Corrigé

Cours d’Alg` ebre I Bachelor Semestre 3
Prof. E. Bayer Fluckiger 30 septembre 2013
S´erie 2
Exercice 1. Soit Gun groupe. Les assertions suivantes sont elles vraies ?
(1) Une intersection de sous-groupes de Gest un sous-groupe de G.
(2) Une r´eunion de sous-groupes de Gest un sous-groupe de G.
(3) Pour toute partie Sde G, l’ensemble
ZG(S) := {g∈G| ∀ h∈S, gh =hg }
est un sous-groupe de G.
(4) L’ensemble [
n≥1
{g∈G|gn= 1G}est un sous-groupe de G.
(5) L’ensemble {xyx−1y−1|x, y ∈G}est un sous-groupe de G.
Solution.
(1) Oui. Supposons que Hsoit un ensemble de sous-groupes de G. Si g, h ∈
∩H∈HH, alors g−1h∈Hpour tout H∈ H car Hest un sous-groupe, donc
g−1h∈ ∩H∈HH. Ainsi, ∩H∈HHest un sous-groupe de G.
(2) Non. Par exemple, 2Zet 3Zsont des sous-groupes de Z, mais 2,3∈
2Z∪3Z, alors que 2 + 3 = 5 6∈ 2Z∪3Z.
(3) Oui. En effet, si g1, g2∈ZG(S) et h∈S, alors
(g1g2)h=g1(g2h) = g1(hg2) = (g1h)g2=h(g1g2),
donc g1g2∈ZG(S). De plus, g1h=hg1implique que hg−1
1=g−1 1h, donc
g−1
1∈ZG(S).
(4) Non. Il est possible que le produit de deux ´el´ements d’ordre fini ait ordre
infini. Par exemple, dans GL2(R), les ´el´ements
g=−1 1
0 1et h=−1 0
0 1
ont ordre 2, mais
xy =1 1
0 1
a ordre infini puisque (xy)n= ( 1n
0 1 )6=I2pour tout entier n≥1. Notons
n´eanmoins que l’assertion est vraie si Gest commutatif ou fini.

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(5) Non. Bien que l’inverse de tout ´el´ement de cet ensemble y appartienne
encore, il est possible que le produit de deux ´el´ements n’y appartienne plus.
Toutefois, il n’est pas ´evident de trouver un contre-exemple (notamment,
il n’en existe pas dans un groupe fini d’ordre inf´erieur `a 96). Un exemple
est donn´e dans l’appendice situ´e `a la fin de ce corrig´e.
D´efinition. (`a retenir)
Soient a, b ∈Znon nuls. On appelle plus grand commun diviseur de aet b, et
on note d= Pgcd(a, b), tout entier dtel que :
•ddivise aet bet
•dsoit divisible par tout diviseur commun de aet b.
Exercice 2. (les r´esultats de cet exercice sont `a retenir)
Soient a, b ∈N\ {0}.
(1) Montrer que Pgcd(a,b) existe et est unique au signe pr`es.
(2) Soit rle reste de la division euclidienne de apar b. Montrer que
Pgcd(a, b) = Pgcd(b, r).
(3) En d´eduire un algorithme permettant de calculer Pgcd(a, b).
(4) Montrer l’existence d’une relation de B´ezout entre aet b, i.e. l’existence
de λ, µ ∈Ztels que λa +µb = Pgcd(a, b).
(5) Calculer une relation de B´ezout entre 123 et 36.
Solution.
(1) L’existence est une cons´equence du th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique :
Consid´erons les factorisations
a=pa1
1. . . par
r
b=pb1
1. . . pbr
r
de a, b en produits de nombres premiers distincts p1,...,pr, pour ai, bi≥0
des entiers. En posant
d=pmin(a1,b1)
1. . . pmin(ar,br)
r,
il est clair que dest un diviseur commun de aet b. De plus, si cest
un diviseur commun de aet b, alors (par unicit´e de la factorisation), les
premiers divisant csont parmi p1,...,pret piapparaˆıt `a une puissance
≤ai, bi. Ainsi, cdivise d.
Montrons maintenant l’unicit´e au signe pr`es. Supposons que det d′soient
deux plus grands diviseurs communs de a, b. Puisque dest divisible par
tout diviseur commun de aet b, on obtient que d|d′. R´eciproquement, d′|d,
donc |d|=|d′|.

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(2) Par hypoth`ese, il existe un entier q≥0 tel que a=qb +r, avec r < b. De
cette relation, il vient que Pgcd(a, b) divise r, donc est un diviseur commun
de bet r. Par d´efinition de Pgcd(b, r), on obtient Pgcd(a, b)|Pgcd(b, r). De
mˆeme, on voit que Pgcd(b, r) divise aet b, et donc Pgcd(b, r)|Pgcd(a, b), ce
qui implique l’´egalit´e souhait´ee, les plus grands diviseurs communs ´etant
d´efinis au signe pr`es.
(3) On effectue les divisions euclidiennes successives
a=qb +r0avec r0< b
b=q1r0+r1avec r1< r0
r0=q2r1+r2avec r2< r1
...
ri−1=qi+1ri+ri+1 avec ri+1 < ri,
pour une suite d’entiers positifs (qi, ri). La derni`ere ´equation est valide
pour i≥ −2 en posant r−1=b, r−2=aet q0=q. Par le point pr´ec´edent,
on a
Pgcd(a, b) = Pgcd(b, r0) = Pgcd(r0, r1) = ···= Pgcd(ri, ri+1).
Comme (ri)i≥0est une suite d’entiers positifs strictement d´ecroissante, il
existe un entier n≥0 tel que rn= 0. Par cons´equent, rn−1divise rn−2, et
donc
Pgcd(a, b) = Pgcd(rn−1, rn−2) = rn−1.
Ainsi, on obtient un algorithme (l’algorithme d’Euclide) permettant de
calculer le plus grand diviseur commun de deux entiers en un nombre fini
d’´etapes.
(4) On proc`ede par r´ecurrence sur la longueur de l’algorithme expos´e au point
pr´ec´edent (i.e. sur le plus petit entier n≥0 tel que rn= 0). Si n= 0,
alors b|a, Pgcd(a, b) = b, et il est clair qu’une relation de B´ezout entre a
et bexiste. Si l’algorithme pour a, b est de longueur n, alors
Pgcd(a, b) = Pgcd(b, r)
pour rle reste de la division euclidienne de apar b. Notons que la longueur
de l’algorithme pour b, r est ´egale `a n−1. Si une relation de B´ezout pour
b, r existe, disons
bx +ry = Pgcd(b, r),
alors il existe une relation de B´ezout pour a, b, `a savoir
ay +b(x−qy) = bx + (a−qb)y= Pgcd(b, r) = Pgcd(a, b) (1)
pour qest le quotient de la division euclidienne de apar b. Par cons´equent,
on peut conclure par r´ecurrence.

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(5) L’algorithme d’Euclide pour 123 et 36 est le suivant :
123 = 3 ·36 + 15
36 = 2 ·15 + 6
15 = 2 ·6 + 3
6 = 2 ·3 + 0.
Par cons´equent, Pgcd(123,36) = 3. Pour trouver une relation de B´ezout,
on proc`ede r´ecursivement en utilisant l’´equation (1) :
0·6 + 1 ·3 = 3,
1·15 −2·6 = 3,
−2·36 + 5 ·15 = 3,
5·123 −17 ·36 = 3.
D´efinition. (`a retenir)
Soient Gun groupe, et g, h ∈G. On appelle commutateur de get h, et on note
[g, h], l’´el´ement [g, h] := ghg−1h−1.
Exercice 3. Montrer que {[g1, h1]...[gr, hr]|r∈N, gi∈G, hi∈G}est un
sous-groupe de G.
Solution. Appelons Hl’ensemble consid´er´e. Pour g, h ∈G, En premier lieu,
remarquons que
[g, h][h, g] = ghg−1h−1hgh−1g−1=e,
donc [g, h]−1= [h, g]. Montrons que Hest un sous-groupe de G, c’est-`a-dire qu’il
est stable par inversion et multiplication. Si g1,...,gr, h1,...,hr∈H, alors
([g1, h1]...[gr, hr])−1= [gr, hr]−1...[g1, h1]−1
= [hr, gr]...[h1, g1]∈E.
Par d´efinition, il est clair que tout produit d’´el´ements de Hest un ´el´ement de H.
Ainsi, Hest un sous-groupe de G. En fait, on remarque que Hest le plus petit
sous-groupe de Gcontenant tous les commutateurs de G.

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Appendice : l’ensemble des commutateurs d’un groupe n’est pas
forc´ ement un sous-groupe
Dans cet appendice, nous d´eveloppons un contre-exemple `a l’assertion (5) de
l’exercice 1.
Groupes libres. Pour Sun ensemble, on d´enote par M(S) l’ensemble des mots
de longueur finie dont les lettres sont des ´el´ements de S.1Si x1. . . xN1et y1. . . yN2
sont des ´el´ements de M(S), on peut consid´erer leur concat´enation
(x1. . . xN1)⋆(y1. . . yN2) = x1. . . xN1y1. . . yN2∈M(S),
ce qui d´efinit une loi de composition associative sur M(S), poss´edant un ´el´ement
neutre donn´e par le mot vide, que nous noterons e. Pour simplifier, on omettra
parfois l’´ecriture de ⋆.
Il est possible de transformer cet ensemble en groupe de la mani`ere suivante :
soit S−1une copie de S. Pour s∈S, on d´enote par s−1sa copie dans S−1et on
consid`ere T=S∪S−1,E=M(T).
Exemple : si S={a, b}, alors Eest constitu´e de tous les mots finis avec les lettres
a, b, a−1, b−1, par exemple aaba ou abb−1.
On d´efinit une relation sym´etrique ∼sur Epar
x1. . . xixi+1 . . . xn∼(x1. . . xiaa−1xi+1 . . . xn
x1. . . xia−1axi+1 . . . xn
pour x1. . . xn∈E,a∈S. On dit qu’un mot qui n’est pas en relation avec un
mot de longueur plus courte est r´eduit. En d’autres termes, un mot r´eduit est
un mot ne contenant pas de suite de deux lettres aa−1ou a−1apour a∈S. Ici,
nous appellerons simplification le passage d’un mot `a un mot plus court par la
relation ∼.
Exemple : Pour S={a, b}, on a abb−1a∼aa, qui est sous forme r´eduite.
Soit F(S) l’ensemble de tous les mots r´eduits. Puisque les mots sont finis, il existe
une op´eration de r´eduction r:M(S)→F(S). A partir de l`a, on peut d´efinir une
loi de composition ⋆sur F(S) par
x⋆y =r(x ⋆ y)
pour x, y ∈F(S).
Exemple : Pour S={a, b}, on a (ab)⋆(b−1a) = r(abb−1a) = aa.
A partir des propri´et´es analogues pour ⋆, il est facile de voir que ⋆est ´egalement
une loi de composition associative, avec ´el´ement neutre e. De plus, on a existence
d’inverses : si x1. . . xn∈F(S), alors
(x1. . . xn)⋆(x−1
n. . . x−1 1) = (x−1 n. . . x−1 1)⋆(x1. . . xn) = e,
1En d’autres termes, les suites finies d’´el´ements de S.