Matrices de familles de vecteurs et d`applications linéaires

MPSI-´ El´ements de cours Matrices de familles de vecteurs et d’applications lin´eaires 24 mars 2017
Matrices de familles de vecteurs et
d’applications lin´eaires
R´edaction incompl`ete. Version beta 23/03/17
Plan
I. Matrices d’une famille de vecteurs ......................... 1
II. Matrices d’une application lin´eaire......................... 3
1. D´efinition. Image d’un vecteur. ......................... 3
2. Application lin´eaire canoniquement associ´ee `a une matrice ............... 4
3. Des bases pour une matrice simple ........................ 4
4. Changements de bases ............................ 4
III. Matrices d’une famille de formes lin´eaires ...................... 5
IV. Matrices ´equivalentes et rang........................... 5
V. Matrices semblables et trace ........................... 6
Index
– formule du changement de base, 2,4
– matrice d’un vecteur dans une base, 1
– matrice d’une application lin´eaire dans des
bases, 3
– matrice d’une famille de vecteurs dans une base,
1
– matrice d’une forme lin´eaire, 5
– matrice de passage, 2
– matrices ´equivalentes, 5
– matrices extraites, 5
– matrices semblables, 6
– trace d’un endomorphisme, 6
– trace d’une matrice carr´ee, 6
I. Matrices d’une famille de vecteurs
D´efinition (Matrice d’un vecteur dans une base).Soit Eun K-espace vectoriel de dimension pet E= (e1,· · · , ep)
une base de Eet u∈E. La matrice de udans Eest la matrice colonne des coordonn´ees de udans E. Elle est
not´ee MatE(u).
Mat
E(u) = 
λ1
.
.
.
λp
⇔u=λ1e1+· · · +λpep
Exemples. 1. Soit C= (e1, e2, e3) la base canonique de R3et x= (x1, x2, x3). Alors
Mat
C(x) = 
x1
x2
x3
2. Polynˆomes d’interpolation. Soit (a0, a1,· · · , an) des ´el´ements distincts de Ket L= (L0,· · · , Ln) la base (de
Kn[X]) des polynˆomes d’interpolation de Lagrange attach´ee `a ces valeurs.
∀P∈Kn[X],Mat
L(P) = 
e
P(a0)
.
.
.
e
P(an)
3. Les espaces de matrices disposent d’une base canonique, celle qui est form´ee par les matrices ´el´ementaires.
La matrice d’une matrice est la matrice colonne des coordonn´ees dans la base canonique. Par exemple
E= (E(1,1), E(1,2), E(2,1), E(2,2)) est une base de M2(K) et
A=a b
c d=aE(1,1) + bE(1,2) + cE(2,1) + dE(2,2) ⇒Mat
E(A) = 
a
b
c
d
.
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
Paternit´e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
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En particulier dans la base canonique, matrice d’une matrice colonne est elle mˆeme, la matrice d’une ligne
est sa transpos´ee.
Proposition. Soit Bune base d’un K-espace vectoriel Ede dimension p. L’application
(E→ Mp,1(K)
x7→ Mat
B(x)
est un isomorphisme.
Preuve. Ceci est justifi´e par le fait qu’un vecteur est caract´eris´e par ses coordonn´ees dans une base donn´ee et que
les fonctions coordonn´ees dans une base sont lin´eaires.
Remarque. La lin´earit´e de cette application se traduit par :
Mat
B(λ1x1+λ1x1+· · · λqxq) = λ1Mat B(x1) + λ2Mat B(x2) + · · · +λqMat B(xq)
D´efinition (Matrice d’une famille de vecteurs dans une base).Soit Eun K-espace vectoriel de dimension p,
B= (e1,· · · , ep) une base de Eet U= (u1,· · · , uq) une famille de vecteurs de E. La matrice de Udans Best la
matrice dont la colonne j(quelconque entre 1 et q) est MatB(uj). Elle est not´ee
Mat
B(U) = Mat B(u1,· · · , uq)
et v´erifie
∀j∈ {1,· · · , q}:CjMat
B(U)= Mat B(uj)
Remarque. Dans les conditions de la d´efinition pr´ec´edente, MatB(U) est une matrice `a plignes et qcolonnes.
Proposition. Soit Bune base d’un K-espace vectoriel E,(u1,· · · , uq)une famille de vecteurs de Eet (λ1,· · · , λq)
une famille d’´el´ements de K.
Mat
B(u1,· · · , uq)
λ1
.
.
.
λq
= Mat
B(λ1u1+· · · +λquq)
Preuve. D’apr`es une des propri´et´es du produit matriciel,
Mat
B(u1,· · · , uq)
λ1
.
.
.
λq
=C1(Mat
B(u1,· · · , uq))λ1+C2(Mat B(u1,· · · , uq))λ2+· · · +Cq(Mat B(u1,· · · , uq))λq
=λ1Mat
B(u1) + λ2Mat B(u2) + · · · +λqMat B(uq) = Mat B(λ1u1+· · · +λquq)
en utilisant une remarque pr´ec´edente.
D´efinition (Matrice de passage).Soit Bet B0deux bases d’un K-espace vectoriel Ede dimension finie. La matrice
de passage de Bvers B0est la matrice de la famille B0dans la base B. Elle est not´ee PBB0.
PBB0= Mat
B(B0)
Exemples. 1. Un exemple num´erique `a r´ediger.
2. Par d´efinition : PBB = MatB(B) = Ip.
Proposition (Formules de changement de base).Soit Bet B0deux bases d’un K-espace vectoriel Ede dimension
finie, soit uun vecteur de Eet (u1,· · · , uq)une famille de E:
Mat
B(u) = PBB0Mat B0(u)
Mat
B(u1,· · · , uq) = PBB0Mat B0(u1,· · · , uq)
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Preuve. Notons pla dimension de Eavec B0= (e0
1,· · · , e0
p) et
λ1
.
.
.
λp
= Mat
B0(u)
les coordonn´ees de u. On peut alors ´ecrire
PBB0Mat
B0(u) = Mat B(e0
1,· · · , e0 q)
λ1
.
.
.
λp
= Mat
B(λ1e0
1+· · · +λqe0 q) = Mat
B(u)
Pour la famille de vecteurs, il suffit d’appliquer le premier r´esultat colonne par colonne.
Proposition. Soit Bet B0deux bases d’un K-espace vectoriel Ede dimension finie. La matrice de passage PBB0
est inversible d’inverse PB0B
Preuve. On utilise la formule de changement de base en prenant Bdans le rˆole de la famille (u1, u2,· · · , up). On
en d´eduit
PBB0PB0B=PBB0Mat
B0(B) = Mat B(B) = Ip
On obtient l’autre produit en ´echangeant les rˆoles de Bet B0.
Remarque. Si on connait les coordonn´ees d’un vecteur udans une base Bet les coordonn´ees des vecteurs de Bdans
une base B0(c’est `a dire PB0B), il est facile (en rempla¸cant, d´eveloppant, regroupant) d’obtenir les coordonn´ees de
udans B0. Cela se traduit par la relation matricielle
Mat
B0(u) = PB0BMat B(u)
En revanche si on connait seulement la matrice de passage PBB0, un calcul suppl´ementaire est n´ecessaire.
Remarques. On peut traduire matriciellement le caract`ere libre ou li´e d’une famille de vecteurs. Soit Eun K-espace
vectoriel de dimension p, soit Bune base de E.
1. Soit u1,· · · , upune famille de pvecteurs de E.
(u1,· · · , up) base de E⇔(u1,· · · , up) libre ⇔Mat
B(u1,· · · , uq) inversible
2. Soit u1,· · · , uqune famille de qvecteurs de E.
(u1,· · · , up) li´ee ⇔ ∃X∈ Mq,1, X 6=
0
.
.
.
0
tel que Mat
B(u1,· · · , uq)X=
0
.
.
.
0
II. Matrices d’une application lin´eaire
1. D´efinition. Image d’un vecteur.
D´efinition (matrice d’une application lin´eaire dans des bases).Soit Eet Fdeux K-espaces vectoriels, soit
U= (u1,· · · , uq) une base de Eet V= (v1,· · · , vp) une base de F, soit fune application lin´eaire de Edans F.
La matrice de fdans les bases Uet Vest la matrice `a plignes et qcolonnes d´efinie par
Mat
U V f= Mat V(f(U)) = Mat V(f(u1),· · · , f(uq))
Dans le cas d’un endomorphisme f∈ L(E), lorsque la base est la mˆeme au d´epart et `a l’arriv´ee, on note
Mat
Uf= Mat U U f
Remarque. Soit Uet Vdes bases d’un K-espace vectoriel E
Mat
UIdE=Ip
Mat
VU IdE=PU V matrice de passage
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Proposition. Soit Eet Fdeux K-espaces vectoriels, soit U= (u1,· · · , uq)une base de Eet V= (v1,· · · , vp)une
base de F, soit fune application lin´eaire de Edans Fet uun vecteur de E:
Mat
V(f(u)) = Mat U V fMat Uu
Preuve. `a r´ediger
Proposition. Soit Eet Fdeux K-espaces vectoriels, soit U= (u1,· · · , uq)une base de Eet V= (v1,· · · , vp)une
base de F. L’application «MatU V »de L(E, F )dans Mpq(K)qui, `a une application lin´eaire, associe sa matrice
dans les bases consid´er´ees est un isomorphisme de K-espace vectoriel.
Preuve. Il s’agit en fait d’une reformulation du th´eor`eme de prolongement lin´eaire.
Proposition. Soit E,F,Gtrois K-espaces vectoriels, soit Uune base de Eet Vune base de Fet Wune base
de G, soit f∈ L(E, F )et g∈ L(F, G):
Mat
U W g◦f= Mat VW gMat U V f
Preuve. `a r´ediger
Proposition. Soit Uune base d’un K-espace vectoriel E. L’application
L(E)→ Mp(K)
f→Mat
Uf
est un isomorphisme d’alg`ebre.
Preuve. `a r´ediger
2. Application lin´eaire canoniquement associ´ee `a une matrice
D´efinition. Soit M∈ Mp,q(K). L’application lin´eaire canoniquement associ´ee `a Mest la multiplication (notons
la µ)d’une colonne par Msoit :
µ:(Mq,1(K)→Mp,1(K)
X7→MX
Le noyau de Mest le noyau de µ, l’image de Mest l’image de µ, le rang de Mest le rang de µ.
Remarques. – Les colonnes de Mengendrent son image.
– Les lignes de Mforment un syst`eme d’´equation de son noyau.
– Une matrice carr´ee est inversible si et seulement si son noyau est r´eduit au sous espace nul ou si ses colonnes
forment une base de l’espace des matrices colonnes.
Proposition. Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si ses termes diagonaux sont tous non nuls.
Preuve. `a compl´eter
Proposition. L’inverse d’une matrice triangulaire inversible est triangulaire.
Preuve. Si Mest triangulaire (disons sup´erieure) et µl’application lin´eaire canoniquement associ´ee. La restriction
de µau sous-espace des matrices triangulaires sup´erieures et un endomorphisme car le produit de deux matrices
triangulaires est triangulaire. Lorsque Mest inversible, son noyau est r´eduit `a l’espace nul don la restriction de µ
est un isomorphisme. On v´erifie que l’image r´eciproque de Ipar la restriction de µest M−1.
3. Des bases pour une matrice simple
Proposition. Soit Ede dimension qet Fde dimension pdeux K-espaces vectoriels. Soit f∈ L(E, F )une
application lin´eaire de rang r. Alors r≤min(p, q)et il existe des bases Ude Eet Vde Ftelles que :
Mat
U V f=
1 0 0
0...0
0 1 0 0
.
.
..
.
.0 0 .
.
.
...
0· · · 0· · · 0
(not´ee Jr(p, q))
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Preuve. On rappelle que le rang de fest la dimension de f(E) qui est un sous-espace vetoriel de F. On en
d´eduit r≤p= dim F. D’autre part, d’apr`es le th´eor`eme du rang, dim E= dim(ker f) + rg f. On en d´eduit que
rg f≤q= dim E.
Consid´erons une base (v1,· · · , vr) de f(E). Comme chacun de ses vecteur est une image, il existe une famille
(u1,· · · , ur) de vecteurs de Etels que f(ui) = vipour ientre 1 et r. D’apr`es le th´eor`eme du rang ker fest de
dimension q−r, consid´erons une base (ur+1,· · · , uq) de ker fet formons la famille
U= (u1,· · · , ur, ur+1,· · · , uq)
Montrons que c’est une base de E.
Comme elle est form´ee de q= dim Evecteurs, il suffit de prouver qu’elle est libre. Consid´erons des scalaires
λ1,· · · , λqtels que
λ1u1+· · · +λquq= 0E
En composant par f, on ´elimine les vecteurs du noyau d’o`u
λ1v1+· · · +λrvq= 0F
Comme la famille (v1,· · · , vr) est libre car c’est une base de f(E), les λisont nuls pour ientre 1 et r. Pour les
autres, on exploite le fait que (ur+1,· · · , uq) est libre car c’est une base du noyau. La famille est donc bien libre,
c’est une base.
On compl`ete la famille libre (v1,· · · , vr) en une base V= (v1,· · · , vp).
On aura alors f(ui) = vipour ientre 1 et ret f(ui)=0Fpour les autres i. La matrice de fdans les base Uet V
est bien celle annonc´ee.
4. Changements de bases
Proposition (formule du changement de base).Soit Eet Fdeux K-espaces vectoriels et f∈ L(E, F ), soit Uet
U0deux bases de E, soit Vet V0deux bases de F:
Mat
U0V0f=PV0VMat U V f PU U 0=P−1
VV 0Mat
U V f PU U 0
Preuve. `a r´ediger
Proposition (formule du changement de base pour un endomorphisme).Soit Eun K-espace vectoriel, soit U,V
deux bases de E, soit f∈ L(E). La formule du changement de base pour les matrices de fobtenues avec la mˆeme
base au d´epart et `a l’arriv´ee s’´ecrit :
Mat
Vf=PVU Mat U(f)PU V =P−1
U V Mat
U(f)PU V
Preuve. `a r´ediger
III. Matrices d’une famille de formes lin´eaires
D´efinition. Soit U= (u1,· · · , up) une base d’un K-espace vectoriel Eet ϕ∈E∗une forme lin´eaire sur E. La
matrice de ϕdans la base Uest d´efinie par
Mat
Uϕ= Mat
U(1) ϕ=ϕ(u1)ϕ(u2)· · · ϕ(up)
o`u (1) d´esigne la base canonique de Kconsid´er´e comme K-espace vectoriel.
Remarque. Attention `a ne pas confondre la matrice ligne MatUϕavec la matrice colonne MatU∗ϕo`u U∗d´esigne
la base de E∗.
Mat
Uϕ=ϕ(u1)ϕ(u2)· · · ϕ(up)Mat
U∗ϕ=
ϕ(u1)
ϕ(u2)
.
.
.
ϕ(up)
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
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