Groupes finis - Ecole polytechnique

COURS 4, 5
GROUPES FINIS - COMPL´ EMENTS
COURS MAT 556 ’GROUPES ET REPR´ ESENTATIONS’ - X 2012/13
(ANNA CADORET)
L’objectif de ces deux cours est de manipuler un peu les groupes finis, dont nous ´etudierons les repr´esentations
lin´eaires de dimension finie dans les quatre derniers cours.
Nous commencerons par revoir rapidement les propri´et´es ´el´ementaire du groupe sym´etrique (section 1) puis nous
int´eresserons `a la structure des groupes finis (sections 2 et 3).
Contents
1. Echauffement: le groupe sym´etrique 1
2. Th´eor`emes de Sylow, p-groupes 2
2.1. Th´eor`emes de Sylow 2
2.2. p-groupes 4
3. Extensions 4
3.1. Atomisation d’un groupe (fini) 4
3.2. Groupes finis simples 5
3.3. Extensions, produits semidirects 6
3.3.1. Produits semi-directs 6
3.3.1.1. Definition ’interne’ 6
3.3.1.2. Definition ’externe’ 6
3.3.1.3. Produit semi-direct versus produit direct 6
3.3.2. Extensions ab´eliennes, classification par le H2, th´eor`eme de Schur-Zassenhauss 7
3.3.2.1. Groupes r´esolubles et nilpotents 7
3.3.2.2. Groupes de cohomologie de G`a valeur dans un Z[G]-module 8
3.3.2.3. Th´eor`eme de Schur-Zassenhauss 9
References 11
1. Echauffement: le groupe sym´ etrique
Le groupe sym´etrique joue un rˆole pr´epond´erant dans l’´etude des groupes finis, notamment via les actions de
groupes. En effet, toute action d’un groupe fini Gsur un ensemble fini Xd´efinit un morphisme de groupe
G→ S(X)
`a valeur dans le groupe sym´etrique S(X) sur Xet inversement. Lorsque l’action consid´er´ee est fid`ele (par exemple
lorsqu’on fait op´erer Gsur lui-mˆeme par translation), ce morphisme est mˆeme injectif. Les groupes sym´etriques
contiennent donc tous les groupes finis... Ce qui laisse augurer de leur complexit´e. Si l’on se fixe une bijection
X˜→{1, . . . , n}, on peut identifier S(X) et
Sn:= S({1, . . . , n}).
En d´epit de la complexit´e de Snon dispose sur celui-ci d’une description combinatoire particuli`erement simple,
qui permet d’y faire des calculs explicites. On suppose que le lecteur est familier de ces petites manipulations.
Rappelons seulement la formule de conjugaison:
σ◦(k1, . . . , kr)◦σ−1= (σ(k1), . . . , σ(kr)).
1

2 COURS MAT 556 ’GROUPES ET REPR´ ESENTATIONS’ - X 2012/13 (ANNA CADORET)
Voici quelques propri´et´es ´el´ementaires de Snqu’il faut connaitre (nous en verrons de plus ´evolu´ees dans la suite
du cours).
(1) (Cardinal): |Sn|=n!.
(2) (Classes de conjugaison): pour tout σ∈ Snil existe une unique famille de cycles c1, . . . , cr∈ Sn`a supports
deux `a deux disjoints tels que
σ=c1◦ · · · ◦ cr.
Les supports de ces cycles sont les orbites de l’action tautologique de hσisur {1, . . . , n}. Notons σ:
{1, . . . , n}→{1, . . . , n}l’application qui `a un entier 1 ≤k≤nassocie le nombre de cycles de longueur k
parmi les c1, . . . , cr. Deux permutations σ, τ ∈ Snsont conjugu´ees dans Snsi et seulement si
σ=τ.
(3) (G´en´erateurs): Les ensembles suivant forment des syst`emes de g´en´erateurs de Sn
- Les transpositions (i, i + 1), i= 1, . . . , n −1;
- Les transpositions (1, i), i= 2, . . . , n;
- La transposition (1,2) et le n-cycle (1,2, . . . , n).
(4) (Signature): il existe un unique morphisme de groupe surjectif
:Sn→ {±1}
appel´ee la signature. Pour tout σ∈ Sn, on a
(σ) = Y
1≤i<j≤n
(σ(j)−σ(i))
(j−i)= (−1)P1≤k≤n(k−1)`σ(k)= (−1)n−|{1,...,n}/hσi|.
On appelle An:= ker()CSnle groupe altern´e. C’est l’unique sous-groupe d’indice 2 de Sn.
Exercice 1.1.
(1) Montrer que le centre de Snest trivial pour n≥3.
(2) Montrer que Anest engendr´e par les 3-cycles et que les 3-cycles sont conjugu´es dans An,n≥5.
(3) Rappelons qu’on peut plonger le groupe sym´etrique Sndans le groupe lin´eaire GLn(k)en associant `a σ∈ Sn
la matrice Pσ∈GLn(k)d´efinie par Pσei=eσ(i),i= 1, . . . , n (o`u e1, . . . , end´esigne la base canonique
de kn). Montrer que σ, τ ∈ Snsont conjugu´ees dans Snsi et seulement si Pσ, Pτsont conjugu´es dans
GLn(k).
(4) Montrer qu’on a des isomorphismes S3˜→GL2(F2)et S4˜→PGL2(F3).
2. Th´ eor` emes de Sylow, p-groupes
2.1. Th´eor`emes de Sylow. Soit Gun groupe fini et pun nombre premier divisant l’ordre de G. On ´ecrit
|G|=mpr,
avec p6 |m.
On appelle p-Sylow de Gtout sous-groupe de Gd’ordre pret on note Sp(G) l’ensemble des p-Sylow de G.
Exemple 2.1. Soit G= GLr(Fp). On a
|G|= (pr−1)(pr−p)· · · (pr−pr−1) = pr(r−1)
2
r
Y
i=1
(pi−1).
Le sous-groupe de GLr(Fp) form´e des matrices triangulaires sup´erieures avec des 1 sur la diagonale est un p-Sylow
de GLr(Fp).
Th´eor`eme 2.2. (Sylow)
(1) Sp(G)est non vide;
(2) l’action de Gpar conjugaison sur Sp(G)est transitive;
(3) tout psous-groupe de Gest contenu dans un p-Sylow de G;
(4) |Sp(G)| ≡ 1 mod pet |Sp(G)||m.
Preuve. commen¸cons par le lemme suivant.
Lemme 2.3. Soit Gun groupe fini, Sun p-Sylow de Get Hun sous-groupe de Gd’ordre divisible par p. Alors
il existe g∈Gtel que gSg−1∩Hsoit un p-Sylow de H.

COURS 4, 5 GROUPES FINIS - COMPL´ EMENTS 3
Preuve du lemme 2.3. Notons
X:= H\G/S.
Comme
G=G
x∈X
HxS =G
x∈X
G
h∈H/xSx−1∩H
hxS,
on a
|G|=X
x∈X
|S|[H:xSx−1∩H]
donc
[G:S] = X
x∈X
[H:xSx−1∩H].
Par hypoth`ese pne divise pas [G:S] donc il existe au moins un x0∈Xtel que pne divise pas [H:x0Sx−1
0∩H].
Mais x0Sx−1
0∩Hest un p-groupe et, toujours par hypoth`ese, pdivise |H|. On en d´eduit que x0Sx−1 0∩Hest un
p-Sylow de H.
Montrons (1), (2) et (3). Notons n=|G|=mpr. En faisant agir Gsur lui mˆeme par translation, on d´efinit un
plongement de Gdans le groupe des permutations S(G) de G. N’importe quelle bijection G˜→{1, . . . , n}induit
un isomorphisme de groupe S(G) ˜→Sn. Enfin, en faisant agir Snpar permutation sur les vecteurs de la base
canonique de Fn
p, on d´efinit un plongement de Sndans GLn(Fp). On vient donc de construire un plongement
G →GLn(Fp),
ce qui permet de voir Gcomme un sous-groupe de GLn(Fp) et d’appliquer le lemme 2.3 avec G= GLn(Fp),
H=Get, par exemple, Sle sous-groupe des matrices triangulaires sup´erieures avec des 1 sur la diagonale. Cela
donne (1). Pour (2) (resp. (3)), on applique le lemme 2.3 avec G=G,Set Hdes p-Sylow de G(resp. Sun
p-Sylow de Get Hun psous-groupe de G).
Montrons maintenant (4). Comme l’action de Gpar conjugaison sur Sp(G) est transitive, pour tout p-Sylow S
de Gon a:
G/S G/NorG(S) ˜→Sp(G),
on en d´eduit que |Sp(G)|= [G: NorG(S)] divise [G:S] = m. Faisons maintenant agir Spar conjugaison sur
Sp(G). Pour tout p-Sylow S0de G, la bijection
S/NorS(S0) ˜→S·S0
montre que les orbites de Sagissant sur Sp(G) sont toutes d’ordre une puissance de p. Comme
|Sp(G)|=X
S0∈Sp(G)/S
S·S0,
il suffit donc de montrer qu’il n’y a qu’une seule orbite de longueur 1, celle de S. Sinon, on aurait un p-Sylow
S06=Stel que sS0s−1=S0pour tout s∈S. Mais dans ce cas SS0serait un psous-groupe (observer que les fibre
se l’application surjective S×S0SS0sont toutes en bijections avec S∩S0) de Gcontenant strictement Set
S0: une contradiction. 
Exercice 2.4. (Sous-groupe fini du groupe multiplicatif d’un corps) Soit kun corps et G⊂k×un sous-groupe
fini du groupe multiplicatif de k. Montrer que tout p-Sylow de Gest cyclique et en d´eduire que Glui-mˆeme est
cyclique.
Exercice 2.5. Soit Gun groupe fini d’ordre 24 tel que |Sp(G)|>1,p= 1,2. L’objectif de cet exercice est de
montrer que Gest isomorphe `a S4.
(1) Calculer |Sp(G)|et |NorG(S)|,S∈ Sp(G)pour p= 2,3.
(2) En faisant agir Gpar conjugaison sur ses 3-Sylow, montrer qu’on d´efinit un morphisme
φ:G→ S4
dont le noyau est d’ordre 1ou 2.
(3) Conclure.

4 COURS MAT 556 ’GROUPES ET REPR´ ESENTATIONS’ - X 2012/13 (ANNA CADORET)
2.2. p-groupes. Nous ´etudions ici quelques propri´et´es ´el´ementaires des p-groupes qui, comme on vient de le voir,
joue un rˆole pr´epond´erant dans l’´etude de la structure des groupes finis.
Lemme 2.6. (Centre) Soit Gun p-groupe .
(1) 1 6=NCGun sous-groupe distingu´e non nul. Alors Z(G)∩N6= 1. En particulier, Z(G)6= 0;
(2) Si Z(G)(Galors [G:Z(G)] > p.
Preuve. (1) Faisons agir Gpar conjugaison sur N\ {1}. L’´equation aux classes s’´ecrit:
|N\ {1}| =|N| − 1 = X
n∈N\{1}/G
|G|
|StabG(n)|.
Comme Gest un p-groupe, les termes |G|
|StabG(n)|valent 1 ou une puissance de p. Mais comme |N|est aussi une
puissance de p, le terme |N| − 1 est premier `a p, ce qui montre qu’il existe au moins un 1 6=n∈Ntel que
G= StabG(n)i.e. n∈Z(G)∩N.
Si [G:Z(G)] = palors G/Z(G) est cyclique. Mais, en g´en´eral, il n’existe pas de groupe fini Gpour lequel
G/Z(G) est cyclique est ab´elien. En effet, il suffit d’observer que si g∈Grel`eve un g´en´erateur de G/Z(G) alors
l’application surjective
Z(G)× hgiG
(z, gr)→zgr
d´efinit un morphisme de groupe, ce qui contredit le fait que Gn’est pas ab´elien. 
Lemme 2.7. (Sous-groupes maximaux) Tout sous-groupe maximal d’un p-groupe Gest normal dans Get d’indice
pdans G.
Preuve. Pour la premi`ere partie de l’assertion, on proc`ede par induction sur |G|. Si |G|= 1, p, c’est imm´ediat.
Supposons donc |G|> p. Soit M⊂Gun sous-groupe maximal de G. Alors M Z(G)⊂Gest aussi un sous-groupe
de Get, par maximalit´e de Msoit MZ(G) = Gsoit MZ(G) = M. Dans le premier cas, on a clairement MCG.
Dans le second, M/Z(G) est un sous-groupe maximal de G/Z(G). Mais par le lemme 2.6, on a |G/Z0G)|<|G|
donc, par induction M/Z(G)CG/Z(G), ce qui implique MCG.
Pour la seconde partie de l’assertion, comme MCG, le quotient G/M est un groupe. De plus, les sous-groupes
de G/M sont en correspondance bijective avec les sous-groupe de Gcontenant M. Autrement dit, les seuls
sous-groupes de G/M sont 1 et G/M, ce qui impose G/M =Z/p.
Corollaire 2.8. Soit Gun p-groupe d’ordre |G|=pr. Alors il existe une suite de sous-groupes
G=F0(G)⊃F1(G)⊃ · · · ⊃ Fr−1(G)⊃Fr(G)=0
telle que Fi+1(G)CFi(G)et Fi(G)/Fi+1(G)'Z/p,i= 0, . . . , r −1.
Autrement dit, on a un ’th´eor`eme de Jordan-Holder’ pour les p-groupes. On va voir que cela reste vrai pour les
groupes finis g´en´eraux.
Exercice 2.9. (Groupes nilpotents) Soit Gun groupe fini.
(1) Soit NCGun sous-groupe normal et P∈ Sp(N). Montrer que
G= NorG(P)N.
(2) Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes:
(a) Gest le produit direct de ses p-Sylow;
(b) tout p-Sylow de Gest normal dans G;
(c) tout sous-groupe maximal de Gest normal dans G.
Un groupe fini Gv´erifiant ces propri´et´es est dit nilpotent.
3. Extensions
3.1. Atomisation d’un groupe (fini). Ce que nous avons vu pour les A-module admet un exact analogue pour
les groupes. Plus pr´ecis´ement, on dit un groupe Gv´erifie la condition DCC (descending chain condition) (resp.
la condition ACC - ascending chain condition) si toute suite croissante (resp. d´ecroissante):
G0⊂G1⊂ · · · ⊂ G(resp. G⊃G0⊃G1⊃ · · · )
telle que GiCGi+1,i≥0 (resp. Gi+1 CGi,i≥0) est stationnaire `a partir d’un certain rang. Ces conditions
correspondent aux notions de module noetherien et artinien.

COURS 4, 5 GROUPES FINIS - COMPL´ EMENTS 5
Un groupe fini v´erifie bien sˆur `a la fois les conditions DCC et ACC.
On dit qu’un groupe est ind´ecomposable s’il est non trivial et ne peut s’´ecrire comme produit direct de deux
groupes non triviaux et qu’un groupe est simple s’il est non trivial et si ses seuls sous-groupes normaux sont le
groupe trivial et lui-mˆeme. On a alors
- (Krull-Schmidt) Soit Gun groupe v´erifiant les conditions DCC et ACC. Alors il existe une unique (`a
isomorphisme et permutation pr`es) famille finie de groupes ind´ecomposables G1, . . . , Grtels que
G'G1× · · · × Gr.
- (Jordan-Holder) Soit Gun groupe v´erifiant les conditions DCC et ACC. Alors il existe une filtration finie
F•(G)G=F0(G)⊃F1(G)⊃ · · · ⊃ Fn(G)⊃Fn+1(G)=1
telle que Fi+1(G)CFi(G),i= 0, . . . , n et Fi(G)/Fi+1(G)est simple, i= 0, . . . , n. En outre, le gradu´e
associ´e
GrF(G) := Y
0≤i≤n
Fi(G)/Fi+1(G)
ne d´epend pas, `a isomorphisme pr`es, de la filtration F•(G).
Exemple 3.1. Calculer le gradu´e associ´e des groupes S4,H8et D8.
On est donc confront´e pour les groupes finis au mˆeme probl`eme (en plus compliqu´e) que pour les modules: d’un
cˆot´e, les groupes finis ind´ecomposables sont beaucoup trop gros pour ˆetre classifi´es et, de l’autre, si l’on sait
maintenant classifier les groupes finis simples (voir section 3.2), leurs extensions sont encore tr`es mal comprises.
3.2. Groupes finis simples. Comme les modules simples, les groupes finis simples ont des propri´et´es ´el´ementaires
remarquables. Par exemple,
- si φ:G→G0est un morphisme de groupes finis et si Gest simple alors φest soit le morphisme trivial
soit injectif;
- si Gest simple et 1 6=X⊂Gest un sous-ensemble stable par conjugaison alors G=hXi.
La classification des groupes finis simples (ou ’th´eor`eme ´enorme’), achev´ee vers le milieu des ann´ees 80, est
consid´er´e comme le r´esultat le plus impressionnant des math´ematiques du vingti`eme si`ecle.
Th´eor`eme 3.2. Tout groupe fini simple est de l’un des type suivant
(1) Un groupe cyclique d’ordre premier;
(2) Un groupe altern´e An,n≥5;
(3) Un groupe de type Lie classiques (pour presque toutes les valeurs de net q=pr): PSLn(Fq),PSpn(Fq),
PΩ
n(Fq),PSUn(Fq2);
(4) Un groupes de Lie exceptionnel (pour presque toutes les valeurs de net q=pr): E6(Fq),E7(Fq),E8(Fq),
F4(Fq),G2(Fq)et certaines de leurs formes tordues;
(5) L’un des 27 groupes sporadiques.
Montrons un tout petit bout de ce r´esultat.
Proposition 3.3. Le groupe Anest simple pour n≥5.
preuve. Soit 1 (NCAn. Comme Anest engendr´e par les 3-cycles (exercice 1.1 (2)), il suffit de montrer que
Ncontient les 3-cycles. Comme Nest normal dans Anet que les 3-cycles sont conjugu´es dans An(exercice 1.1
(2)), il suffit de montrer que Ncontient un 3-cycle. Pour cela, fixons 1 6=σ∈Nadmettant un nombre maximal
de points fixes et montrons que σest un 3-cycle.
Supposons d’abord que toutes les orbites de hσiop´erant sur {1, . . . , n}sont de longueur 2. Comme σ∈ An, il y
au moins deux telles orbites, disons {i, j}et {k, l}. Comme n≥5, on peut choisir r∈ {1, . . . , n}\{i, j, k, l}et
introduire le 3-cycle τ:= (k, l, r)∈ An. Comme Nest normal dans An, on a encore [τ, σ]∈N. Mais [τ, σ] laisse
invariant tous les points fixes de σdistincts de i, j, k, l, r. Il laisse ´egalement invariant iet j. Et il est non trivial:
[τ, σ](k) = r. Il a donc au moins un point fixe de plus que σ, ce qui contredit la d´efinition de σ.
hσia donc au moins une orbite de longueur ≥3 contenant disons i, j, k. Si σn’est pas un 3-cycle, σposs`ede
une autre orbite de longueur ≥2 contenant disons l, r. Introduisons `a nouveau le 3-cycle τ:= (k, l, r). Comme
ci-dessus [τ, σ]∈Net [τ, σ] laisse invariant i, j et tous les points fixes de σdistincts de k, l, r, ce qui contredit la
d´efinition de σ.