TS Cours - CONDITIONNEMENT - INDEPENDANCE

Cours
C ONDITIONNEMENT - I N DE PE ND AN C E
I
I I
I -
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- ACTIVITES
ACTIVITESACTIVITES
ACTIVITES
♦
♦♦
♦ Activité 1 :
Dans l’étude d’une certaine maladie, on voudrait savoir si le fait de fumer joue un rôle aggravant.
On dispose de la statistique ci-dessous concernant une population de 20 000 personnes.
Dire qu’une personne est saine ici signifie seulement qu’elle ne souffre pas de la maladie étudiée.
Soient les événements : F : " la personne est fumeur "
M : " la personne est malade ".
On choisit au hasard une personne de cette population.
1°) a) Quelle est la probabilité qu’elle soit malade, c’est-à-dire P (M) ?
b) Si l’on sait que c’est un fumeur, quelle est la probabilité qu’elle soit malade ?
 Cette probabilité se note PF ( M ) et appelée PROBABILITE CONDITIONNELLE .
se lit : " Probabilité de M sachant F " ( sachant que F est réalisé ) .
c) Si l’on sait que ce n’est pas un fumeur, quelle est la probabilité qu’elle soit malade ?
autrement dit : calculer
P
F
( M )
d) Quelle conclusion peut-on tirer de ces résultats ?
2°) a) Quelle est la probabilité pour qu’une personne choisie au hasard fume ?
b) Quelle est la probabilité pour qu’une personne choisie au hasard fume et soit malade ?
c) Comparer
P
F
(M) et
(
)
( )
P F M
P F
∩
.
♦
♦♦
♦ Activité 2 :
A l’aide d’un test, on procède au dépistage d’une maladie affectant 2% d’une population.
Le laboratoire qui fabrique le test, fournit les informations suivantes :
« Le test est positif chez 96 % des individus malades et négatif chez 99 % des individus sains ».
On considère les événements suivants :
M : « L’individu est malade » S : « L’individu est sain »
P : « Le test est positif » N : « Le test est négatif »
1°) Construire un arbre pondéré schématisant la situation.
2°) Mettre en évidence ( colorier en rouge par exemple ) la branche dont la valeur est
la probabilité conditionnelle
P
S
(N), c’est-à-dire la probabilité que le test soit négatif sachant
que l’individu est sain.
3°) Mettre en évidence ( colorier en vert par exemple ) qui réalise l’événement M∩P, puis
calculer la probabilité de ce dernier.
4°) Calculer la probabilité de l’événement « Le test est négatif ».
Malades Sains
Fumeurs 400 4 600
Non-fumeurs 600 14 400

II
II II
II -
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- DEFINITION
DEFINITION DEFINITION
DEFINITION
Soit H un événement tel que P (H) ≠ 0.
On définit une nouvelle probabilité sur Ω appelée PROBABILITE CONDITIONNELLE :
" Probabilité de A sachant que H est réalisé " :
( )
(
)
( )
P A H
P A
HP H
∩
=
Remarque :
A
P
(A) = ………………….. ( compléter )
Exemple 1 :
Une personne lance un dé équilibré sans voir le résultat. Un témoin l’informe que le 6 n’est pas sorti.
Calculer, de deux façons différentes, la probabilité que le numéro sorti soit pair.
On notera les évènements A : « le résultat du dé est différent de 6 » et B: « Le numéro est pair ».
III
III III
III -
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- PROPRIETE DE L'INTERSECTION
PROPRIETE DE L'INTERSECTION PROPRIETE DE L'INTERSECTION
PROPRIETE DE L'INTERSECTION
En utilisant la définition précédente, compléter :
P
B
(A) = ………………….. donc P ( A ∩ B ) = …………………..
P
A
(B) = ………………….. donc P ( A ∩ B ) = …………………..
Propriété :
P ( A ∩ B ) = P
B
( A ) × P ( B ) = P
A
( B ) × P ( A )
Exemple 2 :
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire au hasard et sans remise deux boules.
Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges ?
On notera les évènements A : « la première boule est rouge » et B: « la deuxième boule est rouge ».
Et on pourra s’aider d’un arbre pondéré.

IV
IV IV
IV -
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- FORMULE DES PROBABILITES TOT
FORMULE DES PROBABILITES TOT FORMULE DES PROBABILITES TOT
FORMULE DES PROBABILITES TOTALES
ALESALES
ALES
A] TRAVAIL SUR UN EXEMPLE - Activité 3 :
On choisit au hasard une urne
1
U
,
2
U
ou
3
U
schématisées ci-dessous , et on tire une boule dans
cette urne. On cherche la probabilité que la boule extraite soit noire.
1
U
: 1 noire et 5 blanches
2
U
: 3 noires et 1 blanche
3
U
: 1 noire et 2 blanches
On note les événements :
U
i
: " l’urne choisie est
U
i
" pour i ∈ 1,2,3
et N : " la boule tirée est noire ".
1°) Traduire les hypothèses sous forme de probabilités.
2°) Calculons la probabilité pour que la boule tirée soit noire, en utilisant deux méthodes :
a) Utilisation d’un arbre pondéré
Construire un arbre pondéré adapté à la situation,
puis déterminer P ( N ) en utilisant cet arbre.
b) Formule des probabilités totales
Les événements
1
U
,
2
U
et
3
U
ont les propriétés suivantes :
♦ ils sont deux à deux incompatibles,
♦ leur réunion forme l’univers,
♦ la probabilité de chacun est non nulle .
L’événement N est alors la réunion disjointe des événements
1
N U
∩ ,
2
N U
∩ et
3
N U
∩ .
1
U
2
U
3
U
Soit : N = (
1
N U
∩) ∪ (
2
N U
∩) ∪ (
3
N U
∩ ).
blanches la
formule des probabilités totales est :
noires
1 2 3
( ) ( ) ( ) ( )
P N P N U P N U P N U
= ∩ + ∩ + ∩
En utilisant la formule des probabilités totales, retrouver P (N).
3°) On sait que la boule est noire. Calculer la probabilité qu'elle provienne de
2
U
.
O n dit que
1
U
,
2
U
et
3
U
forment
une partition de l’univers.

B] CAS GENERAL
1°) Formule simple des probabilités totales :
2°) Formule généralisée des probabilités totales :
A
1
A
2
An
Soient A1 , A2 , . . . , An des évènements formant une partition
de Ω , c’est-à-dire tels que :
A
1
∪ A
2
∪ . . . ∪ An = Ω et Ai ∩ Aj = ∅ ( si i ≠ j )
H
P(H) = P(H∩A1) + P(H∩A2) + . . . + P(H∩An)
V
V V
V -
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- PROPRIETE
PROPRIETE PROPRIETE
PROPRIETE
P
B
(
A
) = 1 − P
B
(A )
VI
VI VI
VI -
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- INDEPENDANCE DE DEUX EVENEMENTS
INDEPENDANCE DE DEUX EVENEMENTS INDEPENDANCE DE DEUX EVENEMENTS
INDEPENDANCE DE DEUX EVENEMENTS
♦
♦♦
♦ Activité 4 :
Une urne contient 4 boules indiscernables au toucher :
Une rouge, une bleue, une jaune et la quatrième boule
est des trois couleurs ( rouge, bleu et jaune ).
On tire une boule au hasard.
On considère les événements suivants :
R : « On voit du rouge sur la boule tirée »
B : « On voit du bleu sur la boule tirée »
J : « On voit du jaune sur la boule tirée »
1°) Déterminer la probabilité de chacun de ces événements.
2°) Quelle est la probabilité de voir du bleu et du rouge sur la boule ?
3°) Quelle est la probabilité de voir du bleu sachant que l’on voit du rouge ?
4°) Montrer que P (R ∩ B) = P (R) × P (B) et vérifier que
R
P
(B) = P ( B ).
1°) Définition:
A et B sont indépendants si et seulement si
(
)
A
B
P
= P ( A ) ou
(
)
B
A
P
= P ( B )
A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne change pas la réalisation de l’autre.
2°) Conséquence :
A et B sont indépendants ⇔ P ( A ∩ B ) = P ( A ) × P ( B )
3°) Propriété :
A et B sont indépendants ⇔
A
et B sont indépendants
)()()( AHPAHPHP ∩+∩=
De tels événements sont dits indépendants