ex ex ex - UiO

Un complexe resolvant pour certain ideaux determinentiels.
Note de T.H. Gulliksen et O.G. Negard.
Resume:
et soi
Soit
R
S
un anneau commutatif.
Xij (1 < i, j ~ n).
engendre par les
(X .. ).
R/ot,
R-module
projective 4
sur
R.
i(r)
I
cX2
n > 2.
avec
(n-1)-mineur de
X.
p < 0
et
et
Soit
X
Soi t
.Je
une
01..,
le R-module
nxn- matrices a coefficients
n.
ex
et
p > 4
'
ex ···::: ex = Jl.
1
3
, considerons la suite de
(ri,ri)
C~
R
la matrice unite d'ordre
ex = 0 pour
p
ex = ex = R
0
4
Soit alors
est UD anneau
Fixons
un anneau commutatif avec unite.
et soit
=
S
R
Pour definir
ou
De plus, si
est de dimensian
R/00 .
Construction du complexe
Po sons
R/00
qui montre que
libre dont les elements sont les
1•
l'ideal
de Gorenstein, il en est de m@me de
l'ideal engendre par les
R
ot
(n-1)-mineurs de la matrice carree
nxn - matrice a coefficients dans
dans
en
Nous construisons une resolution libre de
lJ
Considerons
Soit
n > 2,
s
l'anneau des polynomes sur
variables
Soit
R-modules:
j(M,N) ~trace (M-N).
l'homologie de cette suite, soit
Pour definir l'operateur bord
d
sur
ex,
Ker j/Im i.
considerons la suite:
- 2 -
et
g(M) = (XM,MX)
ou
y
Soit
h(M,N) =MX-XN.
la matrice des cofacteurs de
XY = YX = (detX)I.
On definit alors
d1 (M) = trace (YM)
d2
et
d3
pour
en particulier, on a
X
d
par:
ME !R_
sont les applications induites par
h
et
g
respectivement,
d 4 (r) = rY
Remarquons que
que
r E g{.
pour
eX
est un complexe de
R-modules libres tels
H 0 (eX) = R/ Of.Jo
~
Lemme 1:
Soit
Soit
la matrice obtenue en appliquant
X'
de
X.
2.
Dualite dans
So it
: R- R 1
un homomorphisme d 1 anneaux commutatifs.
aux coefficients
cp
Alors il existe un isomorphism canonigue de
•*
R 1 -complexes
eX.
le foncteur
A.: R ... R*
HomR(·,R), et soit
phisme canonique.
Considerons
*
n), et soit eij
1 1 isomor-
S€..
muni de la base naturelle
ru*. Soit
eij (1 ~ i,j ~
la base dual de v~
(7\
(.)*
I
.
(
*
v : :.X. - }\.
1 homomorphlsme defini par v E: i j) = e ji. Alors,
1 1 homomorphism
Proposition:
\) e3 ( -\))
e~- (e~)*.
induit un isomorphisme
Les isomorphismes
). , V'
et
u definissent un
isomorphisme de complexe e~ ~ [HomR (Cx,R)J4-i.
3. Profondeur.
Soit A= A•9G le complexe de Koszul sur
bord
o est indui t par
Dans ce qui suit,
E
1 1 application
sera un
d1 :
R
dont l'operateur
!A, ...
R.
R-module quelconque.
- 3 On a
Lemme 2.
0
Po sons
c =
1.
Demonstration:
f:A 2 9( ... c 2
O(,H. (C X
tel que
pour
E) = 0
ex.
+
i
2.
Il existe un homomorphisme
D'apres la proposition precedente,
02 = d2f.
nous avons un diagramme commutatif:
A2@
A1 §(_ -> Ao (k
,.1\.. ->
Jf
-> c3
c4
v*
-> c2
-> c1*
-> c2*
~ f*
a
ll
-> co
-> c1
~l
t2
co
II
u
( Aoflt,)* ->( A1 (1{.) * ->(A2 ~) *
tt
~~
I'
~n2 [)<_ ->
/\n2-1 r:/(. -> An2-2
En tensorisant ce diagramme par
Dl.H(A®E) = 0
:fl..,
E, et en remarquant que
(cf. (1)), on demontre le lemme 2.
Lemme 3:
Si la matrice
Lemme 4:
On a
Soit
Considerons
comme une algebre sur 1 anneau des polynomes
Soit
E
en envoyant
,....,
un
0 ... N ... E ... E ... 0.
R-modules:
dont
R
est quotient.
yij
sur
x ..
ou
1.J
X= (xij) •
R-module libre tel que on ait une suite exacte de
,...
,....,
in~gre
I
~ = R1[Y11'" •• 9 Ynn]
,....,
un anneau
H(CX®E) = 0.
Demonstration:
R
R1
X est inversible, alors
On obtient une suite exacte:
( *)
ou
y = (Y .. ),
1.J
cation injective
Soi t
a = det Y
et soi
c le conoyan de l'appli-
E ... E(J. . D'apres les lemmes
H(Cy ·~~a)= O, done
1
et 3, on a
H2 (cy ~ ~)!:::: H3 (cy ~C).
- 4 Alors le lemme 2 et la suite exacte (*) montre
En appliquant les lemmes 2 et 4, on demontre le resultat suivant:
.§.Q,i!
Theorem 1 :
R
un anneau noetherien..
matrice a coefficients dans
(n-1)-mineur de
X.
type fini tel que
otE +E.
c
Soit
Soit
E
n xn -
une
une
R
R-module de
la longeur d'une suite
E-reguliere de longueur maximale, contenu
dans
Hi(eX 0 E) ~ 0.
Ot..
Soit
Alors
q
le
plus grand entier
i
4.
En combinant ce theoreme et (5.1) dans (2) on
Applications.
tel que
X
Ot l'ideal de
R , et soit
engendre par les
Soi t
c+q = 4.
demontre:
eorollaire:
De plus si
Dans les hypothesis du theoreme,
R
est Gorenstein, et si
~
gradeRR/ot~ 4.
gradeRR/at= 4, alors,
R/Ot
est un anneau de Gorenstein.
Theoreme 2:
Soit
S
un anneau commutatif avec unite.
I
1 algebre des polynomes a
Xij ( 1 ~ i, j ~ n).
Soi t
Oi
(n-1)- mineur de la matrice
(i)
eX
Si
R
X= (X .. ).
1J
Alors
est une resolution libre du
particulier
(ii)
1 1 ideal de
S
R/frG
variables
engendre par les
R-module
R/~.
est de dimension projective
4
En
sur
R.
est un anneau de Gorenstein, alors il en est de
R/Ot.
mE!me de
Demonstration:
Si
S = Z/p~
, alors (i) est une consequence de
theoreme 1 en utilisant le theoreme 2 dans
(i) est vrai lorsque
torsion sur
Soit
Z,
S =
z.
(3).
eomme dans ce cas
le lemme 1 montre que
eX
On en deduit que
H0 (eX)
est sans
est acyclic en general.
References
(1)
M. Auslander et D.A. Buchsbaum,
Ann. Math., 68, 1958, p. 625-657.
(2)
H. Bass, Math. Zeitschr. 82, 1963, p. 8-28.
(3)
J.A. Eagon, Math. Zeitschr. 109, 1969, p. 109-111.