TS Cours - CONDITIONNEMENT - INDEPENDANCE

Cours
C O N DI TI O NN E ME NT - IN DE PE ND AN C E
I - ACTIVITES
♦ Activité 1 :
Dans l’étude d’une certaine maladie, on voudrait savoir si le fait de fumer joue un rôle aggravant.
On dispose de la statistique ci-dessous concernant une population de 20 000 personnes.
Dire qu’une personne est saine ici signifie seulement qu’elle ne souffre pas de la maladie étudiée.
Soient les événements : F : " la personne est fumeur "
M : " la personne est malade ".
Fumeurs
Non-fumeurs
Malades
400
600
Sains
4 600
14 400
On choisit au hasard une personne de cette population.
1°) a) Quelle est la probabilité qu’elle soit malade, c’est-à-dire P (M) ?
b) Si l’on sait que c’est un fumeur, quelle est la probabilité qu’elle soit malade ?
Cette probabilité se note PF ( M ) et appelée PROBABILITE CONDITIONNELLE .
se lit : " Probabilité de M sachant F " ( sachant que F est réalisé ) .
c) Si l’on sait que ce n’est pas un fumeur, quelle est la probabilité qu’elle soit malade ?
autrement dit : calculer P ( M )
F
d) Quelle conclusion peut-on tirer de ces résultats ?
2°) a) Quelle est la probabilité pour qu’une personne choisie au hasard fume ?
b) Quelle est la probabilité pour qu’une personne choisie au hasard fume et soit malade ?
c) Comparer P (M) et
F
P(F ∩ M )
.
P(F )
♦ Activité 2 :
A l’aide d’un test, on procède au dépistage d’une maladie affectant 2% d’une population.
Le laboratoire qui fabrique le test, fournit les informations suivantes :
« Le test est positif chez 96 % des individus malades et négatif chez 99 % des individus sains ».
On considère les événements suivants :
M : « L’individu est malade »
S : « L’individu est sain »
P : « Le test est positif »
N : « Le test est négatif »
1°) Construire un arbre pondéré schématisant la situation.
2°) Mettre en évidence ( colorier en rouge par exemple ) la branche dont la valeur est
la probabilité conditionnelle P (N), c’est-à-dire la probabilité que le test soit négatif sachant
S
que l’individu est sain.
3°) Mettre en évidence ( colorier en vert par exemple ) qui réalise l’événement M∩P, puis
calculer la probabilité de ce dernier.
4°) Calculer la probabilité de l’événement « Le test est négatif ».
II - DEFINITION
Soit H un événement tel que P (H) ≠ 0.
On définit une nouvelle probabilité sur Ω appelée PROBABILITE CONDITIONNELLE :
" Probabilité de A sachant que H est réalisé " :
Remarque :
P (A) = …………………..
A
P
H
( A) =
P(A∩ H )
P (H )
( compléter )
Exemple 1 :
Une personne lance un dé équilibré sans voir le résultat. Un témoin l’informe que le 6 n’est pas sorti.
Calculer, de deux façons différentes, la probabilité que le numéro sorti soit pair.
On notera les évènements A : « le résultat du dé est différent de 6 » et B: « Le numéro est pair ».
III - PROPRIETE DE L'INTERSECTION
En utilisant la définition précédente, compléter :
P (A) = ………………….. donc P ( A ∩ B ) = …………………..
B
P (B) = ………………….. donc P ( A ∩ B ) = …………………..
A
Propriété :
P ( A ∩ B ) = PB ( A ) × P ( B ) = PA ( B ) × P ( A )
Exemple 2 :
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire au hasard et sans remise deux boules.
Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges ?
On notera les évènements A : « la première boule est rouge » et B: « la deuxième boule est rouge ».
Et on pourra s’aider d’un arbre pondéré.
IV - FORMULE DES PROBABILITES TOTALES
TOTALES
A]
TRAVAIL SUR UN EXEMPLE - Activité 3 :
On choisit au hasard une urne U , U ou U schématisées ci-dessous , et on tire une boule dans
1
2
3
cette urne. On cherche la probabilité que la boule extraite soit noire.


U : 1 noire et 5 blanches
1

U : 3 noires et 1 blanche
2
U : 1 noire et 2 blanches
3
On note les événements : U : " l’urne choisie est U " pour i ∈ 1,2,3
i
i
et N : " la boule tirée est noire ".
1°) Traduire les hypothèses sous forme de probabilités.
2°) Calculons la probabilité pour que la boule tirée soit noire, en utilisant deux méthodes :
a) Utilisation d’un arbre pondéré
Construire un arbre pondéré adapté à la situation,
puis déterminer P ( N ) en utilisant cet arbre.
b) Formule des probabilités totales
Les événements U1 , U 2 et U 3 ont les propriétés suivantes :
♦ ils sont deux à deux incompatibles,
On dit que U1 , U 2 et U 3 forment
♦ leur réunion forme l’univers,
une partition de l’univers.
♦ la probabilité de chacun est non nulle .
L’événement N est alors la réunion disjointe des événements N ∩ U1 , N ∩ U 2 et N ∩ U 3 .
U
1
U
2
U
Soit :
3
 blanches
 noires
la
N = ( N ∩ U1 ) ∪ ( N ∩ U 2 ) ∪( N ∩ U 3 ).
formule des probabilités totales
est :
P( N ) = P( N ∩ U1 ) + P( N ∩ U 2 ) + P( N ∩ U 3 )
En utilisant la formule des probabilités totales, retrouver P (N).
3°) On sait que la boule est noire. Calculer la probabilité qu'elle provienne de U .
2
B] CAS GENERAL
1°) Formule simple des probabilités totales :
P( H ) = P( H ∩ A) + P( H ∩ A)
2°) Formule généralisée des probabilités totales :
A1
A2
Soient A1 , A2 , . . . , An des évènements formant une partition
de Ω , c’est-à-dire tels que :
An
A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An = Ω
H
V - PROPRIETE
et
Ai ∩ Aj = ∅ ( si i ≠ j )
P(H) = P(H∩A1) + P(H∩A2) + . . . + P(H∩An)
P B ( A ) = 1 − P B (A )
VI - INDEPENDANCE DE DEUX EVENEMENTS
♦ Activité 4 :
Une urne contient 4 boules indiscernables au toucher :
Une rouge, une bleue, une jaune et la quatrième boule
est des trois couleurs ( rouge, bleu et jaune ).
On tire une boule au hasard.
On considère les événements suivants :
R : « On voit du rouge sur la boule tirée »
B : « On voit du bleu sur la boule tirée »
J : « On voit du jaune sur la boule tirée »
1°) Déterminer la probabilité de chacun de ces événements.
2°) Quelle est la probabilité de voir du bleu et du rouge sur la boule ?
3°) Quelle est la probabilité de voir du bleu sachant que l’on voit du rouge ?
4°) Montrer que P (R ∩ B) = P (R) × P (B) et vérifier que P (B) = P ( B ).
R
De tels événements sont dits indépendants
1°) Définition:
A et B sont indépendants si et seulement si PB ( A ) = P ( A ) ou PA ( B ) = P ( B )
A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne change pas la réalisation de l’autre.
2°) Conséquence :
A et B sont indépendants ⇔ P ( A ∩ B ) = P ( A ) × P ( B )
3°) Propriété :
A et B sont indépendants ⇔ A et B sont indépendants