Calculer la probabilité que pantalon + anorak
a) soit sans défectuosité ( X = 0) ?
b) ait au plus une défectuosité ( X ≤ 1) ?
avec les tissus du fournisseur A
tableau
nombre de défectuosités – 6 variables
(données page suivante)
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
17
Exemple 3 : suite
Obs.
R-A
X1
P-A
X2
D-A
X3
R-B
X4
P-B
X5
D-B
X6
Nombre de défectuosités
1
1
1
2
4
0
2
rouleau de 50 mètres
2
4
0
2
1
1
0
R = Revêtement
3
4
3
1
0
1
1
4
1
1
0
4
3
1
5
1
3
4
2
4
4
6
1
2
2
1
2
1
7
6
4
3
3
0
2
8
4
3
6
1
2
1
9
4
2
4
3
0
0
10
2
3
2
2
1
4
R-A : revêtement fourn. A
11
4
5
4
2
3
3
P-A : pellicule fourn. A
12
2
2
4
2
0
4
D-A : doublure fourn. A
13
0
0
0
1
4
3
14
0
1
1
4
4
3
15
1
0
4
3
4
0
P = Pellicule imperméable
D = Doublure
-----------
A : fournisseur A
B : fournisseur B
-----------
R-B : rev.
fournisseur B
P-B : pell.
fournisseur B
16
2
1
4
1
2
3
D-B : doub. fournisseur B
17
2
0
1
2
2
0
18
3
1
1
3
4
2
19
2
2
2
0
3
2
20
1
1
4
3
3
1
Bernard CLÉMENT, PhD
20 rouleaux
18
Exemple 3 : suite
X1
X2
X3
X4
X5
X6
R-A
P-A
D-A
R-B
P-B
D-B
Moy.
2,25
1,75
2,55
2,10
2,15
1,85
Var.
2,60
1,99
2,68
1,57
2,24
1,92
1.X loi de Poisson ?
X4 ne semble pas suivre une loi de Poisson
2. Avec le fournisseur A
λ
X = nombre de défauts ensemble
Anorak
Pantalon
total
R
(2/ 50)*2,25
(3/50)*2,25
0,225
P
(2/ 50)*1,75
(3/50)*1,75
0,175
D
(2/ 50)*2,55
(3/ 50)*2,55
0,255
total
0,262
0,393
0,655 = λ
a) P ( X = 0, λ = 0,655 ) = 0,5194
b) P ( X ≤ 1, λ = 0,655 ) = 0,5194 + 0,3402 = 0,8594
3. Avec le fournisseur B
Bernard CLÉMENT, PhD
P ( X = 0, λ = ? ) = ?
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
faire
19
distribution
GÉOMÉTRIQUE
répète (observe) épreuve Bernoulli jusqu’à l’obtention du premier succès
X : nombre d’essais
x = 1,2,3….
p (X = x) = (1 - p) x - 1 p
E(X) = 1 / p
notation: X ~ G(p)
x = 1, 2, 3, ….
ET(X) = √ (1-p) / p
Var (X) = (1 – p) / p2
propriété de non vieillissement : absence de mémoire
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
20
distribution
Exemple
GÉOMÉTRIQUE
lancement d’un dé à jouer jusqu’à l’obtention du ‘6’
Questions
a) probabilité que cela prenne au moins 3 lancers ?
b) moyenne du nombre de lancers = ?
c) variance du nombre de lancers = ?
Réponse
X : nombre de lancers
loi G (p=1/6)
a) Prob( X ≥ 3) = 1 – (1 – (1-1/6))2 = (5/6)2 = (25 / 36) = 0,69
b) E(X) = 1 / (1/6) = 6
c) Var (X) = (1- (1/6)) / (1/6)2 = 30
Bernard CLÉMENT, PhD
21
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
Distribution
Définition
HYPERGÉOMÉTRIQUE
lot de N articles dont
D articles sont non
conformes et N – D articles sont conformes
échantillonnage (sans
remise )
de n articles
X = nombre d’articles non conformes dans l’échantillon
X suit une loi hypergéométrique H (n ; N ; D)
Fonction de masse
p (x ) =
C Dx C N-Dn–x / CNn
x = 0, 1, … , n
Moyenne = E( X) = n D / N
Variance = Var(x) = n D ( N – D ) ( N - n ) / [ N ( N – 1 ) ]
Approximation avec
Si n / N ≤ 0,05
alors
Bernard CLÉMENT, PhD
distribution
et
binomiale
θ=D/N
H(n ; N ; D ) ≈ b(n ; θ )
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
22
Distribution
Exemple : N = 1000
HYPERGÉOMÉTRIQUE
D = 50
n = 20
[ 50 ! / ( 0 ! 50 ! ) ] x [ 950 ! / ( 20 ! 930 ! ) ]
P(X=0)
=
1000 ! / ( 20 ! 980 ! )
=
950 x 949 x …….. x 931_
1000 x 999 x ………x 981
=
0,3549
approximation par loi binomiale : θ = 50 / 1000 = 0,05
n = 20
P ( X = 0 ) = θ 0 ( 1 – θ ) 20 = 0,95 20 = 0,3585
23
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
APPROXIMATIONS
24
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
APPLICATIONS : introduction au Contrôle Statistique de la Qualité
méthodes
1. plans d’échantillonnage pour accepter/ refuser lot de produits
sur la base d’un échantillonnage :
« Acceptance Sampling »
2. maîtrise statistique des processus : « SPC » ou
« CSP »
cartes de contrôle processus :
comportement = stable (normal) ou anormal ?
3. analyse de capabilité de processus
4. planification d’expériences : DOE – Taguchi
5. analyse processus de mesure : étude R&R
6. fiabilité : qualité dans le temps
7. Quality Function Deployment ( QFD )
8. Six Sigma
25
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
Brève introduction aux cartes de contrôle de Shewhart
plus de détails
http://www.groupes.polymtl.ca/mth6301/mth8302/Clement-SPC_Introduction.pdf
RESSOURCES
APPROVISIONNEMENT
MATÉRIAUX
PROCESSUS
étapes
méthodes
procédures
PRODUIT
ou
SERVICE
ÉQUIPEMENTS
PERSONNEL
ENVIRONNEMENT
PARAMÈTRES
MESURABLES
et
CONTRÔLABLES
PROCESSUS:
valeur ajoutée
Fonction de
transfert f
X1, X2, X3, …
CARACTÉRISTIQUES
CRITIQUES pour la
QUALITÉ : Y
- MESURES
- COMPTAGES
- ATTRIBUTS
Y
Y =f (X1, X2,..)
cartes de contrôle
Shewhart s’appliquent à Y
Bernard CLÉMENT, PhD
26
Brève introduction aux cartes de contrôle de Shewhart
carte np et
carte c
et
carte p :
base distribution binomiale
carte u : base distribution Poisson
remarque : p représente le paramètre
c représente le paramètre
BUT
θ de la binomiale
λ
de Poisson
signaler la présence d’une «cause spéciale»
de la
qui a produit un
changement important
carte
dans comportement statistique du processus.
Carte
p :
p et np (ATTRIBUT)
fraction de pièces non-conforme échantillon de
n pièces (n peut être variable)
np : nombre de pièces non conforme échantillon de
n pièces (n est fixe)
Carte c et u (COMPTAGES)
c : nombre de non conformités (aire d'opportunité fixe)
u : nombre de non conformités (aire d'opportunité variable)
27
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
Brève introduction aux cartes de contrôle de Shewhart
carte
n
p
variable
np
constant
c
constant
u
variable
LIMITES de CONTRÔLE STATISTIQUE : en général
règle de 3 sigma de Shewhart (inventeur des cartes)
Ligne Centrale
CL = moyenne
Limite Supérieure UCL = moyenne + 3 * (variabilité)
Limite Inférieure
LCL = moyenne - 3 * (variabilité)
Formules limites de contrôle : attributs et comptages
np ± 3 [ np ( 1 – np ) ] 0.5
carte
np :
carte
p :
p
± 3 [np ( 1 – np) / n i ] 0.5
carte
c :
c
± 3 (c ) 0.5
carte
u :
u
± 3 (c / n i ) 0.5
remarque :
au dessus lettre veut dire: moyenne arithmétique sur les données
28
Bernard CLÉMENT, PhD
Brève introduction aux cartes de contrôle de Shewhart
Exemple 1 : carte n p - 20 échantillons de n = 2500
X = nombre défectueux
X : 23 – 43 – 22 – 34 – 21 – 33 – 29 – 31 – 34 – 31
46 – 39 – 28 – 33 – 20 – 41 – 13 – 27 – 22 – 40
Np Chart; variable: x-déf
Histogram of Np
Np: 30.500 (30.500); Sigma: 5.4889 (5.4889); n: 2500.
55
50
46.967
45
40
35
30.500
30
25
20
15
14.033
10
5
0
1
2
Bernard CLÉMENT, PhD
3
4
5
6
7
2
4
6
8
10
12
14
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
16
18
20
29
Exemple 2 : carte p - 30 échantillons - n = variable
jour
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
n
3350
3354
1509
2190
2678
3252
4641
3782
2993
3382
3694
3052
3477
4051
3042
X_
31
113
28
20
35
68
139
12
3
17
14
8
27
44
70
Inspection à 100 % un lot au hasard choisi chaque jour
échantillonnage durant 15 jours = nombre d’échantillons
X = nombre de pièces non conformes dans le lot
taille (n) du lot est variable d'une journée à l'autre
P Chart; variable: n-def
Histogram of P
P: .01298 (.01298); Sigma: .00199 (.00199); n: 3229.8
0.040
0.035
0.030
0.025
0.020
.01914
0.015
.01298
0.010
.00683
0.005
0.000
-0.005
0
Bernard CLÉMENT, PhD
1
2
3
4
2
4
6
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
8
10
12
14
30
Exemple 3 : carte c - 26 échantillons - X = nombre de non conformités
X : 21 - 24 - 16 - 12 - 15 - 5 - 28 - 20 - 31 - 25 - 20 - 24 - 16
19 - 10 - 17 - 13 - 22 - 19 - 39 - 30 - 24 - 16 - 19 - 17 - 25
Histogram of C
C: 20.269 (20.269); Sigma: 4.5021 (4.5021)
45
40
35
33.776
30
25
20.269
20
15
10
6.7628
5
0
0
2
1
6
4
3
Bernard CLÉMENT, PhD
5
8
7
9
10
11
5
10
15
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
20
25
31
Exemple 4 : carte u - 10 échantillons tissus - X = nombre imperfections
Echant. 1
Aire
10
X
14
2 3 4 5
6 7
8 9
12 20 11 7 10 21 16 19
18 30 13 5 10 39 24 34
10
26
49
U Chart; variable: N_IMPERF
Histogram of U
U: 1.5526 (1.5526); Sigma: .31960 (.31960); n: 15.2
3.5
3.0
2.5
2.2857
2.0
1.5526
1.5
1.0
.81952
0.5
0.0
-0.5
0
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
32
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
Brève introduction aux plans d’échantillonnage des lots
Produits regroupés en lots
lot = ?
définition à faire selon circonstances et besoins
critère à préciser
plans d’échantillonnage (« acceptance sampling ») réfère à
l’inspection d’une partie du lot (échantillon) d’articles
(produits, composants)
dans le but d’obtenir une information servant de base à :
juger le lot
- accepter le lot
- rejeter le lot :
en le déclarant de « qualité satisfaisante »
continuer inspection ?
inspection rectificatrice ?
33
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
OÙ FAIRE DE L'INSPECTION DES LOTS PAR ÉCHANTILLONAGE ?
 Réception de lots de matières premières
ou de produits semi-fini provenant de
fournisseurs externes.
 En cours de fabrication à des points de
contrôle fixés par le processus.
 Avant l'expédition des produits.
34
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
A V A N T A G E S de l’inspection par échantillonnage

Si le coût d'une inspection à 100% est élevé.

Moins de manipulations du produit : moins de dommages potentiels.

Seule alternative si le test est destructif .

Si les lots sont de "grande" taille, disons plusieurs milliers d'unités.

Décision plus rapide pour disposer du produit.

Beaucoup de lots ( flux de lots ) à inspecter.

Conséquences économiques de livrer un lot de "mauvaise" qualité ne
sont pas élevées.
DÉSAVANTAGES
 risque du producteur = probabilité de rejeter un lot de
qualité satisfaisante = alpha = 
 risque du consommateur = probabilité d'accepter un lot de
mauvaise qualité = beta = 
35
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
NOTATION - TERMINOLOGIE
N : nombre d’unités dans le lot = taille du lot
n : nombre d’unités dans l’échantillon
D : nombre d’unités non conformes dans le lot
p = D / N : proportion d’unités non conformes dans le lot
X : nombre d’unités non conformes dans l’échantillon
X / n : proportion d’unités non conformes dans l’échantillon
c = Ac : nombre d’acceptation (plan simple)
si X <= c alors on accepte le lot
si X > c alors on rejette le lot
P a ( p ) : probabilité d’accepter un lot de non qualité p
 = alpha = risque du producteur : rejeter lot bonne qualité
 = beta = risque consommateur : accepter lot mauvaise qualité
36
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
NOTATION - TERMINOLOGIE
AQL ( « Acceptable Quality Level »)
proportion maximale d'articles défectueux (ou non-conformes) qui
peut être considéré comme moyenne satisfaisante par le producteur
et le consommateur (client)
c’est une convention pour concevoir un plan d'échantillonnage
RQL ( « Rejectable quality level » )
proportion minimale d'articles défectueux (non-conformes)
qui peut être considéré comme moyenne non-satisfaisante
par le consommateur
c’est une convention pour concevoir le plan d’échantillonnage
Plan d'échantillonnage défini par: (n, Ac, Re )
37
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
RISQUES DE MAUVAISES DÉCISIONS
 : risque du producteur
 : risque du consommateur
accepter lot
QUALITÉ LOT
bonne
mauvaise
1-

FP
OK
DÉCISION
rejeter lot

1- 
FN
OK
analogie
FP = Faux Positif = accepter lot mauvaise qualité
FN = Faux Négatif = rejeter lot bonne qualité
38
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
courbe caractéristique plan d’échantillonnage
P a ( p ) : probabilité accepter lot
1
valeurs fréquentes
α : 0,05 - 0,01
1- 
β : 0,10 - 0,05

p
0
proportion
0
AQ L
RQ L
non conforme
39
Bernard CLÉMENT, PhD
Calcul de la probabilité d’accepter : P a ( p )
Plan simple : un seul échantillon de taille n est prélevé
Plan ( N , n , c ) : échantillonnage sans remise
p = D / N qualité du lot
(D=pN)
X : nombre de pièces non conformes dans l’échantillon
X distribuée selon une loi de probabilité
Hypergéométrique ( N, D, n )
40
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
Calcul de la probabilité d’accepter P a ( p )
 pN   N (1 − p ) 

 

C 
x  n−x 

Pa ( p ) = ∑
N
x =0
 
n 
hypergéométrique (exacte)
n x
= ∑   p (1 − p ) n − x
x =0  x 
C
e − np (np ) x
=∑
x!
x =0
APPROXIMATION
Binomiale : si n / N < 0.1
c
Poisson : si p " petit " et n est " grand "
41
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
EXEMPLE n = 89 c = 2
0,005
P
Pa
0,990
Line Plot (ch4-SPC-v5.sta
24v*204c)
0,010
0,940
0,020
0,737
0,030
0,498
0,040
0,304
0,060
0,091
0,070
0,047
0,080
0,023
0,090
0,01
1,2
0,050
0,172
P
Pa
1,0
 89 
Pa = ∑   p d (1 − p) 89−d
d =0  d 
2
0,8
Pa-p
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
0.005
0.015
0.025
0.035
0.045
0.055
0.065
0.075
0.085
0.095
0.105
42
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
design d’un plan d’échantillonnage (n, c) : n = ?
c=?
trouver n et c tels que
Pa ( p1 ) = 1 - α
1
Pa ( p2 ) = β
1–α
α
β donnés
2 équations avec 2 inconnus
Pa : fonction répartition
(page 38)
β
0
p1
p2
p proportion
d’articles
non conformes
43
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
trouver n et c tels que
Pa ( p1 ) = 1 - α
Pa ( p2 ) = β
α β donnés
P
Pa
0,005
0,990
0,010
0,940
0,020
0,737
0,030
0,498
0,040
0,304
P
Pa
0,050
0,172
0,060
0,091
0,070
0,047
0,080
0,023
0,090
0,01
 89 
Pa = ∑   p d (1 − p) 89−d
d =0  d 
2
2 équations 2 inconnus
Pa : fonction probabilité
Line Plot (ch4-SPC-v5.sta 24v*204c)
1,2
Exemple
1,0
p1 = 0,01
α = 0,06 = 1 - Pa
0,8
p2 = 0,09
β = 0,09 = 1 - Pa
Pa-p
0,6
0,4
0,2
solution n = 89 c = 1
0,0
-0,2
0.005
0.015
0.025
0.035
0.045
0.055
0.065
0.075
0.085
0.095
0.105
44
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques