Matrices de familles de vecteurs et d`applications linéaires

MPSI-Éléments de cours
Matrices de familles de vecteurs et d’applications linéaires
24 mars 2017
Matrices de familles de vecteurs et
d’applications linéaires
Rédaction incomplète. Version beta 23/03/17
Plan
I. Matrices d’une famille de vecteurs . . . . . . .
II. Matrices d’une application linéaire. . . . . . .
1. Définition. Image d’un vecteur. . . . . . . .
2. Application linéaire canoniquement associée à une
3. Des bases pour une matrice simple . . . . . .
4. Changements de bases . . . . . . . . . .
III. Matrices d’une famille de formes linéaires . . . .
IV. Matrices équivalentes et rang. . . . . . . . .
V. Matrices semblables et trace . . . . . . . . .
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matrice
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1
3
3
4
4
4
5
5
6
Index
–
–
–
–
–
–
– formule du changement de base, 2, 4
– matrice d’un vecteur dans une base, 1
– matrice d’une application linéaire dans des
bases, 3
– matrice d’une famille de vecteurs dans une base,
1
– matrice d’une forme linéaire, 5
I.
matrice de passage, 2
matrices équivalentes, 5
matrices extraites, 5
matrices semblables, 6
trace d’un endomorphisme, 6
trace d’une matrice carrée, 6
Matrices d’une famille de vecteurs
Définition (Matrice d’un vecteur dans une base). Soit E un K-espace vectoriel de dimension p et E = (e1 , · · · , ep )
une base de E et u ∈ E. La matrice de u dans E est la matrice colonne des coordonnées de u dans E. Elle est
notée MatE (u).
 
λ1
 .. 
Mat(u) =  .  ⇔ u = λ1 e1 + · · · + λp ep
E
λp
Exemples.
1. Soit C = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 et x = (x1 , x2 , x3 ). Alors
 
x1
Mat (x) = x2 
C
x3
2. Polynômes d’interpolation. Soit (a0 , a1 , · · · , an ) des éléments distincts de K et L = (L0 , · · · , Ln ) la base (de
Kn [X]) des polynômes d’interpolation de Lagrange attachée à ces valeurs.


Pe(a0 )


∀P ∈ Kn [X],
Mat (P ) =  ... 
L
Pe(an )
3. Les espaces de matrices disposent d’une base canonique, celle qui est formée par les matrices élémentaires.
La matrice d’une matrice est la matrice colonne des coordonnées dans la base canonique. Par exemple
E = (E(1, 1), E(1, 2), E(2, 1), E(2, 2)) est une base de M2 (K) et
 
a
b
a b

A=
= aE(1, 1) + bE(1, 2) + cE(2, 1) + dE(2, 2) ⇒ Mat (A) = 
c .
c d
E
d
1
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disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
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En particulier dans la base canonique, matrice d’une matrice colonne est elle même, la matrice d’une ligne
est sa transposée.
Proposition. Soit B une base d’un K-espace vectoriel E de dimension p. L’application
(
E → Mp,1 (K)
x 7→ Mat(x)
B
est un isomorphisme.
Preuve. Ceci est justifié par le fait qu’un vecteur est caractérisé par ses coordonnées dans une base donnée et que
les fonctions coordonnées dans une base sont linéaires.
Remarque. La linéarité de cette application se traduit par :
Mat(λ1 x1 + λ1 x1 + · · · λq xq ) = λ1 Mat(x1 ) + λ2 Mat(x2 ) + · · · + λq Mat(xq )
B
B
B
B
Définition (Matrice d’une famille de vecteurs dans une base). Soit E un K-espace vectoriel de dimension p,
B = (e1 , · · · , ep ) une base de E et U = (u1 , · · · , uq ) une famille de vecteurs de E. La matrice de U dans B est la
matrice dont la colonne j (quelconque entre 1 et q) est MatB (uj ). Elle est notée
Mat(U) = Mat(u1 , · · · , uq )
B
et vérifie
B
∀j ∈ {1, · · · , q} : Cj Mat(U) = Mat(uj )
B
B
Remarque. Dans les conditions de la définition précédente, MatB (U) est une matrice à p lignes et q colonnes.
Proposition. Soit B une base d’un K-espace vectoriel E, (u1 , · · · , uq ) une famille de vecteurs de E et (λ1 , · · · , λq )
une famille d’éléments de K.
 
λ1
 
Mat(u1 , · · · , uq )  ...  = Mat(λ1 u1 + · · · + λq uq )
B
B
λq
Preuve. D’après une des propriétés du produit matriciel,
 
λ1
 
Mat(u1 , · · · , uq )  ...  = C1 (Mat(u1 , · · · , uq ))λ1 + C2 (Mat(u1 , · · · , uq ))λ2 + · · · + Cq (Mat(u1 , · · · , uq ))λq
B
B
B
B
λq
= λ1 Mat(u1 ) + λ2 Mat(u2 ) + · · · + λq Mat(uq ) = Mat(λ1 u1 + · · · + λq uq )
B
B
B
B
en utilisant une remarque précédente.
Définition (Matrice de passage). Soit B et B 0 deux bases d’un K-espace vectoriel E de dimension finie. La matrice
de passage de B vers B 0 est la matrice de la famille B 0 dans la base B. Elle est notée PBB0 .
PBB0 = Mat(B 0 )
B
Exemples.
1. Un exemple numérique à rédiger.
2. Par définition : PBB = MatB (B) = Ip .
Proposition (Formules de changement de base). Soit B et B 0 deux bases d’un K-espace vectoriel E de dimension
finie, soit u un vecteur de E et (u1 , · · · , uq ) une famille de E :
Mat(u) = PBB0 Mat
(u)
0
B
B
Mat(u1 , · · · , uq ) = PBB0 Mat
(u1 , · · · , uq )
0
B
B
2
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Preuve. Notons p la dimension de E avec B 0 = (e01 , · · · , e0p ) et
 
λ1
 .. 
 .  = Mat(u)
B0
λp
les coordonnées de u. On peut alors écrire


λ1
 
PBB0 Mat
(u) = Mat(e01 , · · · , e0q )  ...  = Mat(λ1 e01 + · · · + λq e0q ) = Mat(u)
0
B
B
B
B
λp
Pour la famille de vecteurs, il suffit d’appliquer le premier résultat colonne par colonne.
Proposition. Soit B et B 0 deux bases d’un K-espace vectoriel E de dimension finie. La matrice de passage PBB0
est inversible d’inverse PB0 B
Preuve. On utilise la formule de changement de base en prenant B dans le rôle de la famille (u1 , u2 , · · · , up ). On
en déduit
PBB0 PB0 B = PBB0 Mat
(B) = Mat(B) = Ip
0
B
B
On obtient l’autre produit en échangeant les rôles de B et B 0 .
Remarque. Si on connait les coordonnées d’un vecteur u dans une base B et les coordonnées des vecteurs de B dans
une base B 0 (c’est à dire PB0 B ), il est facile (en remplaçant, développant, regroupant) d’obtenir les coordonnées de
u dans B 0 . Cela se traduit par la relation matricielle
Mat
(u) = PB0 B Mat(u)
0
B
B
En revanche si on connait seulement la matrice de passage PBB0 , un calcul supplémentaire est nécessaire.
Remarques. On peut traduire matriciellement le caractère libre ou lié d’une famille de vecteurs. Soit E un K-espace
vectoriel de dimension p, soit B une base de E.
1. Soit u1 , · · · , up une famille de p vecteurs de E.
(u1 , · · · , up ) base de E ⇔ (u1 , · · · , up ) libre ⇔ Mat(u1 , · · · , uq ) inversible
B
2. Soit u1 , · · · , uq une famille de q vecteurs de E.
 
 
0
0
 .. 
 .. 
(u1 , · · · , up ) liée ⇔ ∃X ∈ Mq,1 , X 6=  .  tel que Mat(u1 , · · · , uq )X =  . 
B
0
II.
1.
0
Matrices d’une application linéaire
Définition. Image d’un vecteur.
Définition (matrice d’une application linéaire dans des bases). Soit E et F deux K-espaces vectoriels, soit
U = (u1 , · · · , uq ) une base de E et V = (v1 , · · · , vp ) une base de F , soit f une application linéaire de E dans F .
La matrice de f dans les bases U et V est la matrice à p lignes et q colonnes définie par
Mat f = Mat(f (U)) = Mat(f (u1 ), · · · , f (uq ))
UV
V
V
Dans le cas d’un endomorphisme f ∈ L(E), lorsque la base est la même au départ et à l’arrivée, on note
Mat f = Mat f
U
UU
Remarque. Soit U et V des bases d’un K-espace vectoriel E
Mat IdE = Ip
U
Mat IdE = PU V matrice de passage
VU
3
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Proposition. Soit E et F deux K-espaces vectoriels, soit U = (u1 , · · · , uq ) une base de E et V = (v1 , · · · , vp ) une
base de F , soit f une application linéaire de E dans F et u un vecteur de E :
Mat(f (u)) = Mat f Mat u
V
UV
U
Preuve. à rédiger
Proposition. Soit E et F deux K-espaces vectoriels, soit U = (u1 , · · · , uq ) une base de E et V = (v1 , · · · , vp ) une
base de F . L’application « MatU V » de L(E, F ) dans Mpq (K) qui, à une application linéaire, associe sa matrice
dans les bases considérées est un isomorphisme de K-espace vectoriel.
Preuve. Il s’agit en fait d’une reformulation du théorème de prolongement linéaire.
Proposition. Soit E, F , G trois K-espaces vectoriels, soit U une base de E et V une base de F et W une base
de G, soit f ∈ L(E, F ) et g ∈ L(F, G) :
Mat g ◦ f = Mat g Mat f
UW
VW
UV
Preuve. à rédiger
Proposition. Soit U une base d’un K-espace vectoriel E. L’application
L(E) → Mp (K)
f → Mat f
U
est un isomorphisme d’algèbre.
Preuve. à rédiger
2.
Application linéaire canoniquement associée à une matrice
Définition. Soit M ∈ Mp,q (K). L’application linéaire canoniquement associée à M est la multiplication (notons
la µ )d’une colonne par M soit :
(
Mq,1 (K) →Mp,1 (K)
µ:
X 7→M X
Le noyau de M est le noyau de µ, l’image de M est l’image de µ, le rang de M est le rang de µ.
Remarques.
– Les colonnes de M engendrent son image.
– Les lignes de M forment un système d’équation de son noyau.
– Une matrice carrée est inversible si et seulement si son noyau est réduit au sous espace nul ou si ses colonnes
forment une base de l’espace des matrices colonnes.
Proposition. Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si ses termes diagonaux sont tous non nuls.
Preuve. à compléter
Proposition. L’inverse d’une matrice triangulaire inversible est triangulaire.
Preuve. Si M est triangulaire (disons supérieure) et µ l’application linéaire canoniquement associée. La restriction
de µ au sous-espace des matrices triangulaires supérieures et un endomorphisme car le produit de deux matrices
triangulaires est triangulaire. Lorsque M est inversible, son noyau est réduit à l’espace nul don la restriction de µ
est un isomorphisme. On vérifie que l’image réciproque de I par la restriction de µ est M −1 .
3.
Des bases pour une matrice simple
Proposition. Soit E de dimension q et F de dimension p deux K-espaces vectoriels. Soit f ∈ L(E, F ) une
application linéaire de rang r. Alors r ≤ min(p, q) et il existe des bases U de E et V de F telles que :


1 0
0


0 . . . 0




0 1 0
0


Mat f =  .
..
..  (notée Jr (p, q))
UV
 ..

.
0
0
.




.
..


0 ··· 0
··· 0
4
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Preuve. On rappelle que le rang de f est la dimension de f (E) qui est un sous-espace vetoriel de F . On en
déduit r ≤ p = dim F . D’autre part, d’après le théorème du rang, dim E = dim(ker f ) + rg f . On en déduit que
rg f ≤ q = dim E.
Considérons une base (v1 , · · · , vr ) de f (E). Comme chacun de ses vecteur est une image, il existe une famille
(u1 , · · · , ur ) de vecteurs de E tels que f (ui ) = vi pour i entre 1 et r. D’après le théorème du rang ker f est de
dimension q − r, considérons une base (ur+1 , · · · , uq ) de ker f et formons la famille
U = (u1 , · · · , ur , ur+1 , · · · , uq )
Montrons que c’est une base de E.
Comme elle est formée de q = dim E vecteurs, il suffit de prouver qu’elle est libre. Considérons des scalaires
λ1 , · · · , λq tels que
λ1 u1 + · · · + λq uq = 0E
En composant par f , on élimine les vecteurs du noyau d’où
λ1 v1 + · · · + λr vq = 0F
Comme la famille (v1 , · · · , vr ) est libre car c’est une base de f (E), les λi sont nuls pour i entre 1 et r. Pour les
autres, on exploite le fait que (ur+1 , · · · , uq ) est libre car c’est une base du noyau. La famille est donc bien libre,
c’est une base.
On complète la famille libre (v1 , · · · , vr ) en une base V = (v1 , · · · , vp ).
On aura alors f (ui ) = vi pour i entre 1 et r et f (ui ) = 0F pour les autres i. La matrice de f dans les base U et V
est bien celle annoncée.
4.
Changements de bases
Proposition (formule du changement de base). Soit E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F ), soit U et
U 0 deux bases de E, soit V et V 0 deux bases de F :
−1
f = PV 0 V Mat f PU U 0 = PVV
Mat
0 Mat f PU U 0
0 0
UV
U V
UV
Preuve. à rédiger
Proposition (formule du changement de base pour un endomorphisme). Soit E un K-espace vectoriel, soit U, V
deux bases de E, soit f ∈ L(E). La formule du changement de base pour les matrices de f obtenues avec la même
base au départ et à l’arrivée s’écrit :
Mat f = PVU Mat(f )PU V = PU−1
V Mat(f )PU V
V
U
U
Preuve. à rédiger
III.
Matrices d’une famille de formes linéaires
Définition. Soit U = (u1 , · · · , up ) une base d’un K-espace vectoriel E et ϕ ∈ E ∗ une forme linéaire sur E. La
matrice de ϕ dans la base U est définie par
Mat ϕ = Mat ϕ = ϕ(u1 ) ϕ(u2 ) · · · ϕ(up )
U
U (1)
où (1) désigne la base canonique de K considéré comme K-espace vectoriel.
Remarque. Attention à ne pas confondre la matrice ligne MatU ϕ avec la matrice colonne MatU ∗ ϕ où U ∗ désigne
la base de E ∗ .


ϕ(u1 )
ϕ(u2 )


Mat ϕ = ϕ(u1 ) ϕ(u2 ) · · · ϕ(up )
Mat
ϕ
=
 .. 
U
U∗
 . 
ϕ(up )
5
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IV.
Matrices de familles de vecteurs et d’applications linéaires
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Matrices équivalentes et rang
Définition de l’équivalence entre deux matrices de même taille.
Remarque. Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles représentent la même application linéaire dans
des bases différentes.
Proposition. La relation d’équivalence est une relation d’équivalence.
Preuve. à rédiger
Définition. Le rang(des colonnes) d’une matrice est le rang de la famille de ses colonnes.
Proposition. Si une matrice représente une famille de vecteurs dans une base, le rang de la matrice est égal au
rang de la famille de vecteurs.
Si une matrice représente une application linéaires dans des bases, le rang de la matrice est égal au rang de
l’application linéaire.
Preuve. à rédiger
Proposition. Deux matrices équivalentes sont de même rang.
Preuve. En effet elles représentent une même application linéaire dans des bases différentes.
Remarque. Le rang est donc invariant par une multiplication d’un côté ou de l’autre par une matrice inversible.
C’est un cas particulier d’équivalence.
Proposition. Une matrice de Mp, q(K) est de rang r ∈ J0, min(p, q)K si et seulement si elle est équivalente à
Jr (p, q).
Proposition. Le rang d’une matrice est égal à celui de sa transposée.
Preuve. Soit M ∈ Mp, q(K) de rang r. D’après la proposition précédente,
∃P ∈ GLp (K), ∃Q ∈ GLq (K) telles que M = P Jr (p, q)Q ⇒ tM = tQ tJr (p, q) tP
Comme tP et tQ sont inversibles, le rang de tM est celui de tJr (p, q) = Jr (q, p) c’est à dire r = rg(M ).
Remarque. Une matrice et sa transposée ne sont pas de même taille.
Proposition. Le rang des lignes est égal au rang des colonnes.
Matrices extraites
Extraire diminue le rang.
De toute matrice non nulle, on peut extraire des matrices carrées inversibles.
Proposition. Soit A une matrice non nulle et I l’ensemble des s tels qu’il existe une matrice carrée inversible
s × s extraite de A. Le rang de A est alors le plus grand élément de I.
Preuve. à rédiger
V.
Matrices semblables et trace
Définition. Deux matrices carrées de même taille A et B dans Mp (K) sont semblables si et seulement si il existe
P ∈ GLp (K) telle que
B = P −1 A B
On rappelle que la trace d’une matrice carrée est la somme de ses termes diagonaux. La fonction trace notée
tr est une forme linéaire sur Mp (K). Elle vérifie
∀(A, B) ∈ Mp (K)2 , tr(AB) = tr(BA)
Proposition. Deux matrices semblables ont la même trace.
Preuve. à rédiger.
6
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Remarque. On en déduit que les traces des matrices représentant un endomorphisme dans une base sont égales
entre elles donc indépendantes de la base choisie. Si U et V sont deux bases d’un K-espace vectoriel E et f un
endomorphisme de E :
−1
tr Mat f = tr PVU
Mat f PU V = tr Mat f PU V PU−1
=
tr
Mat
f
V
V
U
U
U
Cet élément de K est appelé trace de f et noté tr(f ). C’est la trace de l’endomorphisme.
Cette fonction nouvelle fonction trace est une forme linéaire sur l’espace des endomorphismes.
Proposition. Si p est un projecteur dans un espace E de dimension finie, sa trace est le dimension de son image.
Si A et B sont deux sous-espaces supplementaires et p la projection sur A parallèlement à B, alors tr(p) = dim(A).
Preuve. On considère une base E = (a1 , · · · , aα , b1 , · · · , bβ ) de E
de B. Alors

1 0

.
0 1 . .

 ..
..
.
. 0

0
1
Mat(p) = 

E

0
0

.
..
.
.
.
···
0
7
0
avec (a1 , · · · , aα ) base de A et (b1 , · · · , bβ ) base

0
0



..
.. 
.
.

0
0

..
.. 
.
.



0
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